FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 031 ET CORRIGÉ
TABLE DES MATIÈRES I 1.0 UNITÉS D'AIRE... 1 1.1 Donner la différence entre l'aire et la surface... 1 1. Énumérer les principales unités d'aire... 3 1.3 Convertir en terme d'une autre unité, l'aire déjà exprimée... 6 Exercice 1... 9.0 AIRE DES POLYGONES...10.1 Calculer l'aire et le côté d'un rectangle...10 Exercice...13. Calculer l'aire et le côté d'un carré...15 Exercice 3...17.3 Calculer l'aire, la base et la hauteur d'un triangle...18 Exercice...0. Calculer l'aire, la base et la hauteur d'un parallélogramme... Exercice 5....5 Calculer l'aire d'un losange...5 Exercice 6...7.6 Calculer l'aire, la hauteur et la base d'un trapèze...8 Exercice 7...31.7 Calculer l'aire de polygones quelconques...3 Exercice 8...35 3.0 AIRE DU CERCLE...37 3.1 Calculer l'aire et le rayon d'un cercle...37 Exercice 9...39 3. Calculer l'aire d'une couronne...1 Exercice 10....0 AIRE DES SOLIDES...5.1 Présenter la notion de solide...5. Calculer l'aire latérale d'un cube...50 Exercice 11...53 DI-NL-9-03-05 BA-PG\98-03
TABLE DES MATIÈRES II.3 Calculer l'aire totale d'un cube...5 Exercice 1....56. Calculer l'aire latérale et l'aire totale d'un prisme rectangulaire droit...57 Exercice 13....61.5 Calculer l'aire latérale et l'aire totale d'un prisme triangulaire droit dont la base est un triangle équilatéral.... 6 Exercice 1....65.6 Calculer l'aire latérale et l'aire totale d'une pyramide...67 Exercice 15....71.7 Calculer l'aire latérale et l'aire totale d'un cylindre...7 Exercice 16....76.8 Calculer l'aire latérale et l'aire totale d'un cône...78 Exercice 17....8.9 Calculer l'aire d'une sphère...83 Exercice 18....85 5.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT...86 6.0 FORMULES 93
1 1.0 UNITÉS D'AIRE 1.1 DONNER LA DIFFÉRENCE ENTRE L'AIRE ET LA SURFACE On a étudié comment calculer les mesures des segments de droite. On fait la distinction entre un segment de droite, qui est un ensemble de points et sa mesure, qui est la longueur exprimée par un nombre réel positif. +)))))))), *Exemple *.)))))))) A B /)))))))))))))))))))))))))1 AB est le segment. 7 cm est sa longueur. De la même manière, il faut distinguer entre une surface et l'aire d'une surface. Observer les figures ci-dessous. Ces figures à deux dimensions sont formées d'ensemble de points situés sur leurs frontières et à l'intérieur de leurs frontières. La frontière et son intérieur forment une surface. La mesure de cette surface s'appelle l'aire. À chaque surface, on peut associer un nombre réel positif appelé l'aire. L'aire peut aussi être appellée la superficie.
SURFACE On appelle surface d'une figure plane, l'étendue de la portion du plan limitée par le contour de cette figure. AIRE L'aire est la mesure de la surface. +)))))))), *Exemple *.)))))))) La surface du ABC est la portion du plan hachurée et limitée par le contour ABC. L'aire du ABC est 1,5 cm.
3 1. ÉNUMÉRER LES PRINCIPALES UNITÉS D'AIRE Si on mesure les longueurs en centimètres, mètres etc, il convient de mesurer les aires en centimètres carrés, mètres carrés etc. La mesure de l'aire est toujours exprimée en unités carrées. Les principales unités d'aires sont des carrés ayant pour côté les unités de longueur. L'unité principale d'aire est le mètre carré (m ). C'est l'aire d'un carré de 1 mètre de côté. Les multiples du mètre carré sont : le décamètre carré (dam ) l'hectomètre carré (hm ) le kilomètre carré (km ) : carré d'un décamètre de côté; : carré d'un hectomètre de côté; : carré d'un kilomètre de côté. Les sous-multiples du mètre carré sont : le décimètre carré (dm ) le centimètre carré (cm ) le millimètre carré (mm ) : carré d'un décimètre de côté; : carré d'un centimètre de côté; : carré d'un millimètre de côté. Remarque On emploie aussi HECTARE pour mesurer l'aire des surfaces plus grandes comme des terrains, des fermes, des parcs. 1 hectare (ha) = 100 m x 100 m = 10 000 m
APPLICATION DES UNITÉS LES PLUS UTILISÉES 1. Kilomètre carré (km ) On l'emploie pour mesurer l'aire des lacs, des forêts, des provinces, des pays, des océans. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) L'aire du Canada 9 976 10 km. signifie est approxi ) L'aire du NB 7 600 km. mativement égal à. Mètre carré (m ) On l'emploie pour mesurer les édifices, les résidences, les pièces, les planchers, les tapis. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) L'aire de deux feuilles complètes d'un journal de format ordinaire 1 m. ) L'aire d'un terrain de tennis 50 m. 3) L'aire d'un terrain domiciliaire 500 m.
5 3. Centimètre carré (cm ) On l'emploie pour mesurer l'aire des cartes, des photos, des annonces de journaux. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) L'aire d'une touche de téléphone à boutons poussoirs 1 cm. ) L'aire d'une carte postale 150 cm. 3) L'aire d'une carte professionnelle 5 cm.
6 1.3 CONVERTIR EN TERME D'UNE AUTRE UNITÉ, L'AIRE DÉJÀ EXPRIMÉE Observer le tableau ci-dessous. 1 km = 100 hm 1 hm = 100 dam = 0,01 km 1 dam = 100 m = 0,01 hm 1 m = 100 dm = 0,01 dam 1 dm = 100 cm = 0,01 m 1 cm = 100 mm = 0,01 dm 1 mm = 0,01 cm Remarques 1. Chaque unité d'aire est 100 fois plus grande qu'une unité de l'ordre immédiatement inférieur. 1 km = 100 hm 1 cm = 100 mm. Chaque unité d'aire est 100 fois plus petite qu'une unité de l'ordre immédiatement supérieur. 1 hm = 0,01 km 1 mm = 0,01 cm
7 Conclusion 1. Pour changer d'une unité à une autre, le facteur de conversion est 100.. On multiplie par 100 chaque fois que l'on passe d'une unité donnée à l'unité immédiatement inférieure. 3. On divise par 100 chaque fois que l'on passe d'une unité donnée à l'unité immédiatement supérieure. RÈGLES À SUIVRE POUR LE CHANGEMENT D'UNITÉS 1. Pour changer d'une unité plus grande à une unité plus petite, multiplier par 100 chaque fois que l'on passe d'une unité à une autre. S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))> x100 x100 x100 x100 x100 x100 +))))),+))))),+))))),+))))),+))))),+))))), * ** ** ** ** ** * +))))))0)))))0)))))0)))))0)))))0)))))0)))))), * km * hm * dam * m * dm * cm * mm *.)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))- Soit à changer 0,05 m en cm. On a 0,05 x 100 x 100 [ unités = 100 ] ou 50 cm.
