MPS Police scientifique 1E Indice en mathématiques La pierre trouvée sur le sol Objectif : La police scientifique veut savoir si la pierre a été envoyée depuis la cour, en fonction de la vitesse du lancer, et si dans ce cas, elle pourrait être l arme du crime, étant donné qu il y a du sang sur la pierre. Séance 1 1 h 30 : Relevé de données et modélisation d une trajectoire (conjecture à partir d Excel (utilisation d une courbe de tendance). Séance 1 h 30 : Modélisation des trajectoires à l aide d un logiciel de géométrie dynamique et conclusion Activité 1 : Hypothèse de départ : la pierre a été lancée de la cour. Ce pourrait être alors l arme du crime. 1 élève reste dans la pièce de la scène de crime et se tient debout à mètres de la fenêtre ouverte. Les deux autres élèves repèrent depuis la cour quels sont les angles et la distance à laquelle on peut voir le camarade et lancer «facilement la pierre». Noter les informations obtenues (on pourra faire un plan). Activité : Sur la scène de crime, on a retrouvé un projectile (une pierre). Si cette pierre est l arme du crime, c est qu elle a été jeté avec une force suffisante depuis l extérieur. Plusieurs caractéristiques nous ont été communiquées : La fenêtre donnant sur la cours était ouverte. Le deuxième étage se situe à 4 mètres du sol La victime était à mètres de la fenêtre La victime a été frappée à hauteur de la tête, à 1 m 60 de hauteur, à moins qu il n était agenouillé, auquel cas, sa tête se situait à 1 mètre du sol. La fenêtre se situe à une hauteur située entre 5 et 6 mètres du sol. La victime a été frappée à la tête avec un objet dont l angle d attaque par rapport au sol est de 0% du haut vers le bas. Réaliser l activité donné dans l annexe 1 : Annexe 1 : fichier balistique Activité 3 : Rédaction d un 1 er rapport sur ce que vous avez appris de la trajectoire d un projectile Activité 4 : Réaliser les activités proposées dans l annexe. Activité 5 : Rédiger votre rapport que vous pourrez communiquer à l ensemble des experts sur la pierre trouvée au sol, à la fois à partir des activités que vous avez réalisées, et aussi avec des indices observés sur la scène de crime EE MPS Seconde Sainte Croix Saint Euverte EPoulin011
Annexe 1 : Conjecturer la nature de la trajectoire d un projectile La trajectoire d un tir dépend de plusieurs paramètres : angle de tir vélocité du projectile (vitesse du projectile) champ gravitationnel vitesse du vent Dans notre situation, la vitesse du vent sera négligée. l objectif est de simuler la trajectoire d un lancer en faisant varier les différents paramètres. Nous connaissons le poids du projectile (à peser) la vitesse d un lancer à la main ne dépasse pas, compte tenu du poids de l objet 1 m.s -1. on considère que le lancer est réalisé à une hauteur de 1,8 m. Approche théorique On note : g : l'accélération gravitationnelle (valeur approchée de 9.8 m/s à la surface de la Terre) ; θ : l'angle de projection par rapport à l'horizontale ; v : la vitesse de déplacement initiale (vélocité) du projectile ; y 0 : la hauteur initiale du projectile par rapport à l'horizontale, niveau zéro en hauteur ; L objectif est d écrire l équation permettant d obtenir la trajectoire du projectile. La position du projectile est caractérisé par deux équations de mouvement, selon les axes horizontaux et verticaux. La position horizontale du projectile, x(t), est : Le lancer part d une hauteur de y 0. Dans la direction verticale, où s'applique la force de pesanteur, elle vaut : EE MPS Seconde Sainte Croix Saint Euverte EPoulin011
1) Conjecturer avec Excel Pour comprendre ces formules, ouvrir Excel et compléter le tableau suivant : Fixer l angle θ à 30, et la vitesse de déplacement initial à 1 m.s -1. Créer un tableau pour un temps t allant de 0 à 3 secondes avec un pas de 0, t y t. Pour chacune des valeurs t donner les valeurs de x ( ) et ( ) On utilisera la fonction RADIANS(angle) pour transformer l angle en degré en radian Sélectionner les plages de données x ( t) et ( t) y et insérer un graphique de type «nuage de poins» a) Quelle type de courbe pourrait relier l ensemble de ces points? Vérifier en changeant les valeurs des paramètres fixés. b) Revenir aux paramètres initiaux. En cliquant avec le bouton droit de la souris sur le nuage de points, sélectionner «Ajouter une courbe de tendance», choisir la forme polynomiale de degré. N oublier pas de faire afficher l équation pour vérifier que la courbe est définie par f ( x) = 0,045x + 0,577x + 1, 8 Conclure quant à la nature de la trajectoire. ) Démonstration Pour simplifier les écritures on pose y = y a) Démontrer que x t = v cos( θ ) x = vcos 0 + vsin ( θ ) ( θ ) t b) En remplaçant t dans la seconde équation, démontrer que c) Quelle est la nature de cette fonction? t 1 gt y = y 0 sin + cos ( θ ) g x ( θ ) ( vcos( θ )) x EE MPS Seconde Sainte Croix Saint Euverte EPoulin011
