Force subie par un milieu magnétique Nous savons tous qu un aimant peut attirer ou repousser des objets métalliques, ou d autres aimants. Les milieux ferromagnétiques ont la possibilité de se comporter comme des aimants ; ils peuvent donc générer ou subir des forces liées à leurs propriétés magnétiques. De nombreux dispositifs exploitent cette force : moteurs électriques, relais... I. Mise en évidence 1. Description du dispositif On utilise un dispositif constitué d un matériau ferromagnétique, pouvant être séparé en deux parties. On a donc la possibilité d avoir deux entrefers si les deux pièces ne sont pas mises en contact, ou aucun entrefer si elles sont en contact. Une bobine parcourue par un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz est placée autour de la pièce supérieure. 2. Observations a) Situation avec contact initial On suppose qu avant l alimentation de la bobine, les deux pièces sont en contact. On observe une fois la bobine parcourue par le courant de 50 Hz : * des vibrations (qui se traduisent par du bruit) dont l analyse spectrale donne un fondamental à 100 Hz ; * que (si l intensité efficace du courant est suffisante), la barre inférieure reste plaquée au U supérieur si l on soulève ce U.
Cette expérience met en évidence l apparition d une force capable de compenser le poids de la barre inférieure. Cette force ne peut être une force de Laplace car celle ci dépend du sens du courant et donc s inverserait à chaque alternance de la période (et serait donc alternativement attractive et répulsive). De plus la fréquence des vibrations à 100 Hz (et non le 50 Hz d excitation du courant) montre que cette force ne peut pas être proportionnelle au courant i(t) dans la bobine. b) Situation sans contact initial On observe alors que la barre inférieure est attirée vers le U supérieur, bien que l excitation soit sinusoïdale. Si le courant est suffisant, la barre se soulève et vient se coller au U (donc elle a été soumise à une nouvelle force capable de contrer son poids). La situation finale correspondant à une barre collée au U, donc à un entrefer d épaisseur nulle. Le dispositif évolue donc spontanément dans le sens d une réduction de l entrefer. c) Interprétation des résultats expérimentaux Nous avons vu qu un matériau ferromagnétique pouvait être décrit au niveau local par des dipôles ; chacun de ces dipôles étant plongé dans un champ magnétique local, subit des forces et des couples. Mais une telle description locale des actions subies par chaque dipôle pour obtenir (par intégration) les effets macroscopiques est impossible, faute de pouvoir déterminer à chaque instant l orientation d un dipôle local et la valeur du champ magnétique qu il subit. Ne pouvant décrire correctement chaque situation locale, nous devons utiliser une méthode globale. Nous choisissons une méthode énergétique. L idée est de déterminer la force subie par le barreau à partir du travail de cette force lorsque le barreau est mis en mouvement. II. Analyse énergétique 1. Notations Nous nous placerons dans le cas où le matériau ferromagnétique est doux, utilisé loin de sa saturation, et peut être décrit par une perméabilité µ r. On définit un axe des x orienté vers le bas. Notons λ la longueur totale de la ligne de champ dans le matériau ferromagnétique et x l épaisseur de l entrefer (la situation sans entrefer correspond simplement à x = 0 ). La longueur totale de la ligne de champ est λ + 2 x. Le mouvement de la barre est donc caractérisé par la loi x(t) ; (décroissante si la barre se rapproche).
La barre est soumise aux forces : F = F e x d origine magnétique que l on cherche à déterminer (et qui est une action intérieure); F op = F op e x traduisant les autres actions extérieures (le poids, l action d un opérateur...). F et F op sont algébriques (positive si la force est dirigée vers le bas, négative si vers le haut). La bobine est alimentée par une tension u(t) et parcourue par un courant i(t). 2. Bilan énergétique a) Formulation du bilan Considérons comme système l ensemble bobine et les deux parties ferromagnétiques, et effectuons un bilan énergétique entre les instants t et t + dt, durée pendant laquelle la barre se déplace de dx. Pendant dt, ce système reçoit de son extérieur : * de l énergie électrique fournie par le générateur alimentant la bobine : de g = u i dt ; * de l énergie mécanique de la part de l opérateur : dw op = F op e x * dx e x (pouvant correspondre à l énergie potentielle de pesanteur). L énergie totale reçue pendant dt est donc de r = u i dt + F op dx Que devient cette énergie? Elle est consommée : * en effet Joule dans la résistance du bobinage de J = R i 2 dt ; * en énergie stockée par le champ magnétique dans le système : de m que l on déterminera ; * en énergie cinétique associée au mouvement de la barre : de c. Notons que l hypothèse d un matériau ferromagnetique doux entraîne l absence de pertes par hystérésis, et que les pertes par courant de Foucault peuvent être rendues négiligeables par feuilletage. Le bilan énergétique s écrit donc : u i dt + F op dx = R i 2 dt + de m + de c Pour expliciter certains termes, nous allons utiliser les lois électriques ou mécaniques. b) Equation électrique La loi de Faraday pour l induction permet de remplacer le bobinage par un circuit équivalent constitué de sa résistance R et d une force électromotrice e = d où Φ est le flux du champ d t magnétique à travers le bobinage.