8. Pour changer d'une unité plus petite à une unité plus grande, diviser par 100 chaque fois que l'on passe d'une unité à une autre. <))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) +)))))))0)))))))0)))))))0)))))))0)))))))0)))))))0))))))), * km * hm * dam * m * dm * cm * mm *.))))0))))0)0))))0)0))))0)0))))0)0))))0)0))))0)))) * ** ** ** ** ** *.)))))-.)))))-.)))))-.)))))-.)))))-.))))) 100 100 100 100 100 100 Soit à changer 0,5 m en hm. On a 0,5 100 100 ou 0,000 05 hm. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Changer 5 km en m. On a 5 x 100 x 100 x 100 = 5 000 000 m. ) Changer 8 cm en hm. On a 8 100 100 100 100 = 0,000 000 8 hm. 3) Changer 0 cm en mm. On a 0 x 100 = 000 mm.
EXERCICE 1 9 1. Changer. a. 8, cm en mm b. 6 cm en dm c. 00 m en cm d. 0, m en mm e. 0,176 km en dam f. 1 355 000 mm en km g. 0,003 hm en m h. 6 cm en m i. 65 dm en m j. 0,001 5 m en mm k. 3,165 m en dam l.,576 hm en dm m. 0, m en dm n. 5 dm en cm o. 0,956 dam en km p. m en km q. 1 135,7 cm en m r. 7 mm en cm s. 1 ha en m
10.0 AIRE DES POLYGONES.1 CALCULER L'AIRE ET LE CÔTÉ D'UN RECTANGLE Pour déterminer l'aire, on utilise un carré-unité et on compte combien de fois il est contenu dans la surface à mesurer. Tracer un rectangle de 8 cm de long et de 3 cm de large et le quadriller à 1 cm d'intervalle. Ce rectangle contient 3 rangées de 8 carrés-unités de 1 cm chacun. Son aire est 3 x 8 cm = cm. Conclusion L'aire d'un rectangle est égale au produit des nombres qui mesurent ses deux dimensions. A = LR où A représente la mesure de l'aire, L représente la mesure de la longueur, R représente la mesure de la largeur.
11 Remarque Parfois on parle de base (b) pour désigner la longueur et de hauteur (h) pour désigner la largeur. A = bh. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Calculer l'aire d'un rectangle de 1,6 cm sur 8, cm. A = LR A = 1,6 cm x 8, cm A = 1,6 cm Aire = 1,6 cm ) Calculer la largeur d'un rectangle dont l'aire est 70 cm et la longueur 60 cm. A = LR 70 cm = 60 cm! R 70 cm = R 60 cm 1 cm = R Largeur = 1 cm
1 3) Un hangar rectangulaire de,8 m sur 11,5 m sera bâti sur un terrain de 6,5 m sur 3,5 m. Combien de m de ce terrain ne seront pas recouverts par le hangar? Aire du terrain Aire du hangar = LR = 6,5 m x 3,5 m = 0,75 m = LR =,8 m x 11,5 m = 6, m Aire non recouverte par le hangar = 0,75 m - 6, m = 1 760,55 m
EXERCICE 13 1. Calculer l'aire des rectangles suivants. a. 3 cm b. 0, km +))))))))))))), +))))))), * * 13 cm * *.)))))))))))))- * * * * 3,5 km * * * *.))))))) c. 10 m d. 00 m +))))))))))))))))), +))))))))))))))))))), * * * * * * 6, m * * * * * * 150 m.)))))))))))))))))- * *.))))))))))))))))))). Compléter le tableau suivant sachant qu'il s'agit de rectangles. Longueur Largeur Aire m 5 m 9, m 1 188, m,9 m,03 m 8, dm 80 dm 6, m 8, m 5, m 85,5 m 1 cm 5 cm 3, cm 9,5 cm 3. Une chambre a,6 m de long et 3,7 m de large. Combien coûtera le tapis pour la recouvrir s'il coûte,50 $ le m?
EXERCICE 1
EXERCICE 15. Pour entourer un terrain de jeux de forme rectangulaire, on utilise 80 m de clôture. Calculer l'aire du terrain si la longueur mesure 110 m. 5. On veut poser du papier peint sur un mur mesurant m sur,6 m. Sachant qu'un rouleau simple couvre environ m et coûte 0,75 $, combien devra-t-on payer? 6. On veut recouvrir un plancher de 1 m sur 8 m de tuiles de 30 cm sur 30 cm. a. Combien faudra-t-il de tuiles? b. Calculer le coût de ce revêtement, si chaque tuile coûte,50 $. 7. Un mur rectangulaire a 3,6 m de haut et 6, m de long. Il comporte une fenêtre de 1,3 m de large et,5 m de long. a. Calculer l'aire du mur, fenêtre comprise. b. Calculer l'aire de la fenêtre. c. Calculer l'aire du mur sans la fenêtre. 8. Un mur de 3 m de hauteur sur 10 m de longueur comprend une porte de 3,5 m sur m et une fenêtre de,5 m sur,5 m. Si on peint ce mur, combien de m devra-t-on peinturer? 9. Calculer l'aire d'un terrain rectangulaire dont le périmètre mesure 6,8 m et la largeur 18,6 m. 10. Calculer l'aire d'un trottoir de 1 m de largeur construit autour d'une piscine de 8 m sur 6 m. 11. Une cour mesure 1 m sur 6 m. On la recouvre d'une couche d'asphalte à 15 $ le m et on l'entoure d'une clôture de 10 $ le mètre. Calculer le coût total de ces améliorations.
15. CALCULER L'AIRE ET LE CÔTÉ D'UN CARRÉ Tracer un carré de cm de côté et le quadriller à 1 cm d'intervalle. Ce carré contient rangées de carrés - unités de 1 cm chacun. Son aire est x cm = 16 cm. Conclusion L'aire d'un carré est égale au produit de son côté par lui-même. A = C où A représente la mesure de l'aire, C représente la mesure du côté.
16 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Calculer l'aire d'un carré dont le côté mesure 3, cm. A = C A = (3, cm) A = 3, cm x 3, cm A = 10, cm Aire = 10, cm ) L'aire d'un carré mesure 500 m. Calculer au 0,1 près, la mesure de ses côtés. A = C 500 m = C /500 m = /C, m = C Côté =, m
EXERCICE 3 17 1. Compléter le tableau suivant sachant qu'il s'agit de carrés. Mesures de côtés Aire Périmètre,5 cm 15 cm 10 mm 0,8 m 6,5 m 1, cm,89 cm 7, cm. Calculer l'aire d'un carré qui a le même périmètre qu'un rectangle de 10 cm sur 1 cm. 3. Combien faudra-t-il de tuiles carrées de 30 cm de côté pour recouvrir un plancher de 10,0 m sur 7,0 m?. Calculer, au 0,1 près, la mesure du côté d'un carré dont l'aire est égale à celle d'une plaque d'acier de 18 cm sur 1 cm. 5. Calculer le prix de 50 miroirs en forme de carrés mesurant 100 cm de côté, sachant que le miroir coûte,50 $ le 00 cm. 6. Pour clôturer un terrain carré, on a utilisé 80, m de clôture. Calculer, au m près, l'aire de ce terrain.
18.3 CALCULER L'AIRE, LA BASE ET LA HAUTEUR D'UN TRIANGLE Soit un ABC, où la base BC est représentée par b, la hauteur AF est représentée par h. Construire le BCDE, où BC est la base, AF est la hauteur, donc l'aire du = b x h. Les s ADC et CFA sont congrus et ont donc la même aire. Les s ABF et BAE sont congrus et ont donc la même aire. Donc l'aire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle. Conclusion L'aire du triangle est égale à la moitié du produit d'une base par la hauteur correspondante. A = bh où A représente la mesure de l'aire, b représente la mesure de la base, h représente la mesure de la hauteur.
