Sujet A21 Page 1/7 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES TOUTE SPÉCIALITÉ DE BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL DU GROUPEMENT A SUJET DESTINÉ AU CANDIDAT Nom et Prénom du candidat : N : Spécialité de baccalauréat professionnel : Date et heure d évaluation : N poste de travail : Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7. Une annexe se trouve en page 4/7 et un formulaire en page 5/7. Une fiche technique d aide à l utilisation d un logiciel se trouve en pages 6/7 et 7/7. Le sujet et l annexe sont à rendre avec la copie. Dans la suite du document, le symbole signifie «Appeler l examinateur». Si l examinateur n est pas immédiatement disponible lors de l appel, poursuivre le travail en attendant son passage. L emploi des instruments de calcul est autorisé pour cette épreuve. En particulier toutes les calculatrices de poche (format maximal 21 cm 15 cm), y compris les calculatrices programmables et alphanumériques, sont autorisées à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante. L échange de calculatrices entre les candidats pendant les épreuves est interdit (circulaire n 99-186 du 16 novembre 1999 BOEN n 42).
Sujet A21 Page 2/7 Exercice 1 (10 points) Les trois exercices peuvent être traités de manière indépendante. Une bouteille isotherme permet de conserver un liquide à une température plus ou moins proche de sa température initiale, suivant la durée d utilisation. On considère qu une bouteille isotherme est efficace si la température d un liquide introduit à 70 C dans la bouteille reste supérieure à 40 C pendant au moins 4 h. Pendant 8 h, on a relevé, toutes les 0 min, la température d un liquide introduit à 70 C dans une des bouteilles isothermes de la production d un fabricant. Le tableau ci-dessous présente ces relevés. Temps t (en h) Température T (en C) 0 0,5 1 1,5 2 2,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 70 6 57,8 5,5 49,9 47,4 45,5 44 42,6 42 41,1 40,5 9,9 9, 8,8 8,1 7,6 L objectif de cet exercice est d étudier certaines propriétés de cette bouteille isotherme. 1.1 En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer si on peut considérer que cette bouteille isotherme est efficace. Justifier la réponse. 1.2 Le tableau ci-dessus figure dans le fichier nommé «Sujet A21.ggb». 1.2.1 Ouvrir ce fichier, représenter le nuage de points de coordonnées (t, T) et faire des essais pour déterminer l expression algébrique de la fonction f la plus adaptée pour ajuster le nuage de points obtenu. Appel : Expliquer à l examinateur la démarche adoptée, faire des essais devant lui et présenter l expression algébrique trouvée. 1.2.2 Recopier sur la copie l expression algébrique trouvée. 1. Déterminer graphiquement la durée t 0 pendant laquelle la température du liquide introduit à 70 C dans la bouteille isotherme reste supérieure à 40 C. Arrondir le résultat à 0,01 h. 1.4 Montrer que l inéquation f (t) 40 peut s écrire 0,5t e 16. 1.5 Résoudre l inéquation arrondi au centième. 0,5t e 16. Écrire les solutions sous la forme t boù b est un nombre qui sera 1.6 Ce résultat est-il cohérent avec la réponse à la question 1.? Exercice 2 (4 points) Pour chacune des questions de cet exercice, indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse exacte. Le choix fait à la question 2.1 doit être justifié. 2.1 Les trois premiers termes d une suite géométrique sont : 16, 24, 6. Le quatrième terme de cette suite est : a) 54 b) 52 c) 81. Justifier le choix fait. 2.2 Soit la fonction f définie sur l intervalle [1, 20] par fonction dérivée f ' est : a) f '( x ) 2 e x b) f( x ) 5 e x. L expression algébrique de sa f '( x) 15 e x c) f '( x ) 5 e x.
