0//03 Lois de probabilités usuelles discrètes et continues Loisde probabilités discrètessuite
0//03 On a vu: Loi de Dirac Loide Bernoulli Loi Binômiale Loi multinomiale 3 Loi hypergéométrique: On considère une urne contenant Nboules dont asont blanches et bn asont rouges. On tire de cette urne nboules. On peut tirer les nboules en même temps ou l une après l autre sans remise. Soit Xla v.a. égale au nombre de boules blanches tirées parmi les nboules. Cette v.a. suit une loi dite hypergéométrique et est notée Hn,a,b. 4
0//03 Loi hypergéométrique: Comme 0 X aet 0 n X b, on a: max{0,n b} X min{a,n} Soit un nombre entier k tel que: max{0,n b} k min{a,n} On cherche PXk. L ensemble fondamental Ωest constitué de tous les sous-ensembles de nboules que l on peut tirer de l urne ΩP n E. C est l ensemble de parties à néléments de n l ensemble Edes boules. On a Card Ω C a + b 5 Loi hypergéométrique: Le nombre de façons de tirer kboules parmi k les ablanches est C a et pour chacune de ces n k façons il y a C b manières de tirer n kboules parmi les boules rouges. Donc: P nbre de cas favorables nbre de cas possibles k C C C a X k n n k b a+ b k n k n Comme C ac b Ca+ bon a bien P X k k k 6 3
0//03 Loi hypergéométrique: Espérance mathématique de X ~ Hn,a,b an E X a + b Sa variance est: nab a + b n Var X a + b a + b 7 Loide Poisson: On dit qu une v. a. obéit à une loi de Poisson, si elle est susceptible de prendre toutes les valeurs entières 0,,,,k,,n, les probabilités associées étant p 0,p,p,,p k,,p n, avec λ k e. λ pk P X k k! λétant un paramètre positif, et e la base des logarithmes népériens. La constante λ s appelle le paramètre de la loi. La loi de Poisson est notée P λ. 8 4
0//03 Loide Poisson: Espérance mathématique: EXλ Variance mathématique: VarXλ Ecart-type: σx λ La loi de Poisson est appelée loi des petites probabilités. On l utilise pour représenter des phénomènes rares, tels que: nombre d accidents, nombre de pannes, nombre de déchets dans une fabrication 9 Loi géométrique: On considère une expérience à deux issues possibles réalisation de l événement Aou de l événement Ā. On répète indéfiniment cette expérience jusqu à ce que Ase réalise. Soit X la v.a. égale au nombre de répétitions nécessaires pour la réalisation de A. On a: XΩ{,,,n, } et PXkp-p k- où pest la probabilité de réalisation de l événement A. 0 5
0//03 k Loi géométrique: On vérifie que c est bien une loi de probabilité. En effet, k i P X k p p p p p k i 0 Son espérance mathématique est: E X Sa variance est: p p Var X p p Loi binomiale négative: Une proportion pd éléments d une population possède un certain caractère A. On veut obtenir néléments de ce type en procédant à une suite de tirage indépendants. Ces tirages s effectuent avec remise. On désigne par Yle nombre de tirages nécessaires pour obtenir ces néléments possédant le caractère A. La v.a. XY n est appelée binomiale négative. 6
0//03 Loi binomiale négative: On a XΩIN. On cherche PXi. Comme n tirages dont le dernier ont donné un élément possédant le caractère Aet i tirages ont donné un élément ne possédant pas le caractère A, la probabilité d un tel événement est p n p i. Le nombre de ces événements est n. On en déduit: i X C n + i n n Ω, P X i C p p i n+ i 3 Loi binomiale négative: On peut vérifier que: i 0 n n i i n i P X i C p p C p p i 0 n+ i n+ i i 0 Son espérance mathématique est: p E X n p n Sa variance est: Var X p p 4 7