19 Remarque La même formule s'applique lorsque le triangle est rectangle ou obtusangle. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Calculer l'aire d'un triangle dont la base mesure 6,5 m et la hauteur 3, m. A = bh 1,6 A = 6,5 m x /3,/ m / 1 A = 10, m Aire = 10, m ) Calculer la base d'un triangle dont l'aire mesure 10 cm et la hauteur 1 cm. A = bh 7 10 cm = b x /1/ cm / 1 10 cm = b x 7 cm 10 cm = b 7 cm 0 cm = b Base = 0 cm
EXERCICE 0 1. Calculer l'aire de chaque triangle. a. b. c.. Compléter le tableau suivant sachant qu'il s'agit de triangles. Base Hauteur Aire 16 cm,5 cm,8 m,6 m 0, m 6,5 cm 8 cm 1 cm 3, m 0,6 m 0, km 8, cm 180 cm 7,75 cm 16,56 m 0,08 km 3. Deux triangles ont une aire de 1 080 cm chacun. Quelle est la différence de leurs hauteurs si leurs bases mesurent respectivement cm et 7 cm?
EXERCICE 1. Calculer le périmètre et l'aire d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 0 cm et un des côtés de l'angle droit mesure 1 cm. 5. Calculer l'aire d'un clocher composé de triangles égaux dont la base mesure 5 m et la hauteur 15 m. 6. Calculer la hauteur (en cm) d'un triangle dont la base mesure 10 mm sachant que son aire est égale à la moitié de celle d'un carré de, cm de côté. 7. Calculer l'aire d'un triangle rectangle dont l'un des côtés de l'angle droit mesure 15 cm et l'hypoténuse mesure 17 cm. 8. Le périmètre d'un triangle équilatéral mesure 390 cm et sa hauteur mesure 11,6 cm. Calculer l'aire de ce triangle.
. CALCULER L'AIRE, LA BASE ET LA HAUTEUR D'UN PARALLÉLOGRAMME Un parallélogramme ABCD est formé de deux triangles congrus, soient : ABC = ADC ayant les mêmes côtés comme base : AD = BC = b et les mêmes hauteurs correspondant à ces côtés : AH = EC = h. Donc l'aire du ABCD = Aire du ABC + Aire du ADC = 1/ x BC x EC + 1/ x AD x AH = 1/ x b x h + 1/ x b x h = bh
3 Conclusion L'aire d'un parallélogramme est égale au produit d'un côté par la hauteur correspondante. A = bh où A représente la mesure de l'aire, b représente la mesure de la base, h représente la mesure de la hauteur. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Calculer l'aire d'un parallélogramme dont la base mesure 17 cm et la hauteur mesure 9 cm. A = bh A = 17 cm x 9 cm A = 153 cm Aire = 153 cm ) Calculer la hauteur d'un parallélogramme dont l'aire est de 810 cm et la base 5 cm. A = bh 810 cm = 5 cm x h 810 cm = h 5 cm 18 cm = h Hauteur = 18 cm
EXERCICE 5 1. Trouver les mesures qui manquent dans les parallélogrammes suivants. Base Hauteur Aire,7 m 0,9 m 0 cm 180 cm 0,8 m 1,8 m,7 m 1,3 m 0,8 m 0, m 19, cm 67,9 cm 1,6 m 0,8 m 3 cm 1 cm. Une parcelle de terrain a la forme d'un parallélogramme. Sa base mesure 38 m et sa hauteur mesure 0 m. a. Calculer son aire. b. Sur cette parcelle, une maison rectangulaire mesure 5 m de long et 15 m de large. Calculer l'aire de la maison. c. Calculer l'aire de la parcelle non recouverte par la maison. 3. Calculer l'aire d'un parallélogramme dont la base mesure 3, cm et la hauteur mesure 1,5 cm.. Calculer la base d'un parallélogramme dont l'aire mesure 7,8 m et la hauteur mesure 1, m.
5.5 CALCULER L'AIRE D'UN LOSANGE Soit le losange ABCD, où AC et BD sont les diagonales. T est la région limitée par le losange ABCD. Aire T = Aire ABC + Aire ADC T = 1/ AC x OB + 1/ AC x OD T = 1/ AC (OB + OD) T = 1/ AC x BD
6 Conclusion L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit des diagonales. A = Dd où A représente la mesure de l'aire, D représente la mesure de la grande diagonale, d représente la mesure de la petite diagonale. +)))))))), *Exemple *.))))))))- Calculer l'aire d'un losange dont la grande diagonale mesure 9 cm et la petite diagonale mesure 6 cm. A = Dd 3 A = 9 cm x /6 cm / 1 A = 7 cm Aire = 7 cm
EXERCICE 6 7 1. Calculer l'aire des losanges suivants. a. D = 7 cm et d =,5 cm b. D = 1, cm et d = 8,0 cm c. D =,8 m et d =,5 m d. D = 18 cm et d = 1 cm e. D = 56 mm et d = 1 mm f. D = 0,8 m et d = 0,75 m. Un cerf-volant losangique est monté sur une croix formée de deux baguettes mesurant respectivement 0,9 m et 0,6 m. Calculer l'aire du cerf-volant. 3. Le ministère des Transports décide d'installer des losanges jaunes pour avertir les conducteurs de ralentir. Calculer en m l'aire totale de tôle, que l'on devra utiliser s'il y a 150 indicateurs et si les diagonales de ces losanges sont égales et mesurent 77 cm.. Calculer en m, l'aire d'un vitrail formé de 500 petits losanges égaux ayant des diagonales de,5 cm et 5,5 cm. 5. Calculer le côté d'un carré qui a la même aire qu'un losange dont les diagonales mesurent 16 cm et 8 cm. 6. Calculer la hauteur d'un rectangle de 30 cm de base qui a la même aire qu'un losange dont la grande diagonale mesure cm et la petite diagonale mesure 16 cm. Donner la réponse au 0,1 près.
8.6 CALCULER L'AIRE, LA HAUTEUR ET LA BASE D'UN TRAPÈZE Soit le trapèze ABCD, où la base BC est représentée par B, la base AD est représentée par b, la hauteur AH est représentée par h. Prolonger BC d'une longueur CE = b et AD d'une longueur DF = B. Alors le trapèze DCEF (II) est égal au trapèze ABCD (I). Aire du parallélogramme ABEF = (B + b) x h et l'aire ABCD = 1/ de l'aire de ABEF donc l'aire de ABCD = (B + b) h
9 Conclusion L'aire d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la somme des bases par la hauteur. A = (B + b) h où A représente la mesure de l'aire, B représente la mesure de la grande base, b représente la mesure de la petite base, h représente la hauteur. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Les deux bases d'un trapèze mesurent respectivement 5 cm et 1 cm et la hauteur 8 cm. Calculer l'aire. A = (B + b) h A = (1 cm + 5 cm) /8 m / 1 A = 17 cm x cm A = 68 cm Aire = 68 cm
30 ) La somme des bases d'un trapèze est 3 cm et l'aire est de 136 cm. Calculer la hauteur. A = (B + b) h 17 136 cm = /3/ cm x h / 1 136 cm = h 17 cm 8 cm = h Hauteur = 8 cm 3) Calculer la grande base d'un trapèze dont l'aire mesure 07 cm, la hauteur 9 cm et la petite base 15 cm. A = (B + b) h,5 cm 07 cm = (B + 15 cm) /9 cm / 1 07 cm =,5 cm B + 67,5 cm 07 cm - 67,5 cm =,5 cm B 139,5 cm =,5 cm B 139,5 cm = B,5 cm 31 cm = B Base = 31 cm
EXERCICE 7 31 1. Les différentes mesures étant données en centimètres, calculer l'aire du trapèze. Hauteur Grande base Petite base,5 1,5 6 19 8 0,6, 1,5,5 7 5 3. Calculer la hauteur d'un trapèze dont l'aire est 175 cm et la somme des bases est 35 cm. 3. Un trapèze a une aire de 710 cm. Calculer sa hauteur. Sa grande base est 3 cm et sa petite base 8 cm.. L'aire d'un trapèze est 6 500 mm. 60 mm et la grande de 117 mm. Calculer la petite base lorsque la hauteur mesure 5. Trouver les valeurs qui manquent dans les trapèzes suivants. Aire Grande base Petite base Hauteur 810 cm 39 cm 0 cm 56 cm 10 cm 8 cm 70 cm 13 cm 5 cm 1 50 cm 0 cm 50 cm
3.7 CALCULER L'AIRE DE POLYGONES QUELCONQUES Il n'existe pas de formules toutes faites permettant de calculer l'aire de polygones quelconques. Cependant, en décomposant le polygone en figures plus simples, il est possible de trouver l'aire. Soit à trouver l'aire du polygone ci-dessous.
