Probabilités - Alternance Gea

Probabilités - Alternance Gea Anne Fredet, Jean-Marie Gourdon 6 avril 2006 1 Probabilités liant deux événements On s intéresse parfois à une probabilité portant sur deux événements, qu ils soient indépendants ou non. Définition 1.0.1 Soient A et B deux événements. La probabilité que A ET B soient réalisés est p(a B). La probabilité que A OU B soient réalisés est p(a B). Proposition 1.0.1 Soient A et B deux événements. On a p(a B) = p(a)+ p(b) p(a B). Démo : 1. Si A B = alors A et B sont incompatibles donc p(a B) = p(a) + p(b) et p(a B) = p( ) = 0 2. Si A B alors A B = (A B) (Ā B) (A B) d après le tableau suivant : A Ā B A B B Ā B A B Ā B Donc p(a B) = p(a B)+p(Ā B)+p(A B) car (A B) (Ā B) (A B) =. Or p(a) = p(a B) + p(a B) car (A B) (A B) = et (A B) (A B) = A. De même p(b) = p(a B) + p(ā B) d où p(a B) = p(a) + p(b) p(a B). 1

Exercice 1.0.1 Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilité d avoir soit un roi, soit une dame? Exercice 1.0.2 Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilité d avoir soit un roi, soit un trèfle? Exercice 1.0.3 Considérons un jeu de 32 cartes. Soit A l événement tirer deux coeurs et B l événement tirer deux figures. Quelles sont les probabilités de A, B, A B et A B? Exercice 1.0.4 Deux candidats A et B passent, dans deux centres différents, un examen avec des probabilités de réussites estimées respectivement à 3 4 et 2 3. 1. Probabilité que les 2 candidats soient reçus? 2. Probabilité que les 2 candidats échouent? 3. Probabilité que le candidat A soit seul reçu? 4. Probabilité qu un seul des deux candidats réussise? 5. Probabilité qu au moins 1 des candidats soit reçu? Exercice 1.0.5 On dispose de deux urnes, désignées respectivement par les lettres A et B. L urne A contient 5 boules bleues et 4 boules rouges. L urne B contient 6 boules bleues et 5 boules rouges. On tire une boule dans chaque urne 1. Probabilité de tirer deux boules rouges? 2. Probabilité de tirer deux boules bleues? 3. Probabilité de tirer deux boules de même couleur? 4. Probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes? Exercice 1.0.6 On considère 3 dés différents, identifiés par leur couleur. Le joueur A gagne la partie si le total des points est 11, le joueur B gagne si le total des points est 12. L un des joueurs a-t-il plus de chance de gagner? Exercice 1.0.7 Un concours de tir met aux prises deux équipes de deux joueurs. Chaque joueur de l équipe peut marquer 0,1 ou 2 points avec les probabilités suivantes : équipe jaune équipe verte 0 1 2 0 1 2 joueur A 0, 4 0, 4 0, 2 joueur C 0, 3 0, 5 0, 2 joueur B 0, 3 0, 4 0, 3 joueur D 0, 5 0, 3 0, 2 2

Les résultats des différents joueurs et des différentes équipes sont indépendants entre eux. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points marqués par l équipe jaune et Y la variable aléatoire égale au nombre de points marqués par l équipe verte. 1. Déterminer les distributions de probabilité de chacune des variables aléatoires X et Y. 2. Calculer la probabilité de l événement il y a match nul. Définition 1.0.2 Soient A et B sont deux événements associés à un univers tels que p(a) 0 ; La probabilité de l événement B sachant que A est réalisé est : p(a B) p A (B) = p(b/a) = p(a) Exemple 1.0.1 On considère la population d un pays. Cette population est composée de 47% d hommes et de 53% de femmes. Parmi les femmes, 40% sont blondes. Parmi les hommes, 30% sont blonds. On prend une personne au hasard. Quelle est la probabilité des évenements suivants : 1. Quelle est la probabilité que ce soit une femme? 2. Quelle est la probabilité que ce soit un homme? 3. Quelle est la probabilité que ce soit une femme blonde? 4. Quelle est la probabilité que ce soit un homme blond? 5. Quelle est la probabilité que ce soit une femme, sachant que cette personne est blonde? 6. Quelle est la probabilité que ce soit une blonde, sachant que cette personne est une femme? Pour résoudre ce problème, on peut utiliser un schéma ou un tableau. Commencons en utilisant un schéma, et en considérant un ensemble de 10 000 personnes. Sur ces 10000 personnes, il ya 5 300 femmes et 4 700 hommes. Sur les 4 700 hommes, 30% sont blonds, soit 1 410 hommes blonds. Sur les 5 300 femmes, 40% sont blondes, soit 2 120 femmes blondes. On a donc le schéma suivant : 3

