LA PERFORMANCE DES MODÈLES DE VALEUR À RISQUE MENSUELLE PAR SIMULATIONS HISTORIQUES AVEC UN FILTRE QUOTIDIEN DÉSAGRÉGÉ

LA PERFORMANCE DES MODÈLES DE VALEUR À RISQUE MENSUELLE PAR SIMULATIONS HISTORIQUES AVEC UN FILTRE QUOTIDIEN DÉSAGRÉGÉ Frank Coggins 1 Sébastien Rousseau JEL classifications : G11, G3 Mots clés: Modèles VAR conditionnels, modèles VAR par simulations historiques filtrées, modèles GARCH. 1 Département de finance, Faculté des sciences de l'administration, Université de Sherbrooke, 500 Boulevard Université, Sherbrooke (Quebec, J1K R1, Canada. Email : FCoggins@adm.usherbrooke.ca, Tel : (819 81-8000, ext. 5156. Étudiant au M.SC. en finance, Faculté des sciences de l'administration, Université de Sherbrooke, 500 Boulevard Université, Sherbrooke (Quebec, J1K R1, Canada.

LA PERFORMANCE DES MODÈLES DE VALEUR À RISQUE MENSUELLE PAR SIMULATIONS HISTORIQUES AVEC UN FILTRE QUOTIDIEN DÉSAGRÉGÉ RÉSUMÉ Cette étude traite de la performance de modèles VAR (Valeur À Risque mensuelle qui tiennent compte de l'autocorrélation, de l'asymétrie et des larges queues de distributions observées dans les séries de rendements historiques. Certains modèles incorporent aussi l'information contenue dans les rendements quotidiens et dans les rendements des actifs inclus dans le portefeuille. Le modèle le plus sophistiqué est le plus performant.

Introduction Les mesures de risque VAR jouent un rôle de premier plan dans l'évaluation et la gestion des risques des institutions financières. Plusieurs de ces institutions doivent d'ailleurs divulguer leur VAR via leur bilan financier annuel. Cette divulgation devrait constituer de l'information pertinente bien que ces institutions ne soient pas tenues de décrire la méthodologie utilisée. Puisqu'il est documenté dans la littérature financière que l'évaluation de la VAR peut s'avérer fort différente selon la méthodologie appliquée (Beder, 1996; Hendricks, 1996, les décisions d'investir dans ces institutions ne s'appuient pas nécessairement sur des mesures de risque adéquates. Pour un horizon d'investissement mensuel, la présente étude vérifie la capacité de modèles VAR par simulations de Monte Carlo et historiques filtrées à respecter le nombre de dépassements VAR attendus. Les modèles plus sophistiqués tiennent compte de certaines caractéristiques généralement observées dans les séries de rendements des titres financiers dont l'autocorrélation, l'asymétrie et les larges queues de distribution. Nous analysons aussi la performance des modèles VAR mensuelle d'un portefeuille de titres en désagrégeant ses rendements, c'est-à-dire en utilisant l'information contenue dans les rendements quotidiens d'une part et dans les rendements des actifs qui composent le portefeuille d'autre part. Busse (001 étudie l'effet de la fréquence de calcul des rendements sur l'évaluation du risque et de la performance des gestionnaires de portefeuille. Ses résultats montrent que les mesures de risque mensuelles évaluées avec des rendements mensuels peuvent être biaisées par l'autocorrélation observée dans les rendements quotidiens. Les résultats obtenus avec des rendements quotidiens plutôt que mensuels font disparaître l'effet calendrier lié à la gestion de portefeuille, un effet qui suggère que les gestionnaires ayant peu performés à la mi-année auraient tendance à prendre significativement plus de risque au cours des six derniers mois de l'année que les gestionnaires ayant performé. Ne pas tenir compte de l'autocorrélation présente dans les rendements quotidiens peut ainsi biaiser l'évaluation du risque mesurée mensuellement et ainsi affecter les conclusions d'une étude (Busse, 001. Il est de plus documenté dans la littérature financière que l'autocorrélation est à la fois présente dans les rendements quotidiens et les rendements quotidiens au carré des titres financiers (Ding Granger et Engle, 1993. Cette autocorrélation des rendements calculés sur une fréquence élevée (ex: quotidienne peut s'expliquer par la non synchronisation des investissements et l'assimilation graduelle de l'information par les marchés financiers. Alors que l'autocorrélation des rendements peut être prise en compte par des modèles autorégressifs de type ARMA (Lo et MacKinlay, 1990, l'autocorrélation des rendements au carré est adéquatement modélisée par des processus de type GARCH, qui ont été introduits par Engle (198 et généralisés par Bollerslev (1986. À l'instar de Alexander et Leigh (1997 et Hull et White (1998, nous étudions la performance de certains modèles VAR de type conditionnel, soit en tenant compte de l'autocorrélation des rendements observée dans les premiers et les seconds moments [modèles de type ARMA-GARCH]. L'une des approches les plus utilisées pour évaluer la VAR s'appuie sur des simulations de Monte Carlo, ce qui implique de générer des variables financières ou des rendements financiers en supposant des distributions théoriques. Il est d'ailleurs fréquent de caractériser les distributions de rendements des titres financiers par des distributions normales multivariées, avec une évaluation conditionnelle des deux premiers moments. Alexander et Leigh (1997 évaluent des VARs pour des taux de change et des indices boursiers par simulations de Monte Carlo en s'appuyant sur des modèles inconditionnels, conditionnels de type GARCH ou conditionnels à la RiskMetrics (c'est-à-dire avec des pondérations exponentielles des rendements. Pour une synthèse des modèles GARCH, voir Bollerslev, Engle et Nelson (1994 et Bollerslev, Chou et Kroner (199. 3

