Morphologie mathématique - III

Morphologie mathématique - III Isabelle Bloch http://perso.telecom-paristech.fr/ bloch Télécom ParisTech - CNRS LTCI Paris - France Morphologie mathématique III p.1/38

Opérateurs géodésiques Distance géodésique, conditionnelle à X : d X si X est fermé, il existe un arc géodésique pour toute paire de points de X unicité si X est simplement connexe X convexe dx = d Boule géodésique : B X (x,r) = {y X / d X (x,y) r} Rq : B X (x,r) B(x,r) X x d (x,y) X d(x,y) y Dilatation géodésique : D X (Y,B r ) = {x R n / B X (x,r) Y } = {x R n / d X (x,y) r} Erosion géodésique : E X (Y,B r ) = {x R n / B X (x,r) Y} = X \D X (X \Y,B r ) Ouverture et fermeture géodésiques : par composition Morphologie mathématique III p.2/38

Propriétés et reconstruction Propriétés : similaires à celles du cas euclidien DX (Y,B r ) D(Y,B r ) DX (Y,B r ) = n=1 [(Y r n B) X]n Cas discret : D X (Y,B r ) = [D(Y,B 1 ) X] r Reconstruction : [D(Y,B 1 ) X] = D X (Y) = composantes connexes de X qui intersectent Y Morphologie mathématique III p.3/38

Reconstruction binaire : exemple Morphologie mathématique III p.4/38

Reconstruction binaire : exemple 00 11 00 11 000 111 000 111 000 111 00 11 00 11 0000000 1111111 000000 111111 000000 111111 0000 1111 Morphologie mathématique III p.4/38

Erodés ultimes EU(X) = n {E(X,B n )\R[E(X,B n+1 );E(X,B n )]} E(X,Bn ) : l érodé de X de taille n R[Y;Z] : composantes connexes de Z qui ont une intersection non vide avec Y = ensemble des maxima régionaux de la fonction distance d(x,x C ). Morphologie mathématique III p.5/38

Ouverture surfacique γ λ (f) = i {γ Bi (f), B i connexe et S(B i ) = λ} Morphologie mathématique III p.6/38

Ouverture surfacique γ λ (f) = i {γ Bi (f), B i connexe et S(B i ) = λ} 00 11 0000 1111 00 11 01 01 01 01 00 11 00 11 00 11 00 11 0000000 1111111 0000 1111 000 111 Morphologie mathématique III p.6/38

Opérateurs géodésiques fonctionnels X 1 X 2 et Y 1 Y 2 D X1 (Y 1,B r ) D X2 (Y 1,B r ) D X2 (Y 2,B r ) Extension aux fonctions, pour f g, coupe par coupe : [D g (f,b r )] λ = D gλ (f λ,b r ) (avec f λ = {x, f(x) λ}) Cas discret : D g (f,b r ) = [D(f,B 1 ) g] r E g (f,b r ) = [E(f,B 1 ) g] r Reconstruction numérique de f (fonction de marquage) dans g : par dilatation Dg (f,b ) = D g (f) : ouverture par érosion Eg (f,b ) : fermeture ouverture par reconstruction : D f (f B ) (zones plates dont les contours sont certains contours de l image originale compression) Morphologie mathématique III p.7/38

Reconstruction numérique : exemple Morphologie mathématique III p.8/38

Ouverture par reconstruction : exemples Morphologie mathématique III p.9/38

Ouverture par reconstruction : exemples Réunion d ouvertures par des segments de longueur 20 et reconstruction Morphologie mathématique III p.9/38

Application au filtrage alterné séquentiel Morphologie mathématique III p.10/38

Application au filtrage alterné séquentiel FAS par un hexagone (taille maximale = 1) Morphologie mathématique III p.10/38

Application au filtrage alterné séquentiel FAS par des segments (taille maximale = 1) Morphologie mathématique III p.10/38

Un autre exemple Morphologie mathématique III p.11/38

Un autre exemple FAS par un hexagone (taille maximale = 1) Morphologie mathématique III p.11/38

Un autre exemple FAS par des segments (taille maximale = 1) Morphologie mathématique III p.11/38

Maxima régionaux X maximum régional de f si x X,f(x) = λ et X = CC(f λ ) Calcul des maxima régionaux : f D f (f 1) h-maxima (dynamique des niveaux de gris) : f D f (f h) maxima robustes Morphologie mathématique III p.12/38

Maxima régionaux : exemple Morphologie mathématique III p.13/38

Maxima robustes : exemple Morphologie mathématique III p.14/38

Minima régionaux : exemple Morphologie mathématique III p.15/38

Squelette par zones d influence X = i X i Zone d influence de X i dans X C : Squelette par zone d influence : ZI(X i ) = {x X C / d(x,x i ) < d(x,x \X i )} Skiz(X) = ( i ZI(X i )) C = diagramme de Voronoï généralisé Propriétés : Skiz(X) squelette(x C ) (cf cours sur le squelette) le Skiz peut être non connexe (même si X C l est) Morphologie mathématique III p.16/38

Squelette par zones d influence : exemples Morphologie mathématique III p.17/38

Squelette géodésique par zones d influence Y = i Y i Zone d influence géodésique de Y i conditionnellement à X : ZI X (Y i ) = {x X,d X (x,y i ) < d X (x,y \Y i )} Squelette géodésique par zone d influence : SKIZ X (Y) = X \ i ZI X (Y i ) SKIZ(Y) SKIZ X(Y) Y 1 Y 1 Y 2 Y 2 X Morphologie mathématique III p.18/38

