Introduction à la correction des systèmes asservis

Chapitre 9 Introduction à la correction des systèmes asservis Ce chapitre constitue une introduction à la commande des systèmes en se limitant aux commandes continues et à la structure série, que nous définirons à la section 9.1.2. Ce type de commande ne constitue cependant pas la majorité de ce qui est actuellement implanté dans les systèmes, la norme étant plutôt l utilisation de technologies numériques voire, de plus en plus, adaptatives (changement de la correction selon la situation). Les concepts (influences relatives des corrections élémentaires de type proportionnelle, intégrale et dérivée), la démarche (compromis nécessaires, étapes successives, etc.) et les méthodes présentés dans ce chapitre restent cependant parfaitement cohérents quand bien même la correction serait numérique ou sa structure ne serait pas sérielle. 9.1 Contraintes, buts et limites du réglage d un système asservi 9.1.1 Problématique Conclusion sur les concordances et antagonismes entre performances Il nous est maintenant possible de tirer profit des diverses méthodes algébriques et graphiques de détermination des performances abordées dans les chapitres 7 et 8 pour mettre en exergue les concordances et antagonismes qui existent entre elles, et qui avaient été admises au chapitre 3 : si l amortissement d un système augmente : son lieu fréquentiel s éloigne du contour de Hall dans le diagramme de Black-Nichols, améliorant ainsi les marges de stabilité, et donc la stabilité du système, et réciproquement : on a donc concordance entre amortissement et stabilité, son facteur d amortissement ξ augmente. D après l abaque de la Figure 5.30, on constate que, lorsque ξ augmente, la rapidité commence par augmenter (t 5% diminue) avant de diminuer (t 5% augmente) à partir de ξ = 0, 69 : on a donc antagonisme entre amortissement et rapidité lorsqu on cherche à trop améliorer l amortissement d un système, 233

si la précision d un système augmente, son erreur en régime permanent diminue, et son gain en boucle ouverte augmente : l augmentation du gain en boucle ouverte implique l augmentation de la bande passante à 0 db en boucle ouverte, et donc la diminution du temps de réponse à 5% et l augmentation de la rapidité d après la formule empirique ω C0 t 5% 3 : on a donc concordance entre précision et rapidité, l augmentation du gain en boucle ouverte implique également la diminution de la marge de gain, et donc de la stabilité du système : on a donc antagonisme entre précision et stabilité. On retrouve donc bien le schéma de la Figure 3.11, rappelé sur la Figure 9.1. PERFORMANCES EN RÉGIME TRANSITOIRE PERFORMANCES EN RÉGIME PERMANENT AMORTISSEMENT CONCORDANCE STABILITÉ ANTAGONISME ANTAGONISME RAPIDITÉ CONCORDANCE PRÉCISION + ROBUSTESSE Compromis nécessaires pour ces performances antagonistes deux à deux Figure 9.1 Les compromis rapidité/amortissement et stabilité/précision Attendus et limites Pour l industriel qui conçoit le système technique comme pour l utilisateur final, une commande idéale devrait être pérenne (les évolutions du système ne sont pas affectées par son vieillissement, et le système est donc invariant) et telle que la loi d évolution réelle de la grandeur commandée soit à chaque instant identique à la loi de commande spécifiée, et ce quelles que soient les perturbations. Ce cas idéal est très difficile (voire impossible) à atteindre en pratique, car tout réglage tendant à améliorer les performances pose de nombreux problèmes. En effet : comme nous venons de le rappeler, certaines performances sont antagonistes deux à deux, et il est donc illusoire de vouloir toutes les améliorer en même temps, sauf si l on autorise une certaine «souplesse» dans le réglage, ce qui est en général indiqué dans le cahier des charges. 234