Leurs résultats montrent que les modèles inconditionnels et de type GARCH donnent de meilleurs résultats que ceux de RiskMetrics. À l'opposé, en appliquant plusieurs modèles GARCH multivariés, les résultats de Ferreira et Lopez (004 indiquent que les meilleurs modèles VAR sont généralement ceux dont les seconds moments sont obtenus directement par des pondérations exponentielles. Puisqu'il n'existe pas de consensus sur les meilleurs modèles d'évaluation de la VAR obtenue par simulations de Monte Carlo, nous comparons dans cette étude les résultats pour différentes modélisations des premiers et des seconds moments. Bien que théoriquement attrayante, l'évaluation de la VAR par simulations de Monte Carlo fait souvent l'objet de critiques. Les sentiers sont simulés sur la base de scénarios qui supposent une distribution théorique, généralement normale, ce qui ne semble pas correspondre à la distribution des rendements historiques. À ce titre, l'asymétrie ainsi que les larges queues des distributions se traduisent par une sous évaluation de la VAR qui suppose une distribution normale. De plus, lorsque les VARs par simulations de Monte Carlo s'appuient sur des corrélations historiques, on ne tient pas compte que ces dernières augmentent durant les périodes de crises financières, ce qui biaise aussi la VAR à la baisse. Enfin, les exigences en termes de calculs impliquent que la période d'évaluation des VARs par simulations de Monte Carlo peut s'avérer particulièrement longue. La méthodologie VAR par simulations historiques tente de répondre à l'ensemble de ces critiques. Cette méthode suppose en fait que la distribution des rendements historiques, qui intègre l'asymétrie et les larges queues de distribution, représente bien la distribution anticipée des rendements. Lorsqu'appliquée directement, la VAR par simulation historique suppose toutefois que les rendements sont identiquement et indépendamment distribués, ce qui n'est pas corroboré par les études sur les modèles GARCH (Chou, 1988; Ding, Granger et Engle, 1993. Dans cet esprit, Hull et White (1998 ainsi que Barone-Adesi, Giannopoulos et Vosper (1999, 000 ont proposé des modèles VAR par simulations historiques filtrées qui consistent à générer des pseudo-rendements à partir des rendements historiques tout en tenant compte de l'autocorrélation observée dans les deux premiers moments de cette distribution. Plutôt que s'appuyer explicitement sur des modèles de corrélations, les modèles VAR par simulations historiques filtrées intègrent les co-mouvements plus prononcés des rendements financiers qui sont observés lors des crises financières. Les résultats de Hull et White (1998 montrent que les modèles VAR par simulations historiques filtrées semblent plus performants que leurs équivalents non filtrés. Les modèles VAR par simulations historiques filtrées proposés par Barone-Adesi, Giannopoulos et Vosper (1999, 000 permettent en plus de tenir compte de l'information contenue dans les rendements calculés sur une fréquence plus élevée que l'horizon VAR. Les résultats de Chrétien et Coggins (006 montrent que les modèles VAR mensuelle par simulations historiques avec un filtre quotidien (modèles GARCH et GJR-GARCH donnent de meilleurs résultats en termes de dépassements VAR que les méthodes inconditionnelles ou celles qui s'appuient sur des rendements mensuels. Ces résultats révèlent notamment que l'utilisation de données quotidiennes plutôt que mensuelles serait plus adéquate pour évaluer une VAR mensuelle, ce qui corrobore les conclusions de Busse (001. La présente étude vérifie la performance de modèles VAR mensuelle du point de vue d'un investisseur américain dont le portefeuille est équipondéré entre des indices boursiers américain (S&P500, canadien (S&P\TSX300 et européen (DAX. Nous analysons ainsi la capacité de modèles VAR mensuelle à respecter les dépassements VAR attendus lorsqu'ils sont notamment évalués avec des rendements quotidiens qui sont désagrégés en sous portefeuilles. Plus spécifiquement, certaines VARs mensuelles sont évaluées par simulations de Monte Carlo dont les espérances et les variances conditionnelles des rendements désagrégés sont réévaluées quotidiennement à l'aide de modèles de type ARMA-GARCH ou RiskMetrics. Afin de tenir compte de l'asymétrie et des larges queues observées dans les distributions de rendements, nous évaluons aussi les VARs mensuelles par des simulations historiques filtrées quotidiennement par l'entremise de modèles multivariés ARMA-GARCH ou RiskMetrics. 4

L'évaluation de la distribution conditionnelle des rendements au quotidien, pour chaque sous portefeuille, devrait ainsi mener à une meilleure estimation de la VAR puisque l'information tirée des séries de rendements historiques est davantage exploitée. Afin de vérifier si les différents modèles VAR mensuelle respectent les dépassements VAR attendus, nous appliquons les tests de couverture inconditionnelle, d'indépendance et de couverture conditionnelle de Christoffersen (1998. Notons que les résultats de nos tests d'indépendance sur les dépassements VAR rejettent tous les modèles VAR de type inconditionnel à un niveau de confiance de 90%. Les tests de couverture conditionnelle nous permettent de rejeter (à 95 % tous les modèles VAR, sauf celui obtenu par simulations historiques avec un filtre quotidien MA-GJRGARCH et dont les rendements sont désagrégés, c'est-à-dire lorsque nous évaluons la distribution conditionnelle de chaque sous portefeuille. Enfin, notons que les modèles VAR dont les seconds moments sont estimés avec les pondérations exponentielles de RiskMetrics sont moins performants que les autres modèles conditionnels dans tous les cas. La prochaine section présente les modèles VAR mensuelle analysés dans cette étude. Alors que la section 3 décrit les données, la section 4 discute des résultats empiriques dont ceux liés aux tests proposés par Christoffersen (1998. La dernière section conclut. Les modèles VAR mensuelle Cette section présente les principaux modèles VAR mensuelle analysés dans cette étude. La première section traite des modèles VAR par simulations de Monte Carlo alors que la deuxième section présente les modèles VAR par simulations historiques filtrées. Enfin, la troisième section discute de l'application multivariée des VARs mensuelles par simulations de Monte Carlo et historiques filtrées lorsque les rendements sont quotidiens et désagrégés par sous portefeuilles. Les modèles VAR mensuelle par simulations de Monte Carlo des rendements quotidiens agrégés Les simulations de Monte Carlo sous jacentes à nos calculs de VAR mensuelle supposent que les rendements quotidiens d'un portefeuille (agrégés suivent une distribution normale conditionnelle. Les premiers moments sont estimés à l'aide d'un modèle MA(1 3 alors que les seconds moments s'appuient sur un modèle GARCH, GJRGARCH ou RiskMetrics. De façon similaire à Christoffersen (003, nous décrivons le processus de diffusion d'un rendement au jour t [ ] de la façon suivante: R t = c +φ ( σ j, t 1η t 1 + ηtσ j, t R t, pour t = 1,, T. (1 où η t ~ N(0,1. Le paramètre c représente la constante dans l'équation des rendements quotidiens alors que le paramètre φ mesure la dépendance temporelle des rendements quotidiens. La variable σ j, t est l'écart type des termes d'erreur qui est estimé à l'aide de l'une des paramétrisations j, soit le modèle RiskMetrics (ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. 3 Nous avons comparé et testé différentes applications de modèles ARMA à l'aide notamment des tests de Ljung et Box (1979. Nos résultats qui ne sont pas présentés dans cette étude montrent que le modèle MA(1 s'est avéré le plus performant. 5

