PGCD - PPCM 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers 1.1 Définition - Exemples Définition 1 Soient a et b deux éléments de Z. az+bz est un sous-groupe de Z donc il existe δ N tel que az + bz = δz. On appelle δ le plus grand diviseur commun de a et b et on note δ =pgcd(a, b) ou δ = a b. Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2, 3) = 1 et pgcd(10, 25) = 5. Remarque 3 pgcd(0, 0) = 0. Comme pour tout a Z, az = a Z on a pgcd(a, 0) = a Pour tout a et b dans Z, pgcd(a, b) = pgcd(b, a) = pgcd( a, b ). Soient a, b N alors a b pgcd (a, b) = a Démonstration. Les trois premiers points sont très faciles. Montrons le dernier on a a b bz az az + bz = az pgcd (a, b) = a Proposition 4 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit δ N. Alors δ = pgcd(a, b) si et seulement si { l entier δ divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise δ Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour δ. Démonstration. Notons δ = pgcd(a, b). On a az δz donc δ a, de même bz δz donc δ b. Donc δ est un diviseur commun à a et b. Soit d un diviseur de a et b, alors az dz et bz dz donc az bz dz donc (par définition de la somme de deux sous-groupes) az + bz dz donc δz dz et donc d δ. Réciproquement soit δ un entier positif vérifiant : { l entier δ divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise δ Il faut montrer que δ = pgcd(a, b). On a az δz et bz δz donc az + bz δz et az + bz = pgcd(a, b) Z donc δ pgcd(a, b). D autre part pgcd(a, b) est un diviseur de a et de b donc par définition de δ on a pgcd(a, b) δ, et donc l égalité souhaitée. Exemple 5 On a pgcd(4, 6) = 2, pgcd(4, 7) = 1 pgcd(5 7, 7 11) = 7 pgcd(3 12, 3 19 ) = 3 12 pgcd(2 15 3 8 5 2, 2 9 3 20 7) = 2 9 3 8
1.2 Méthode de calcul : Algorithme d Euclide Proposition 6 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r). Démonstration. On va montrer que l ensemble des diviseurs de a et b : D a D b et l ensemble des diviseurs de b et r : D b D r sont égaux, ce qui donnera le résultat. Écrivons la division euclidienne de a par b, donc a = bq + r avec 0 r < b. Comme r = a bq si un nombre d divise a et b alors d divise r. Donc D a D b D b D r. Réciproquement, si d divise b et r alors d divise a = bq + r donc D b D r D a D b. Proposition 7 Algorithme d Euclide. Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On construit par récurrence une suite d entiers naturels (r n ) n N de la façon suivante : r 0 = a, r 1 = b, r 2 est le reste de la division euclidienne de r 0 par r 1, et de proche en proche, tant que r n 0, r n+1 est égal au reste de la division euclidienne de r n 1 par r n. Alors il existe un entier N tel que r N 0 et r N+1 = 0. Alors pgcd(a, b) est égal au dernier reste non nul r N. Démonstration. Tant que les restes sont non nuls, on définit une suite telle que 0 r n < r n 1 < < r 2 < r 1. Il s agit donc d une suite d entiers naturels strictement décroissante. Au bout d un nombre fini d étapes on obtient alors un reste nul (on a N b). En utilisant le lemme précédent, on obtient pgcd(a, b) = pgcd(b, r 2 ) = pgcd(r 2, r 3 ) = = pgcd(r N 1, r N ) = pgcd(r N, 0) = r N Exemple 8 Soient a = 144 et b = 84. On calcule On a donc pgcd(144, 84) = 12. 1.3 Relation de Bézout 144 = 1 84 + 60 r 2 = 60 84 = 1 60 + 24 r 3 = 24 60 = 2 24 + 12 r 4 = 12 24 = 2 12 + 0 r 5 = 0 Théorème 9 Relation de Bézout. Soient a et b deux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs u et v tels que pgcd(a, b) = au + bv. Démonstration. Notons δ = pgcd(a, b) on a δ δz = az + bz donc il existe u et v tels que δ = au + bv. Remarque 10 Soit δ N. Nous venons de montrer que si δ = pgcd(a, b) alors il existe un couple d entiers (u, v) tel que δ = au + bv. La réciproque est fausse dans le cas général. Par exemple, pour a = 4, b = 2 et δ = 6, on a 6 = 4 1 + 2 1 et 6 pgcd(4, 2) = 2. Plus généralement, s il existe un couple d entiers (u, v) tel que d = au + bv alors pgcd(a, b) divise d.