Ces deux antagonismes impliquent des compromis nécessaires, les deux plus classiques étant le compromis stabilité/précision et le compromis amortissement/rapidité, comme rappelé sur le schéma de la Figure 9.1. il existe le plus souvent une grande incertitude sur la pertinence ou le domaine de validité du modèle qui, comme nous l avons déjà vu, résulte d un choix fait selon certaines hypothèses, et n est donc pas unique. la marge de manœuvre est limitée pour le réglage d un système car les organes de mesure (capteurs + conditionneurs) et de puissance (pré-actionneurs, actionneurs, etc.) sont souvent fixés et il faut donc assurer le réglage en tenant compte de leurs contraintes d évolution, en particulier leur rapidité. Dans toute la suite de ce chapitre, toutes les études sont faites sur un système asservi : la correction n a en effet de sens que pour ces systèmes. Comme nous l avons vu au chapitre 8, l analyse de l influence des correcteurs sur les performances d un système avant et après correction peut se faire grâce à la réponse fréquentielle de la FTBO (dans le plan de Bode ou de Black), à la réponse indicielle de la FTBF et au positionnement des pôles de la FTBF dans le plan de Nyquist. Performances et compromis Pour estimer la performance de stabilité, on utilisera le critère du revers et/ou les marges de stabilité (marges de gain et de phase), ces dernières étant utilisées pour quantifier le niveau de stabilité et/ou d amortissement, ces deux performances étant concordantes. Pour estimer spécifiquement la performance d amortissement, on regardera les isomodules tangentées dans le diagramme de Black-Nichols. Comme on va le voir, l optimisation de cette performance joue de manière positive sur la stabilité mais dégrade la rapidité. Pour estimer la double performance de précision/robustesse (comme nous l avons déjà vu à maintes reprises, la précision est analysée par une étude en poursuite, sans perturbation mais avec une consigne, et la robustesse est analysée par une étude en régulation, sans consigne mais avec une perturbation), on calculera ε = lim t + ε(t) avec une consigne ou une perturbation en échelon (erreur statique) ou en rampe (erreur de poursuite). En réponse fréquentielle, on regardera le nombre d intégrateurs dans la FTBO. Dans le cas où il n y a pas d intégrateur, l augmentation du gain de la boucle ouverte permet également d améliorer la précision (sans toutefois l optimiser), mais cela se fait en général aux dépens de la stabilité, ces deux performances étant antagonistes. Pour estimer la performance de rapidité, on regardera la largeur de la bande passante à 0 db de la FTBF voire, si l amortissement est contenu, de la FTBO. D autre part, comme nous l avons vu à la section 8.4.2, on a la formule approchée ω C0 t e 3, où t e est un indicateur de la rapidité (instant du 1 er dépassement ou temps de réponse à 5%, selon que le 1 er dépassement relatif est supérieur ou inférieur à 5%). 235

Si le comportement d un système asservi est non satisfaisant, on va chercher à améliorer certaines des performances indiquées précédemment selon les attendus du cahier des charges en jouant sur les réglages du correcteur. La suite de ce chapitre va s intéresser aux grands principes de ce réglage en insistant spécifiquement sur les limites et/ou les conséquences de ces réglages. Exemple d application Les Figures 9.3, 9.4 et 9.5 représentent respectivement, pour le système élémentaire représenté sur la Figure 9.2 : la réponse fréquentielle de la FTBO non corrigée dans le plan de Bode (Figure 9.3), la réponse fréquentielle de la FTBO non corrigée dans le plan de Black (Figure 9.4), la réponse indicielle unitaire de la FTBF non corrigée (Figure 9.5). Consigne X c (p) + ε(p) Correcteur C(p) Processus H(p) Sortie X(p) Figure 9.2 Structure du système étudié 50 Gain (db) 0 50 ω C0 MG > 0 db 0 db 100 150 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3-90 Phase (deg) -180 Mϕ > 0 rad ω π 180 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Pulsation (rad/s) Figure 9.3 Réponse fréquentielle de la FTBO non corrigée (C(p) = 1) dans le plan de Bode 236

D après le diagramme de Bode de la Figure 9.3 : le système est stable car les marges de stabilité sont positives, le système est précis car la phase vaut 90 à basses fréquences, ce qui implique la présence d un intégrateur dans la boucle ouverte, la rapidité du système peut être déterminée à l aide de la relation ω C0 t 5% 3 si le système est bien amorti, il n est pas facile d évaluer l amortissement du système à partir de la réponse fréquentielle de sa FTBO dans le plan de Bode. 50 0 Point critique Mϕ > 0 rad MG > 0 db 2.3 ω C0 0 db Gain (db) 50 ω π 100 150 180-240 -210-180 -150-120 Phase (deg) Figure 9.4 Réponse fréquentielle de la FTBO non corrigée (C(p) = 1) dans le plan de Black D après le diagramme de Black de la Figure 9.4 : le système est stable car les marges de stabilité sont positives (ou, d après le critère du revers, car on laisse le point critique à droite en parcourant le lieu fréquentiel de la FTBO dans le sens des pulsations croissantes), le système est précis car la phase vaut 90 à basses fréquences, ce qui implique la présence d un intégrateur dans la boucle ouverte, le système est correctement amorti s il est à partie mécanique majoritaire (auquel cas son dépassement relatif maximal avoisine 23% du fait que la courbe tangente le contour de Hall), le diagramme de Black n est pas pertinent pour déterminer la rapidité du système. 237