Dans le premier cas, le modèle de variance conditionnelle avec des pondérations exponentielles de RiskMetrics est décrit à la journée t par une fonction du rendement au carré passé et de la variance passée (à t-1, soit: σ ExpRM, t = ( 1 λ Rt 1 + λσ ExpRM, t 1, ( où le paramètre λ doit être inférieur à un. Plus ce paramètre s éloigne de la valeur unitaire, plus forte sera l incidence du premier rendement passé mais plus rapidement va décroître l influence des rendements au carré passés sur la variance à la prochaine journée t 4. Dans cette étude, nous posons que λ =0,94, soit l'une des valeurs proposées pour l'évaluation des seconds moments par RiskMetrics. Dans le deuxième cas, le modèle de variance conditionnelle GARCH(1,1 s'écrit comme suit (Engle, 198 ; Bollerslev, 1986: σ ω + α σ η βσ, (3 GARCH, t = ( p, t 1 p, t 1 GARCH, t 1 + GARCH, t 1 où ω est le paramètre lié à la variance inconditionnelle, α correspond au paramètre lié à l effet ARCH et mesure le lien de dépendance de la variance avec le terme d erreur passé au carré [ ( σ p, t 1η p, t 1 GARCH, t 1 ] et β représente le paramètre lié à l effet GARCH, c est-à-dire qu il mesure la persistance de l effet des termes d erreur sur la variance conditionnelle (Chou, 1988. Dans le troisième cas, la modélisation GJRGARCH(1,1 introduit l'effet asymétrique des termes d'erreur positifs et négatifs sur la variance conditionnelle (Glosten, Jagannathan et Runkle, 1993 ; Engle et Ng, 1993. Ce modèle de variance conditionnelle peut s'écrire comme suit : σ GJR, t = ω + α ( σ p, t 1η p, t 1 GJR, t 1 + βσ GJR, t 1 + γi GJR, t 1( σ p, t 1η p, t 1 GJR, t 1, (4 où le paramètre γ mesure l effet asymétrique des termes d erreur négatifs puisque I est une variable binaire qui prend la valeur un si le terme d erreur est négatif et zéro autrement. Cet effet asymétrique peut être justifié par l'accroissement de l'effet de levier (ratio d'endettement d'une entreprise suite à une diminution de sa valeur boursière, ce qui devrait se traduire par une augmentation de son risque tel que mesuré par sa variance. Pour chaque modèle j de variance conditionnelle, nous générons des variables aléatoires [ ( η i, T + 1 ] à partir d'une distribution normale uniformisée, N(0,1, pour i = 1,, MC où MC correspond au nombre de sentiers simulés. Le rendement simulé pour le premier jour (à T+1 du sentier i correspond alors à : ( R ji, T + 1 = c + φ ( σ j, Tη j, T + η ji, T + 1σ j, T + 1 (. (5 Ce premier rendement simulé pour chaque sentier i est ainsi une fonction du dernier terme d'erreur [ ( σ j, Tη j, T ] de la régression représentée par (1 et du produit de la variable aléatoire et de l'écart type tel qu'évalué par un des modèles de variance conditionnelle j (pour j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. Le i ème sentier des rendements quotidiens est alors obtenu en générant autant de variables aléatoires N(0,1 qu'il y a de jours ouvrables dans le mois (M et en réévaluant à chaque jour les espérances et les variances conditionnelles à l'aide d'un des modèles décrits ci-haut. 4 Notons que dans le cas de nos modèles VAR mensuelle à la RiskMetrics, nous supposons que l'espérance de rendement du portefeuille est nulle [ c = φ = 0 ]. Pour plus de détails sur la variance conditionnelle proposée par RiskMetrics, nous vous référons à la documentation technique de JP Morgan sur RiskMetrics. 6

( En agrégeant les rendements quotidiens de façon à obtenir un rendement mensuel [ R ji, T + 1:. T + M ] pour chaque sentier i, la VAR mensuelle peut alors être mesurée en tirant le pseudo-rendement mensuel qui correspond à la probabilité de dépassement VAR désirée [p], soit : P ( MC ( R ji, T + 1: T + M, VAR j, T 1: T + M = Percentile 100 i= 1 + p, (6 pour j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. Chaque mois, nous évaluons ainsi trois VARs mensuelles par simulations de Monte Carlo, selon le modèle de rendements quotidiens décrit en (1. Dans la section empirique, nous nommons respectivement ces modèles comme suit: SMCARM, SMCAGARCH, SMCAGJRGARCH. La prochaine section discute des VARs mensuelles évaluées par des simulations historiques filtrées. Les modèles VAR mensuelle par simulations historiques avec un filtre des rendements quotidiens agrégés Puisque la plupart des rendements des titres financiers ne peuvent être caractérisés par une distribution théorique, plusieurs institutions financières utilisent la distribution empirique pour calculer leur VAR. Cette approche a toutefois le défaut de supposer que les rendements sont indépendants temporellement ce qui n'est généralement pas appuyé par la littérature financière empirique (Lo et MacKinlay, 1990; Ding Granger et Engle, 1993. Afin de remédier au problème de dépendance sérielle des rendements, Barone- Adesi, Giannopoulos et Vosper (1999, 000 ont proposé une méthode d'évaluation VAR par simulations historiques filtrées qui contrôle pour l'autocorrélation observée dans les deux premiers moments de la distribution. De plus, cette méthodologie VAR incorpore implicitement l'asymétrie et les larges queues de distributions qui caractérisent aussi ces distributions de rendements. Nous évaluons certaines VARs mensuelles en appliquant la méthodologie de Barone-Adesi, Giannopoulos et Vosper (1999, 000 avec des rendements quotidiens historiques. De façon similaire à nos simulations de Monte Carlo, le processus de diffusion des rendements à la journée t peut s'écrire de la façon suivante : R t c +φ ε j, t 1 + ε j, t =, pour t = 1,, T. (7 où,, t ε j t ~ N (0, σ j. À l'instar de l'équation (1, la variable σ j, t fait référence à l'écart type des termes d'erreur estimée par le j ème modèle, soit j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH 5. Nous relativisons ensuite le terme d'erreur de chaque jour t, obtenu par la régression des rendements quotidiens sur une constante et un terme MA(1, par l'écart type mesuré à la période correspondante. Ces termes d'erreur uniformisés ] se calculent ainsi : [ z j, t z j, t ε = σ j, t j, t, (8 pour j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH et t = 1,, T. 5 Rappelons que dans le cas de la VAR mensuelle avec des variances conditionnelles à la RiskMetrics, l'espérance de rendement du portefeuille est nulle [ c = φ = 0 ]. 7