0//03 Loisde probabilités continues 5 Loi uniforme: Une v.a. continue Xsuit une loi uniforme si sa densité de probabilité est donnée par:, f x b a 0, si a x b sinon La fonction de répartition Fx de Xest: 0, x a F x, b a, si si x < a si a x b x > b 6 8
0//03 Loi uniforme: 7 Loi uniforme: L espérance d une v.a. continue X Ua,b est: ~ a + b E X Sa variance est: Var X a b 8 9
0//03 Loi de probabilité exponentielle: Une v.a. Xcontinue suit la loi exponentielle, de paramètre λ>0, notée X εxpλ,si sa densité de probabilité est: ~ λ e f x 0 λx x 0 x < 0 Alors son espérance mathématique est: EX/λ. Sa variance sera: VarX/λ. Son écart-type est alors: σx/λ si si 9 Loi exponentielle: La fonction de répartition Fx d une v.a. X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est: F x e 0 λ x si x 0 si x < 0 0 0
0//03 Représentation graphique de fx: 3 fx 0 x Pour λ3 Représentation graphique de Fx: Fx 0 x Pour λ3
0//03 Champs d application: D abord, on l applique pour modéliser la demande, en gestion de stock, lorsque la symétrie n est pas vérifiée et lorsqu on remarque que son écart-type est égal à son espérance sa moyenne. Mais en général, la loi exponentielle négative s applique pour modéliser les phénomènes de désintégration. La v.a. Xest alors la durée de vie du phénomène. 3 Loi Gamma: Une v.a. Xsuit une loi gamma de paramètres >0 et >0 si sa densité de probabilité est définie par: x e x, si x 0 f x Γ 0, si x < 0 où Γest la fonction gamma d Euler: e t t Γ dt 0 4
0//03 Loi Gamma: L espérance mathématique d une v.a. Xqui suit une loi gamma de paramètres >0 et >0 est: E X En effet, en posant xt, on a: x Γ + E X Γ e x dx Γ 0 Sa variance est: Var X 5 Loi de Weibull: Une v.a. X suit une loi de Weibullde paramètres >0 et >0 si sa densité est définie par: x x e, si x 0 f x 0, si x < 0 La fonction de répartition Fx de Xest: e F x 0, x, si x 0 si x < 0 6 3
0//03 Loi de Weibull: L espérance mathématique d une v.a. Xqui suit une loi de Weibullde paramètres >0 et >0 est: Γ + E X En effet, en posant xt, on démontre, comme on a vu pour la loi gamma, le résultat. Sa variance est: Var X Γ + Γ + 7 Loi de Pareto: Une v.a. Xsuit une loi de Pareto de paramètre si sa densité de probabilité est définie par: + c0 ; si c 0 x f x c0 x 0; sinon Son espérance mathématique pour >: E Sa variance existe pour >: c Var X c 8 X 0 0 4
0//03 5 Loi Bêta: Loi Bêta: Une v.a. Xsuit une loi bêta de paramètre et si sa densité de probabilité est définie par: où et sont des constantes positives et B, est la fonction bêta d Euler: 9 sinon ; 0 0 si ;, x x x B x f ;, 0 dt t t B, + Γ Γ Γ B Loi Bêta: Loi Bêta: L espérance d une v.a. Xsuit une loi bêta de paramètre et est: En effet, Sa variance est: + X E,, Γ Γ + Γ + + Γ Γ + Γ + B B X E + Γ + Γ + + Γ Γ + + + X Var 30