Exemple 11 Soient a = 63 et b = 37. On calcule 63 = 37 1 + 26 r 2 = 26 37 = 26 1 + 11 r 3 = 11 26 = 11 2 + 4 r 4 = 4 11 = 4 2 + 3 r 5 = 3 4 = 3 1 + 1 r 6 = 1 On part de la dernière relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de la façon suivante : 1 = 4 3 1 Départ 1= 4 (11 4 2) = 11 + 4 3 On a remplacé r 5 1 = 11 + (26 11 2) 3 = 7 11 + 26 3 On a remplacé r 4 1 = 7 (37 26 1) + 26 3 = 7 37 + 26 10 On a remplacé r 3 1 = 7 37 + (63 37 1) 10 = 17 37 + 10 63 On a remplacé r 2 Finalement la relation de Bézout est : 10 63 17 37 = 1 = pgcd(63, 37) Proposition 12 Soient a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k N, pgcd(ka, kb) = k pgcd(a, b) Démonstration. Si k = 0 l égalité est vérifiée. Supposons k 0. Soit D = pgcd(ka, kb) et δ = pgcd(a, b). Comme δ divise a et b, kδ divise ka et kb donc kδ divise D. Par ailleurs, k divise ka et kb donc k divise D. Il existe q Z tel que D = kq. Comme kq divise ka et kb, q divise a et b donc q divise δ. On en déduit que D divise kδ. Finalement on a donc kδ = D. Exemple 13 pgcd(42, 56) = 7 pgcd(6, 8) = 7 2 = 14. 2 Eléments premiers entre eux Définition 14 On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a, b) = 1 (noté aussi a b = 1). Proposition 15 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit δ un diviseur positif de a et de b. Il existe a Z tel que a = δa et il existe b Z tel que b = δb. Alors δ est le pgcd de a et b si et seulement si a et b sont premiers entre eux. Démonstration. Le diviseur δ est nécessairement non nul. Comme a = δa et b = δb, pgcd(a, b) = pgcd(δa, δb ) = δ pgcd(a, b ) Par conséquent, pgcd(a, b) = δ pgcd(a, b ) = 1. Théorème 16 Théorème de Bézout. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s il existe deux entiers relatifs u et v tels que 1 = au + bv. Démonstration. Si pgcd(a, b) = 1 alors il existe un couple d entiers (u, v) tel que 1 = au + bv (relation de Bezout). Réciproquement, supposons qu il existe deux entiers u et v tels que 1 = au+bv. Soit d un diviseur de a et de b. Alors d divise 1 donc d = 1. D où pgcd(a, b) = 1.
Proposition 17 Soit n N, n 2. Soit a 1,..., a n des entiers relatifs. Si a est premier avec chacun des a i (i = 1... n) alors a est premier avec leur produit. Démonstration. Comme pgcd(a, a 1 ) = 1, il existe des entiers u 1 et v 1 tels que 1 = au 1 + a 1 v 1. De même, il existe u 2 et v 2 tels que 1 = au 2 + a 2 v 2. En multipliant ces deux termes, on obtient 1 = a (au 1 u 2 + u 1 a 2 v 2 + a 1 v 1 u 2 ) + a 1 a 2 (v 1 v 2 ). D où pgcd(a, a 1 a 2 ) = 1. La propriété est donc vraie pour n = 2. Supposons la propriété vraie à l ordre n. Soit a 1,..., a n+1 n + 1 entiers premiers séparément avec a. En utilisant l hypothèse de récurrence avec a 1,..., a n, on obtient que a est premier avec le produit a 1 a n. On conclut en utilisant la propriété avec les deux entiers a 1 a n et a n+1. Exemple 18 Comme pgcd(3, 5) = 1 et pgcd(3, 8) = 1, on a pgcd(3, 40) = 1. Corollaire 19 Soient a et b deux entiers relatifs. Si a et b sont premiers entre eux alors pour tout n N et p N, a n et b p sont premiers entre eux. Théorème 20 Théorème de Gauss. Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. Démonstration. Comme pgcd(a, b) = 1, il existe un couple d entiers (u, v) tels que 1 = au + bv. En multipliant cette égalité par c, on obtient c = a(cu) + (bc)v. Comme a divise bc, a divise c. Proposition 21 Soit n N, n 2. Soit a 1,..., a n des entiers relatifs premiers entre eux deux à deux. Si a est divisible par chacun des a i (i = 1... n) alors a est divisible par leur produit. Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour n = 2, il existe deux entiers q 1 et q 2 tels que a = a 1 q 1 = a 2 q 2. Donc a 2 divise a 1 q 1. Mais comme pgcd(a 2, a 1 ) = 1, on obtient que a 2 divise q 1. Il existe donc q 3 Z tel que q 1 = a 2 q 3. Par conséquent, a = a 1 a 2 q 3 et a 1 a 2 divise a. La fin de la démonstration se fait sans difficulté. Exemple 22 L entier 90 est divisible par 3 et par 5 qui sont premiers entre eux donc est divisible par 15. Mais bien que 20 soit divisible par 4 et par 10 il n est pas divisible par 40 (car 4 et 10 ne sont pas premiers entre eux). Proposition 23 Soit ẋ Z/nZ on a ẋ inversible x n = 1 Démonstration. ẋ est inversible ssi ẏ tel que ẋ ẏ = 1 ssi y, k tels que x y = 1 + kn ssi y, k tels que xy kn = 1 ssi x n = 1. Proposition 24 Soit φ la fonction indicatrice d Euler, φ (n) est égal au nombre de nombres entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n. En particulier si p est un nombre premier φ (p) = p 1.