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 50 100 150 200 250 300 t (s) Figure 9.5 Réponse indicielle unitaire de la FTBF non corrigée D après la courbe de réponse indicielle de la Figure 9.5 : le système est stable (au sens de la stabilité EBSB), ce qui était prévisible du fait que les marges de stabilité étaient positives, le système est précis, ce qui était également prévisible du fait de la présence d un intégrateur dans la FTBO, le système est correctement amorti pour un système à partie mécanique majoritaire (le dépassement relatif avoisine 23%, comme on pouvait le prévoir du fait de la tangence de la réponse fréquentielle de la FTBO au contour de Hall), on ne peut rien dire sur la rapidité du système si l on ne dispose pas d une valeur cible définie dans le cahier des charges. 9.1.2 Correcteurs et retours d état à structure analogique Présentation On peut améliorer certaines performances par l utilisation d un correcteur ou d un retour d état dont le positionnement et la structure auront une grande influence. Toutes les possibilités de réglage sont théoriquement accessibles, mais leur structure analogique présente en pratique des limitations dans le traitement de l information, ce qui implique des retards purs (générateurs d instabilités) que les modèles mathématiques ont du mal à identifier (surtout s ils évoluent). Il existe de nombreuses méthodes et structures pour régler ou optimiser les commandes afin d atteindre les objectifs de performances d un système. Les plus utilisées au niveau d un réglage initial sont les correcteurs et les retours d état ainsi que les techniques numériques. La grandeur de commande peut être fonction du signal d erreur ε(t), du signal de perturbation p(t), du signal de consigne x c (t) ou d un signal intermédiaire y(t). Selon les signaux pris en compte et la nature de la fonction réalisée, on distinguera différents types de correcteurs. 238

Correction «série» (ou «en cascade») Cette structure est la plus classiquement rencontrée. Le correcteur C(p) est placé en sortie du comparateur, comme illustré sur la Figure 9.6. L écart ε(t) représente la différence entre ce qui est souhaité (image de la consigne) et ce qui est obtenu (image de la grandeur asservie). La modification de cet écart par le correcteur va alors permettre d améliorer tout ou partie des performances insuffisantes du processus asservi. Image de la consigne + ε(p) Correcteur C(p) Vers le processus à piloter Image de la grandeur asservie Figure 9.6 Structure de la correction série On choisit ce positionnement du correcteur pour au moins trois raisons : il s agit de l endroit de la boucle où l énergie transmise est la plus faible, car on ne traite que de l information : il n y a donc que peu de risques que ce correcteur soit dégradé par des tensions trop fortes, son effet est maximal à cet endroit, le positionnement est naturellement en amont de la perturbation (modélisée le plus souvent par une action mécanique sur l axe de l actionneur), ce qui permet de la compenser et de rendre ainsi le système robuste. Par la suite, cette structure de référence sera la seule étudiée, car toutes les autres ne sont que des modifications ou des évolutions de cette structure élémentaire. Correction par retour dérivé (ou «en parallèle») On peut encore améliorer les performances en utilisant des boucles internes sur : des dérivées : c est le cas, par exemple, d un retour en vitesse pour un asservissement en position, et/ou des images de grandeurs dérivées : c est le cas, par exemple, de l intensité, liée au couple dans un moteur à courant continu, lui-même lié à l accélération par les lois de la dynamique. On peut alors trouver des correcteurs C i (p) en sortie des comparateurs et/ou sur les boucles de retour, que ce soit sur la boucle de retour globale ou sur la boucle de retour interne, comme on le voit sur le schéma de la Figure 9.7. Dans le cas particulier du schéma de la Figure 9.7, on peut remarquer que l entrée du correcteur C 3 (p) a pour expression px(p), et que le signal associé est donc le signal dérivé du signal de sortie, raison pour laquelle on parle de boucle de retour «en vitesse». On dit alors avoir réalisé une correction tachymétrique. 239