0//03 Loi de Cauchy: Une v.a. Xsuit une loi de Cauchy de paramètres et λ>0 si sa densité de probabilité est définie par: λ f x, x ], + [ π + x λ La fonction de répartition Fx de Xest: F x + Arctg π x λ 3 LoiNormale: Une v.a. continue Xsuit une loi normale de paramètres μet σ>0 si sa densité de probabilité est: f x e σ π x µ σ ; x ], + [ On note X~Nµ,σ. La loi normale est encore connue sous le nom de loi de Gauss ou de Laplace-Gauss. 3 6
0//03 Représentation graphique de Nμ,σ: fx σ π e σ π 0 µ σ µ µ + σ x 33 LoiNormale: La fonction de répartition de Xest définie par: On peut montrer que: EXµ et VarXσ t µ σ F x P X x e σ π x dt 34 7
0//03 LoiNormalecentrée, réduite : Si Xsuit une loi normale Nµ,σ, alors la v.a. µ Z X σ centrée réduite associée à X, suit une loi normale N0,, dite loi normale centrée, réduite. 35 Loi Normale centrée réduite: En effet, Soit µ Z X et z Є IR. On a: σ X µ P Z z P z P X zσ + µ σ σ z+ µ x µ σ σ π e dx En posant x µ t, on obtient σ P Z z π e dt z t 36 8
0//03 Loi Normale centrée réduite: Zest donc une v.a. continue dont la densité de probabilité est définie par: t f t e, t IR π C est-à-dire Z~N0,. 37 Allure et propriété de la loi normale réduite: ft -x x t C est une fonction symétrique par rapport à l axe des ordonnées car elle est paire f -xf x Ainsi les tables de la loi normale centrée réduite, donnent les valeurs de la fonction f tuniquement pour des valeurs positives de la variable t. 38 9
0//03 La probabilité pour que T N0, prenne ~ une valeur de l intervalle t,t S écrit alors: P t < T < t π t t e t dt 39 On démontre que: Propriétés: + f t dt L aire comprise entre la courbe N0, et l axe des t est égale à l unité. 40 0
0//03 Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite: On définit la fonction de répartition Φt de la loi normale centrée réduite, comme: a Φ a f t dt f t a e π t dt - a t 4 Loi Normale centrée réduite: On peut ramener tout calcul sur la fonction de répartition d une v.a. normale Nµ,σà un calcul sur la fonction de répartition, notée Φx, d une v.a. normale N0,. En effet, si X~Nµ,σ, P X µ a µ a µ σ σ σ X a P Φ 4
0//03 Loi Normale centrée réduite: Soit Φla fonction de répartition de X~N0,. On a: Φa Φ a. En effet, comme a t Φ a e dt e dt e dt π π π a et a t t t Φ a + Φ a + e dt e dt e π π π a a t t dt 43 Exemple: La taille d un groupe de 000 personnes obéit à une loi normale N70 cm, 5 cm. On demande de déterminer:. Le nombre de personnes dont la taille est comprise entre 68cm et 75cm.. La probabilité pour qu une personne ait une taille supérieure à 80cm. 44
0//03 Solution:. Définissons la variable centrée réduite Tà partir de la variable aléatoire X: 70 T X 5 Alors P68<X<75P-0,4 t + Φ-Φ-0,4 Φ--Φ0,4 Φ+ Φ0,4- Soit, en cherchant les valeurs de Φ et de Φ0,4 dans la table de la fonction intégrale de la loi normale centrée réduite: croisement de la ligne,0 et de la colonne 0,00; croisement de la ligne 0,4 et de la colonne 0,00. 45 D où P68 X 750,843+0,6554-0,4967 Il y a donc: 000x0, 4967 993personnes dont la taille est comprise entre 68cm et 75cm.. La probabilité pour qu une personne ait une taille supérieure à 80cm est: PX>80PT>-Φ-0,9770,08 soit une probabilité de,3%. Il y a alors vraisemblablement 000x0,08 45personnes dont la taille dépasse 80cm. 46 3