Une première application simple... Morphologie mathématique III p.19/38

Une première application simple... Seuillage : Morphologie mathématique III p.19/38

Une première application simple... Erosion : Morphologie mathématique III p.19/38

Une première application simple... Reconstruction : comptage des dés blancs et des points noirs sur chaque dé Morphologie mathématique III p.19/38

Une première application simple... Image seuillée reconstruction des dés blancs puis petite ouverture Morphologie mathématique III p.19/38

Une première application simple... Grande fermeture (15) - SKIZ Morphologie mathématique III p.19/38

Une première application simple... Séparation (et logique) et étiquetage Morphologie mathématique III p.19/38

Parcellisation du cortex (thèse d Arnaud Cachia) Morphologie mathématique III p.20/38

Filtres connectés Objectif : simplifier l image Filtre morphologique qui préserve les contours est indépendant du contraste agit sur les composantes connexes Premier exemple : ouvertures surfaciques Morphologie mathématique III p.21/38

Filtres connectés Morphologie mathématique III p.21/38

Filtres connectés sur des images à niveaux de gris Opérations croissantes Application coupe par coupe T h (f) = {x f(x) h} (γ A (f))(x) = sup{h x Γ A (T h (f))} Ouverture surfacique Fermeture surfacique Morphologie mathématique III p.22/38

Représentation par arbres Morphologie mathématique III p.23/38

Ouverture par attribut Morphologie mathématique III p.24/38

Exemples d application Filtrage en fonction de l élongation (Meijster, 2002) : Morphologie mathématique III p.25/38

Exemples d application Critère entropique (Salembier, 1998) : Morphologie mathématique III p.25/38

Exemples d application Analyse du mouvement (Salembier, 1998) : Morphologie mathématique III p.25/38

Exemples d application Compression (Salembier, 2000) : Morphologie mathématique III p.25/38

Arbre des formes : vers l auto-dualité Morphologie mathématique III p.26/38

Transformation en tout ou rien Elément structurant : T = (T 1,T 2 ), avec T 1 T 2 = HMT : X T = E(X,T 1 ) E(X C,T 2 ) Morphologie mathématique III p.27/38

Transformation en tout ou rien Elément structurant : T = (T 1,T 2 ), avec T 1 T 2 = HMT : X T = E(X,T 1 ) E(X C,T 2 ) Amincissement (si O T 1 ) : X T = X \X T Epaississement (si O T 2 ) : X T = X X T Pour T = (T 2,T 1 ) : X T = (X C T ) C Morphologie mathématique III p.27/38

Transformation en tout ou rien : exemples Morphologie mathématique III p.28/38

Squelette : exigences représentation compacte des objets lignes minces inclus et centré dans l objet homotope à l objet bonne représentation de la géométrie inversible (reconstruction de l objet initial) Morphologie mathématique III p.29/38

Squelette : cas continu A : ensemble ouvert s ρ (A) = ensemble des centres des boules maximales de A de rayon ρ Squelette : r(a) = ρ>0s ρ (A) Caractérisation : s ρ (A) = µ>0[e(a,b ρ )\[E(A,B ρ )] Bµ ] r(a) = ρ>0 [E(A,B ρ )\[E(A,B ρ )] Bµ ] µ>0 Reconstruction : A = ρ>0d(s ρ,b ρ ) Morphologie mathématique III p.30/38

Propriétés du squelette continu sρ (E ρ0 (A)) = s ρ+ρ0 (A) r(e ρ0 (A)) = ρ>ρ0 s ρ (A) pas de formule générale pour le squelette d un dilaté, ouvert ou fermé A r(a) est s.c.i. de G dans F A connexe r(a) connexe le squelette est «fin» : son intérieur est vide Morphologie mathématique III p.31/38

Squelette : cas discret Transposition directe du cas continu : S(X) = n N[E(X,B n )\E(X,B n ) B ] Propriétés : centres de boules maximales discrètes reconstuction mais pas de bonnes propriétés de connexité Morphologie mathématique III p.32/38

Squelette : cas discret Transposition directe du cas continu : S(X) = n N[E(X,B n )\E(X,B n ) B ] Propriétés : centres de boules maximales discrètes reconstuction mais pas de bonnes propriétés de connexité Squelette par amincissement homotopique Propriétés : topologie parfaite pas de possibilité de reconstruction 1 1. 1. 0 0 Morphologie mathématique III p.32/38

Centres des boules maximales vs amincissement Morphologie mathématique III p.33/38

Squelette et squelette par zones d influence Skiz(X) r(x C ) Morphologie mathématique III p.34/38

Application en imagerie cérébrale (thèse de Jean-François Mangin) Morphologie mathématique III p.35/38

Filtrage et segmentation topologiques Source : G. Bertrand, M. Couprie (2007) Morphologie mathématique III p.36/38

Filtrage et segmentation topologiques Morphologie mathématique III p.36/38

Filtrage et segmentation topologiques Morphologie mathématique III p.36/38 Source : G. Bertrand, M. Couprie (2007)

Application : amincissement Source : G. Malandain (2007) Morphologie mathématique III p.37/38

Fonction de propagation T X (x) = sup d X (x,y) y X Applications : extrémités : maxima régionaux de TX ( Fr(X) si X simplement connexe) centre : min(tx ) (unique si X simplement connexe) calcul de la courbe de plus grande longueur du squelette Morphologie mathématique III p.38/38