+ ε 1(p) C1 (p) Boucle interne corrigée + ε 2(p) C2 (p) Intégrateur 1 p C 3 (p) Retour «en vitesse» C 4 (p) Retour «en position» Figure 9.7 Structure de la correction par retour dérivé Correction par anticipation On peut améliorer encore les performances en «réinjectant» dans la boucle une information déjà utilisée : cette structure est rarement utilisée, mais elle offre encore plus de possibilités de réglages. Les deux plus classiques sont la compensation d une perturbation ou de l écart dû à la consigne : Compensation d une perturbation. On place un correcteur sur une boucle liée à la perturbation, comme illustré sur la Figure 9.8 : ceci a pour effet d ajuster la commande en fonction de la perturbation. Cette structure est extrêmement efficace dans le cas où la perturbation est constante ou faiblement variable. Correcteur C p (p) Perturbation P (p) H 1 (p) + H 2 (p) + ε(p) + H 3 (p) Figure 9.8 Structure de la correction par compensation d une perturbation En effet, on a dans ce cas ε(p) = P (p) + H 2 (p)[h 1 (p) C p (p)p (p)] = H 1 (p)h 2 (p) + [1 H 2 (p)c p (p)]p (p) et il suffit de choisir C p (p) = 1 pour annuler l effet de la perturbation sur la sortie. En H 2 (p) 1 pratique, n est le plus souvent pas physiquement réalisable, ce qui conduit à adopter H 2 (p) 1 des formes approximatives de H 2 (p). 240

Compensation de l écart dû à la consigne. On place un correcteur sur une boucle liée à la consigne, comme illustré sur la Figure 9.9 : ceci a pour effet d ajuster la commande en fonction de la consigne. Cette structure est extrêmement efficace dans le cas où l on souhaite améliorer la rapidité de réaction d un processus faiblement perturbé. Correcteur C c (p) X c (p) + ε(p) H1 (p) + + H 2 (p) Y (p) H 3 (p) Figure 9.9 Structure de la correction par compensation de l écart dû à la consigne En effet, on a dans ce cas ε(p) = X c (p) H 3 (p)h 2 (p)[h 1 (p)ε(p) + C c (p)x c (p)] [1 + H 1 (p)h 2 (p)h 3 (p)]ε(p) = [1 H 2 (p)h 3 (p)c c (p)]x c (p) et il suffit de choisir C c (p) = 1 H 2 (p)h 3 (p) approximatives de 1 pour annuler l erreur vis-à-vis de la consigne. En pratique, H 2 (p)h 3 (p) n est le plus souvent pas physiquement réalisable, ce qui conduit à adopter des formes 1 H 2 (p)h 3 (p). 9.1.3 Techniques numériques Les techniques de commande optimale en correction numérique consistent à élaborer à chaque instant la meilleure commande du système, en fonction de l état réel du système et éventuellement du modèle identifié. Nous n étudierons pas cette méthode, qui sera abordée en cycle ingénieur. Les très grandes possibilités de réglage et/ou d évolution du réglage en temps réel de ce type de commande offrent quasiment toutes les possibilités pour améliorer tout ou partie des performances. Dans ce type de structure numérique, la commande n est pas calculée de façon continue, mais par pas de durée T e, correspondant à la période d échantillonnage : les lignes de l algorithme de commande sont traitées par le calculateur de façon cyclique par périodes de durée T e. Le logiciel calcule alors, toutes les T e secondes, l écart ε(t) = consigne(t) mesure(t) en sortie du comparateur puis l algorithme du correcteur PID (proportionnel intégral et dérivé, qui sera présenté à la section 9.2.5) numérique fourni par le constructeur du système génère : une action proportionnelle : c p (t) = K p ε(t), une action intégrale : c i (t) = c i (t T e ) + K i ε(t), soit encore c i(t) c i (t T e ) T e 241 = K i T e ε(t),

et une action dérivée : c d (t) = K d [ε(t) ε(t T e )], soit encore c d (t) = K d T e ε(t) ε(t T e ) T e, avec K p, K i et K d trois coefficients de proportionnalité. Si la période d échantillonnage T e est très petite, on fait l approximation f(t) f(t T e ) T e f(t) : cette méthode est connue sous le nom de méthode des «différences finies» et son domaine de validité est limité aux cas où T e est très petite. 9.2 Corrections classiques : structures, effets et limites 9.2.1 Exemple d application Par la suite, nous n allons nous intéresser qu à la correction série. Pour mettre en évidence les effets des différentes corrections, nous allons considérer l exemple particulier d une télécabine à stabilité renforcée. Les attendus du cahier des charges sont résumés dans la Table 9.1. Fonctions de service Critères Valeurs FS1 Déplacer la cabine à une vitesse stabilisée de 7,2 m.s 1 FS2 Ménager le moteur (sécurité) Marge de gain MG > 12 db Marge de phase Mϕ > 45 Erreur statique ε < 2%V cons Robustesse parfaite Stabilisation de la vitesse < 30 s Amplitude des dépassements < 60% Tension maximale U max < 600 V Intensité maximale I max < 3500 A Table 9.1 Cahier des charges de l asservissement en vitesse de la télécabine Le schéma-bloc de l asservissement en vitesse de la télécabine est représenté sur la Figure 9.10. L expression numérique de sa fonction de transfert en boucle ouverte est : 14, 28 H BO (p) = C(p)M(p)K A K C = C(p) 23p 2 + 19800p + 2975 où M(p) est la fonction de transfert de la boucle interne. Par la suite, nous ne travaillerons qu en poursuite, raison pour laquelle nous considérerons que la perturbation est nulle. Les diagrammes de Bode et de Black pour la FTBO ainsi que la réponse indicielle à une consigne de vitesse de 7,2 m.s 1 pour le système non corrigé (C(p) = 1) sont fournis sur la Figure 9.11. Par ailleurs, la position des pôles dans le plan de Nyquist est indiquée sur une dernière figure : le pôle dominant est tel que Re(p) = 0, 151. 242

