Master SIS Cours de Bond Graphs A. Naamane
La Mécatronique
Les bond graphs Les bond graphs Pourquoi? Outil de modélisation perormant ; Permet de bien comprendre les transerts de puissance ; Peut se tracer sans écrire et résoudre des équations ; Déduction possible des schéma-blocs, des équations d état, des onctions de transert pour les cas linéaires, Graphisme identique quelque soit le domaine ; Permet les analogies entre les domaines ; Nombreux exemples traités en mécatronique ; Simulations directement possibles
l énergie est un (pour ne pas dire «le») concept essentiel dans la description de l évolution des systèmes technologiques. On le retrouve dans tous les domaines : il constitue le lien entre ceux-ci. Fort de cette constatation, Henry M. Paynter (93-00), a introduit le concept de «bond graph» (BG) (graphe de liaisons) en 96.
Père des bond graphs: Henry Paynter(MIT Boston) er ouvrage : 96 arrivée en Europe : in des 70s Pays-Bas (TwenteUniv.) France (Alsthom)
la méthode BG concerne tous les systèmes dans tous les domaines (linéaires, non linéaires, continus, échantillonnés, numériques, électroniques, hydrauliques, mécaniques, thermiques,...). La méthode BG permet de traiter les chaînes d énergie et d inormation. Qu est-ce qu un bond graph? C est un graphe orienté, aisant apparaître des variables dynamiques, qui traduisent les transerts d énergie entre systèmes. Ils sont basés sur les liens de puissance.
Objectis
Introduction Exemples pluridisciplinaires Causalité Equations d'état Schémas blocs Applications S:qi C:A C:A 0 0 h q h R:R q R:R
Que sont les bond graphs? Les bond graphs sont : inventés par Paynter en 959 et développés par Rosenberg et Karnopp ; des graphes de représentation du comportement dynamique des systèmes indépendamment du domaine considéré; des graphes ondés sur les lux d'énergie ; une modélisation orientée objet des systèmes ; un outil de modélisation puissant pour les ingénieurs.
Premier exemple : un système électrique R L U C Lois des constituants u R = RI u c = i d t C d i u L = L d t Variables de puissance Tension électrique U Intensitéélectrique I Puissance électrique P= U I
Premier exemple : un système électrique R L Bond graph du circuit I : L U C Variable «eort» u L i Variable «lux» U Se : U i u R i R : R u C i Les tensions sont diérentes Le courant est identique C : C Jonction
Deuxième exemple : un système mécanique k v Variables de puissance m F Force F Vitesse linéaire v Lois des constituants F = k v d t F a = cv r c d v F m = m d t Puissance mécanique P= F v
Deuxième exemple : un système mécanique Bond graph du système I : m k F m v Variable «eort» Variable «lux» c F Se : F v F a v R : c F r v Les eorts sont diérents La vitesse est identique C : /k Jonction m v F
Variables énergie & puissance Eort e ( t ) e P = e Flux ( t ) Lien bond graph Intégration des Variables puissances Moment généralisé ( ) ( ) p t = p + e τ τ t 0 d Déplacement généralisé ( ) ( ) q t = q + τ τ t 0 t 0 0 d t
Domaines physiques & variables Domaine Eort e Flux Moment généralisé p Déplacement généralisé q Electrotechnique Tension u Courant i Flux magnétique λ Charge q Mécanique de translation Force F Vitesse v Quantité de mouvement p Déplacement x Mécanique de rotation Hydraulique & pneumatique Couple C Taux de rotation ω Moment cinétique σ Angle θ Pression P Débit volumique q v Impulsion p Volume V Thermique Température T Flux d entropie q S Entropie S Chimie Potentiel chimique µ Flux molaire q m Nombre de moles N
Neu éléments de base du langage R: élément de modélisation d un phénomène physique liant la variable eort à la variable lux I : élément de modélisation d un phénomène physique liant la variable lux à la variable moment généralisé C : élément de modélisation d un phénomène physique liant la variable eort à la variable déplacement généralisé Se, S : source d eort et source de lux indépendante respectivement de leur variable complémentaire 0, : la jonction 0 sert à coupler des éléments soumis au même eort, la jonction sert àcoupler des éléments parcourus par le même lux TF: transormateur (exemples : transormateur électrique, train d engrenages,...) GY: gyrateur ((exemples : moteur électrique, pompe centriuge,...)
