Corrigé des exercices «aspect énergétique»

Corrigé des exercices «aspect énergétique» Exercice 1 Calculer le travail de la force F dans les situations représentées ci dessous et préciser si ce travail est résistant ou moteur. Le travail de la force F le long d'un trajet rectiligne Δ L et tel que l'angle entre la direction de la force et la trajectoire est noté y est donné par Δ W =F Δ L cos ψ Application numérique : F = 100 N, longueur du trajet 20 m Déplacement vers la droite y = 0 donc Δ W =100 20 soit Δ W =2000 J Travail moteur Déplacement vers la gauche a = 40 y = 180 40 = 140 car le solide se déplace vers la gauche Δ W =100 20cos 140 soit 1532 J (attention à l'unité d'angle de la calculatrice) Travail résistant Déplacement vers la droite y = 90, le travail est nul (cas du travail du poids d'un solide sur une trajectoire horizontale). Déplacement vers le bas y = 0 donc Δ W =100 20 soit Δ W =2000 J Travail moteur Déplacement vers la droite Angle d'inclinaison 10 y = 90 10 = 80 Δ W =100 20cos 80 soit 347 J (attention à l'unité d'angle de la calculatrice) Travail moteur Déplacement vers la gauche Angle d'inclinaison 10 y = 90 + 10 = 100 Δ W =100 20cos 100 soit 347 J (attention à l'unité d'angle de la calculatrice) Travail résistant Exercice 2 Un solide de masse m est déplacé sur un plan incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement entre le solide et le support est noté f. 1. Bilan des forces a. Placer sur le schéma ci contre le poids P du solide ainsi que la réaction du support R. Le point d'application du poids P est sur le centre d'inertie, sa direction est verticale et son sens vers le bas (en rouge sur le graphique). Si le solide se déplace vers la droite alors la composante tangentielle de la réaction s'oppose au déplacement, la composante normale est perpendiculaire à la direction du plan incliné ; le vecteur R représentant la réaction est en vert sur le graphique. B Corrigé des exercices aspect énergétique Page 1 TS1 ET 2014 2015

b. Faire apparaître les composantes normale et tangentielle de la réaction du support. Voir sur le graphique : en bleu la composante normale et en violet la composante tangentielle. 2. Principe fondamental de la dynamique a. Écrire la relation entre les vecteurs P, R et T si le solide se déplace à vitesse constante. L'accélération est alors nulle ce qui donne P + R+ T = 0 b. Projeter l'équation précédente sur la normale à la trajectoire et en déduire une relation entre le module R n de la composante normale de la réaction, P et l'angle a. La contribution de P est égale à P cosα et comptée négative si l'axe est orienté vers le haut. La contribution de la réaction correspond à R n et est comptée négative ; quant à la contribution de T elle est égale à T. On en déduit P cosα+r n =0 c. Projeter l'équation précédente sur la tangente à la trajectoire et en déduire une relation entre le module R t de la composante tangentielle de la réaction, P, T et l'angle a. La contribution de P est égale à P sin α et comptée négative si l'axe est orienté vers la droite. La contribution de la réaction correspond à R t et est comptée négative ; quant à la contribution de T elle est nulle. On en déduit P sin α R t +T =0 d. Application numérique : calculer R n puis R t et enfin T si m = 50 kg, a = 30 et f = 0,2 D'après la relation de la question b : R n =P cosα=m gcos α=50 9,81cos30=425 N Puisque Et finalement f = R t R n alors R t =f. R n =0,2 245=85 N 3. Travaux des forces T =P sin α+r t =50 9,81 sin 30+85=330 N a. Exprimer le travail de la force T pour un déplacement du point A au point B en fonction du module de T et de AB. La force et la trajectoire ont même direction et même sens donc Δ W T =T. AB b. Exprimer le travail du poids pour un déplacement du point A au point B en fonction du module de P de l'angle a et de AB. Le poids et la trajectoire font un angle de 90+α (en degrés) donc Δ W P =mg. AB cos(90+α) c. Exprimer le travail de la composante tangentielle de la réaction pour un déplacement du point A au point B en fonction de R t et de AB. La composante tangentielle de la réaction et la trajectoire ont même direction mais sont de sens opposés donc Δ W Rt =R t. AB cos(180)= R t. AB d. Application numérique : Calculer tous les travaux précédents si AB = 100 m et vérifier que la somme des travaux moteur est égale à la somme des travaux résistants. Pour la force de traction : Δ W T =T. AB=330 100=33000 J Pour le poids : Pour les forces de frottements : Δ W P =50 9,81 100cos(90+30)= 24525 J Δ W Rt = 85 100= 8500 J On vérifie bien que la somme des travaux est nulle (aux arrondis près). Exercice 3 Un solide de masse m se déplace verticalement à une vitesse v. Corrigé des exercices aspect énergétique Page 2 TS1 ET 2014 2015

1. Exprimer le travail du poids de ce solide pour un déplacement d'une hauteur h vers le haut. L'angle entre le poids et la trajectoire est égal à 180 donc s'agit d'un travail résistant. Δ W = mgh ; le signe siginfie qu'il 2. En déduire l'expression de la puissance nécessaire à ce déplacement en fonction de m, v et l'accélération de la pesanteur. La puissance, le travail et le temps sont reliés par Δ W =P Δ t donc P= Δ W Δ t = m g h Δt. La vitesse étant égale à la distance h parcourue pendant la durée Dt alors v= h, on obtient P= m g v ; le Δ t signe traduit qu'il faut fournir de l'énergie à la masse pour qu'elle monte. 3. Calculer cette puissance pour m = 400 kg et une vitesse de déplacement de 1 m/s puis de 0,5 m/s. Pour 1 m/s : Pour 0,5 m/s : P= m g v= 400 9,81 1= 3924 W P= m g v= 400 9,81 0,5= 1962 W 4. La motorisation électrique permettant ce déplacement a un rendement de 77%, calculer la puissance absorbée dans chacun des cas. Les puissances calculées ci dessus correspondent à la puissance utile du moteur électrique, on recherche la puissance absorbée P a telle que η= P P a avec h le rendement du moteur donc P a = P η. Pour 1 m/s : P a = 3924 0,77 =5096 W Pour 0,5 m/s : P a = 1962 0,77 =2548 W Exercice 4 Des alimentations «ininterruptibles» («onduleurs») utilisent des volants d'inertie comme unité de stockage d'énergie (voir le schéma ci dessous extrait de la revue 3EI n 48). 1. Calculer le moment d'inertie d'un volant permettant de stocker 2 kwh pour une vitesse de rotation de 40000 tr/min. La relation donnant l'énergie cinétique pour un dispositif de moment d'inertie J tournant à la vitesse angulaire W est E c = 1 2 J Ω2 avec E c en joules et W en rad/s 2 kwh correspondent à 2.10 3 3600=7,2 MJ et 40000 tr/min correspondent à 2 π 40000 =4189 rad/s 60 D'où J= 2 E c 2 7,2.106 = =0,821 kg.m 2 2 Ω 4189 2 Corrigé des exercices aspect énergétique Page 3 TS1 ET 2014 2015

2. Le moment d'inertie d'un cylindre plein tournant autour d'un axe est donné par la relation J= 1 2 m R2 avec m la masse du cylindre et R son rayon. Calculer la masse du cylindre du volant d'inertie précédent pour un rayon égal à 10 cm. On transforme la relation donnée pour extraire m et on utilise la valeur de J trouvée à la question précédente ce qui donne m= 2 J R = 2 0,821 =164 kg 2 0,1 2 3. Calculer la durée pendant laquelle il restitue l'énergie emmagasinée si la puissance est égale à 110 kw. On utilise la relation Δ W =P Δ t qui donne Δ t= Δ W P = 2 110 =18,2.10 3 h 65 s Exercice 5 1. L'indice de protection contre les chocs (noté IK) est compris entre 0 (aucune protection) et 10 (protection contre les chocs d'impact égal à 20 J). Calculer la vitesse maximale d'une masse de 5 kg au moment de l'impact lorsque IK = 1 (chocs d'impact égal à 0,15 J) puis lorsque IK = 10. La relation donnant l'énergie cinétique E c = 1 2 m v2 permet d'écrire v= 2 E c m Pour IK = 1 : v= 2 0,15 =0,245 m/s 5 Pour IK = 10 : v= 2 20 =2,83 m/s 5 2. On utilise le dispositif représenté ci contre pour