Annexe : Balistique La trajectoire d un tir dépend de plusieurs paramètres : angle de tir vélocité du projectile (vitesse du projectile) champ gravitationnel vitesse du vent Dans notre situation, la vitesse du vent sera négligée. l objectif est de simuler la trajectoire d un lancer en faisant varier les différents paramètres. Nous connaissons le poids du projectile (à peser, même si cette information a déjà été prise en compte dans l étude) la vitesse d un lancer à la main ne dépasse pas, compte tenu du poids de l objet 1 m.s -1. on considère que le lancer est réalisé à une hauteur de 1,8 m. Application du modèle théorique à notre situation 1) Détermination de la portée du lancer Ouvrir un fichier Geogebra. Les unités représentent 1 mètre. On place le «lanceur» sur l axe des ordonnées à une hauteur de 1,80 m a) Définir à l aide de l icone curseur deux valeurs : l une pour l angle de tir θ allant de à à 90, l autre pour la vitesse v allant de 0 à 15 m.s -1. b) Ecrire dans la fenêtre de saisie la fonction f ( x) sin cos ( θ ) 9,8 x ( θ ) ( vcos( θ )) = 1,8 + x. Complément non obligatoire (à faire si le temps) Définir un curseur t qui définit le temps entre 0 et 3 seconde avec un pas de 0,1. Défnir dans le paramètre saisie le point R=(v cos(α)*t, 1.8 + v sin(α)*t - 0.5 * 9.8 t²) Faire afficher la trace de R sur le graphique et déplacer le curseur t c) En faisant varier les paramètres, et en considérant que la hauteur à atteindre est entre 5 et 6 mètres par rapport au sol, déterminer la distance maximale de tir possible depuis l extérieur. ) Mise en situation dans notre problème Sur la scène de crime, on a retrouvé un projectile (une pierre). Si cette pierre est l arme du crime, c est qu elle a été jeté avec une force suffisante depuis l extérieur. Plusieurs caractéristiques nous ont été communiqué : La fenêtre donnant sur la cours était ouverte. Le deuxième étage se situe à 4 mètres du sol La victime était à mètres de la fenêtre La victime a été frappée à hauteur de la tête, à 1 m 60 de hauteur, à moins qu il n était agenouillé, auquel cas, sa tête se situait à 1 mètre du sol. La fenêtre se situe à une hauteur située entre 5 et 6 mètres du sol. La victime a été frappée à la tête avec un objet dont l angle d attaque par rapport au sol est de 0% du haut vers le bas. EE MPS Seconde Sainte Croix Saint Euverte EPoulin011
Information balistiques : On choisit un repère orthonormé dont l unité est 1 mètre. La trajectoire utilisé envoie une pierre dont la trajectoire parabolique est définie par une équation du type : y = ax + bx + c. Quels sont les paramètres de tir a,b et c qui permettent d atteindre l objectif tout en respectant le cahier des charges? On cherche d où aurait pu être lancée cette pierre 1) Réaliser une figure sur geogebra a. Fixer l origine du repère Axe des abscisses : le sol Axe des ordonnées : au niveau de la victime que l on identifiera par la lettre V. b. Placer selon les informations le point V représentant la victime et les points Vb et Vf représentant respectivement le bas puis le haut de la fenêtre c. Créer trois curseurs pour les paramètres a, b et c. Icône Réglages : 1 a 1 ; incrément : 0,01 Réglages : 1 b 1 ; incrément : 0,01 Réglages : 5 c 6 ; incrément : 0,01 d. Définissez la fonction f représentée par la parabole. e. Afficher l expression de f ( x). Icône Texte : f ( x) = Puis cliquer sur la parabole. ) Conjecturer a. Examinez l allure de la parabole lorsque vous déplacez le curseur a ; le curseur c. Déduisez-en le signe de a et la valeur de c telle que la parabole passe par V. b. On sait que la victime a été frappée selon un angle d attaque par rapport au sol de 0% du haut vers le bas. On admet que cette condition se traduit par f ( 0) = 0, sachant que f ( x) = ax + b Déterminer la valeur de b. Il ne reste plus qu à déterminer la valeur de a c. Pour que le tireur puisse viser la victime, il fallait qu il la voit. Tracer les droites ( ) b ( ) h VF et VF pour déterminer la fenêtre de tir possible. Donner alors un encadrement de la valeur a. d. En supposant que la personne ait lancé une pierre d une hauteur de 1,80m, à quelle distance minimale aurait du être le tireur? 3) A l aide des résultats des TP, que pouvez vous conclure quant à la possibilité pour un tireur d avoir lancé une pierre de l extérieur et que cette pierre soit l arme du crime? EE MPS Seconde Sainte Croix Saint Euverte EPoulin011
Application du modèle théorique à notre situation 1) Détermination de la portée du lancer 4) Mise en situation dans notre problème EE MPS Seconde Sainte Croix Saint Euverte EPoulin011