Eléments passis -port symboles Élément BG Résistance e Frottement luide Amortisseur e Frottement luide Amortisseur R : élément dissipateur d énergie R R Élément R Loi = e R e = R Schéma-bloc e /R R e
Eléments passis -port Élément I symboles Élément BG Loi Schéma-bloc Inductance Masse e I = p I ( ) ( ) p t = p + e τ τ 0 d t t 0 p /I e Inertie I : élément de stockage pour l eort généralisé
Eléments passis -port Élément C symboles Élément BG Loi Schéma-bloc Capacité Ressort linéaire e C e = q C ( ) ( ) q t = q + τ τ 0 d t t 0 q /C e Ressort de torsion C : élément de stockage pour le déplacement généralisé
Eléments actis -port symboles Élément BG Loi Source de tension Se e e = e 0 Force Moment Source de courant S e = 0 Vitesse Vitesse angulaire Éléments Se & S Schéma-bloc e 0 e 0 e
Eléments de jonction Élément TF symboles Élément BG Loi Schéma-bloc Transormateur e TF e e = me = m e m e m e Levier TF e e = = m e m e /m e /m Engrenage
Eléments de jonction Élément GY symboles Élément BG Loi Schéma-bloc u, i C, ω Moteur générateur e GY e e = r e = r e r r e C, ω p, q v Pompe Turbine e GY e = = e r e r e /r /r e
Eléments de jonction Jonction 0 e symboles Élément BG Lois i i e P, q i 3 e 3 e e i i 0 e n n e e i i... e n n = 0 Conservation de la puissance e = e =... = e i n i... n = 0 P, q P 3, q 3 Le sens des lèches donne le signe du lux
Eléments de jonction Jonction e symboles Élément BG Lois i i i e v i i 3 i 3 F F F 3 e 3 e e i i e n n e e i i... e n n = 0 Conservation de la puissance = =... = i n e e i... e n = 0 Le sens des lèches donne le signe de l eort
Mécanique de translation variable notation translation Eort orce Flux vitesse Moment impulsion Déplacement distance Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t F v p x F ( t ) v ( t ) Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q E v d p c = E p = F d x
Mécanique de translation k v c v k m m I : m C : /k I : m C : /k 0 Se : F R : c F
Mécanique de translation m v k c m v k c v I : m Se : m g C : /k 0 R : c Se : m g I : m C : /k S : v 0 R : c
Mécanique de translation variable notation rotation Eort couple Flux vitesse angulaire Moment moment cinétique Déplacement angle Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t Γ θ Γ ( t ) ω ( t ) ω σ Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q E c = ω d σ E p = Γ d θ
Mécanique de rotation I ω ω ω I c k c k Γ C : /k I : I C : /k I : I S : ω 0 0 Se : Γ R : c R : c
Mécanique de rotation I : I S : Γ R : c TF I : I R : c Γ I ω c c ω I Γ
Electricité variable notation électricité Eort tension Flux intensité Moment lux magnétique Déplacement charge Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t U i q U ( t ) i ( t ) λ Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q E el = U q E m = id λ d
Electricité R R e u R 4 R 3 Se : e R : R 0 R : R S 0 0 R : R 4 0 R : R 3
Electricité R V e R i U - Se : V e :i R : R A V s Lien d inormation 0 : U :i R : R Source modulée MSe : -A 0 : V s
Hydraulique variable notation électricité Eort pression Flux débit volumique Moment impulsion Déplacement volume Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t V P p ( ) ( ) P t q v t q v Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q = E p = P d V E c q v d p