C R (p) V C (p) K C + ε(p) C(p) + 1 Lp + R K T + + 1 J e p K A V (p) K E K C Figure 9.10 Schéma-bloc de l asservissement en vitesse de la télécabine Nous pouvons d ores et déjà dire du système : qu il n est pas précis (que ce soit à partir de la réponse indicielle ou de la réponse fréquentielle), 1 ce qui est normal du fait que son erreur statique est en, étant donné qu il n y a pas 1 + K BO d intégration dans la FTBO, qu il est très stable (d après la réponse indicielle) voire trop stable (d après la réponse fréquentielle), qu il est très amorti (d après la réponse indicielle) voire trop amorti (d après la réponse fréquentielle), qu il est lent (d après la réponse indicielle et le cahier des charges). 243

40 60 0 2.3 80 Gain (db) 100 120 50 140 Gain (db) 160 0 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 100 Phase (deg) -90 150-180 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Pulsation (rad/s) -210-180 -150-120 -90-60 -30 0 Phase (deg) 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 0 10 20 30 40 t (s) 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 800 600 400 200 0 Figure 9.11 Réponses fréquentielles de la FTBO (plans de Bode et de Black), réponse indicielle (consigne de 7,2 m.s 1 ) et position des pôles pour le système non corrigé 9.2.2 Correction proportionnelle La fonction de transfert du correcteur est de la forme C(p) = A avec A > 0. On a donc C(jω) = A, d où G db C (ω) = 20 log A et ϕ C (ω) = 0 : ce correcteur permet d augmenter le gain si A > 1 et de le diminuer si A < 1, sans modifier la phase. Pour la valeur A = 1000, on obtient les tracés de la Figure 9.12. 244

0 Le gain augmente 0 2.3 Le gain augmente 50 Gain (db) 50 100 Le gain diminue Gain (db) 100 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 0 Phase (deg) -90 150 Le gain diminue -180 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Pulsation (rad/s) -180-150 -120-90 -60-30 0 Phase (deg) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 t (s) Figure 9.12 Réponses fréquentielles de la FTBO (plans de Bode et de Black) et réponse indicielle (consigne de 7,2 m.s 1 ) pour le système corrigé par une correction proportionnelle avec A = 1000 Stabilité Précision Amortissement Rapidité + + L influence de A sur la forme de la réponse indicielle est illustrée sur la Figure 9.13. 245

Figure 9.13 Réponse indicielle du système corrigé par une correction proportionnelle, pour différentes valeurs de A On peut remarquer que la correction proportionnelle avec A > 1 permet d améliorer : la précision/robustesse du système en augmentant le gain K BO (du fait que l erreur statique 1 est en ), 1 + K BO la rapidité du système, du fait que l augmentation du gain permet d augmenter ω C0 et donc de diminuer t e (du fait que ω C0 t e 3). En revanche : elle dégrade la stabilité du système, du fait que l augmentation du gain réduit la marge de gain, elle dégrade l amortissement du système, et peut ainsi provoquer des oscillations, du fait que l augmentation du gain fait se rapprocher la réponse fréquentielle du contour de Hall, elle peut faire saturer la commande de l actionneur. La correction proportionnelle est donc très limitée, mais elle est à utiliser avant toute autre. 246