0//03 Loi Log-normale bi-paramètrique paramètrique: Une variable aléatoire Xest dite suivant une loi de probabilité Log-normale de paramètres µ et σ si la v. a. YLog Xsuit la loi normale d espérance µ et d écart-type σ. On note X~ Λ µ,σ Alors, la densité de probabilité de Y est: f y e πσ et celle de Xsera: f x e πσx y µ σ Log x µ σ ; x > 0 47 Espérance et variance: Soit X~Λµ, σ, son espérance est: E Et sa variance est: Var X exp µ + σ X exp µ + σ { exp σ } 48 4
0//03 Loi Log-normale tri-paramètrique paramètrique: Une variable aléatoire Xqui peut prendre une valeur qui dépasse une valeur fixée τest dite suivant une loi log-normale de trois paramètres τ, µet σsi YLogX-τ suit une loi normale de paramètres µet σ. On note X~ Λτ,µ,σ Le troisième paramètre τ s appelle le seuil. Ainsi, la log-normale de paramètres est un cas particulier de celle de 3 paramètres avec τ0. 49 Fonction de densité de probabilité: Soit X~Λτ, µ, σ, alors sa fonction de densité de probabilité est: g x πσ x τ 0 exp σ { Log x τ µ } si si τ < x < x τ 50 5
0//03 Espérance et variance: Soit X~Λτ, µ, σ, alors, Son espérance est: E X τ + exp µ + σ Sa variance est: Var X e µ [ ] σ σ e e 5 Loi du Khi-deux: Une v.a. Xsuit une loi du khi-deux à ndegrés de liberté ddlen abrégé si sa densité de probabilité est définie par: x n e x ; si x > 0 n f x n Γ 0; si x 0 On note X~ χ n n Si et, on retrouve la loi Gamma. 5 6
0//03 On peut montrer que: Loi du Khi-deux: Si X, X,, X n sont nv.a. indépendantes qui suivent respectivement des lois normales Nµ,σ, Nµ,σ,, Nµ n,σ n, alors la v.a. Z n i X i µ i σ i suit une loi de χ n khi-deux à n degrés de liberté 53 C est-à-dire: Loi du Khi-deux: Si Z, Z,, Z n sont nv.a. indépendantes qui suivent respectivement des lois normales centrées réduites N0, alors la v.a. Z n i Z i suit une loi de χ n khi-deux à ndegrés de liberté 54 7
0//03 Loi du Khi-deux: L espérance mathématique d une v.a. Xqui suit une loi du khi-deux à ndegrés de liberté est: EXn Sa variance est: VarXn 55 Loi de Student: Une v.a. Xsuit une loi de Studentà ndegrés de liberté si sa densité de probabilités est définie par: f x x IR n n ; + nb, + x On note X~ Tn Pour n, on retrouve la loi de Cauchy et on a: Γ π et f x ; x IR π + x 56 8
0//03 On peut montrer que: Loi de Student: Si Xest une v.a. normale centrée réduite N0,, si Y est une v.a. de χ n khi-deux à ndegrés de liberté, et si Xet Ysont indépendantes, alors la v.a. Z X Y n suit une loi Tn de Studentà n degrés de liberté 57 Loi de Student: L espérance mathématique d une v.a. Xqui suit une loi de Studentà ndegrés de liberté est: EX0 Sa variance est: Var X n n 58 9
0//03 Loi de Fisher-Snédecor: Une v.a. Xsuit une loi de Fisher-Snédecorà p et qdegrés de liberté si sa densité de probabilité est définie par: p x q f x p q B, p + x q On note X~ Fp,q p p + q p ; x 0 59 Loi de Fisher-Snédecor: On peut montrer que: Si X et X sont deux v.a. indépendantes distribuées respectivement suivant une loi de Khi-deux χ à n et n degrèsde liberté, alors la v.a. X n F suit une loi de Fisher- X Snédecor Fn n, n à n et n degrès de liberté 60 30
0//03 Loi de Fisher-Snédecor: L espérance mathématique d une v.a. Xqui suit une loi de Fisher-Snédecor Fp,q à pet q degrés de liberté est: Sa variance est: Var E q q X, q > X q p + q q q 4, q > 4 p 6 3