On retrouve ces résultats par un tableau : homme femme blond 0, 47 0, 3 = 0, 141 0, 53 0, 4 = 0, 212 0, 353 pas blond 0, 47 0, 7 = 0, 329 0, 53 0, 6 = 0, 318 0, 647 0, 47 0, 53 1 On peut maintenant répondre aux questions : 1. Quelle est la probabilité que ce soit une femme? Il y a 53% de femmes, soit une probabilité de 0,53. 2. Quelle est la probabilité que ce soit un homme? Il y a 47% d hommes, soit une probabilité de 0,47. 3. Quelle est la probabilité que ce soit une femme blonde? Il y a 2120 femmes blondes sur 10 000 personnes, soit une probabilité de 0,212. 4. Quelle est la probabilité que ce soit un homme blond? Il y a 1 410 hommes blonds sur 10 000 personnes, soit une probabilité de 0,141. 4

5. Quelle est la probabilité que ce soit une femme, sachant que cette personne est blonde? Il y a 2 120 femmes blondes sur 3 530 personnes blondes, soit une probabilité de 2120 0, 6. 3530 On pouvait aussi le calculer en utilisant la formule : p(femme/blonde) = p(femme blonde) p(blond) = 0, 212 0, 3530 0, 6 6. Quelle est la probabilité que ce soit une blonde, sachant que cette personne est une femme? Il y a 2 120 femmes blondes sur 5 300 femmes, soit une probabilité de 2120 = 0, 4. 5300 On pouvait aussi le calculer en utilisant la formule : p(femme/blonde) = p(femme blonde) p(femme) On retrouve bien les 40% de l énoncé. Proposition 1.0.2 On a p(a B) = p(a) p(b/a) = p(b) p(a/b). = 0, 212 0, 53 0, 4 Définition 1.0.3 Deux événements sont indépendants si p(a/b) = p(a) ou p(b/a) = p(b), soit encore si p(a B) = p(a)p(b). Deux événements sont incompatibles si A B = et dans ce cas, p(a B) = 0 d où p A (B) = p B (A) = 0 Proposition 1.0.3 Si A est inclus dans B alors p(a B) = p(a) et p B (A) = 1. Exercice 1.0.8 Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15. On tire une boule au hasard. On sait que le numéro tiré est impair. Quelle est la probabilité que ce numéro soit aussi multiple de 3? Exercice 1.0.9 À la fin de leur montage, on soumet des ampoules électriques à des tests de conformité qui ne sont pas fiables à 100%. Si une ampoule est conforme, on le dit dans 96 % des cas (et donc dans 4 % des cas, une ampoule bonne est jetée). Si une ampoule est défectueuse, le test le détecte dans 94% des cas (et donc dans 6% des cas, on garde l ampoule). On remarque que en moyenne 8% des ampoules sont défectueuses. On cherche à estimer la fiabilité du test : 5

1. Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que l ampoule soit effectivement conforme? 2. Sachant que le test est négatif, quelle est la probabilité que l ampoule soit effectivement défectueuse? Exercice 1.0.10 Deux ateliers fabriquent les mêmes pièces. La cadence du premier atelier est le double de celle du deuxième. Il y a 3% de pièces défectueuses dans l atelier 1 et 4% dans l atelier 2. On prélève une pièce au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants : 1. La pièce provient de l atelier 1, 2. La pièce est defectueuse, 3. La pièce provient de l atelier 1, sachant qu elle est défectueuse. Exercice 1.0.11 Dans une population donnée, 15 % des individus ont la maladie M a. Parmi eux, 20% ont une maladie M b. Parmi les personnes non atteintes par M a, 4% ont la maladie M b. On considère un individu. Calculer la probabilité des événements suivants : 1. Il a la maladie M a 2. Il a la maladie M b sachant qu il a M a 3. Il a la maladie M b sachant qu il n a pas M a 4. Il a la maladie M a et la maladie M b 5. Il n a pas la maladie M a mais il a la maladie M b 6. Il a la maladie M b 7. Il a la maladie M a sachant qu il a M b Exercice 1.0.12 Trois étudiants A, B et C passent un examen le même jour. Les trois examens sont différents et se passe dans des lieux différents. Les probabilités de succès sont estimées à 0,7 pour A, 0,4 pour B et 0,6 pour C. Calculer la probabilité 1. que les 3 soient reçus 2. que les trois échouent 3. que A seulement soit reçu 4. qu un seul réussise 5. que B soit le seul à échouer 6

6. qu exactement deux soient reçus 7. qu au moins un soit reçu Exercice 1.0.13 Une urne contient x boules dont 3 sont blanches, les autres étant rouges. 1. À l occasion d un tirage sans remise de deux boules, la probabilité d obtenir une boule blanche puis une boule rouge est 1. Calculer le nombre 4 de boules dans l urne. 2. Même question si le tirage est effectué avec remise 7

2 Solutions Solution 1.0.1 p = 4 32 + 4 32 = 8 32 = 1 4 Solution 1.0.2 p = 4 + 8 1 = 11 32 32 32 32 Solution 1.0.3 1. Il y a 8 coeurs dans le jeu donc p(a) = C2 8 C32 2 0, 05645 2. Il y a 12 figures dans le jeu donc p(b) = C2 12 C 2 32 = 66 496 0, 13307 3. p(a B) = p(deux figures à coeur) donc p(a B) = C2 3 C32 2 0, 00605. 4. p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 91 496 0, 18347 = 28 496 = 3 496 Solution 1.0.4 Soit A l événement le candidat A réussit et B l événement le candidat B réussit. 1. Probabilité que les 2 candidats soient reçus = p(a B) = P (A) p(b) = 3 4 2 3 = 1 2 2. Probabilité que les 2 candidats échouent = p(ā B) = p(ā) p( B) = 1 1 = 1 4 3 12 3. Probabilité que le candidat A soit seul reçu = p(a B) = p(a) p( B) = 3 1 = 1 4 3 4 4. Probabilité qu un seul des deux candidats réussise = p(a B) + p(ā B) = p(a) p( B) + p(ā) p(b) = 1 4 + 2 12 = 5 12 5. Probabilité qu au moins 1 des candidats soit reçu = 1 p(ā B) = 1 1 = 11 12 12 Solution 1.0.5 Soient R A l événement tirer une boule rouge dans l urne A, B A l événement tirer une boule bleue dans l urne A, R B l événement tirer une boule rouge dans l urne B, B B l événement tirer une boule bleue dans l urne B. On a 1. Probabilité de tirer deux boules rouges = p(r A R B ) = 4 5 = 20 9 11 99 2. Probabilité de tirer deux boules bleues = p(b A B B ) = 5 6 = 30 9 11 99 3. Probabilité de tirer deux boules de même couleur = p(r A R B ) + p(b A B B ) = 4 5 + 5 6 = 50 9 11 9 11 99 8

4. Probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes : on peut le faire par le calcul direct : = p(b A R B ) + p(r A B B ) = 5 5 + 4 6 = 9 11 9 11 49 On peut également le faire en remarquant que cet événement est 99 l opposé de l événement précédent et en déduire que la probabilité est 1 (p(r A R B ) + p(b A B B )) = 49 99 Solution 1.0.6 Calculons le nombre de possibilités pour obtenir 11 et 12 : total 11 nbr de cas total 12 nbr de cas 1 5 5 C3 2 = 3 1 5 6 6 1 4 6 6 2 5 5 3 2 4 5 6 2 4 6 6 2 3 6 6 3 3 6 3 3 4 4 3 3 4 5 6 3 3 5 3 4 4 4 1 27 25 Le nombre 11 peut donc être obtenu de 27 façons différentes, contre 25 pour le nombre 12. Le joueur A est donc avantagé. Solution 1.0.7 X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4} et Y (Ω) = {0; 1; 2; 3; 4}. Soient A i l événement le joueur A marque i points avec i {0; 1; 2} B i l événement le joueur B marque i points avec i {0; 1; 2} C i l événement le joueur C marque i points avec i {0; 1; 2} D i l événement le joueur D marque i points avec i {0; 1; 2} Les résultats des joueurs sont indépendants entre eux donc p(x = k) = i+j=k p(a i B j ) = i+j=k p(a i) p(b j ). On a P (X = 0) = 0, 4 0, 3 = 0, 12 P (X = 1) = p(a 1 ) p(b 0 )+p(a 0 ) p(b 1 ) = 0, 4 0, 3+0, 4 0, 4 = 0, 28 P (X = 2) = p(a 2 ) p(b 0 ) + p(a 1 ) p(b 1 ) + p(a 0 ) p(b 2 ) = 0, 2 0, 3 + 0, 4 0, 4 + 0, 4 0, 3 = 0, 34 P (X = 3) = p(a 2 ) p(b 1 )+p(a 1 ) p(b 2 ) = 0, 2 0, 4+0, 4 0, 3 = 0, 2 P (X = 4) = p(a 2 ) p(b 2 ) = 0, 2 0, 3 = 0, 06 et donc et x i 0 1 2 3 4 p(x = x i ) 0, 12 0, 28 0, 34 0, 2 0, 06 y i 0 1 2 3 4 p(y = y i ) 0, 15 0, 34 0, 31 0, 16 0, 04 9

Soit p(n) la probabilité que le match soit nul. On a p(n) = p((x = 0) (Y = 0)) + p((x = 1) (Y = 1)) + p((x = 2) (Y = 2)) +p((x = 3) (Y = 3)) + p((x = 4) (Y = 4)) = p(x = 0) p(y = 0) + p(x = 1) p(y = 1) + p(x = 2) p(y = 2) +p(x = 3) p(y = 3) + p(x = 4) p(y = 4) = 0, 12 0, 15 + 0, 28 0, 34 + 0, 34 0, 31 + 0, 2 0, 16 + 0, 06 0, 04 = 0, 253 Solution 1.0.8 raisonnement direct : {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} sont les numéro impairs, {3, 9, 15} sont les multiples de 3 parmi les impairs donc le nombre de cas favorables est 3 et le nombre de cas possibles est 8 : p = 3 8 Avec la formule : Soit A l événement la boule a un numéro impair et B l événement la boule a un numéro multiple de 3. On a p A (B) = p(a B) = 3/15 = 3. p(a) 8/15 8 Solution 1.0.9 Soit T l événement le test est positif (et donc T l événement le test est négatif) et soit C l événement l ampoule est conforme (et donc C l événement l ampoule est non conforme). On a p(c) = 0, 92 et p( C) = 0, 08, et le tableau suivant T T C 0, 92 0, 96 = 0, 8832 0, 92 0, 04 = 0, 0368 0, 92 C 0, 08 0, 06 = 0, 0048 0, 08 0, 94 = 0, 0752 0, 08 0, 888 0, 112 1 p(t ) = 0, 888 et p( T ) = 0, 112. On en déduit que p T (C) = 0, 99 et p T C = p( T C) p( T = 0,0752 ) 0,112 = 0, 67. p(t C) p(t ) = 0,8832 0,888 = Solution 1.0.10 Soit A 1 l événement la pièce provient de l atelier 1 et A 2 l événement elle provient de l atelier 2. Soit B l événement la pièce est defectueuse. 1. La pièce provient de l atelier 1 : La cadence du 1 étant le double de celle de l atelier 2, il fabrique deux fois plus de pièces donc p(a 1 ) = 2 3 10