9.2.3 Corrections à effet dérivé Correction dérivée filtrée Un correcteur à action dérivée a une fonction de transfert de la forme C(p) = Cp. L action dérivée n étant pas physiquement réalisable en raison du principe de causalité (sans quoi la sortie serait en avance par rapport à la consigne), on l approxime par une fonction de transfert de la forme C(p) = Cp avec C > 0 et τ très inférieur à la plus petite constante de temps de la FTBO (pour 1 + τp des raisons de filtrage). Cette correction est qualifiée de correction dérivée filtrée. On a donc C(jω) = Cjω 1 + jτω, d où G db C(ω) = 20 log Cω 10 log(1 + τ 2 ω 2 ) et ϕ C (ω) = π 2 arctan τω : ce correcteur augmente la pente de la courbe de gain de 20 db/décade pour les pulsations ω telles que ω 1 τ, et il augmente la phase de 90 à basses fréquences. On obtient alors le tracé fréquentiel de la Figure 9.14 dans le plan de Bode. 0 5 Gain (db) 10 15 20 25 30 90 10 1 10 0 10 1 Phase (deg) 60 30 0 10 1 10 0 10 1 Pulsation (rad/s) Figure 9.14 Réponse fréquentielle d un correcteur dérivé filtré 247

Cette correction ne sera jamais utilisée seule en pratique à cause de grandes difficultés de réglage dues à l amplification du bruit à hautes fréquences, surtout sur les systèmes assez rapides. Elle est par ailleurs très difficile à réaliser avec des composants électroniques classiques (en technologie numérique, par contre, c est parfaitement possible... mais avec encore plus de bruits). Correction proportionnelle et dérivée (dite «PD») Un correcteur à action proportionnelle et dérivée a pour fonction de transfert : C(p) = A(1 + Cp) Une fois de plus, l action dérivée n étant pas physiquement réalisable, on l approxime par une action Cp dérivée filtrée dont la fonction de transfert est de la forme avec τ très inférieur à la plus petite 1 + τp constante de temps de la FTBO. Le nouveau correcteur a alors une fonction de transfert de la forme ( C(p) = A 1 + Cp ) A 1 + Cp 1 + τp 1 + τp avec A > 0 et C > 0. On trouve donc une correction quasiment identique à la correction à avance de phase présentée dans le paragraphe suivant avec une deuxième cassure très éloignée dans les hautes fréquences, ce qui pose un gros problème d amplification des bruits : en conséquence, ce correcteur n est que peu, voire pas du tout, employé et on lui préfère largement le correcteur à avance de phase qui est facile à mettre en œuvre, que ce soit en technologie analogique ou numérique. Correction à «avance de phase» Considérons un correcteur du 1 er ordre de fonction de transfert C(p) = K p + z 0 p + p 0 Lorsque z 0 < p 0, on appelle ce correcteur un correcteur à avance de phase. Si l impact du pôle p 0 était négligeable par rapport à celui du zéro z 0 (en terme de constante de temps), c est-à-dire si p 0 z 0, et si le zéro z 0 se trouvait à l origine du plan complexe, on aurait un système dérivateur de fonction de transfert C(p) K p 0 p Un tel correcteur est donc un correcteur à effet dérivé. Sa fonction de transfert peut se réécrire sous la forme p C(p) = K p + z 0 = Kz 1 + 0 z 0 p + p 0 p 0 1 + p p 0 La fonction de transfert d un correcteur à avance de phase est donc de la forme C(p) = A 1 + aτp 1 + τp avec τ = 1 p 0, a = p 0 z 0 > 1 et A = K a > 0. On a donc C(jω) = A1 + jaτω 1 + jτω, d où G db C(ω) = 248

20 log A + 10 log(1 + a 2 τ 2 ω 2 ) 10 log(1 + τ 2 ω 2 ) et ϕ C (ω) = arctan aτω arctan τω : ce correcteur augmente la pente de la courbe de gain de 20 db/décade (et se comporte a fortiori comme un dérivateur) pour les pulsations ω telles que z 0 = 1 aτ ω 1 τ = p 0 (du fait que c est le zéro z 0 qui apparaît en premier dans le plan fréquentiel), et il augmente la phase du fait que a > 1 aτω > τω arctan aτω > arctan τω étant donné que la fonction arctan est strictement croissante sur R. On a donc ω, ϕ C (ω) > 0. On peut obtenir un correcteur à avance de phase en réalisant le circuit représenté sur la Figure 9.15. C R 1 v 1 (t) R 2 v 2 (t) Figure 9.15 Un correcteur à avance de phase En effet, la fonction de transfert de ce circuit a pour expression : H(p) = V 2(p) V 1 (p) = R 2 = R 2 + R 1 Cp R 1 + 1 Cp R 2 (1 + R 1 Cp) R 1 + R 2 + R 1 R 2 Cp = R 2 R 1 + R 2 En posant τ = R 1R 2 C et a = R 1 + R 2, on a R 1 + R 2 R 2 R 2 = R 1 R 2 + 1 + R 1 Cp H(p) = 1 1 + aτp a 1 + τp 1 + R 1 Cp = 1 + R 1R 2 R 1 + R 2 Cp R 2 (1 + R 1 Cp) R 2 (1 + R 1 Cp) + R 1 Déterminons la pulsation ω m à laquelle se produit l apport de phase maximal. On a : dϕ C dω (ω) = aτ 1 + (aτω) 2 τ 1 + (τω) 2 249