Ainsi, plutôt que générer des variables aléatoires à partir d'une distribution théorique, nous tirons aléatoirement avec remise des parmi les T termes d'erreur uniformisés. Bien que les soit z j, t théoriquement indépendants et identiquement distribués, aucune hypothèse n'est explicitement émise quant à l'asymétrie ou l'épaisseur des queues de sa distribution. Nous supposons simplement que la distribution empirique de la composante aléatoire uniformisée du modèle décrit en (7 est représentative de sa distribution anticipée. Le rendement simulé pour le premier jour (à T+1 de chaque sentier i (pour i = 1,, SH 6 est alors calculé de la façon suivante : R ji, T + 1 = c + φ ε j, T + z ji, T + 1σ j, T + 1 z j, t. (9 Ce premier rendement simulé pour chaque sentier i [à T+1] est ainsi une fonction du dernier terme d'erreur [ ( ε j,t ] de la régression (7 et du produit du terme d'erreur uniformisé pigé à T+1 et de l'écart type j évalué à T+1, pour j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. La simulation d'un sentier de rendements quotidiens pour le mois est alors obtenue en tirant aléatoirement un z j, t pour chacun des M jours ouvrables du mois. À chaque jour et pour chaque sentier, les espérances et les variances conditionnelles sont réévaluées en tenant compte des termes d'erreur générés par le tirage du z j, t à la période précédente. En calculant le rendement mensuel [ R ji, T + 1: T + M ] de chaque sentier i à partir des rendements quotidiens générés, la VAR mensuelle par simulations historiques filtrées peut alors être décrite par la formulation suivante : p SH ( R ji, T + 1: T + M, VAR j, T 1: T + M = Percentile 100 i= 1 + p, (10 pour j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. Nous évaluons donc mensuellement trois VARs par simulations historiques filtrées avec des rendements agrégés, c'est-à-dire en utilisant les séries de rendements historiques d'un portefeuille global. Dans la suite, ces modèles sont respectivement identifiés par: SHFARM, SHFAGARCH, SHFAGJRGARCH. Les simulations décrites jusqu'à maintenant consistent à générer les rendements d'un portefeuille agrégés et non les rendements désagrégés pour chacun des actifs qui composent le portefeuille. Cette approche multivariée est d'ailleurs discutée à la prochaine section. Les modèles VAR mensuelle par simulations de Monte Carlo et historiques filtrées avec des rendements quotidiens désagrégés L'estimation de tous les modèles VAR mensuelle présentés ci-dessus s'appuie sur des rendements agrégés, ce qui implique que les espérances et les variances conditionnelles sont évaluées chaque mois par un système d'équations univariées. Dans le cas d'un portefeuille composé de plusieurs actifs, les simulations de Monte Carlo ou historiques filtrées peuvent s'effectuer sur les rendements quotidiens de chaque actif du portefeuille en appliquant dans un contexte multivarié l'une des approches décrite précédemment. En estimant les paramètres des modèles pour chacun des actifs d'un portefeuille, la prise en compte d'informations plus détaillées devrait mener à des modèles VAR mensuelle plus performants que lorsque l'information est agrégée via des rendements globaux. 6 Notons que dans cette étude, le nombre de simulations de Monte Carlo ou historiques filtrées est de 1000 (MC = SH = 1000. 8

Pour les simulations de Monte Carlo multivariées, les VAR mensuelles sont obtenues en estimant d'abord l'équation (1 pour chacun des N actifs du portefeuille. Ensuite, plutôt que générer une variable aléatoire pour chacune des journées ouvrables d'un sentier, il suffit de générer N variables aléatoires pour chaque processus. Les corrélations entre les N variables aléatoires peuvent être prises en compte à l'aide de la décomposition de Cholesky de la matrice des covariances 7. Les pseudo-rendements quotidiens du portefeuille global sont ensuite calculés en appliquant les pondérations des N titres du portefeuille à chaque jour et pour chacun des MC sentiers générés. Une fois les rendements quotidiens agrégés en rendements mensuels, la VAR mensuelle est obtenue en tirant de la distribution l'observation qui correspond à la probabilité de dépassement VAR désirée. Dans le cas des simulations historiques, le passage du contexte univarié à multivarié est similaire. L'équation (7 est estimée pour chacun des actifs du portefeuille. Chacune des séries de termes d'erreur est alors uniformisée par la série d'écarts types, selon le modèle de variance conditionnelle estimé, soit pour j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. La simulation historique implique ensuite de tirer aléatoirement une date t de manière à regrouper tous les termes d'erreur des actifs associés à cette date. Le regroupement des termes d'erreur pour chaque jour permet de tenir compte des co-mouvements observés entre les actifs. Pour chaque date tirée, nous calculons les pseudo-rendements quotidiens de chaque actif. Ces pseudorendements quotidiens sont ensuite agrégés en tenant compte de leur pondération respective à chaque jour et à l'intérieur de chaque sentier. La VAR mensuelle est alors mesurée en tirant des SH sentiers simulés, le rendement mensuel associé à la probabilité de dépassements VAR souhaitée. Nous étudions ainsi trois modèles VAR mensuelle par simulations de Monte Carlo avec des rendements désagrégés à l'intérieure d'un système d'équations trivariés, soit un portefeuille d'actifs décomposés en trois indices boursiers internationaux. Les trois évaluations VAR mensuelle se distinguent alors selon le modèle de variances conditionnelles appliquées, soit j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. Dans le même esprit, nous avons aussi trois modèles VAR mensuelle par simulations historiques filtrées avec des rendements désagrégés selon les modèles de variances conditionnelles des trois indices boursiers, soit j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. Dans la suite, ces modèles sont respectivement identifiés comme suit: SMCDRM, SMCDGARCH, SMCDGJRGARCH, SHFDRM, SHFDGARCH, SHFDGJRGARCH. 7 Dans cette étude, les corrélations sont supposées constantes alors que les variances conditionnelles sont estimées par l'un des j modèles, soit pour j = ExpRM, GARCH ou GJRGARCH. 9