33 Le polygone ABCDE est formé du rectangle AFDE et du trapèze FBCD.
3
35 Aire du rectangle = LR = cm x 3 cm = 1 cm Aire du trapèze = (B + b) h = (6 cm + cm) 7 cm 5 = /1/0 cm x 7 cm / 1 = 35 cm Aire du polygone = 1 cm + 35 cm = 7 cm
EXERCICE 8 36 1. Calculer l'aire des polygones suivants. a. b. c.
EXERCICE 8 37 d. e. f.
38 3.0 AIRE DU CERCLE 3.1 CALCULER L'AIRE ET LE RAYON D'UN CERCLE Au lieu de l'aire du cercle on devrait dire l'aire du disque. Le disque est la région intérieure du cercle et le cercle est une ligne courbe fermée. Cependant, on tolère de dire l'aire d'un cercle pour signifier l'étendue de la région intérieure à celui-ci. Soit un cercle de rayon R. 1. Diviser ce cercle en secteurs égaux.. Séparer les secteurs et les regrouper pour former une figure ressemblant à un parallélogramme. L'aire de ce parallélogramme sera la base fois la hauteur ou 1/ périmètre du cercle fois le rayon : 1 (/Br)r /
39 Conclusion L'aire du cercle est égale au produit de B par le carré du rayon. A = Br où A représente la mesure de l'aire, B représente 3,1, r représente la mesure du rayon. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Calculer l'aire d'un cercle dont le rayon mesure,5 cm. A = Br A = 3,1 (,5 cm) A = 3,1 (6,5 cm ) A = 19,65 cm Aire = 19,6 cm ) Calculer le rayon d'un cercle dont l'aire mesure 00,96 cm. A = Br 00,96 cm = 3,1 r 00,96 cm = r 3,1 6 cm = r /6 cm = /r 8 cm = r Rayon = 8 cm
EXERCICE 9 0 À moins d'indication contraire, les réponses sont au 0,01 près. 1. Calculer les aires des cercles dont les rayons (r) ou les diamètres (d) sont indiqués cidessous. a. r = 1 cm f. d = cm b. r = 3,6 mm g. d = cm c. r = 0,5 m h. d =, m d. r = cm i. d = 18 cm e. r = 6 mm j. d = 0 mm. Calculer le rayon d'un cercle dont l'aire mesure 153,86 cm. 3. Calculer le diamètre d'un cercle dont l'aire mesure 379,9 cm.. Calculer le rayon d'un cercle dont l'aire mesure 19,65 mm. 5. Calculer la circonférence d'un cercle dont l'aire mesure 113,0 cm. 6. Calculer le rayon d'un cercle dont l'aire mesure 113 cm. 7. Le côté d'un carré mesure 10 cm. Calculer l'aire du cercle inscrit dans ce carré. 8. La circonférence d'un cercle et le périmètre d'un carré mesurent respectivement 10 cm. a. Laquelle des figures a la plus grande aire? b. De combien?
EXERCICE 9 1 9. On veut couper le plus grand miroir circulaire possible dans un morceau de verre carré de 60 cm de côté. Combien de cm de verres seront perdus? 10. Un chien est attaché à une chaîne de m de longueur. Calculer l'aire du terrain accessible au chien. 11. On veut revêtir de gazon un îlot de forme circulaire. Si l'îlot mesure 0 m de diamètre et que le gazon se vend,5 $ pour 1,5 m, calculer le coût. 1. Combien faut-il de cercles de 1 cm de rayon pour avoir une aire égale à celle d'un cercle de 1 m de rayon? 13. Une salle rectangulaire de 18 m sur 1 m est agrandie d'un côté par un demi-cercle dont le diamètre mesure 1 m. Calculer l'aire de la salle. 1. Le diamètre d'une pizza est 15 cm. Si le prix est 1,75 $, calculer combien coûte 1 cm de cette pizza. 15. Un appareil d'arrosage peut arroser une pelouse jusqu'à une distance de 10 m de l'appareil. Calculer l'aire arrosée à chaque révolution. 16. Dans un cercle de cm de diamètre, on découpe cercles de cm de diamètre. Calculer l'aire de la partie qui reste. 17. Dans un carré de 8 cm de côté, on découpe cercles de cm de diamètre. Calculer l'aire de la partie qui reste. 18. Calculer l'aire d'un cercle qui a le même périmètre qu'un triangle équilatéral de 7 mm de côté. (Réponse au 0,1 près) 19. Calculer au 0,1 près le rayon du cercle dont l'aire est équivalent à : a. un carré de 36 mm de côté; b. un rectangle de 36 cm sur 0 cm.
3. CALCULER L'AIRE D'UNE COURONNE Une couronne circulaire est une portion de cercle comprise entre deux circonférences concentriques. Soit R le rayon de la circonférence extérieure. r le rayon de la circonférence intérieure. L'aire de la couronne s'obtient en retranchant l'aire du petit cercle de celle du grand cercle. On a A = BR - Br
3 Conclusion L'aire d'une couronne est égale à l'aire du grand cercle moins l'aire du petit cercle. A = BR - Br où A représente la mesure de l'aire, B représente 3,1, R représente la mesure du rayon du grand cercle, r représente la mesure du rayon du petit cercle. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Calculer l'aire d'une couronne sachant que le rayon du grand cercle est 6 cm et le petit rayon est cm. A = BR - Br A = 3,1 (6 cm) - 3,1 ( cm) A = 3,1 (36 cm ) - 3,1 (16 cm ) A = 113,0 cm - 50, cm A = 6,8 cm Aire = 6,8 cm
) Un rond-point a 33 m de rayon. La rue qui l'entoure mesure 0 m. Calculer l'aire de la rue. R = (0 + 33) m R = 53 m A = BR - Br A = 3,1 (53 m) - 3,1 (33 m) A = 3,1 ( 809 m ) - 3,1 (1 089 m ) A = 8 80,6 m - 3 19,6 m A = 5 00,8 m L'aire de la rue est 5 00,8 m.
EXERCICE 10 5 À moins d'indication contraire, les réponses sont au 0,01 près. 1. Calculer l'aire des couronnes suivantes. a. R = 1,5 cm et r = 1, cm d. D = 30 cm et d = 0 cm b. R = 5 cm et r = cm e. D = 1 cm et d = 8 cm c. R = 1 mm et r = 8 mm f. D = 1,6 cm et d = 0,8 cm. Au jardin zoologique un étang mesure 15 m de diamètre. Au centre de l'étang, il y a un îlot circulaire en béton de 3 m de rayon. Calculer l'aire de l'eau. 3. Une plate-bande circulaire de 6 m de diamètre est entourée d'une allée de 1, m. Calculer l'aire de cette allée.. Calculer l'aire de section (en cm ) d'un tuyau de cuivre dont le diamètre intérieur est 10 mm et l'épaisseur du métal est 1 mm. 5. Un disque de 5, cm de diamètre repose exactement au centre d'un autre disque de 15, cm de rayon. Calculer l'aire visible du grand disque. 6. Une pelouse circulaire dont le diamètre mesure 30 m est entourée extérieurement d'une allée de,5 m de largeur. Calculer l'aire de cette allée.
