Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre (loi de durée de vie sans vieillissement) Exercice 3 : calcul de probabilité d un événement avec la loi exponentielle Exercice 4 : calcul de probabilité conditionnelle avec la loi exponentielle Exercice 5 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilités totales Exercice 6 : espérance et variance d une variable aléatoire continue Exercice 7 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, en effectuant un changement de variable Exercice 8 : loi exponentielle sans mémoire et demi-vie Exercice 9 : durée de vie du carbone 14 Exercice 10 : lecture graphique du paramètre Remarque préalable : Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliser des temps d'attente ou des durées de vie. 1
Exercice 1 (1 question) Niveau : moyen Soit un réel non nul et soit la fonction définie sur par. A quelle(s) condition(s) sur la fonction est-elle une densité de probabilité sur? Correction de l exercice 1 Rappel : Densité de probabilité Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que : Remarque : Pour tous réels et tels que, on a : Si Si, alors, alors L intervalle se note indifféremment :,, ou. Si, alors 1) Etudions tout d abord la continuité de la fonction sur. est le produit du réel non nul par la composée de la fonction par la fonction. Or, est une fonction linéaire, continue sur, et est la fonction exponentielle, également continue sur. Par conséquent, est continue sur pour tout réel non nul. 2) Etudions désormais la positivité de la fonction sur. Pour tout,. Ainsi, est positive si et seulement si 0. 3) Etudions enfin 2
Or, et. Donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, on a : Il s ensuit que, c est-à-dire :. Rappel : Limite de la composée de deux fonctions, et désignent des réels, ou. et sont deux fonctions. Si et si, alors on a :. 4) Concluons. De ces 3 résultats, il découle que est une densité de probabilité sur si et seulement si 0. 3
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre sur l intervalle. Déterminer la fonction densité de probabilité. Correction de l exercice 2 Rappel : Loi exponentielle sur Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre ( ) sur l intervalle si sa densité de probabilité est définie sur par. Remarque importante : Une loi exponentielle de paramètre vieillissement. est également appelée loi de durée de vie sans La variable aléatoire continue suit une loi exponentielle de paramètre sur l intervalle. Ainsi, la fonction densité de probabilité est définie sur par. 4
Exercice 3 (3 questions) Niveau : facile La durée de vie d un composant est une variable aléatoire, exprimée en jours, qui suit une loi exponentielle de paramètre. 1) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours? 2) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit d au plus une année? 3) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans? Correction de l exercice 3 Rappel : Probabilité d un événement avec une loi exponentielle Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre sur. Pour tout intervalle, on a : Et, en particulier, La variable aléatoire, exprimée en jours, suit une loi exponentielle de paramètre. La densité de probabilité est donc la fonction définie sur par. 1) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours. Méthode 1 : application directe de la formule 5
Méthode 2 : calcul d intégrale Or, et. Donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions,. Il vient alors que. Par conséquent, Méthode 3 : probabilité d un événement contraire L événement est l événement contraire de l événement. Par conséquent, il vient que : 2) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit d au plus une année. Méthode 1 : application directe de la formule Méthode 2 : calcul d intégrale 3) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans. Méthode 1 : application directe de la formule Méthode 2 : calcul d intégrale 6
Exercice 4 (4 questions) Niveau : moyen La durée de vie d un appareil électronique est une variable aléatoire exponentielle de paramètre., exprimée en heures, qui suit une loi 1) Quelle est la probabilité que la durée de vie de l appareil soit de heures au maximum? 2) En déduire la probabilité que la durée de vie de l appareil soit d au moins heures. 3) Sachant que la durée de vie de l appareil a dépassé heures, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse heures? 4) Sachant que l appareil a fonctionné plus de heures, quelle est la probabilité qu il tombe en panne avant heures? Correction de l exercice 4 1) Calculons la probabilité que la durée de vie de l appareil soit de heures au maximum. 2) Calculons la probabilité que la durée de vie de l appareil soit d au moins heures. 3) Calculons la probabilité que la durée de vie de l appareil dépasse heures, sachant qu elle a dépassé heures. Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement) Soit une loi de probabilité définie sur un ensemble. Soient et deux événements tels que. La probabilité de l événement sachant l événement, notée, est définie par : Rappel : Loi de durée de vie sans vieillissement Une variable aléatoire positive est dite «sans mémoire» (ou «sans vieillissement») lorsque, pour tous réels et,. 7
Remarque importante (méthode 2) : Comme une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement, on a également : d après la question précédente 4) Calculons la probabilité que l appareil tombe en panne avant heures sachant qu il a fonctionné plus de heures. 8
Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen La durée moyenne d une conversation téléphonique de M Lokas est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre quand Mme Piplaite l appelle et de paramètre sinon. Les trois quarts des appels destinés à M Lokas proviennent de Mme Piplaite. La sonnerie du téléphone retentit et une conversation s engage. Calculer la probabilité que cette conversation dure plus de cinq minutes. Correction de l exercice 5 Soit la variable aléatoire continue égale à la durée de la conversation téléphonique et soit l événement «l appel téléphonique provient de Mme Piplaite». Rappel : Formule des probabilités totales Soit un univers muni d une probabilité. Soit. Si les parties,,,, de probabilités non nulles, constituent une partition de, Alors, pour tout événement, on a : Comme puis d après la formule des probabilités conditionnelles que :, il vient alors d après la formule des probabilités totales 9
Exercice 6 (2 questions) Niveau : difficile A) Première partie Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle telles que leurs dérivées respectives et soient continues sur. Démontrer que, pour tous nombres réels et de, on a : B) Deuxième partie Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre (. On appelle «espérance de», notée, et «variance de», notée, les réels tels que : En utilisant le résultat de la première partie, exprimer puis en fonction de. Correction de l exercice 6 A) Première partie Les fonctions et sont dérivables sur. Par conséquent, par produit de fonctions dérivables sur un même intervalle, la fonction est dérivable sur et (égalité 1). Par ailleurs, comme est dérivable sur, par théorème, est continue sur. De même, étant dérivables sur, les fonctions et sont continues sur. Et comme et sont également continues sur, par produit de fonctions continues sur un même intervalle, les fonctions et sont continues sur. Ainsi, d après la propriété de la linéarité de l intégrale appliquée à l égalité 1, on a pour tout de : Or, la fonction est une primitive de la fonction donc : D où l égalité suivante : Remarque importante : Cette égalité est appelée «intégration par parties». 10
B) Deuxième partie Exprimons dans un premier temps en fonction du réel. Utilisons le résultat de la première partie en posant et, non sans remarquer que est dérivable sur et que est continue sur. Alors, pour tout de, (fonction continue sur ) et. Etudions cette limite. D une part, on a : Or, (car ) et (croissance comparée) donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions,. D autre part, on a : Or, (car ) et donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions,. Par conséquent, il vient que : Exprimons dans un second temps en fonction du réel. 11
Utilisons le résultat de la première partie en posant et, non sans remarquer que est dérivable sur et que est continue sur. Alors, pour tout de, (fonction continue sur ) et. Or, on a établi que : C est-à-dire, en divisant par non nul : Ainsi, on obtient que : Etudions. Or, (car ) et (croissance comparée) donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions,. D où. Finalement, on a : 12
Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen suit une loi exponentielle de paramètre. Déterminer la valeur du réel telle que la probabilité soit égale à. Correction de l exercice 7 suit une loi exponentielle de paramètre. Donc. Par ailleurs,. Or,, d où l égalité :. Posons. Alors. Et, comme, l équation devient (avec ). Or, pour tout réel positif non nul,. Comme, on a, c est-à-dire. Or,. Par conséquent,, c est-à-dire. En conclusion, pour que la probabilité soit égale à, il faut donc que. 13
Exercice 8 (2 questions) Niveau : facile Une variable aléatoire positive est dite «sans mémoire» (ou «sans vieillissement») lorsque, pour tous réels et,. 1) Montrer qu une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre est sans mémoire. Pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre sans mémoire, on appelle demi-vie la durée telle que. 2) Montrer que. Correction de l exercice 8 1) Montrons que, si une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre, alors elle est sans mémoire. Pour tous réels et, 2) Montrons que, si suit une loi exponentielle de paramètre sans mémoire telle que, alors. 14
Exercice 9 (3 questions) Niveau : facile La durée de vie du (carbone 14) suit une loi exponentielle de paramètre. Sa demi-vie est estimée à années. 1) Evaluer la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de ans. 2) Déterminer tel que. 3) Quelle est approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14? Correction de l exercice 9 1) Evaluons la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de ans. Notons tout d abord la demi-vie de cet élément radioactif. Comme et comme, on a : Il s ensuit que 2) Déterminons tel que. 3) Calculons approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14, notée. Remarque : La demi-vie du carbone 14 est estimée à années. Cela signifie qu au bout de années, il ne restera que la moitié des atomes de carbone 14 initiaux, mais cela ne signifie surtout pas que l intégralité de cet élément radioactif aura disparu après années. 15
Exercice 10 (4 questions) Niveau : facile est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre représente la fonction densité de probabilité associée.. La courbe ci-après 1) Lire graphiquement la valeur de. 2) Calculer. 3) Calculer. 4) En déduire. Correction de l exercice 10 1) est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre. Lisons graphiquement la valeur de. On sait qu une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre sur l intervalle si sa densité de probabilité est définie sur par. est la fonction densité de probabilité représentée par la courbe. Par conséquent,. On en déduit que est définie sur par. 2) Calculons. 3) Calculons. 4) Déduisons-en. Remarques : Il était également possible d appliquer directement la formule mais, dans ce cas, la consigne (qui imposait que le résultat soit déduit des résultats précédents) n aurait pas été respectée. 16
La probabilité est représentée dans un repère orthonormé par l aire du domaine vert, situé entre la courbe représentative de, l axe des abscisses et les droites d équation respective et. En effet, 17