tester l'indice de protection aux chocs d'un équipement. La masse m est placée au bout d'un levier, de masse négligeable, en pivot autour d'un axe de rotation horizontal perpendiculaire au plan de la figure. Tous les frottements sont négligés. a. Calculer la valeur maximale de h si la masse est égale à 5 kg et que IK = 10. En position haute, l'énergie potentielle de la masse E p =mgh doit être égale à 20 J. On obtient donc h= E p mg = 20 5 9,81 =0,41 m b. Calculer m avec la même valeur de h que précédemment pour IK = 1. L'énergie potentielle est maintenant égale à 0,15 J, on obtient Exercice 6 m= E p hg = 0,15 =0,037 kg 0,408 9,81 Une station de transfert d'énergie par pompage (STEP) est constituée d'un réservoir supérieur et d'un réservoir inférieur. Les machines situées dans l'usine proche du réservoir inférieur peuvent fonctionner en turbine, elles convertissent l'énergie mécanique en énergie électrique ; ou en pompe, elles convertissent l'énergie électrique en énergie mécanique. Lorsque la demande d'énergie électrique est faible (heures creuses), l'eau est remontée du réservoir inférieur vers le réservoir supérieur ; lorsque la demande d'énergie électrique est élevée (heures pleines), l'eau est redescendue du réservoir supérieur vers le réservoir inférieur. Corrigé des exercices aspect énergétique Page 4 TS1 ET 2014 2015

Caractéristiques de la STEP de Grand'Maison : Volume utile du réservoir supérieur (retenue de Grand'Maison) 134,8 hm 3 Hauteur de chute nominale : 926 m Machines installées : Turbines : il y en a quatre. Les alternateurs accouplés ont une puissance utile de 157 MW avec un rendement de 98,5% et les turbines accouplées (Pelton) ont un rendement de 90%. Turbines pompes (réversibles) : il y en a huit. Les machines synchrones (alternateurs / moteurs) accouplées ont une puissance électrique de 149 MW avec un rendement de 98,1% et les turbines pompes accouplées ont un rendement de 89,4% en turbine et 89,8% en pompe. En une année, l'énergie électrique consommée pour le pompage est égale à 1720 GWh. 1. Calculer l'énergie potentielle de l'eau stockée dans le barrage lorsqu'il est plein (en J puis en MWh). Cette énergie est donnée par E p =mgh=134,8.(10 2 ) 3 1000 9,81 926=1,22.10 15 J (1 hm 3 correspond à (10 2 ) 3 m 3 et 1 m 3 a une masse de 1000 kg). Puisque 1 Wh correspond à 3600 J, cela fait E p = 1,22.1015 =340.10 9 Wh soit 340000 MWh (ou bien 3600 340 GWh) 2. Calculer le rendement global des turbines pompes en fonctionnement «pompe» et en déduire l'énergie transférée à l'eau pendant une année. Évaluer le nombre de fois qu'une même quantité d'eau est turbinée en une année. Il faut tenir compte du rendement des machines électriques (synchrones) soit h e = 98,1% et du rendement des pompes soit h p = 89,8% ce qui donne un rendement global η=η e. η p =0,981 0,898=0,88. Les pompes absorbent 1720 GWh (électrique) en une année, l'eau reçoit donc 1720 0,88=1515 GWh durant cette année. Pour évaluer le nombre de fois qu'une même quantité d'eau est turbinée en une année, on divise l'énergie 1515.10 9 totale fournie à l'eau par l'énergie de l'eau lorsqu'elle est dans le réservoir supérieur 340.10 4,5. 9 3. La puissance maximale en production est égale à 1690 MW pendant une heure : les alternateurs reliés aux turbines sont utilisés à leur puissance utile, ceux reliés aux turbines pompes fournissant le complément. Calculer l'énergie mécanique nécessaire et en déduire la quantité d'eau turbinée. Il faut recenser les machines utilisées puis tenir compte de leurs rendements. Corrigé des exercices aspect énergétique Page 5 TS1 ET 2014 2015