Par conséquent : dϕ C dω (ω m) = 0 aτ 1 + (aτω m ) 2 τ 1 + (τω m ) 2 = 0 τ(1 + (aτω m) 2 ) = aτ(1 + (τω m ) 2 ) 1 + a 2 τ 2 ωm 2 = a + aτ 2 ωm 2 a(a 1)τ 2 ωm 2 = a 1 ωm 2 = 1 τ 2 a ω m = 1 τ a On peut remarquer que ω m est le milieu logarithmique de z 0 = 1 aτ et p 0 = 1. En injectant l expression τ de ω m dans l expression de la phase ϕ C (ω), on obtient : ϕ C (ω m ) = arctan a arctan 1 a d où : tan ϕ C (ω m ) = a 1 a 1 + 1 a a = a 1 2 a On a cependant l habitude d exprimer ϕ m = ϕ C (ω m ) à l aide de son sinus, soit : sin ϕ m = cos ϕ m tan ϕ m = = a 1 2 a a 2 + 2a + 1 (2 a) 2 = tan ϕ m 1 + tan 2 ϕ m = a 1 2 a (a + 1) 2 (2 a) 2 = a 1 2 a ( ) = a 1 2 1 + 2 a a 1 2 a a + 1 2 a = a 1 a + 1 a 1 2 a 4a + a 2 2a + 1 (2 a) 2 d où : sin ϕ m = a 1 a + 1 ϕ m = arcsin a 1 a + 1 Cette relation est très utile pour calculer le rapport a entre le pôle p 0 et le zéro z 0 du correcteur nécessaire pour obtenir une avance de phase maximale ϕ m donnée. L évolution de ϕ m en fonction de a est représentée sur la Figure 9.16. L avance de phase pouvant être obtenue facilement à partir de ce circuit ne dépasse pas de beaucoup les 70. De plus, du fait que a = R 1 + R 2, il existe des limites pratiques à la valeur maximale de a qu il est possible d obtenir. Pour cette raison, si une avance de phase maximale supérieure à 70 est nécessaire, deux circuits seront placés en série. On retrouve sur la Figure 9.17 les valeurs utiles pour le réglage de ce correcteur. R 2 250

80 avance de phase maximale ϕm 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 rapport a = p 0 z 0 Figure 9.16 Avance de phase maximale ϕ m en fonction de a Dans le cas très particulier de l exemple que nous avons considéré, l utilisation de cette correction serait problématique car elle est inutilisable pour améliorer la robustesse, point important du cahier des charges. C est pourquoi on commence par corriger le système à l aide d un intégrateur qu on place en amont de la perturbation, ce qui donne une FTBO de classe unitaire : H BO (p) = 1 p 14, 28 23p 2 + 19800p + 2975 puis on ajoute une correction à avance de phase pour améliorer les performances autres que la précision, ce qui donne alors une FTBO de la forme : H BO (p) = 1 p 14, 28 + aτp 23p 2 A1 + 19800p + 2975 1 + τp Les tracés de la Figure 9.18 correspondent à la correction du système pré-corrigé par un intégrateur, pour les valeurs A = 50, a = 9 et τ = 0, 02 s permettant le respect de la marge de phase. L influence de A et a sur la forme de la réponse indicielle est illustrée sur les Figures 9.19 et 9.20. La correction à avance de phase est une correction très performante, sauf en ce qui concerne la précision (qu elle impacte malgré tout peu). En effet, elle permet : d augmenter la bande passante à 0 db grâce à son amplification de gain, et a fortiori la rapidité, d augmenter la marge de phase, atténuant ainsi la résonance tout en améliorant l amortissement (en éloignant la réponse fréquentielle du contour de Hall dans le plan de Black) et la stabilité, performances qui sont dégradées par la présence d un intégrateur. La correction à avance de phase est très intéressante en complément de la correction intégrale pure, qui sera abordée à la section 9.2.4. Elle présente néanmoins l inconvénient d augmenter le gain à hautes fréquences. 251

