CHAPITRE 5 : PROBABILITES 1) VOCABULAIRE DES PROBABILITES. On réalise les trois expériences suivantes : On lance une pièce de monnaie équilibrée et on regarde sa face supérieure. On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le nombre de points inscrits sur sa face supérieure. On fait tourner une roue de loterie équilibrée, on attend qu elle se stabilise et on regarde la couleur désignée par la flèche. Définition : Chacun des résultats possibles d une expérience est une de l expérience. Cette expérience admet 2 issues : pile et face Cette expérience admet 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Cette expérience admet 3 issues : blanc, jaune et rouge. Définition : Un est une condition qui peut être, ou non, réalisée lors d une expérience. Un peut être réalisé par zéro, une ou plusieurs issues de cette expérience. Un événement réalisé par une seule issue est un. Un événement réalisé par aucune issue est un (qui ne se produit pas). Un événement réalisé par toutes les issues est un (qui se produit à coup sûr). «On obtient pile» est «On obtient un nombre pair» est «La flèche désigne une couleur primaire» est «On obtient 7» est un événement «La flèche désigne le blanc» est Définition : Une expérience est dite lorsque chaque issue ne dépend pas des issues des expériences précédentes. Pour chacune des expériences ci-dessus, chaque issue ne dépend pas des issues précédentes. Donc, ces expériences sont Remarque : Une expérience aléatoire est uniquement due au hasard et peut être réalisée autant de fois que l on veut, dans les mêmes conditions.
2) NOTION DE PROBABILITE. a. Définition intuitive. Définition : Pour certaines expériences aléatoires on peut déterminer par un quotient la «chance» qu un événement a de se produire. Ce quotient est appelé de l événement. Exemple : On choisit au hasard l une de ces 7 boules et on repère sa couleur. On a chances sur de choisir une boule rouge. Donc la de tirer une boule rouge est. On peut écrire. De même b. Probabilité et fréquence. Propriété : Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d un nombre qui est la de cet événement. Exemple : Le jeu du «franc carreau» consiste à lancer un jeton circulaire à l intérieur d un rectangle quadrillé de carrés. On a choisi ici des carrés qui ont pour côté le double du diamètre du jeton. On définit l événement suivant : F : «le jeton ne touche aucun côté de carré». On a répété cette expérience 200 fois et on a représenté ci- contre l évolution de la fréquence de réalisation de l événement F. L observation du graphique conduit à poser p(f) = 0,25.
c. Propriétés des probabilités. Propriétés : La probabilité p d un événement est. La probabilité d un événement impossible est. La probabilité d un événement certain est. La somme des probabilités associées à chaque issue est. d. Moyen de représentation. Définition : L arbre des possibles d une expérience indique chacune de ses issues. Quand on fait figurer sur chacune branche la probabilité associée, on dit qu on pondère l arbre des possibles. Exemple : On reprend l exemple du a. Arbre des possibles Arbre pondéré des possibles 3) EQUIPROBABILITE. Définition : Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d être réalisés, on dit qu il s agit d une situation. On reprend les trois expériences de la partie 1) Vocabulaire. On a autant de chance d obtenir pile que face ; On a autant de chance d obtenir 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ; On a deux fois plus de chance d obtenir blanc que rouge ;
4) EVENEMENTS INCOMPATIBLES. Définition : Deux événements sont s ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Exemple : On lance un dé à 6 faces équilibré et on définit les événements suivants : A : «On a obtenu un multiple de 3» et B : «On a obtenu un nombre inférieur à 3». Issues de A :. Issues de B :. Propriété : Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité que se réalise est égale à. Exemple : En reprenant l exemple précédent, on a p(a) = et p(b) =. Donc la probabilité de la sortie d un multiple de 3 ou d un nombre inférieur à 3 est : 5) EVENEMENTS CONTRAIRES. Définition : d un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note. Exemple : On lance un dé à 6 faces équilibré et on définit l événement suivant : A : «On a obtenu 6». Donc non A : Propriété : Conséquence : Exemple : 6) EXPERIENCES ALEATOIRES A DEUX EPREUVES : EXEMPLE. Une expérience est constituée de deux épreuves successives. On dispose pour cela des deux roues de loterie ci-dessous.
Dans un premier temps, on fait tourner la roue de loterie située ci-dessous à gauche puis, dans un deuxième temps, on fait tourner la deuxième roue de loterie. On peut représenter l arbre pondéré des possibles de chacune des épreuves. Première épreuve Seconde épreuve On peut alors construire l arbre pondéré des possibles de cette expérience à deux épreuves. Première épreuve Seconde épreuve Issues Vocabulaire : Sur l arbre des possibles d une expérience aléatoire à deux épreuves, une succession de deux branches est appelé. Propriété :