6.0 AIRE DES SOLIDES.1 PRÉSENTER LA NOTION DE SOLIDE Dans la première partie de ce module, on a étudié les figures géométriques planes soient les polygones et le cercle. Les surfaces que renferment ces figures possèdent deux dimensions : longueur et largeur. Cependant, beaucoup d'objets que l'on rencontre dans la vie courante possèdent trois dimensions : une maison, un support à disquettes, un silo, etc. Ce sont des SOLIDES. Un solide est limité par ses FACES. Celles-ci peuvent être planes ou courbes et c'est cette différence qui permet de les classifier. CLASSIFICATION DES SOLIDES 1. Les polyèdres. Les corps ronds
7 POLYÈDRES Tous les solides qui n'ont que des faces planes sont des polyèdres. Les prismes et les pyramides sont des exemples les plus simples. prisme pyramide CORPS RONDS Tous les solides qui ont au moins une face courbe sont des corps ronds. Les principaux sont le cylindre, le cône, la sphère. cylindre cône sphère
8 Dans un polyèdre, on nomme FACES les limites du solide, ARÊTE le segment formé par la rencontre de deux faces et SOMMET le point de rencontre de deux arêtes. Les faces formant les côtés du solides sont dites LATÉRALES; celles formant le dessus et le dessous sont appelées BASES.
9 PRISMES DROITS Les prismes droits sont des solides dont les faces latérales sont des rectangles et les bases sont des polygones parallèles et congrus entre eux et perpendiculaires aux faces latérales. +)))))))), *Exemple *.)))))))) PRISMES OBLIQUES prisme droit Dans des prismes obliques, les arêtes ne sont pas perpendiculaires aux bases. +)))))))), *Exemple *.)))))))) prisme oblique
50 Dans ce cahier, les prismes étudiés seront : 1. le cube;. le prisme rectangulaire; 3. le prisme triangulaire. +)))))))), *Exemples*.))))))))
51
5. CALCULER L'AIRE LATÉRALE D'UN CUBE Si toutes les arêtes d'un prisme droit sont congrues, ce prisme est appelé un CUBE. Il est formé de six carrés congrus (deux bases et quatre faces latérales). Un dé est un exemple. AIRE LATÉRALE L'aire latérale d'un solide est égale à la somme des aires des faces latérales des solides. Soit un cube, où la longueur d'une arête est représentée par "a".
53 Si on développe ce cube, on a une surface latérale composée de quatre carrés congrus. Aire d'un carré = côté = a Aire de carrés = a Conclusion +)))))))), *Exemple *.))))))))- L'aire latérale d'un cube est égale à quatre fois l'aire d'une face. A = a L où A représente la mesure de l'aire latérale, L a représente la mesure d'une arête. Calculer l'aire latérale d'un cube dont l'arête mesure 3 cm. A = a L
5 A = (3 cm) L A L = (9 cm ) A = 36 cm Aire latérale = 36 cm L
EXERCICE 11 55 1. Calculer l'aire latérale de chaque cube, lorsque la longueur de l'arête est donnée. (Réponses au 0,01 près) a. 1, m d. 3,5 cm b. 0,7 m e. 0,3 m c. 15 cm f. 0 mm. Calculer l'aire latérale de la figure ci-dessous. Ce solide est formé de cubes dont les arêtes mesurent cm.
5.3 CALCULER L'AIRE TOTALE D'UN CUBE AIRE TOTALE L'aire totale d'un solide est la somme des aires de toutes les faces d'un solide. Si on développe un cube, la surface totale se compose de six carrés congrus. Il suffit donc d'ajouter l'aire des deux bases à l'aire latérale. Aire totale = aire latérale + aire des bases A T = a + a A T = 6a Conclusion L'aire totale d'un cube est égale à six fois l'aire d'une face. A = 6a T où A représente la mesure de l'aire, a représente la mesure d'une arête.
55 +)))))))), *Exemple *.))))))))- Quelle est l'aire totale d'un cube dont l'arête mesure 5 cm? A T = 6a A T = 6 (5 cm) A T = 6 (5 cm ) A T = 150 cm Aire T = 150 cm
EXERCICE 1 56 1. Calculer l'aire totale de chaque cube lorsque la longueur de chaque arête est donnée. (Réponse au 0,01 près) a.,9 cm e. 0,15 m b. 13 mm f. 6 cm c. 0, m g. 0,05 m d. 1, m h. 10 cm. Calculer l'aire totale d'un cube dont l'arête mesure, cm.
57. CALCULER L'AIRE LATÉRALE ET L'AIRE TOTALE D'UN PRISME RECTANGULAIRE DROIT Le prisme rectangulaire droit est un solide limité par six rectangles (deux bases et quatre faces latérales). Une brique est un exemple. Soit un prisme rectangulaire, où la longueur BC est représentée par L, la largeur CG est représentée par R, la hauteur AB est représentée par h.
58 Si on développe ce prisme, on a une surface latérale composée de quatre rectangles (partie hachurée). Ces rectangles forment un grand rectangle ayant AB comme hauteur et (BC + CG + GF + FB) comme base mais BC = GF CG = FB donc la base est (L + R). Puisque l'aire d'un rectangle = b x h on a l'aire latérale = (L + R) x h A L = Lh + Rh
59 Conclusion L'aire latérale d'un prisme rectangulaire droit est égale à la somme de deux fois la longueur par la hauteur et deux fois la largeur par la hauteur. A = Lh + Rh L où A représente la mesure de l'aire latérale, L L représente la mesure de la longueur, R représente la mesure de la largeur, h représente la mesure de la hauteur. Pour trouver l'aire totale, il faut ajouter l'aire des deux bases à l'aire latérale. Aire totale = Aire latérale + Aire de base 1 + Aire de base A = Aire latérale + Aires de base [B + B ] T 1 A = (Lh + Rh) + (BC x CG) T A = Lh + Rh + LR T Conclusion L'aire totale d'un prisme rectangulaire droit est égale à la somme de l'aire latérale et de deux fois l'aire d'une base. A T = A L + LR où A T représente la mesure de l'aire totale, A L représente la mesure de l'aire latérale, L représente la mesure de la longueur, R représente la mesure de la largeur.
60 +)))))))), *Exemple *.))))))))- Un prisme rectangulaire a pour base un rectangle de cm de largeur sur 8 cm de longueur et sa hauteur mesure 6 cm. Calculer : a. l'aire latérale; b. l'aire totale. a. L = 8 cm R = cm h = 6 cm A L = Lh + Rh A L = ( x 8 cm x 6 cm) + ( x cm x 6 cm) A L = 96 cm + 8 cm A = 1 cm A = 1 cm L L b. A T = A L + LR A T = 1 cm + ( x 8 cm x cm) A T = 1 cm + 6 cm A = 08 cm T A T = 08 cm
EXERCICE 13 61 1. Soient des prismes rectangulaires, calculer : a. l'aire latérale; b. l'aire totale. Longueur Largeur Hauteur 5 cm cm cm 10 cm 6 cm 8 cm 16,5 cm 13 cm 10 cm,5 m 1,5 m 1,6 m 3 mm mm 8 mm 1 cm 0 cm 9 cm 7 cm 1 cm 7 cm 3,1 cm 0,9 cm,6 cm. Une boîte a m de longueur,,5 m de largeur et 1, m de hauteur. Combien paierat-on pour peinturer les côtés à raison de,50 $ le mètre carré? 3. Une chambre à coucher mesure 5 m de longueur,,5 m de largeur et 3,8 m de hauteur. Combien doit-on payer pour tapisser les murs à raison de,50 $ le mètre carré?. Une citerne mesure 9 m de longueur, 7 m de largeur et m de profondeur. Combien doit-on payer pour faire cimenter les quatre murs et le fond, à raison de 0,6 $ le mètre carré?