Alternateurs reliés aux turbines : Puissance utile : P t =4 157=628 MW et rendement global : η t =0,985 0,9=0,886. La puissance mécanique (absorbée) est donc P mt = 628 =709 MW 0,886 soit 709 MWh pour une heure de fonctionnement. Alternateurs reliés aux turbines pompes : Puissance utile : P tp =1690 628=1062 MW ; rendement global : η tp =0,981 0,894=0,877 La puissance mécanique (absorbée) est donc P mtp = 1062 =1211 MW soit 1211 MWh pour une heure de 0,877 fonctionnement. Au total Δ W =709+1211=1920 MWh d'énergie mécanique sont nécessaires ce qui correspond à une quantité d'eau m= Δ W gh = 1920.106 3600 =761.10 6 kg 9,81 926 (Attention : l'énergie doit être exprimée en joules). 4. La puissance de pointe est égale à 1420 MW pendant 172 heures (la répartition de puissance suit le même principe que pour la question précédente). Calculer l'énergie mécanique nécessaire et en déduire la quantité d'eau turbinée. Combien de temps faut il pour remonter la même quantité d'eau du réservoir inférieur vers le réservoir supérieur si toutes les pompes sont en fonctionnement? Il faut recenser les machines utilisées puis tenir compte de leurs rendements. Alternateurs reliés aux turbines (inchangé par rapport à la question précédente) : 709 MW soit 709 172=122000 MWh pour les 172 heures de fonctionnement. Alternateurs reliés aux turbines pompes : Puissance utile : P tp =1420 748=792 MW ; rendement global : η tp =0,981 0,894=0,877 La puissance mécanique (absorbée) est donc P mtp = 792 =903 MW soit 0,877 903 172=155000 MWh pour les 172 heures de fonctionnement. Au total Δ W =122000+155000=277000 MWh d'énergie mécanique sont nécessaires ce qui correspond à une quantité d'eau m= Δ W gh = 277000.106 3600 =1,1.10 11 kg 9,81 926 Toutes les pompes en fonctionnement absorbent une puissance électrique de 8 149=1192 MW. Le rendement global de la chaîne de pompage est η p =0,981 0,898=0,881 ce qui donne une puissance utile (donc fournie à l'eau) P u =1192 0,881=1050 MW Pour remonter la quantité d'eau calculée précédemment, il faut lui fournir durée nécessaire Δ t= Δ W P = 276900 1050 =263 h Exercice 7 Δ W =276900 MWh d'où la Un véhicule de masse m se déplace d'un point A vers un point B. Le point A est situé à une altitude h par rapport au point B. Les projections des points A et B sur l'horizontale sont distante de L. Il est conseillé de représenter schématiquement le dispositif étudié. 1. Les frottements sont négligés a. Exprimer le travail du poids lors du trajet de A à B en fonction de la masse, de la différence d'altitude et de l'accélération de la pesanteur. Le travail d'une force ne dépend pas du trajet suivi, on peut donc écrire pour le travail du poids Corrigé des exercices aspect énergétique Page 6 TS1 ET 2014 2015

Δ W p =mg h b. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour déterminer la vitesse du véhicule lorsqu'il atteint le point B alors qu'il était arrêté au point A. La différence d'énergie cinétique entre les deux points est égale au travail du poids (seule force qui travaille dans ce cas car les frottements sont négligées : la composante normale de la réaction est perpendiculaire au déplacement) : Δ E cb Δ E ca =ΔW p. Comme la vitesse initiale est nulle alors Δ E ca =0 et l'équation précédente devient Δ E cb =Δ W p. En remplaçant Δ W p par mg h et comme Δ E cb = 1 2 mv 2 B on obtient 1 2 m v 2 B=mgh soit v B = 2 g h c. Avec cette hypothèse, la vitesse au point B dépend elle de la masse du véhicule? Non car la masse n'intervient pas dans l'équation trouvée précédemment. d. Calculer la vitesse au point B si h = 50 m et L = 1000 m. Combien de temps va rouler le véhicule si le sol est horizontal à partir du point B? On utilise v B = 2g h= 2 9,81 50=31,3 m/s. Comme il n'y a pas de frottements alors le véhicule var rouler pendant un temps infini. 