2. La pièce est défectueuse : p(b) = p(b A 1 ) + p(b A 2 ) = P A1 (B) p(a 1 ) + P A2 (B) p(a 2 ) = 0, 03 2 + 0, 04 1 = 0, 02 + 0, 013 = 0, 033. 3 3 3,3 % des pièces sont défectueuses. 3. La pièce provient de l atelier 1, sachant qu elle est défectueuse : p B (A 1 ) = = 0, 6%. p(b A 1 ) p(b) = 0,02 0,033 Solution 1.0.11 Soit A l événement il a la maladie M a et B l événement il a la maladie M b. On a le tableau suivant : On cherche A Ā B 0, 15 0, 2 = 0, 03 0, 85 0, 04 = 0, 034 0, 064 B 0, 15 0, 8 = 0, 12 0, 85 0, 96 = 0, 816 0, 936 0, 15 0, 85 1 1. Il a la maladie M a : p(a) = 0, 15 2. Il a la maladie M b sachant qu il a M a : p A (B) = p(a B) p(a) = 0,03 0,15 = 0, 2 (on retrouve les 20 % de l énoncé, ce qui est bon signe...) 3. Il a la maladie M b sachant qu il n a pas M a : p Ā (B) = p(ā B) p(ā) = 0,034 0,85 = 0, 04 (on retrouve les 4 % de l énoncé) 4. Il a la maladie M a et la maladie M b : p(a B) = 0, 03 5. Il n a pas la maladie M a mais il a la maladie M b : p(ā B) = 0, 034 6. Il a la maladie M b : p(b) = 0, 064 7. Il a la maladie M a sachant qu il a M b : p B (A) = 0,03 0,064 = 0, 46875 Solution 1.0.12 Les trois événements sont indépendants. On a donc 1. que les 3 soient reçus = p(a B C) = p(a) p(b) p(c) = 0, 7 0, 4 0, 6 = 0, 168 2. que les trois échouent = p(ā B C) = 0, 3 0, 6 0, 4 = 0, 072 3. que A seulement soit reçu = p(a B C) = 0, 7 0, 6 0, 4 = 0, 168 4. qu un seul réussise = p(a B C) + p(ā B C) + p(ā B C) = 0, 7 0, 6 0, 4 + 0, 3 0, 4 0, 4 + 0, 3 0, 6 0, 6 = 0, 324 5. que B soit le seul à échouer = p(a B C) = 0, 7 0, 6 0, 6 = 0, 252 6. qu exactement deux soient reçus = p(a B C)+p(A B C)+p(Ā B C) = 0, 7 0, 4 0, 4 + 0, 7 0, 6 0, 6 + 0, 3 0, 4 0, 6 = 0, 436 11

7. qu au moins un soit reçu = 1 p(ā B C) = 1 0, 072 = 0, 928 Solution 1.0.13 1. P (B R) = p(b) p(b/r) = 3 x 3x 1 = 1 On x 4 se ramène donc à résoudre x 2 13x + 36 = 0 dont les racines sont 4 et 9. Il y a soit 4, soit 9 boules dans l urne. 2. p(b R) = p(b) p(r) = 3 x 3 = 1. On se ramèn donc à résoudre x x 4 x 2 12x + 36 = 0 qui n a qu une racine : x = 6. Il y a donc 6 boules dans l urne. 3 Références Statistique et calcul des probabilités, Walder Masiéri, Éditions Dalloz L essentiel des probabilités et statistiques, Francois Aubin et René Signoret, Éditions Ellipses http://www.inrialpes.fr/sel/ http://www.statcan.ca/francais/edu/index_f.htm http://fr.wikipedia.org/wiki/accueil 12