Echantillonnage /6 ECHANTILLONNAGE ET SIMULATION Un gérant de casino dit : "dans ces 4 urnes, il y a 30% de boules rouges! Paul choisit 20 boules au hasard dans la ère urne. Sur ces 20 boules, 0 sont rouges. Nadia choisit 50 boules au hasard dans la ère urne. Sur ces 50 boules, 23 sont rouges. Léa choisit 00 boules au hasard dans la ère urne. Sur ces 00 boules, 38 sont rouges. Tao choisit 500 boules au hasard dans la ère urne. Sur ces 500 boules, 75 sont rouges. Que pensez-vous de l affirmation du gérant du casino?
Echantillonnage 2/6 L INTERVALLE DE FLUCTUATION. I. Expérience et recueil des données. Chaque binôme d élèves reçoit une enveloppe contenant des boules rouges et des boules d autres couleurs. Dans chaque boîte, il y a 30% de boules rouges et 70% de boules non rouges. On va prélever des échantillons aléatoires de taille 20 puis de taille 50. Pour cela, on pioche 20 (puis 50) fois dans l enveloppe pour prélever une boule, sans oublier de remettre la boule puis de mélanger entre chaque retournement.. Effectuer 20 tirages pour obtenir un échantillon A de taille 20. Calculer la fréquence de boules rouges obtenues. Noter les résultats obtenus sur la fiche récapitulative. 2. Effectuer 50 tirages pour obtenir un échantillon B de taille 50. Calculer la fréquence de boules rouges obtenues. Noter les résultats obtenus sur la fiche récapitulative. 3. On veut maintenant obtenir des échantillons C et D de taille 00 puis 500. a. A l aide d un tableur (voir ci-dessous), on simule un tirage de 00 boules dans une enveloppe contenant 30% de boules rouges et 70% de boules noires. On compte le nombre de boules rouges obtenues puis on note la fréquence correspondante. On recommence jusqu à obtenir 7 échantillons de taille 00. b. On obtient de même 7 échantillons de taille 500. On obtient alors 4 séries statistiques (une pour n = 20 ; une pour n = 50 ) II. Utilisation des résultats obtenus.. A l aide du tableur de Géogébra, on construit les diagrammes en boîte correspondant à chaque série, que remarque-t-on? 2. Lorsque la proportion d un caractère dans une population est p (p compris entre 0,2 et 0,8), les statisticiens ont démontré que pour environ 95% des échantillons de taille n (avec n 25), la fréquence du caractère dans l échantillon appartient à l intervalle p p n n. Cet intervalle s appelle l intervalle de fluctuation. a. Quelle est la valeur de p ici? b. Déterminer les intervalles de fluctuation pour n 20 ; 50 ; 00 et 500 puis calculer pour chaque valeur de n (20, 50, 00 et 500) la proportion des échantillons pour lesquels la fréquence est contenue dans l intervalle. Commenter. c. Que peut-on dire des affirmations du gérant du casino?
Echantillonnage 3/6 PARITE. Deux entreprises recrutent dans un bassin d'emploi où il y a autant de femmes que d'hommes. Dans l'entreprise A, il y a 00 employés dont 43 femmes et dans l'entreprise B, il y a 2500 employés dont 50 femmes. Ces entreprises respectent-elles la parité, c'est-à-dire : "peut-on dire que l'identité sexuelle n'intervient pas au moment du recrutement?"
Echantillonnage 4/6 RETROUVER LA PROPORTION Dans le service technique d une commune, vous êtes chargé de réceptionner la commande d un lot de semence d une tonne pour engazonner les espaces verts. Vous cherchez à connaître la proportion de graines de chiendent dans votre commande. Pour cela, vous prélevez un échantillon de 50 graines. Parmi elles, vous trouvez 25 graines de chiendent. ELECTIONS. Un candidat à une élection effectue un sondage dans sa circonscription comportant 85 842 électeurs. Sur les 068 personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat. Celui-ci affirme : "Si les élections avaient lieu aujourd hui, je serai élu au er tour." Qu en pensez-vous?
Echantillonnage 5/6 SYNTHESE SUR L'ECHANTILLONNAGE. Dans le sens commun des sondages, un échantillon de taille n est un sous-ensemble de n éléments obtenu par un prélèvement aléatoire dans une population. On considère ici des échantillons dont la taille est négligeable par rapport à la population totale. On étudie ici la proportion p d'un caractère dans la population totale. On note f la proportion du caractère dans l échantillon et n la taille de cet échantillon. La fréquence du caractère varie d'un échantillon à l'autre. Ce phénomène est appelé fluctuation d'échantillonnage. Lorsque la taille des échantillons augmente, la fluctuation d'échantillonnage diminue et la fréquence du caractère se rapproche de p. On peut établir que pour environ 95% des échantillons de taille n, la fréquence f d'apparition du caractère appartient à l'intervalle p p n si 0,2 p 0,8 et n 25. Cet intervalle s'appelle l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Prendre une décision à partir d'un échantillon : Pour apprécier si une fréquence observée f sur un échantillon de taille n est compatible avec un modèle, on suppose que le modèle convient et on teste l'appartenance de f à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%: Si f n'appartient pas à cet intervalle, on peut rejeter l'hypothèse que f soit compatible avec le modèle (puisque il n'y a que 5% de chances de se tromper). Si f appartient à cet intervalle, on ne peut pas rejeter l'hypothèse que f soit compatible avec le modèle. Attention : quelle que soit la décision, il y a toujours un risque d'erreur. Estimer une proportion à partir d'un échantillon : Parmi tous les échantillons de taille n possibles, environ 95% des intervalles f f n n associés contiennent p. Ce sont les intervalles de confiance. Ainsi, si on a un échantillon de taille n pour lequel la fréquence du caractère est f, on peut dire que p est compris dans l intervalle de confiance correspondant au seuil de 95%. Exemples :. Une machine ensache des bonbons de la façon suivante : elle choisit au hasard les bonbons dans une cuve qui contient, à part égale, des bonbons à la fraise et des bonbons à la menthe. Il y a 50 000 bonbons dans la cuve. Chaque paquet contient 00 bonbons. On prend un paquet au hasard. Il contient 42 bonbons à la fraise et 58 bonbons à la menthe. Peut-on considérer que l'ensacheuse est bien réglée? 2. En novembre 976 au Texas, Rodrigo Partida fut condamné à huit ans de prison pour cambriolage. Il attaque ce jugement en invoquant le motif suivant : la désignation des jurés était discriminante à l'égard des Américains d'origine mexicaine. Rodrigo Partida utilisa les statistiques pour démontrer que la proportion des jurés mexicains ne pouvait pas être due au hasard... Pour son procès, 870 personnes ont été convoquées pour être jurés. Parmi elles, il y avait 339 personnes d'origine mexicaine. Dans ce comté, 79,% de la population était d origine mexicaine. Que pensez vous de l argument de Rodrigo Partida? 3. On a choisi au hasard 000 entreprises d'un département. Parmi elles, on a compté 365 artisans. Que peut-on dire de la proportion d'artisans parmi les entreprises du département? 6, 3, 32, 34, 36 p 25