Hydraulique Élément R Dissipation de l énergie dans une restriction Pour un écoulement laminaire, Re<000 ( ) q v = k P P P q v P q v P :q v P -P q v P q v Pour un écoulement turbulent, Re>3000 R : /k ( ) q v = P P La onction étant àdéterminer pour chaque cas
Hydraulique Élément I Relation entre pression et dérivée du débit d q d v v q v = Av = A L d t d t F d v = ( P P ) A = ρ AL d t P P = I = ρ L d A d t ρ L A q v P q v P q v P :q v P -P q v I : L A ρ P q v
Hydraulique Élément C Relation entre pression et volume réservoir P = ρ gh = A C = ρg ρ gv A q v h C : A ρg luide compressible B d V = V d P V P C SLB SLB = = Module de compressibilité
Hydraulique Jonction TF transormateur pompe C, ω p, q v TF Γ ω V 0 P q v Cylindrée V 0 vérin, v p q ampliicateur de pression F, v F, v F, v F F v TF A P q v Section A v v m TF A m = A v F v
Hydraulique Distributeur hydraulique P P b vers bâche A A 3 A 4 A P P Circuit hydraulique x R : R (x) R : R 4 (x) 0 P Se : P 0 0 0 P R : R 3 (x) R : R (x) Circuit hydraulique Se : P b
Causalité i F v u Dans les deux cas, il y a une cause et un eet L eort appliquésur le piston de la seringue génère une vitesse de sortie du liquide de la seringue et non l inverse. La source de tension impose le courant dans le circuit électrique et non l inverse. R
Causalité Soient deux systèmes A & B couplés et échangeant une puissance P(t) e A B P ( t ) = e ( t ) ( t ) Deux cas possibles ( ) A applique un eort e(t) àb qui réagit en retournant àa un lux ( ) ( ) e A B e A B t = Ψ B e t ( ) A applique un lux (t) àb qui réagit en retournant àa un eort ( ) ( ) e A B e A B e t = Φ B t Convention: : le trait causal est placédu coté de l élément sur lequel l eort l est imposé.
Causalité Aectation de la causalité Causalité nécessaire Se S TF ou TF GY ou GY Causalité restrictive ou ou 0 0 0 ou ou
Causalité Aectation de la causalité Causalité intégrale I C Causalité dérivée I C Causalité arbitraire (cas linéaire) R ou R Procédure d aectation de la causalité Aecter les causalités nécessaires aux sources et répercuter ; Mettre les I et les C en causalitéintégrale préérentielle et répercuter ; 3 Aecter la causalité aux éléments R en respectant les restrictions aux jonctions ; 4 En cas de conlit àune jonction rechercher l élément I ou C qui en est la cause et le mettre en causalité dérivée ; reprendre en 3.
Causalité Exemple S 0 3 4 C R S 0 3 4 C R 5 I S 0 3 5 I 4 C R 5 I S 0 3 5 I 4 C R 3 4
v Bond Graphs Bond Graphs Causalité mixte F v m m Se : F a b I : m k Se : F aectations possibles I : m Pour supprimer la causalité dérivée, on pourrait introduire la lexibilité du bras de levier. 3 TF 4 5 C : /k b/a 6 I : m 3 TF 4 5 C : /k b/a 6 I : m Causalités dérivées
Équations d état A partir d un modèle BG, il est possible de déduire les équations d état du système Les variables d état sont les variables d énergie associées aux éléments I et C = [ p I ] Vecteur d état X [ q C ] [ e I ] X & [ C ] = Si tous les éléments sont en causalité intégrale, la dimension du vecteur d état vaut le nombre d éléments I et C. Si parmi les n éléments I et C, il existe n d en causalité dérivée, alors la dimension du vecteur d état est n-n d
