Calcul littéral C H A P I T R E 3 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Pour son anniversaire, Charlie a reçu des chocolats. Combien?, demande Bruno. Je me souviens seulement, dit Charlie, qu il y en avait moins de 100, et que lorsque je les ai répartis en tas de 2, puis de 3, et enfin de 4, il m en restait à chaque fois un ; et lorsque je les ai mis 5 par 5, il n en restait pas. Combien Charlie a-t-il eu de chocolats? Factoriser des expressions algébriques dans lesuelles le facteur est apparent Connaître les identités : (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples
I/ Distributivité Activité A. Factorisation par un facteur commun apparent 1. (a) Recopier et compléter la propriété : ka + kb =... (... +...). (b) On dit que le nombre k est un facteur commun. Pourquoi? 2. On considère l expression A = x(x + 2) + 3(x + 2). (a) L expression A est une somme. Quels en sont les termes? (b) Les expressions x(x + 2) et 3(x + 2) sont des produits. Quels en sont les facteurs? Que remarque-t-on? (c) En utilisant la question 1, recopier et compléter : A = x(x + 2) + 3(x + 2) A =... x +... 3 A =... (... +...) (d) Avec ce calcul, a-t-on développé ou factorisé l expression A? 3. On considère l expression B = (x 3)(x + 5) + 7(x 3). (a) L expression B est-elle une somme ou un produit? (b) Y-a-t-il un facteur commun? (c) En procédant comme à la question 2(c), factoriser l expression B. Propriété (Distributivité simple) Pour tous nombres relatifs a, b et k : Propriété (Double Distributivité) Pour tous nombres relatifs a, b et k : Formes factorisées Formes développées k(a + b) = ka + kb k(a b) = ka kb Formes factorisées Formes développées (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples (Exemples de développement) On repère les produits du type k(a + b) ou du type (a + b)(c + d) et on applique la propriété correspondante.
A = 3(2x + 5) A = 3 2x + 3 5 A = 6x + 15 B = 7(x 3) B = 7 x ( 7) 3 B = 7x + 21 C = (x + 4)(x + 1) C = x x + x ( 1) + 4 x + 4 1 C = x 2 x + 4x + 4 C = x 2 + 3x + 4 Exemples (Exemples de factorisation) On repère des sommes du type ka + kb et on applique la propriété de distributivité simple. A = 3x 18 A = 3 x 3 6 A = 3(x 6) B = 2x(5x + 4) + 2x(3x + 1) B = 2x[(5x + 4) + (3x + 1)] B = 2x(8x + 5) C = (7x 4)(3x + 1) + (5x 1)(3x + 1) C = (3x + 1)[(7x 4) + (5x 1)] C = (3x + 1)(12x 5) Faire les exercices 1 2 3 4 5 6 7 8 9
II/ Identités remarquables Activité B. Différentes identités remarquables Partie A : (a + b) 2 1. Approche géométrique : Dans le carré ci-dessous, a et b sont deux nombres positifs non nuls. (a) Exprimer l aire des carrés ABCD et CF GH et des rectangles DCHI et BEF C en fonction de a et de b. (b) Exprimer l aire du carré AEGI de deux façons différentes. (c) En déduire l expression développée et réduite de (a + b) 2. 2. Démonstration : Soient a et b deux nombres relatifs quelconques. (a) Écrire (a + b) 2 sous la forme d un produit de deux facteurs. (b) Développer le produit obtenu. En déduire l expression développée et réduite de (a + b) 2. DI = b AD = a I D A IH = a H C B HG=b G F E Partie B : (a b) 2 1. Approche géométrique : Sur la figure ci-dessous, ANCD, EBHF et GF ID sont des carré et a et b sont deux nombres positifs non nuls tels que a > b. (a) Exprimer l aire du carré GF ID en fonction de a b. (b) Exprimer l aire de ABCD, ABHG, EBCI et EBHF en fonction de a et b. (c) Déduire des questions (a) et (b) l expression développée et réduire de (a b) 2. 2. Démonstration : Soient a et b deux nombres relatifs quelconques. (a) Écrire (a b) 2 sous la forme d un produit de deux facteurs. (b) Développer le produit obtenu. En déduire l expression développée et réduite de (a b) 2. A AG = b G AD = a D AB = abe = b E F I B H C
Partie C : (a + b)(a b) 1. Conjecture : (a) Recopier et compléter le tableau suivant : a b a 2 b 2 a 2 b 2 (a + b)(a b) 10 3 7 9 4 5 (b) Que constate-t-on pour les deux dernières colonnes du tableau? (c) Que peut-on conjecturer pour les expressions (a + b)(a b) et a 2 b 2? 2. Démonstration : (a) Recopier et compléter le développement de l expression (a + b)(a b) : (a + b) (a b) =...... +...... (b) En déduire la forme développée et réduite de (a + b)(a b). Propriété (Identités remarquables) Pour tous nombres relatifs a et b, on a : Formes factorisées Formes développées (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 Le terme 2ab dans les deux premières identités remarquables est appeléé le double produit. Exemples (Exemples de développements) On repère des produits du type (a +b) 2 ou (a b) 2 ou encore (a +b)(a b) et on utilise l identité remarquable correspondante. A = (x + 5) 2 A = x 2 + 2 x 5 + 5 2 A = x 2 + 10x + 25 B = (x 3) 2 B = x 2 2 x 3 + 3 2 B = x 2 6x + 9 C = (x + 4)(x 4) C = x 2 4 2 C = x 2 16 Exemples (Exemples de factorisations) On repère des sommes du type a 2 + 2ab + b 2 ou a 2 2ab + b 2 ou encore a 2 b 2 et on utilise l identité remarquable correspondante.
A = x 2 + 6x + 9 A = x 2 + 2 x 3 + 3 2 A = (x + 3) 2 B = x 2 2x + 1 B = x 2 2 x 1 + 1 2 B = (x 1) 2 C = x 2 4 C = x 2 2 2 C = (x + 2)(x 2) Faire les exercices 10 11 12 13 14 15 Problèmes : Faire les exercices 16 17 18 Vu au brevet : Faire les exercices 19 20