2. Les frottements ne sont plus négligés Les frottements ont deux origines, la résistance de l'air et la résistance au roulement, ils sont représentés par deux forces dont les modules sont donnés par les relations suivantes : pour la résistance de l'air : F a = 1 2 ρ.s.c x v2 avec la masse volumique de l'air (1,2 kg.m 3 ), S la surface frontale du véhicule (appelée aussi maître couple, en m 2 ), C x le coefficient de traînée (sans unité) et v la vitesse (en m.s 1 ) pour la résistance au roulement : F r =k.m.g avec m la masse du véhicule, g l'accélération de la pesanteur et k un coefficient sans unité. Ces forces ont une direction parallèle au déplacement du véhicule et leur sens est opposé au déplacement. a. Exprimer le travail des forces de frottements sur une portion AM (M est un point quelconque compris entre les points A et B) du trajet. Est ce un travail moteur ou résistant? Le travail de ces forces est donné par Δ W frot =( F a + F r ). AM =(F a +F r ) AM cosα avec a l'angle entre la direction des forces et la trajectoire. Les forces de frottements sont colinéaires à la trajectoire mais de sens contraire, l'angle est donc égal à 180 ce qui donne Δ W frot = (F a +F r ) AM qui est un travail résistant. En remplaçant les modules des forces par les expressions données dans l'énoncé : Δ W frot = ( 1 2 ρ. S.C x v M 2 +k m g) AM b. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour déterminer la relation donnant la vitesse au point M. La démarche est identique à celle de la question précédente en rajoutant le travail des forces de frottements Δ E cm =Δ W p +Δ W frot. En remplaçant les travaux par leurs expressions, on obtient (h M est l'altitude du point M) Δ E cm =mgh M ( 1 2 ρ.s. C x v M 2 +k m g) AM c. Calculer la vitesse atteinte au point B pour un véhicule de 1000 kg puis 2000 kg en prenant S = 3 m 2, C x = 0,3 et k = 0,015. On utilise la relation AM = AB= h 2 +L 2 ce qui donne Δ E cm =mgh M ( 1 2 ρ. S.C v 2 x M+k m g) AM avec Δ E cb = 1 2 mv 2 B 1 2 m v 2 B=mgh ( 1 2 ρ. S.C x v 2 B +k m g) h 2 +L 2 h M = h et Corrigé des exercices aspect énergétique Page 7 TS1 ET 2014 2015

Extraction de la vitesse : On développe le terme de droite 1 2 m v B=mgh 2 ρ.s.c x v B2 h 2 +L 2 k m g h 2 + L 2 puis on passe à gauche le terme de droite qui dépend de la vitesse 1 2 v B(m+ρ. S. C x h 2 + L 2 )=mg(h k h 2 +L 2 ) puis on divise par le terme multipliant la vitesse v 2 B = 2 mg(h k h2 +L 2 ) = (m+ρ. S.C x h 2 +L 2 ) carrée v 2 mg(h k h2 + L 2 ) B (m+ρ.s.c x h 2 +L 2 ) et finalement on prend la racine Pour un véhicule de 1000 kg : v B= 2 1000 9,81(50 0,015 502 +1000 2 ) =18,2 m/s (1000+1,2 3 0,3 50 2 +1000 2 ) Pour un véhicule de 2000 kg : v B= 2 2000 9,81(50 0,015 502 +1000 2 ) =21,1 m/s (2000+1,2 3 0,3 50 2 +1000 2 ) Remarque : les deux vitesses sont plus faibles que celles obtenues en absence de frottements. Le véhicule de masse la plus élevée atteint une vitesse plus importante. Exercice 8 1. Un solide de masse m = 200 kg se déplace sur un plan horizontal à la vitesse de 40 km/h. Le plan horizontal est situé à 4 m du sol. a. L'énergie cinétique du solide est égale à (Attention aux unités) 12,3 kj 7,8 kj 160 kj Impossible à définir b. L'énergie potentielle du solide par rapport au sol est égale à 12,3 kj 7,8 kj 160 kj Impossible à définir Autre valeur à préciser : Autre valeur à préciser : 2. Le solide représenté ci contre est placé sur un plan horizontal. Les forces extérieures appliquées au solide sont toutes représentées. Le solide se déplace vers la droite Le solide se déplace vers la gauche Le solide est immobile Impossible à définir La somme vectorielle des forces est nulle : le solide peut être immobile ou se déplacer vers la gauche (la composante tangentielle de la réaction s'oppose au déplacement). 3. Une masse de 300 kg est placée dans un ascenseur. Le travail du poids de la masse lors d'un trajet aller retour du rez de chaussée au quatrième étage (soit 12 m au total) est égal à : 0 J 35,3 kj 70,6 kj Impossible à déterminer Autre valeur à préciser : Le travail du poids est résistant pendant la phase de montée et moteur pendant la phase de descente. Corrigé des exercices aspect énergétique Page 8 TS1 ET 2014 2015