Activité Égalités à trou À partir du travail du groupe didactique de l IREM d Aquitaine, Brochure Entrées dans l algèbre 6 e et 5 e Brochure Entrées dans l algèbre 6 e et 5 e, 2007 Objectif Il s agit de déterminer un nombre qui multiplié par a donne b, a et b étant des nombres entiers. Des nombres apparaissent pour lesquels il n existe pas d écriture décimale finie. L écriture fractionnaire, jusqu en primaire associée à la notion de fraction partage, montre son utilité pour représenter ces nombres (nombre quotient de deux nombres). Énoncé proposé aux élèves Compléter les égalités suivantes en laissant toutes les traces des démarches : a) 4... = 20 b)... 7 = 7 c)16... = 432 e) 5... = 2 g) 0... = 3 d) 15... = 48... 2 = 1 h) 3... = 4 Analyse du choix des variables didactiques : Les deux premières égalités peuvent être complétées en utilisant les tables de multiplication. L égalité c) a été choisie de sorte que les élèves soient amenés à poser la division mais le nombre à trouver reste entier. Les égalités d), e) et f) permettent le passage à un quotient décimal (Les e) et f) permettent de revoir que la multiplication n agrandit pas toujours). L égalité g) met les élèves face à l impossibilité de compléter une multiplication à trou, et permet de rappeler que la division par zéro est impossible. L égalité h) permet d introduire (en Sixième) ou de réactiver (en Cinquième) l écriture fractionnaire du quotient. Compte-rendu d expérimentation dans une classe de Cinquième : Cette activité a été proposée en Cinquième en tant qu évaluation diagnostique dans le but de tester leur connaissance, à l issue de la classe de Sixième, sur la «fraction nombre». Les calculs a) b) et f) sont traités en premier par de nombreux élèves qui connaissent «par cœur» les réponses. Moins d un tiers des élèves ont recours à la division pour trouver les nombres manquants. De nombreux essais de multiplications ont été préférés. À l égalité 15 = 48, quatre élèves sur vingt répondent 3,2 (deux en posant les divisions et deux grâce aux multiplications). Un quart des élèves pense qu il est impossible de trouver un nombre puisque 15 3 est trop petit et 15 4 est trop grand. Pour eux, seuls les entiers ont le statut de nombre. Réponse juste Il n existe pas de Absence de Autre nombre réponse 4 = 20 100% 7 = 7 100% 16 = 432 35% 25% 5% 25% 21,5 / 26 15 = 48 10% 10% 25% 40% 35 / 99 / (15 3) + 3 = 48 5 = 2 45% 15% 5% 25% 0,35 / 2 2 = 1 85% 10% 0,25 0 = 3 55% 10% 20% 3 3 = 4 0% 40% 35% 0,75 / x Document de travail Nouveaux Programmes - 2007 1 f)
Exemples de réponses élèves à la dernière égalité : - Des essais de multiplications avec des valeurs approchées : 3 1,5 ; 3 1,25 ; 3 1,15 ; 3 1,20 ; 3 1,22 ; 3 1,44 ; 3 1,35 ; 3 1,34 ; 3 1,333 ; 3 1,334 ; 3 1,335 ; 3 - Un élève fait des essais avec des additions itératives : 1,5 + 1,5 + 1,5 = 4,25 ; 1,30 + 1,30 + 1,30 = 3,90 ; 1,35 + 1,35 + 1,35 = 4,05 ; 1,32 + 1,32 + 1,32 = 3,96 - «Je ne peux pas car 3 1,33 = 3,99 et 3 1,34 = 4,02.» - «Pas possible car même avec un nombre décimal, on ne trouvera pas.» - «On ne peut pas le faire car 4 est trop près de 3.» - «Je n arrive pas car l écart des deux n est que d 1 donc ce n est pas possible car c est une multiplication.» Une discussion s installe dans la classe pour la dernière égalité. 6 élèves pensent qu il est possible de trouver un nombre contre 14 qui pensent le contraire. Avec la sollicitation du professeur les élèves montrent, en posant la division, que le résultat a une partie décimale «qui ne s arrête pas». D autres réinvestissent le travail sur le dernier chiffre de la partie décimale d un produit et montrent que ce nombre n est pas décimal puisqu il n y a aucun nombre autre que zéro dont le produit par 3 se termine par 0. Document de travail Nouveaux Programmes - 2007 2
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Remédiation Le professeur propose alors aux élèves le travail suivant : Une puce se déplace sur la droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier et quel est ce nombre? O A 0 1 Quelle égalité peut-on déduire du travail précédent? Il s agit de trouver une écriture du nombre qui permet de compléter 3... = 4 et faire le lien avec la notion de fraction partage. Compte-rendu d expérimentation : De nombreux élèves (85%) trouvent qu au bout de 3 bonds, la puce tombe sur le point d abscisse 4. (erreurs sur la graduation, erreur sur la longueur reportée du saut, comptage du nombre de graduations) Document de travail Nouveaux Programmes - 2007 6
À peu près un quart des élèves réussissent à écrire alors 3 OA = 4. Reste à déterminer la mesure de la longueur OA. L idée de fraction est présente pour un élève qui compte le nombre de tiers pour arriver à 4 : 1 12 12 =. 3 3 Les erreurs : * une graduation est prise pour unité : 3 4 = 12. - OA est écrit sous forme décimale et confusion entre le tiers et le quart (ou la moitié) : OA = 0,25 (ou OA = 1,5) Document de travail Nouveaux Programmes - 2007 7
* 3 1,3 = 4 : 3 Confusion entre la longueur approchée de trois sauts et l opération permettant de trouver la longueur d un saut? * Graduation de l axe en prenant OA comme unité. La puce fait 4 bonds et tombe sur 5. 4 Après un échange dans la classe, les élèves trouvent la solution de l étape 1. On a 3 = 4. 3 On leur demande de reprendre les égalités à trou de l étape 1 et de les compléter à l aide d une fraction. On retravaille les différentes écritures d un même nombre. Document de travail Nouveaux Programmes - 2007 8
Puis on complète le tableau : Opération à trou Réponse Écriture décimale du quotient 4... = 20 4 5 = 20 5... 7 = 7 1 7 = 7 1 5 = 2 5 0,4 = 2 ou 5 2 5 = 2 0,4 3 = 4 Écriture fractionnaire du quotient 20 4 7 7 2 5 3 4 3 = 4 4 3 On insiste sur les égalités : 20 7 2 5 = 1 = 0,4 = 0,5 = 4 7 5 1 2 Connaissances qui favorisent la réussite de l activité : la technique de multiplication d un nombre entier par un nombre décimal : - le raisonnement sur le dernier chiffre Exemple : Entoure le résultat des opérations suivantes. 3,26 7 =? 22,28 22,82 23,03 22,83 4,7 23 =? 2108,1 708,1 108,1 207,1 36 0,93 =? 36,48 33,48 360,48 330,48 - l ordre de grandeur - la multiplication par un nombre plus petit que 1 le concept d égalité valeur approchée et valeur exacte d un nombre Document de travail Nouveaux Programmes - 2007 9