Le schéma équivalent est alors : i(t) u R e L équation électrique est donc : u = R i e avec e = d d t Soit u = R i + d d t Conduisant par multiplcation par i dt à : u i dt = R i 2 dt + id c) Equation mécanique Appliquons le théorème de l énergie cinétique à la barre mobile seule : de c = F dx + F op dx d) Report dans le bilan Le bilan u i dt + F op dx = R i 2 dt + de m + de c Se réécrit, en utilisant les expressions précédentes : R i 2 dt + i d + F op dx = R i 2 dt + de m + F dx + F op dx Soit de m = i d F dx Dans la pratique cette relation n est pas commode, car Φ n est pas une grandeur facilement mesurable et surtout controlable de l extérieur (contrairement à i ou x), donc dφ n est pas imposable directement de l extérieur. On va donc essayer de trouver une expression faisant préférentiellement intervenir dx (c est déjà le cas) et di car ces grandeurs sont imposables ou directement mesurables de l extérieur. 3. Expression de l énergie magnétique L ensemble du dispositif constitue une bobine avec noyau de fer doux ET entrefer. E Son énergie est donnée par la relation m (t) = 1 2 L i(t) 2 = = 1 i(t) (t) 2 ;
avec Φ(t) = NS B(t) où N est le nombre de spires du bobinage et S leur section. de m = d [ 1 Donc 2 i(t) (t)] = 1 2 ( i d + d i ) i d = 2 de m d i D où de m = ( 2 de m d i ) F dx de m = d i + F dx 4. Expression de la force magnétique La relation de m variables i et x. Em(i,x). = d i + F dx établit que l énergie magnétique Em est une fonction des deux Donc de m = Ø E m Ø i d i + Ø E m Ø x dx Par identification : F = Ø E m Ø x i Rmq : Pour un mouvement de translation (caractérisé par une évolution de la variable x) on obtient une loi mécanique liée à une dérivée de l énergie magnétique contenue dans le système par rapport à la variable x ; nous verrons que pour un mouvement de rotation (caractérisé par une évolution de l angle de rotation θ) on obtiendra une loi mécanique liée à une dérivée de l énergie magnétique contenue dans le système par rapport à la variable θ. III. Analyse de l expérience initiale 1. Expression de la force subie par la barre Dans le chapitre précédent nous avons établi l expression du champ magnétique en présence d un entrefer. En l adaptant aux notations de ce chapitre : B = o r N i(t) + 2 x o Doù (t) = N 2 S i(t) o r + 2 x o qui dépend de l épaisseur x des entrefers.
L énergie magnétique du dispositif sera donc : E m (x, i ) = 1 2 o r N 2 S + 2 x o i(t) 2 On déduit celle de la force F = Ø E m : Ø x i F = 1 2 i 2 2 o N 2 S r + 2 x 2 soit F = o N 2 S r + 2 x 2 i 2 Cette force est maximale pour x = 0 et vaut alors : F(t) = o 2 r N 2 S de valeur moyenne 2 i(t) 2 F moy = o 2 r N 2 S 2 2 I eff 2. Lien avec les observations * Cette force est proportionnelle à i 2 dont le fondamental est au double de celui de i(t). Conforme à l observation de vibrations à 100 Hz pour une excitation à 50 Hz. * Cette force est toujours attractive, quelque soit le sens donc le signe de i(t). * Cette force est maximale pour x = 0 et vaut alors : F(t) = o 2 r N 2 S de valeur moyenne 2 i(t) 2 F moy = o 2 r N 2 S 2 2 I eff Donc si cette force suffit avec un entrefer x à compenser le poids, elle ne fait que s accroitre avec le rapprochement du barreau, qui sera donc attiré puis collé ; * L évolution spontanée du système se fait vers une disparition de l entrefer ; Ainsi le système tend à adopter la configuration qui confine le champ magnétique à l intérieur du matériau ferromagnétique. 3. Un exemple d application : le relais électromagnétique Le dispositif précédent peut être utilisé pour réaliser un interrupteur, dont la fermeture est commandée par le passage du courant créant le champ magnétique, et qui s ouvre sous l effet de son poids (ou de l action d une force de rappel type ressort ou torsion) en l absence de ce courant.