Les modèles VAR mensuelle de type inconditionnel 8 Afin de comparer la performance des modèles VAR mensuelle de type conditionnel, décrits ci-dessus, à des modèles plus conventionnels, nous évaluons à titre de référence quatre VARs mensuelles dans un contexte inconditionnel. Le premier est un modèle VAR paramétrique qui calcule la VAR analytiquement à partir des deux premiers moments inconditionnels de la distribution de rendements mensuels des cinq dernières années [PARincondM, dans la suite]. En utilisant le même échantillon de données historiques, le second modèle VAR de type inconditionnel est une simulation historique des rendements mensuels, soit sans filtre [SHincondM, dans la suite]. Le troisième modèle VAR de type inconditionnel consiste à tirer aléatoirement des rendements quotidiens en supposant qu'ils sont i.i.d. et à générer 1000 sentiers mensuels. En calculant ensuite les rendements mensuels, la VAR correspond alors au rendement mensuel associé à la probabilité de dépassement VAR attendue [SHincondQ, dans la suite]. Enfin, le dernier modèle VAR de type inconditionnel s'appuie sur des simulations de Monte Carlo de rendements quotidiens en utilisant les deux premiers moments inconditionnels de la distribution des cinq dernières années. En générant une distribution de 1000 rendements mensuels, nous évaluons alors la VAR mensuelle en tirant l'observation qui correspond au niveau de confiance désiré [SMCincondQ, dans la suite]. La prochaine section traite des données financières utilisées dans la présente étude. Les données Nous étudions 16 modèles VAR mensuelle estimés à la fois à l aide des rendements mensuels et quotidiens R PA, t R PA, T + 1: T + M du portefeuille PA, qui représente un portefeuille équipondéré entre trois indices boursiers. Nos rendements mensuels du S&P500 (américain, DAX (allemand et S&P/TSX (canadien couvrent la période d octobre 1959 à novembre 006, incluant 566 données pour chacune des séries. Les séries de rendements quotidiens pour les trois mêmes indices boursiers débutent le octobre 1959 et se terminent le 30 novembre 006, pour un total de 1 305 rendements. Les valeurs tant quotidiennes que mensuelles des indices allemand et canadien ont été converties en devises américaines en employant le taux de change approprié. Le tableau 1 constitue le sommaire statistique des rendements des 3 indices boursiers pour la fréquence quotidienne ou mensuelle. Les rendements moyens tant quotidiens que mensuels des divers indices sont relativement similaires, alors que les marchés allemand et canadien présentent cependant un niveau de risque, mesuré en termes d écart type, plus élevé. Les rendements négatifs extrêmes observés sont attribuables à divers chocs sur les marchés financiers, dont le crash de 1987 où des rendements quotidiens de -,90%, -9,86% et de -15.81% ont été enregistrés respectivement pour le S&P500, le DAX et le S&P/TSX 9. Le tableau 1 présente aussi les résultats des tests de Jarque-Bera sur la normalité des distributions de rendements et des tests de Ljung-Box sur l'autocorrélation des rendements (Q-test et des rendements au carré (Q²-test. D'abord, les tests de Jarque-Bera nous permettent de rejeter la normalité à un niveau de confiance de 99% (à 99%, dans la suite pour l ensemble des séries tant quotidiennes que mensuelles. Ensuite, nous rejetons à 99% l absence d autocorrélation dans les premiers moments quotidiens et concluons que ces rendements ne sont pas indépendants temporellement. 8 Ces modèles inconditionnels servent de références par rapport aux résultats obtenus avec nos modèles plus sophistiqués. 9 Pour l'estimation des modèles VAR mensuelle, 9 des 1305 observations quotidiennes ont été contrôlées afin d'éviter que les paramètres de risque soient exagérément affectés par ces données dont la probabilité d occurrence sur l'horizon VAR est jugée très faible. 10

Dans le cas des rendements mensuels, nous ne rejetons pas l hypothèse nulle d'absence d autocorrélation. Cependant, la dépendance temporelle des rendements quotidiens et mensuels au carré est confirmée par les Q²-tests pour l'ensemble des données. Ces résultats préliminaires suggèrent que des modèles VAR qui tiennent compte de l'autocorrélation ainsi que de l'asymétrie et de l'aplatissement des distributions de rendements devraient s'avérer les plus performants. La section suivante présente nos résultats empiriques. Tableau 1 Sommaire statistique des rendements des indices boursiers Les données mensuelles des indices boursiers S&P500 (américain, DAX (allemand et S&P/TSX (canadien couvrent la période d octobre 1959 à novembre 006, incluant 566 données pour chaque série. Les séries de données quotidiennes pour les trois indices boursiers débutent le octobre 1959 et se termine le 30 novembre 006, pour un total de 1 305 rendements. Les observations mensuelles et quotidiennes des indices allemand et canadien sont présentées en devises américaines. Pour chacune de ces séries de rendements, le tableau 1 ci-dessous indique la moyenne, l écart type, le minimum, le maximum, les statistiques des tests de Jarque-Bera ainsi que les statistiques des tests sur l autocorrélation des rendements (Q-tests et des rendements au carré (Q-tests pour 5 rendements passés (k=5. Les symboles * et ** indiquent que ces statistiques sont significatives à des niveaux confiance de 95% et 99% respectivement. Sommaire des principales statistiques Indices Moy Écart type Max Min Test de Jarque-Bera Q-Test (k=5 Q²-Test (k=5 Mensuels S&P 500 0,566% 4,% 15,104% -4,543% 198,648** 6,17 14,983* DAX usd 0,616% 6,15% 17,881% -30,085% 10,468** 3,513 54,41** S&P/TSX usd 0,500% 5,336% 15,85% -3,010% 36,041** 6,866 4,346** Quotidiens S&P 500 0,06% 0,909% 8,709% -,900% 74168,184** 76,01** 830,891** DAX usd 0,03% 1,157% 1,004% -13,706% 33811,490** 9,916** 9,916** S&P/TSX usd 0,04% 0,974% 9,116% -15,810% 75531,737** 110,606** 153,99** Les résultats empiriques Cette section présente un sommaire statistique et les tests formels menant à l'analyse de la performance des modèles VAR mensuelle décrits précédemment. Plus spécifiquement, la section qui suit discute des principales statistiques liées aux évaluations VARs sur l'ensemble de notre échantillon, soit 506 VARs pour chaque modèle. Les deux autres sections traitent de la performance des différents modèles VAR en analysant formellement leur aptitude à respecter les dépassements VAR attendus, c'est-à-dire le niveau de confiance sous-jacent à nos évaluations de la VAR. Alors que la seconde partie traite des résultats liés aux tests inconditionnels de couverture et d'indépendance des dépassements VAR, la troisième section analyse les tests conditionnels de couverture de (Christoffersen, 1998 pour chacun des modèles VAR mensuelle. Les principales statistiques des modèles VAR mensuelle Le tableau présente le sommaire statistique des VARs mensuelles obtenues. Pour chacun des 16 modèles, nous évaluons 506 VARs en utilisant une fenêtre mobile qui inclut cinq années de rendements historiques. La moyenne VAR la plus élevée est obtenue dans le cas du modèle SHincondM, alors que les plus faibles moyennes sont observées par les deux modèles inconditionnels employant des données quotidiennes. De façon générale, les moyennes des modèles conditionnels par SHF sont plus faibles (plus conservatrices que celles des modèles conditionnels issus des SMC. Ce constat est justifié par le fait que 11