6.5 CALCULER L'AIRE LATÉRALE ET L'AIRE TOTALE D'UN PRISME TRIANGULAIRE DROIT DONT LA BASE EST UN TRIANGLE ÉQUILATÉRAL Le prisme triangulaire droit est un solide limité par deux triangles (bases) et trois quadrilatères (faces latérales). Une tente est un bon exemple de ce genre de prisme. Soit un prisme triangulaire, où la longueur AB est représentée par L, la largeur AC est représentée par R, la base BG est représentée par b, la hauteur CF est représentée par h.
63 Si on développe ce prisme, on a une surface latérale composée de trois quadrilatères (partie hachurée). Puisque l'aire d'un quadrilatère = L x R On a l'aire latérale = 3(L x R) Conclusion L'aire latérale d'un prisme triangulaire dont la base est un triangle équilatéral est égale à trois fois le produit de la longueur par la largeur. A = 3(LR) L où A représente la mesure de l'aire latérale, L L représente la mesure de la longueur, R représente la mesure de la largeur. Aire totale = Aire latérale + Aire de base + Aire de base 1 A = Aire latérale + Aires de base (B + B ) T 1 A = 3L x 3R + / bh [l'aire = bh] T / A = 3(LR) + bh T
6 Conclusion L'aire totale d'un prisme triangulaire droit dont la base est un triangle équilatéral est égale à la somme de l'aire latérale et de deux fois l'aire d'une base. A T = A L + bh où A T représente la mesure de l'aire totale, A L représente la mesure de l'aire latérale, b représente la mesure de la base, h représente la mesure de la hauteur. +)))))))), *Exemple *.))))))))- Un prisme triangulaire a pour base et largeur cm, pour longueur 6 cm et pour hauteur 3,5 cm. Calculer : a. l'aire latérale; b. l'aire totale. a. L = 6 cm R = cm A L = 3(LR) A L = 3(6 cm x cm) A = 3 x cm L A = 7 cm A = 7 cm L L b. A = 7 cm L b = cm h = 3,5 cm A T = A L + bh A T = 7 cm + ( cm x 3,5 cm) A T = 7 cm + 1 cm A = 86 cm A T = 86 cm T
EXERCICE 1 65 1. Soient des prismes triangulaires, calculer : a. l'aire latérale; b. l'aire totale. Longueur Largeur/Base Hauteur,5 cm 1,5 cm 1,3 cm 10 m 10 m 8,8 m, m 3 m,6 m 6 dm 3 dm,6 dm 33 mm 1 mm 35 mm. Un contenant dont la base est un triangle équilatéral doit être recouvert de tissu. Si la longueur mesure 5 dm; la largeur et la base mesurent 0 dm et la hauteur mesure 17, dm, combien de m de tissu est necéssaire? (au m près) 3. Combien de litres de peinture faudra-t-il acheter pour peindre une pièce (les murs et le plafond) de, m de longueur sur 3,6 m de largeur et,5 m de hauteur? Il faut exclure une fenêtre de 1,6 m sur 0,9 m et une porte de 68 cm sur 00 cm. On doit appliquer deux couches et tenir compte qu'un litre de peinture couvre 10 m.. On veut fabriquer une boîte ayant la forme d'un prisme rectangulaire de 0 cm sur 80 cm sur 5 cm. Calculer l'aire de la boîte sachant qu'elle n'a pas de couvercle. 5. Combien de rouleaux de papier peint faudra-t-il pour tapisser les murs d'une chambre de m sur 6 m sur,5 m? Il y a deux fenêtres de m sur 1 m et une porte de 0,75 m sur 1,75 m. Un rouleau de papier peint couvre 1 m.
EXERCICE 1 66 6. On juxtapose cubes de 50 cm d'arête. a. Calculer l'aire de la base supérieure obtenue. b. Calculer l'aire totale du prisme rectangulaire obtenu. 7. Combien doit-on acheter de litres de peinture si on veut peindre le plafond et les murs d'une chambre de 6 m de longueur sur m de largeur sur,5 m de hauteur. Un litre de peinture couvre 10 m. 8. Une chambre froide a 10 m de longueur, 6 m de largeur et m de hauteur. Calculer combien de m d'un isolant est nécessaire pour couvrir les murs et le plafond de cette chambre.
67.6 CALCULER L'AIRE LATÉRALE ET L'AIRE TOTALE D'UNE PYRAMIDE Une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et les autres faces sont des triangles ayant un sommet commun. Une pyramide tire son nom de la forme géométrique de sa base. Elle sera triangulaire, rectangulaire, hexagonale, etc. selon que la base est un triangle, un rectangle ou un hexagone etc. Dans une pyramide, il faut distinguer entre : la hauteur; l'apothème; l'arête latérale. Soit? a représentant l'apothème.
68 HAUTEUR La hauteur est la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base. APOTHÈME L'apothème est la hauteur du triangle isocèle d'une face triangulaire. ARÊTE LATÉRALE L'arête latérale est la ligne d'intersection de deux triangles de la pyramide (formant les côtés). Soit une pyramide à base carrée, où la longueur du côté du carré est représentée par c, la longueur de l'apothème est représentée par a. Si on développe cette pyramide, la surface latérale est composée de quatre triangles isocèles égaux ayant comme base chacun des côtés du polygone de base et comme hauteur l'apothème de la pyramide.
69 A L = fois l'aire du triangle A L = (b x h) A = (c x a) L A = Pa L [C = périmètre de la base] Conclusion L'aire latérale d'une pyramide est égale à la moitié du produit du périmètre de la base par l'apothème. A = Pa L où A L représente la mesure de l'aire latérale, P représente la mesure du périmètre de la base, a représente la mesure de l'apothème. Pour trouver l'aire totale d'une pyramide, il faut ajouter l'aire de la base. A T = A L + Aire de la base A T = A L + B Conclusion L'aire totale d'une pyramide est égale à la somme de l'aire latérale et de l'aire de la base. A T = A L + B où A T représente la mesure de l'aire totale, A L représente la mesure de l'aire latérale, B représente la mesure de l'aire de la base.
70
71 +)))))))), *Exemple *.))))))))- Une pyramide a pour base un carré de 1 m de côté. Ses faces latérales sont des triangles congrus dont la hauteur mesure 16 m. Calculer : a. l'aire latérale; b. l'aire totale. a. A L = Pa A L = / x 1 m x 16 m / 1 A L = 67 m A L = 67 m b. A T = A L + B A = 67 m + c T A T = 67 m + (1 m) A T = 67 m + 1 m A = 1 113 m A = 1 113 m T T
EXERCICE 15 7 1. Calculer l'aire latérale des pyramides suivantes. Côté cm 3 cm 10 cm Apothème 5 cm cm 8 cm Polygone de base carré hexagone régulier triangle équilatéral. La flèche d'un clocher a la forme d'une pyramide hexagonale régulière. Quelle sera la surface à peinturer si l'apothème est de 0 m et le côté de la base mesure,5 m? 3. Une pyramide a pour base un carré de 8 cm de côté et pour faces latérales des triangles équilatéraux qui ont un apothème de 6,9 cm. Calculer l'aire totale au 0,1 près.