3 Plus petit multiple commun de deux entiers Définition 25 Soient a et b Z, il existe µ N tel que az bz = µz. µ est appelé le plus petit multiple commun de a, b, noté ppcm(a, b) (ou a b). Exemple 26 On a vu dans le chapitre précédent ppcm(2, 3) = 6 et ppcm(10, 25) = 50. Remarque 27 ppcm(0, 0) = 0. Pour tout a Z, on a ppcm(a, 0) = 0 Pour tout a et b dans Z, ppcm(a, b) = ppcm(b, a) = ppcm( a, b ). Soient a, b N alors a b ppcm (a, b) = b Démonstration. On montre le dernier point. On a a b bz az az bz = bz ppcm (a, b) = b Proposition 28 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit µ N. Alors µ = ppcm(a, b) si et seulement si { l entier µ est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors µ divise m Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour µ. Démonstration. Notons µ = ppcm(a, b). On a µz az donc a µ, de même µz bz donc b µ. Donc µ est un multiple de a et b. Soit m un multiple de a et b, alors mz az et mz bz donc mz az bz donc mz µz donc µ m. Réciproquement soit µ un entier positif vérifiant : { l entier µ est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors µ divise m Il faut montrer que µ = ppcm(a, b). On a µz az et µz bz donc µz az bz = ppcm(a, b) Z donc ppcm(a, b) µ. D autre part ppcm(a, b) est un multiple de a et de b donc par définition de µ on a µ ppcm(a, b). Exemple 29 On a ppcm(4, 6) = 12 ; ppcm(4, 7) = 28 ppcm(5 7, 7 11) = 5 7 11 pgcd(3 12, 3 19 ) = 3 19 pgcd(2 15 3 8 5 2, 2 9 3 20 7) = 2 15 3 20 5 2 7 Proposition 30 Soient a et b deux entiers naturels, on a la relation : pgcd(a, b) ppcm(a, b) = ab
Démonstration. Notons µ = ppcm(a, b) et δ = pgcd(a, b). Il existe a et b tel que a = δa et b = δb On va montrer que µ = δa b le résultat en découle immédiatement en multipliant par δ. δa b est un multiple de a et de b donc par définition µ divise δa b. Réciproquement notons u et v les entiers tels que µ = au = bv donc et donc µ = δa u = δb v a u = b v donc b divise a u or a et b sont premiers entre eux donc d après le théorème de Gauss b divise u donc il existe q tel que u = b q et donc en remplaçant ci dessus et donc δa b divise µ. µ = δa b q Exemple 31 Pour a = 4 et b = 6 ppcm(4, 6) = 12. Par ailleurs, pgcd(4, 6) = 2. On a bien pgcd(4, 6) ppcm(4, 6) = 24. Corollaire 32 Soit a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k N, ppcm(ka, kb) = k ppcm(a, b) Démonstration. la formule précédente donne comme pgcd(ka, kb) = k pgcd(a, b) on obtient pgcd(ka, kb) ppcm(ka, kb) = ka.kb ppcm(ka, kb) = kab pgcd(a, b) = k ppcm(a, b) 4 Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun de n entiers Définition 33 Soit n N, n 3. On définit le plus grand diviseur commun de a 1,..., a n par récurrence sur n grâce à la formule suivante : pgcd (a 1,..., a n ) = pgcd (pgcd (a 1,..., a n 1 ), a n )) Définition 34 Soit n N, n 3. On définit le plus petit multiple commun de a 1,..., a n par récurrence sur n grâce à la formule suivante : ppcm (a 1,..., a n ) = ppcm (ppcm (a 1,..., a n 1 ), a n )) Exemple 35 pgcd(30, 15, 12) = 3, pgcd(300, 10, 60, 3) = 1 ppcm(30, 15, 12) = 60, ppcm(300, 10, 60, 3) = 300 Remarque 36 pour calculer le pgcd ou le ppcm de plusieurs nombres, on peut les prendre dans l ordre que l on veut.