la SMC s appuie sur distribution théorique supposée normale alors que les modèles de SHF reposent sur des distributions empiriques qui incorporent l asymétrie et les larges queues de distribution. Tableau Sommaire statistique des VARs mensuelles de type conditionnel et inconditionnel Les séries de VARs mensuelles calculées à partir de données mensuelles débutent en octobre 1964 et se terminent en novembre 006, soit un maximum de 506 VARs pour chacun des modèles. Pour les séries de VARs mensuelles calculées à partir des données quotidiennes, elles débutent en octobre 1964 et se terminent en novembre 006, soit un maximum de 506 VARs. Le tableau ci-dessous présente la moyenne, la médiane, l écart type ainsi que le maximum et le minimum des 506 VARs estimées pour chaque modèle pour le portefeuille équipondéré PA. Pour une description des modèles de variances conditionnelles, voir la section. Pour une description des données, se référer au tableau 1. Sommaire statistique des VARs liées au portefeuille A (PA pour les probabilités de pertes inférieures à la VAR de 1%. Modèles VAR : PA Moy Médiane Écart type Max Min Pr R < VAR = 1% ( p p Modèles inconditionnels Données mensuelles SHincondM -9,568% -9,11% 3,09% -4,071% -15,98% PARincondM -8,304% -7,85%,110% -4,689% -14,338% Données quotidiennes SHincondQ -6,654% -5,89%,33% -3,71% -13,545% SMCincondQ -6,565% -5,86%,95% -3,48% -14,176% Modèles conditionnels Données quotidiennes SHFAGARCH -8,38% -7,39% 3,66% -3,83% -5,684% SHFAGJRGARCH -8,977% -7,97% 3,77% -3,637% -8,497% SHFARM -7,301% -6,34% 3,579% -,699% -7,890% SMCAGARCH -7,513% -6,73%,849% -3,836% -3,531% SMCAGJRGARCH -8,771% -7,9% 3,609% -3,773% -8,095% SMCARM -7,18% -6,30% 3,181% -,693% -1,51% SHFDGARCH -7,635% -6,88%,794% -3,480% -0,079% SHFDGJRGARCH -8,447% -7,7% 3,057% -3,987% -5,347% SHFDRM -7,45% -6,56% 3,01% -,578% -5,56% SMCDGARCH -6,84% -6,3%,485% -3,401% -19,418% SMCDGJRGARCH -8,158% -7,45%,89% -3,484% -,680% SMCDRM -7,481% -6,67% 3,087% -3,4% -1,879% Hormis les modèles VAR avec variance conditionnelle à la RiskMetrics, les moyennes et les médianes observées pour les VARs obtenues avec des rendements agrégés tendent à être inférieures à celles calculées avec des rendements désagrégés, c'est-à-dire à partir des rendements de chaque sous portefeuille. Le même constat peut être fait en ce qui a trait aux valeurs minimales obtenues, qui semblent être plus faibles sur une base agrégée. Qui plus est, les quatre modèles inconditionnels présentent des minimums substantiellement plus élevés comparativement à leur pair conditionnel, suggérant que les modèles inconditionnels ont une moins grande capacité à s adapter rapidement à l arrivée de nouvelles informations. Ce dernier constat est appuyé par des niveaux de volatilité relativement plus faibles pour les modèles inconditionnels, les écarts types les plus faibles étant respectivement relevés pour les modèles 1

PARincondM, SMCincondQ et SHincondM. Dans tous les cas, les modèles par simulations historiques filtrées sont relativement plus volatiles que les modèles VARs estimés par émulations de Monte Carlo ce qui encore une fois peut être attribuable aux distributions supposées normales dans le dernier cas. Enfin, lorsque les VARs par simulations de Monte Carlo et simulations historiques filtrées sont calculées avec des rendements désagrégés plutôt qu'agrégés, elles apparaissent moins volatiles. Ceci suggère que la modélisation des rendements des actifs d'un portefeuille peut permettre de capter un supplément d information qui serait négligé lorsque les rendements sont agrégés. Les tests inconditionnels de couverture et d'indépendance des dépassements VAR Pour chaque modèle VAR mensuelle, les résultats des tests inconditionnels de couverture sont présentés au tableau 3. Le test inconditionnel de couverture vérifie si la proportion de dépassements VAR correspond à celui attendu, soit le niveau de confiance de 1% analysé dans cette étude. Chaque test appliqué à un modèle VAR porte ainsi sur l'évaluation de 506 VARs mensuelles du portefeuille d'actions [PA], soit un portefeuille libellé en dollar USD et qui est équipondéré entre l'indice S&PTSX (canadien, l'indice S&P500 (américain et l'indice DAX (allemand. Nos résultats montrent que la proportion de dépassements VAR observée est toujours plus élevée que la proportion attendue (1%, pour tous les modèles VAR mensuelle. Ceci suggère que les modèles VAR étudiés sous estiment le risque du portefeuille PA. Par exemple, la proportion observée des modèles VAR mensuelle de type inconditionnel varie entre,60% et 5,34%. Nos tests inconditionnels de couverture rejettent à un niveau de confiance de 99% (à 99% que la proportion de dépassements VAR observée égale 1% pour les modèles de type inconditionnel. Parmi les modèles VAR de type conditionnel, ceux qui s'avèrent les moins performants en termes de proportions de dépassements observée sont évalués avec les variances conditionnelles de RiskMetrics. Ces modèles montrent des proportions de dépassements qui varient entre 4,15% et 5,34%. À l'instar des modèles de type inconditionnel, on rejette à 99% que les modèles VAR avec variances conditionnelles de RiskMetrics obtiennent une proportion de dépassements VAR égale à 1%. À un niveau de confiance de 99%, nos tests inconditionnels de couverture montrent en fait que tous les modèles VAR mensuelles obtiennent des proportions de dépassements VAR observées significativement plus élevées que celle attendue, sauf pour le modèle SHFDGJRGARCH qui correspond au modèle VAR par simulations historiques filtrées avec une variance conditionnelle GJRGARCH, estimé avec des rendements quotidiens désagrégés. Ce modèle est non seulement le plus performant mais il peut aussi être considéré comme le plus sophistiqué. D'abord, puisqu'il s'appuie sur la distribution empirique des termes d'erreur uniformisés, il intègre l'asymétrie et les larges queues de distributions observées dans les séries de rendements historiques, ce qui n'est pas le cas de nos modèles VAR par simulations de Monte Carlo. Contrairement au modèle VAR de type inconditionnel, ce modèle prend en compte l'autocorrélation observée dans les premiers et les seconds moments des rendements quotidiens. En fait, la variance conditionnelle GJRGARCH sous jacente au modèle SHFDGJRGARCH est plus générale que la variance GARCH ou celle de RiskMetrics puisqu'elle est une fonction notamment de l'effet asymétrique des termes d'erreur positifs et négatifs. Il semble que cet effet asymétrique soit non négligeable pour évaluer adéquatement la VAR puisque parmi tous les groupes de modèles VAR de type conditionnel, ceux qui sont des fonctions de la variance GJRGARCH semblent les plus performants. Enfin, notons que l'utilisation des rendements désagrégés plutôt qu'agrégés peut aussi expliquer la bonne performance du modèle SHFDGJRGARCH. 13