7.7 CALCULER L'AIRE LATÉRALE ET L'AIRE TOTALE D'UN CYLINDRE Un cylindre est engendré par la rotation d'un rectangle autour de son axe. Une boîte de conserves est un exemple. Le cylindre se compose de trois parties : deux extrémités planes (les bases); une surface courbe (surface latérale).
73 Soit un cylindre, où la mesure du rayon d'une base est représentée par r, la mesure de la hauteur est représentée par h. Si on déroule cette surface courbe, on obtient une surface plane rectangulaire dont la base est égale à la circonférence du cercle et la hauteur est égale à la hauteur du cylindre. Donc l'aire latérale = l'aire du rectangle A = Brh L
7 Conclusion L'aire latérale d'un cylindre est égale au produit de la circonférence d'une base par la hauteur de ce cylindre. A = Brh L où A représente la mesure de l'aire latérale, L B représente 3,1, r représente la mesure du rayon de la base, h représente la mesure de la hauteur. Pour trouver l'aire totale, il faut ajouter l'aire des deux extrémités. A T = A L + Aires d'un cercle A = A + Br T L Conclusion L'aire totale d'un cylindre est égale à la somme de l'aire latérale et des aires des bases du cylindre. A = A + Br T L où A T représente la mesure de l'aire totale, A L représente la mesure de l'aire latérale, B représente 3,1, r représente la mesure du rayon de la base.
75 +)))))))), *Exemple *.))))))))- Calculer l'aire totale d'un cylindre si le rayon de la base mesure 8 cm et la hauteur 10 cm. A = Brh + Br T A T = ( x 3,1 x 8 cm x 10 cm) + ( x 3,1 x 8 cm x 8 cm) A T = 50, cm + 01,9 cm A = 90,3 cm A = 90,3 cm T T
EXERCICE 16 76 1. Soient des cylindres, calculer au 0,1 près : a. l'aire latérale; b. l'aire totale. Rayon Hauteur, cm 3,5 cm cm 5 cm 10 cm 15 cm 50 mm 30 mm 1 cm 9 cm. Le diamètre de l'ouverture d'un vase cylindrique est de 9 cm et sa profondeur est 30 cm. Calculer l'aire totale au 0,01 près. 3. Calculer l'aire latérale d'une piscine dont le diamètre mesure 8 m et la hauteur,5 m.. Combien paiera-t-on pour peindre l'extérieur d'une piscine hors-terre de 8 m de diamètre et d'une hauteur de 1,5 m, à raison de 1,90 $ le m? 5. Un ferblantier doit faire un tuyau en tôle, fermé à un bout, mesurant 6 cm de diamètre et 1,7 m de longueur. Combien coûtera la tôle que l'on devra utiliser à 1 $ le m? 6. Un rouleau a m de longueur et 1, m de diamètre. Calculer l'aire couverte par ce rouleau après 00 révolutions. 7. Calculer l'aire totale du plus grand cylindre que l'on peut obtenir d'un cube de bois de 15 cm d'arête.
EXERCICE 16 77 8. Un réservoir cylindrique mesure 7 m de diamètre et 5 m de hauteur et un réservoir à base carrée 7 m de côté et 5 m de hauteur. Lequel des deux représente la plus grande surface totale, et de combien est-elle plus grande? 9. Calculer l'aire de la surface intérieure et la surface extérieure d'un tuyau circulaire dont la hauteur est m, le diamètre intérieur 15 cm et l'épaisseur de la paroi 1 cm. 10. Le rayon d'un cylindre mesure 9, cm et sa hauteur 6,3 cm. Quelle est l'augmentation de l'aire totale de ce cylindre, si l'on allonge son rayon de 1 cm? 11. Quelle est l'aire totale du plus grand cylindre que l'on peut obtenir d'un cube de bois de 18 cm d'arête?
78.8 CALCULER L'AIRE LATÉRALE ET L'AIRE TOTALE D'UN CÔNE Un cône est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour de l'un des côtés de l'angle droit. Une toiture de tour ronde est un exemple. Le cône se compose de deux parties : un cercle (la base); une surface courbe (surface latérale).
79 Dans un cône, il faut distinguer entre : la hauteur; la génératrice; le rayon. HAUTEUR La hauteur est la distance du sommet à la base. GÉNÉRATRICE La génératrice est le segment reliant le sommet à un point du cercle limité par la base. RAYON Le rayon du cône est le rayon de la base du cône. Puisqu'on peut considérer le cône comme une pyramide régulière de forme ronde dont la base est un cercle, l'aire latérale se calcule comme celle d'une pyramide régulière. Il s'agit de remplacer la mesure de l'apothème par celle de la génératrice. On a A L = P x g [Périmètre = Circonférence] où A L = Br x g donc A L = Br x g
80 Conclusion L'aire latérale du cône est égale au produit de B par le rayon de la base par la génératrice. A = Brg L où A représente la mesure de l'aire latérale, L B représente 3,1, r représente la mesure du rayon de la base, g représente la mesure de la génératrice. Pour trouver l'aire totale d'un cône, il faut ajouter l'aire de la base. A T = A L + Aire de la base = A + Br L Conclusion L'aire totale d'un cône est égale à la somme de l'aire latérale et de l'aire de la base. A = A + Br T L où A T représente la mesure de l'aire totale, A L représente la mesure de l'aire latérale, B représente 3,1, r représente la mesure du rayon de la base.
81 +)))))))), *Exemple *.))))))))- Calculer l'aire totale d'un cône dont le rayon de la base est cm et la génératrice est 30 cm. A = Brg + Br T A T = (3,1 x cm x 30 cm) + [3,1( cm) ] A T = 376,8 cm + 50, cm A = 7 cm A = 7 cm T T
EXERCICE 17 8 1. Calculer l'aire totale des cônes suivants. Rayon de la base,3 cm,8 cm 5,9 cm Génératrice 9,6 cm 1,8 cm 10,8 cm. Calculer l'aire latérale d'un cône dont le rayon de la base mesure 6,8 cm et la génératrice mesure 1,8 cm. 3. Calculer l'aire totale d'un cône dont le diamètre mesure 1 cm et la génératrice est de cm.
83.9 CALCULER L'AIRE D'UNE SPHÈRE Une sphère est engendrée par la rotation d'un demi-cercle autour de son diamètre. La surface sphérique est l'ensemble de tous les points de l'espace équidistants d'un point fixe appelé centre. Une balle est un exemple. La surface d'une sphère ne peut être développée dans un plan, mais en géométrie théorique on peut démontrer que l'aire d'une sphère est égale à celle de quatre cercles. Conclusion L'aire d'une sphère est égale à quatre fois l'aire d'un cercle. A = Br où A représente la mesure de l'aire, B représente 3,1, r représente la mesure du rayon.
8 +)))))))), *Exemple *.))))))))- Calculer l'aire d'une sphère dont le rayon mesure 6 cm. A = Br A = x 3,1 x (6 cm) A = 5, cm Aire = 5, cm
EXERCICE 18 85 1. Calculer l'aire d'une sphère dont le rayon mesure : a.,5 m b. 1,8 cm c.,3 cm. Un réservoir cylindrique se termine à chaque extrémité par une demi-sphère dont le rayon mesure m. Le corps du réservoir a une longueur de 10 m. Calculer l'aire de ce réservoir. 3. Combien paiera-t-on pour dorer une boule de 6 m de diamètre à raison de soixantequinze cents le mètre carré?