Sujet A21 Page /7 2. Pour tout réel x, cos x est égal à : 2 a) sin x b) cos x c) sin x. Exercice (6 points) Une usine produit des bouteilles isothermes. À la sortie de l usine, chaque bouteille peut présenter deux défauts : un défaut de finition ou un défaut d emballage. Lors d un contrôle qualité, on teste un lot de 5 000 bouteilles prises au hasard dans la production et on constate que : 140 bouteilles présentent uniquement un défaut de finition ; 156 bouteilles présentent uniquement un défaut d emballage ; 10 bouteilles présentent les deux défauts. Partie 1 L objectif de cette partie est de calculer des probabilités concernant les défauts présentés par les bouteilles isothermes. Partie 2.1 Compléter, en annexe, le tableau des résultats du contrôle..2 On prélève une bouteille au hasard parmi les 5 000 bouteilles du lot testé. On considère les événements suivants : événement F : «la bouteille prélevée présente un défaut de finition», événement E : «la bouteille prélevée présente un défaut d emballage»,.2.1 Calculer la probabilité P(F) de l événement F et la probabilité P(E) de l événement E..2.2 Définir par une phrase l événement F E..2. Calculer la probabilité P( F E ) de l événement F E. Le but de cette partie est de déterminer si les résultats obtenus lors du test remettent en question le réglage de la machine utilisée en fin de chaîne de production. On considère que cette machine est réglée convenablement si la proportion de bouteilles isothermes sans défauts, parmi les bouteilles produites, est p = 0,97.. Calculer la fréquence f de bouteilles sans défauts dans le lot testé dont la taille est n = 5 000. Arrondir le résultat au millième..4 Calculer les bornes de l intervalle de fluctuation millième. 1 1 I p, p n n. Arrondir les résultats au.5 Les résultats obtenus lors du test remettent-ils en question le réglage de la machine utilisée en fin de chaîne de production? Justifier la réponse.
Sujet A21 Page 4/7 ANNEXE (À rendre avec la copie) Exercice Tableau des résultats du contrôle Nombre de bouteilles avec un défaut d emballage Nombre de bouteilles sans défaut d emballage Total Nombre de bouteilles avec un défaut de finition Nombre de bouteilles sans défaut de finition..... Total.. 5 000
Sujet A21 Page 5/7 FORMULAIRE Suites arithmétiques Terme de rang 1 : u 1 Raison : r Terme de rang n : u u n 1 ( n 1) r Suites géométriques Terme de rang 1 : u 1 Raison : q Terme de rang n : u u q n 1 n 1 Fonction f f (x) ax + b x 2 x e ax u(x) + v(x) a u(x) Dérivée f ' f '(x) a 2x x 2 a e ax u'(x) + v'(x) a u'(x) Propriétés opératoires de la fonction logarithme népérien a > 0, b > 0 ln( ab) ln( a) ln( b) a ln ln( a) ln( b) b ln( a n ) n ln( a)
Sujet A21 Page 6/7 FICHE TECHNIQUE D AIDE POUR UTILISER LE LOGICIEL GEOGEBRA Présentation de l écran du logiciel Barre d outils Fenêtre Algèbre Fenêtre graphique Fenêtre Tableur Zone de saisie À l aide du menu «Affichage», on peut faire apparaître (ou disparaître) la fenêtre Algèbre et la fenêtre Tableur. Pour utiliser un curseur dans la fenêtre graphique Sélectionner le curseur en effectuant un clic gauche sur le curseur et en maintenant le clic puis déplacer le bouton du curseur à l aide de la souris. Un déplacement plus précis peut être obtenu en utilisant les flèches du clavier (après avoir sélectionné le curseur). Pour représenter un nuage de points de coordonnées (x, y) Ouvrir la fenêtre tableur. Saisir dans la colonne A les valeurs de x et dans la colonne B les valeurs de y correspondantes. Sélectionner les cellules contenant les données, cliquer droit sur la sélection et choisir : «Créer» puis «Liste de points».
Sujet A21 Page 7/7 FICHE TECHNIQUE D AIDE POUR UTILISER LE LOGICIEL GEOGEBRA Pour tracer une courbe d équation donnée Il suffit de saisir cette équation dans la zone de Saisie. Pour les nombres décimaux, la virgule doit être remplacée par un point. Par exemple pour tracer la droite d équation y 1,25 x + 2, il faut saisir y=1.25x+2.. Pour placer un point sur un objet Pour placer un point sur un objet (segment, droite, courbe ), choisir nommé, ses coordonnées apparaissent dans la fenêtre Algèbre.. Le point se place en étant Pour placer un point à l intersection de deux objets Pour placer un point à l intersection de deux objets (droites, courbes ) il faut choisir, cliquer sur le premier objet du graphique puis sur le second. Le point se place en étant nommé. Ses coordonnées apparaissent dans la fenêtre Algèbre. Pour déplacer un objet sur le graphique Sélectionner avec la souris. afin de pouvoir déplacer un objet libre (point ) sur le graphique en faisant glisser cet objet