Tableau 3 Tests inconditionnels de couverture et d indépendance des dépassements des VARs mensuelles Ce tableau présente les résultats des tests inconditionnels de couverture et d indépendance des dépassements VARs proposés par Christoffersen (1998 pour les différents modèles VAR. Dans un premier temps, nous présentons la moyenne des 506 VARs estimées par chacun des modèles. Nous présentons la proportion de cas pour lesquels le rendement réalisé par le portefeuille A (PA s'est avéré inférieur à la VAR estimée pour chacun des modèles à l étude et ce pour une probabilité de pertes inférieure à la VAR de 1%. Cette proportion représente le nombre de dépassements observés sur le nombre total de VARs estimées par chacun des modèles. Nous indiquons aussi le ratio de vraisemblance lié au test inconditionnel de couverture pour chacun des modèles VAR. Pour le test d indépendance des dépassements, les notations N10 et N11 indiquent respectivement le nombre de cas sans dépassement et avec dépassement suite à un dépassement VAR. Dans le même esprit, les notations N00 et N01 indiquent respectivement le nombre de cas sans dépassement et avec dépassement suite à une situation sans dépassement. Nous présentons le nombre de cas associés à chacune de ces situations. Nous présentons la proportion de dépassements qui est obtenue en divisant le nombre de dépassements VAR suite un dépassement (N11, par la somme des dépassements (N10+N11. Nous indiquons aussi le ratio de vraisemblance lié à l indépendance des dépassements VAR, c est-à-dire selon la situation observée précédemment. Les symboles * et ** indiquent que les tests sont significatifs à des niveaux confiance de 95% et 99% respectivement. Pour une description des modèles VAR, voir la section. Pour une description des données, se référer au tableau 1. Résultats des tests inconditionnels de couverture des VARs mensuelles pour le portefeuille A (PA et des probabilités de pertes inférieures à la VAR de 1%. Modèles VAR : PA Pr R < VAR = 1% ( p p Proportion de dépassement. (Nbr dépas. / nbr VARs Ratio de vrais. Proportion de dépassement ( N11 ( N10 + N11 Ratio de vrais. Modèles inconditionnels Données mensuelles SHincondM,57% 8,780** 15,385% 4,337* PARincondM 3,16% 15,00** 1,500%,870 Données quotidiennes SHincondQ 4,94% 40,800** 0,000% 7,830** SMCincondQ 5,34% 47,517**,% 9,869** Modèles conditionnels Données quotidiennes SHFAGARCH,96% 1,919** 6,667% 0,61 SHFAGJRGARCH,77% 10,776** 7,143% 0,78 SHFARM 4,15% 8,405** 4,76% 0,104 SMCAGARCH 4,15% 8,405** 4,76% 0,104 SMCAGJRGARCH,57% 8,780** 7,69% 0,983 SMCARM 5,34% 47,517** 0,000% 3,16 SHFDGARCH 3,16% 15,00** 6,50% 0,469 SHFDGJRGARCH,17% 5,74* 0,000% 0,534 SHFDRM 4,35% 31,365** 4,545% 0,091 SMCDGARCH 4,94% 40,800** 8,000% 0,547 SMCDGJRGARCH,57% 8,780** 7,69% 0,983 SMCDRM 4,15% 8,405** 4,76% 0,104 14

Alors que le test inconditionnel de couverture compare les proportions de dépassements VAR pour l ensemble de l échantillon, le test d indépendance analyse les proportions de dépassements VAR selon la situation observée à la période précédente. Nous vérifions ainsi si les probabilités observées sont significativement différentes selon qu à la période précédente il y ait eu une situation de dépassement VAR ou non. Les résultats du tableau 3 indiquent que tous les modèles VAR de type conditionnel ne sont pas rejetés par le test d'indépendance. Ceci suggère que les proportions de dépassements VAR ne sont pas significativement différentes selon la situation observée à la période précédente. À l'opposé, nous rejetons que les proportions conditionnelles de dépassements VAR soient les mêmes pour trois des quatre modèles VAR mensuelle de type inconditionnel. Ce rejet reflète l'incapacité des modèle VAR de type inconditionnel à s'ajuster lorsque la volatilité des marchés boursiers est plus élevée. On observe en effet que la proportion de dépassements VAR successifs [N11/(N11+N10] pour ces modèles est anormalement élevée, soit de 15% (SHincondM, 0% (SHincondQ et % (SMCincondQ alors que la proportion attendue est de 1%. Ces résultats montrent que l'utilisation d'un modèle VAR de type inconditionnel en gestion des risques s'avère biaisé à la baise lorsque les marchés boursiers sont particulièrement volatiles ou lorsqu'un dépassement VAR a été observé à la période précédente. Les tests conditionnels de couverture des dépassements VAR Les résultats des tests conditionnels de couverture des dépassements VAR sont présentés au tableau 4. Le test conditionnel permet de vérifier simultanément si les dépassements sont indépendants et si le nombre de dépassements correspond au niveau théoriquement attendu de 1%. Le test est appliqué aux 506 VARs mensuelles estimées pour chacun des modèles. Le test conditionnel de couverture rejette tous les modèles sauf un modèle conditionnel à un niveau de confiance de 95%. Comme pour le test d'indépendance, la seule exception est le modèle le plus sophistiqué, soit le modèle par simulations historiques avec une modélisation GJR-GARCH des seconds moments qui est estimée sur les rendements quotidiens désagrégés. Ce dernier test nous permet donc de corroborer les résultats obtenus aux tests précédents et nous porte à croire que la prise en compte de l asymétrie des chocs, des larges queues de distribution ainsi que l utilisation de rendements quotidiens sur une base désagrégée plutôt qu agrégée sont tous des facteurs qui contribuent à la bonne performance du modèle SHFDGJRGARCH. De plus, les deux autres modèles qui sont le plus près de ne pas être rejetés à 99% s'appuient tous les deux sur une variance conditionnelle de type GJR-GARCH, soit le SHFAGJRGARCH et le SMCDGJR-GARCH. Nous présentons également dans le tableau 4 l écart moyen entre les rendements et les VARs estimées dans les cas où il y a eu un dépassement de VAR pour l ensemble des 16 modèles à l étude. Encore une fois, le modèle SHFDGJRGARCH ressort comme le modèle le plus intéressant puisqu'il présente le plus faible écart moyen entre le rendement observé et la VAR estimée dans les cas qualifiés de crises boursières. Les autres modèles qui présentent les écarts les plus faibles sont dans l ordre les modèles SMCAGJRGARCH, SHFAGJRGARCH et SMCDGJRGARCH. Ce qui soutient les résultats obtenus précédemment et nous permet de penser qu il est important de considérer l asymétrie des termes d'erreur positifs et négatifs lors de la modélisation des seconds moments. Finalement, il apparaît que d employer des rendements quotidiens pour estimer la VAR mensuelle sans tenir compte de l autocorrélation des premiers et des seconds moments n est pas approprié. En effet, les deux modèles inconditionnels estimés avec des données quotidiennes présentent les écarts moyens les plus importants en plus d afficher des ratios de vraisemblance particulièrement élevés. 15