EXERCICE DE RENFORCEMENT 86 5.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT 1. Un terrain rectangulaire a une aire de 7 500 m et 75 m de largeur. Combien paiera-ton pour l'entourer à raison de 0,65 $ le mètre linéaire?. Un rectangle a 180 m de périmètre. Calculer son aire si la longueur est le double de la largeur. 3. Calculer l'aire d'un parallélogramme dont la base mesure 15 cm et la hauteur les 3/5 de la base.. Un jardin de forme carrée a 80 m de périmètre. On trace une allée en croix de m de largeur. Calculer l'aire de cette allée. 5. Combien de carreaux de 0 cm sur 0 cm a-t-on besoin pour couvrir un plancher mesurant 10,6 m sur 8,8 m? 6. La plus petite diagonale d'un losange mesure 0 cm et sa plus grande diagonale 3 cm. Calculer l'aire. 7. L'aire d'un parallélogramme est de 80 cm. Sa base est la même que celle d'un triangle dont la hauteur est 16 cm et l'aire 30 cm. Calculer la hauteur du parallélogramme. 8. Trouver l'aire d'un rectangle dont la base mesure (x - 5) cm et la hauteur (x + 3) cm.
EXERCICE DE RENFORCEMENT 87 9. Calculer l'aire totale du prisme triangulaire dont la base est un triangle équilatéral. R/b = 8 cm L = 10,3 cm h = 6,9 cm 10. Un rectangle a un périmètre de 1 km. Si la longueur mesure 3 fois la largeur, calculer l'aire en hm et m. 11. Quelle est la mesure du côté d'un carré dont l'aire est 95 cm? Donner la réponse au 0,1 près. 1. L'aire d'un rectangle mesure 0,95 m. longueur. Si la largeur mesure 0,3 m, calculer la 13. Un des côtés d'un triangle mesure 35 cm et la hauteur correspondante 17 cm. Si un autre côté de ce triangle mesure 0 cm, calculer la hauteur correspondante à ce côté. 1. L'aire d'un parallélogramme est 90 cm et sa hauteur 150 mm. Calculer (en mm) la base de ce parallélogramme. 15. Un mur mesure 8 m sur 1 m. a. Calculer l'aire du mur en cm. b. Combien de briques a-t-on besoin pour recouvrir ce mur, si chaque brique mesure 6 cm sur 0 cm? c. Douze briques sont tombées. Si on veut peindre cette portion du mur, quelle est l'aire à recouvrir.
EXERCICE DE RENFORCEMENT 88 16. L'aire d'un trapèze est deux fois celle d'un carré de 6 cm de côté. Trouver la mesure des deux bases sachant que la hauteur est 1 cm et qu'une des bases est le double de l'autre. 17. Calculer l'aire d'un losange si une diagonale mesure 5 mm et l'autre 6 dm. Donner la réponse en mm et en dm. 18. L'aire d'un parallélogramme est 1 600 cm et la hauteur 800 mm. Calculer la mesure de la base. Donner votre réponse en cm. 19. Du haut d'une tour, on peut voir sur une distance de 6 km dans toutes les directions. Quelle est l'aire des terres couvertes par cette vision? 0. Quelle est l'aire d'un cercle dont la circonférence mesure 157 cm? 1. Sur une table de forme circulaire ayant 8 dm de rayon, on veut mettre une nappe carrée qui retomberait sur 1 dm à l'endroit où elle dépasse le moins. Calculer l'aire de cette nappe.. Trouver la surface d'une couronne dont les deux circonférences mesurent 18,8 cm et 1,5 cm. 3. Calculer l'aire d'une couronne dont le grand rayon mesure 8 cm et le petit rayon 5 cm.. Une pelouse circulaire dont le diamètre mesure 0 m est entourée intérieurement d'une allée de m de largeur. Calculer l'aire de la surface de cette allée.
EXERCICE DE RENFORCEMENT 89 5. Quelle est l'aire d'un cercle qui a le même périmètre qu'un triangle équilatéral de 7 cm de côté? 6. Calculer l'aire de la figure ci-dessous. Donner la réponse en x. 7. Calculer l'aire de la région hachurée. Les dimensions sont en cm.
EXERCICE DE RENFORCEMENT 90
EXERCICE DE RENFORCEMENT 91 8. Les rayons de deux cercles sont respectivement 5 cm et 10 cm. Calculer le rayon d'un cercle dont l'aire est égale à la somme des aires des deux cercles. 9. Calculer l'aire des figures ci-dessous. a. b.
EXERCICE DE RENFORCEMENT 9 30. Calculer l'aire totale d'un cube dont l'arête mesure 8 cm. 31. Un prisme rectangulaire mesure 1 m de longueur, 15 m de largeur et 3 m de hauteur. Calculer : a. l'aire latérale; b. l'aire totale. 3. Calculer l'aire latérale d'une pyramide dont le périmètre de la base est 50 cm et dont l'apothème mesure 15 cm. 33. Calculer l'aire totale d'un cylindre dont le rayon mesure 7, cm et la hauteur 3,8 cm. 3. Quelle est la différence entre l'aire extérieure et l'aire intérieure d'un tuyau cylindrique de,65 m de longueur, sachant que le rayon extérieur mesure 0,63 m et le rayon intérieur 0,5 m? 35. Une boîte de jus d'orange a un diamètre de 6 cm et une hauteur de 11,6 cm. Calculer l'aire latérale. 36. Un rouleau a 5 m de longueur et 1, m de diamètre. Calculer l'aire de la surface couverte par ce rouleau après 50 révolutions complètes. 37. Calculer l'aire totale d'un cône dont la génératrice mesure cm et le rayon de la base 1 cm. (Donner la réponse au centimètre carré près). 38. Calculer l'aire d'une sphère dont le rayon mesure 1,5 cm. 39. Un demi-disque de 11 cm de diamètre tourne autour de ce diamètre. Calculer l'aire engendrée.
EXERCICE DE RENFORCEMENT 93 0. Le rayon d'une sphère mesure,6 cm. Quelle sera l'augmentation de l'aire de la sphère, si on ajoute cm au niveau du rayon? 1. Changer en m. a. 6 cm b. 1 355 000 mm c. 80 000 cm d. 6,85 km. Changer en cm. a. 87 mm b. 300 m c. 75 dm d. 3,6 dam 3. Dans cette figure, il y a 9 rectangles différents. Classer ces rectangles en ordre croissant, selon leur aire.
FORMULES 93 6.0 FORMULES +)))))))))))))))))))))))), * * * * +)))))))))))))))))))1 /))))))))))))))))))), * CARRÉ * * A = c *.)))))))))))))))))))1 /))))))))))))))))))) * * * * /))))))))))))))))))))))))1 * * * * +)))))))))))))))))))1 /))))))))))))))))))), * RECTANGLE * * A = LR *.)))))))))))))))))))1 /))))))))))))))))))) * * * * /))))))))))))))))))))))))1 * * * * +)))))))))))))))))))1 /))))))))))))))))))), * PARALLÉLOGRAMME * * A = bh *.)))))))))))))))))))1 /))))))))))))))))))) * * * * /))))))))))))))))))))))))1 * * * * +)))))))))))))))))))1 /))))))))))))))))))), * TRIANGLE * * A = bh *.)))))))))))))))))))1 * * * /))))))))))))))))))) * * /))))))))))))))))))))))))1 * * * /))))))))))))))))))),