Équations d état Cas où tous les éléments I et C sont en causalité intégrale X & = AX + BU Y = CX + DU Uvecteur d entrée et Yvecteur de sortie Procédure Écrire les lois de structure aux jonctions en tenant compte de lacausalité; Écrire les lois associées aux éléments en prenant en compte leur causalité; Expliciter les dérivés des variables d état en onction des variables d état et des entrées. k x m x m k
Équations d état C : /k 8 Se : m g 6 7 I : m 5 0 4 C : /k 3 Se : m g I : m x x m m k k
Lois aux jonctions e + e e = 3 0 5 3 4 = 0 e 6 e 5 e 7 e 8 = 0 = = 3 e 3 = e 4 = e 5 5 = 6 = 7 = 8 Lois aux éléments q & 4 = 4 q & 8 = 8 p & = e = p m Éléments I p & 7 = e 7 = p m 7 7 Vecteur d état X p p 7 = q 4 q 8 e 4 = k q 4 Éléments C Équations d état p & = k x 4 + m g p & = k x k x + m g 7 4 8 q & = p + p 4 7 m m q & = p 8 7 m e 8 = k q 8
Équations d état Cas de la causalité mixte i Se : u 3 0 4 5 C : C R u v C C R : R C : C Jonction 0 Jonction q & 5 = 3 4 q & = e R 5 4 & C q + = 5 q 5 U C R C q = q C C 4 5 Système d équations algébro-diérentiel Utilisation d un logiciel adapté
Schémas-blocs Le passage du BG au schéma-bloc est direct en écrivant les lois aux jonctions Démarche sur un exemple I : L C : C R L u C L Se : u 4 0 5 3 6 R : R I : L
Schémas-blocs I Se 0 R C L u e /L e e 3 + e 4 3 R 4 /C e 5 e 6 5 + 6 /L
Schémas-blocs u + R - - + /L - ou u + - R - - /L s /L /C /L s /Cs
Applications R L u u u 3 u K u 0 Se:u J r ω ω J R:R I:J I:J GY K ω TF r ω I:L I :I I :I 0 C ω C : k R : µ
ω b ω Bond Graphs Bond Graphs Applications I r Γ r ω 3 k I 4 I 3 r 4 c r 3 I b Γ 4 ω 4 I : I I : I 3 0 r /r TF 0 0 0 R : c,3,b TF : r 3 /r 4 0 I : I 4 R : c C : k I : I b Réducteur de vitesses
Applications x Se : P s 0 Pertes dans les oriices du distributeur A P Fe m A P R : R(y) R : R(y) I : m P s P r =0 v re 0 : P 0 : P TF : A TF : /A Distributeur R : R(y) R : R(y) 0 y: positon du tiroir du distributeur Vérin hydraulique Se : 0 R : Vérin
Applications y 3 y R I I C M 3 k M Câble 0 0 TF 0 Câble Absorbeur d énergie k θ Piste d atterissage Avion MTF C k M k M 3 C MTF 0 0 TF 0 R I I C D après l article de Granda & Montgomery «Automated Modeling and simulation Using the Bond Graph Method or the Aerospace Industry» Système d arrêt d un avion sur porte-avions I
z Bond Graphs Bond Graphs Applications z 0 C C O D ϕ θ ψ A u Se MTF : transormateur modulé En vert : liens d inormation MGY : gyrateur modulé I. θ MGY MGY Se MGY cos θ Se sin θ I. ψ. 0 MTF MTF ϕ I I I Gyroscope
Applications T T 3 T 5 L L L 3 V V V 3 T 4 T 6 T D après Jean Buisson & HervéCormerais : Systèmes électroniques et électrotechniques in Les bonds graphs, hermès Nouvel élément BG : interrupteur idéal T Lorsque T est ermé, il est équivalent àune source d eort nul ; Lorsque T est ouvert, il est équivalent àune source de lux nul. E R L I : L Se : V T : T 5 T : T 0 Se : V T : T 6 T : T Se : E 3 I : L 0 0 0 R : R Se : V 3 T : T T : T 5 I : L 3 I : L 4 0 Redresseur triphasé double alternance
T Bond Graphs Bond Graphs Applications T 4 T T q& Se : T 0 : T 3 0 : T Se : T 4 T q& 3 T q& 3 T q& T q& 3 T q& 4 3 T 3 R : R 3 C : C 3 R : R 3 C : C R : R relations q T T R T T T T & 3 4 3 = q & q & 3 = = 3 3 R R Il s agit d un pseudo bond graph (PBG) : les variables eort et lux ne sont pas les variables classiques de la puissance ; le choix du PBG correspond à un choix de capteurs possibles. Chauage d un liquide