Tableau 4 Tests conditionnels de couverture des dépassements VAR Ce tableau présente les résultats des tests conditionnels de couverture des dépassements VAR mensuelles de Christoffersen (1998 pour chacun des modèles. Nous indiquons le ratio de vraisemblance du test conditionnel de couverture pour chaque modèle VAR. Nous présentons aussi l écart moyen entre les rendements et les VARs estimées dans les cas où il y a eu un dépassement de VAR pour tous les modèles (huit observations. Ci-dessous nous présentons ces résultats pour le portefeuille PA et une probabilité de pertes inférieures à la VAR de 1%. Les symboles * et ** indiquent le rejet du test conditionnel de couverture à des niveaux de confiance de 95% et 99% respectivement. Pour une description des modèles VAR, voir la section. Pour une description des données, se référer au tableau 1. Résultats des tests conditionnels de couverture des dépassements VAR pour le portefeuille A (PA et les probabilités de pertes inférieures à la VAR de 1%. Modèles VAR : PA ( Rp VaR Pr ( R < VAR Ratio de vraisemblance R < VaR p = 1% i p p pour les i modèles Modèles inconditionnels Données mensuelles SHincondM -6,451% 13,117** PARincondM -6,319% 18,070** Données quotidiennes SHincondQ -7,57% 48,630** SMCincondQ -7,775% 57,386** Modèles Conditionnels Données quotidiennes SHFAGARCH -6,357% 13,531** SHFAGJRGARCH -5,761% 11,558** SHFARM -6,934% 8,509** SMCAGARCH -6,609% 8,509** SMCAGJRGARCH -5,68% 9,76** SMCARM -6,585% 50,678** SHFDGARCH -6,614% 15,669** SHFDGJRGARCH -5,448% 5,808 SHFDRM -6,960% 31,456** SMCDGARCH -7,010% 41,347** SMCDGJRGARCH -6,11% 9,76** SMCDRM -6,550% 8,509** 16

Conclusion Cette étude analyse la performance de certains modèles d'évaluation de la VAR mensuelle pour un portefeuille libellé en dollar américain qui est équipondéré entre les indices boursiers américain (S&P500, canadien (S&P\TSX300 et européen (DAX. Nous analysons ainsi l'aptitude des modèles VAR mensuelle à respecter les dépassements VAR attendus en s'appuyant sur les rendements quotidiens du portefeuille ou en les désagrégeant afin d'utiliser l'information liée aux indices boursiers qui composent le portefeuille. Nous appliquons deux des approches les plus utilisées pour évaluer les VARs, soit les simulations de Monte Carlo et les simulations historiques avec ou sans filtre. Nous étudions des VAR mensuelles par simulations de Monte Carlo lorsque les espérances et les variances conditionnelles des rendements agrégés ou désagrégés sont réévaluées quotidiennement à l'aide d'un modèle de type ARMA-GARCH ou RiskMetrics. Afin de tenir compte de l'asymétrie et des larges queues observées dans les distributions de rendements, nous évaluons aussi les VARs mensuelles par des simulations historiques filtrées quotidiennement à l'aide des mêmes modèles ARMA-GARCH et RiskMetrics. Afin de vérifier si les différents modèles VAR mensuelle respectent les dépassements VAR attendus, nous appliquons les tests inconditionnels de couverture, d'indépendance et conditionnels de couverture proposés par Christoffersen (1998. Nos résultats montrent que tous les modèles semblent sous évaluer le risque du portefeuille composé d'indices boursiers internationaux. Toutefois, il existe un modèle pour lequel on ne peut rejeter que la proportion de dépassements VAR est significativement différente de celle attendue et il s'agit du modèle le plus sophistiqué [SHFDGJRGARCH]. Les VARs mensuelles de ce modèle sont obtenues par simulations historiques filtrées par un MA(1-GJRGARCH(1,1 multivarié, c'est-à-dire en utilisant les rendements quotidiens de chaque indice boursier. Par ailleurs, les résultats de nos tests d'indépendance sur les dépassements VAR rejettent trois des quatre modèles VAR inconditionnel et aucun des modèles conditionnels. Ceci suggère que les modèles qui ne s'ajustent pas rapidement aux nouvelles conditions des marchés boursiers présentent une probabilité élevée d'observer deux dépassements VAR successifs. Globalement, les tests conditionnels de couverture confirment que la meilleure évaluation VAR devrait s'appuyer sur des simulations historiques et des variances conditionnelles GJRGARCH estimées avec des données quotidiennes désagrégées. Alors que la variance conditionnelle GJRGARCH semble être l'élément commun des meilleurs modèles, la variance conditionnelle à la RiskMetrics présente quant à elle les pires résultats. Nous proposons de poursuivre nos recherches sur la performance de ces modèles VAR mensuelle en considérant d'autres types de portefeuilles ainsi que d'autres probabilités de dépassements VAR. 17

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