60 20 log aa 50 40 Gain (db) 30 20 20 log A 10 0 z 0 = 1 aτ = ω 1 ω ω 2 = 1 m τ = p 0 10 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 90 Phase (deg) 60 30 ϕ m 0 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 Pulsation (rad/s) Figure 9.17 Valeurs utiles pour le réglage d un correcteur à avance de phase Lorsque la marge de phase Mϕ est négative ou trop faible, on utilise ce correcteur pour augmenter M ϕ. Pour cela, la démarche suivante peut être adoptée (elle n est évidemment pas unique) : 1. déterminer la marge de phase du système non corrigé, 2. déterminer l avance de phase maximale ϕ m nécessaire pour atteindre la marge de phase souhaitée, 3. en déduire la valeur du rapport a = p 0 à partir de la relation sin ϕ m = a 1 z 0 a + 1, 4. calculer 10 log a et déterminer la pulsation à laquelle le gain du système non corrigé vaut 10 log a db : du fait que ce correcteur fournit un gain de 10 log a à la pulsation ω m, cette pulsation devient à la fois la nouvelle pulsation de coupure et la pulsation ω m, 5. calculer les valeurs du pôle p 0 = ω m a et du zéro z0 = p 0 a, 6. tracer la réponse fréquentielle du système corrigé, vérifier la marge de phase obtenue, et répéter les étapes précédentes si nécessaire. Enfin, multiplier le gain par a afin de compenser l atténuation en 1 a du circuit RC utilisé. 252

50 0 0 Phase BF inchangée 2.3 50 Gain (db) 100 150 50 Zone d influence de l avance de phase 200 Gain (db) 250-90 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Phase BF inchangée 100 Phase (deg) -180 Zone d influence de l avance de phase 150-270 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Pulsation (rad/s) -240-210 -180-150 -120-90 Phase (deg) 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 t (s) Figure 9.18 Réponses fréquentielles de la FTBO (plans de Bode et de Black) et réponse indicielle (consigne de 7,2 m.s 1 ) pour le système corrigé par une correction à avance de phase et un intégrateur avec A = 50, a = 9 et τ = 0, 02 s Stabilité Précision Amortissement Rapidité ++ ++ ++ nothing 253

Figure 9.19 Réponse indicielle du système corrigé par une correction à avance de phase, pour différentes valeurs de A 9.2.4 Corrections à effet intégral Correction intégrale pure La fonction de transfert du correcteur est de la forme C(p) = B p avec B > 0. On a donc C(jω) = B jω, d où G db C (ω) = 20 log B 20 log ω et ϕ C (ω) = π : ce correcteur diminue la pente de la courbe 2 de gain de 20 db/décade tout en augmentant le gain de 20 log B à la pulsation ω = 1 rad.s 1, et il diminue la phase de 90. Pour la valeur B = 45 assurant le respect de la marge de phase, on obtient les tracés de la Figure 9.21. Stabilité Précision Amortissement Rapidité + + + L influence de B sur la forme de la réponse indicielle est illustrée sur la Figure 9.22. 254

Figure 9.20 Réponse indicielle du système corrigé par une correction à avance de phase, pour différentes valeurs de a La correction intégrale pure permet d améliorer grandement la précision/robustesse grâce à l intégration qui permet de diminuer la phase de 90, en particulier à basses fréquences. En revanche : elle dégrade la stabilité du système du fait que l intégration (et sa diminution de phase de 90 ) réduit la marge de phase, elle dégrade l amortissement du système du fait que le gain à basses fréquences augmente fortement, faisant ainsi se rapprocher la réponse fréquentielle du contour de Hall. C est pourquoi la correction intégrale pure est souvent associée à une correction proportionnelle car son influence en dehors de la précision est déplorable. On peut remarquer que la correction intégrale pure devrait permettre d améliorer la rapidité du système du fait que le gain augmente à basses fréquences, augmentant ainsi ω C0. Cependant, en pratique, cette augmentation de la rapidité nécessite que le gain (et donc la bande passante à 0 db) du système soit suffisant, ce qui peut impacter la stabilité du système (du fait que l augmentation du gain réduit la marge de gain et peut accroître l amplitude des oscillations) et provoquer la saturation. 255

0 Le gain à basse fréquence augmente fortement 0 2.3 50 Gain (db) 100 La phase diminue partout de 90 50 150 Gain (db) 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 0 100 Phase (deg) -90-180 La phase diminue partout de 90 150 Le gain à basse fréquence augmente fortement 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Pulsation (rad/s) -210-180 -150-120 -90-60 -30 Phase (deg) 8 6 4 2 0 0 20 40 60 80 100 t (s) Figure 9.21 Réponses fréquentielles de la FTBO (plans de Bode et de Black) et réponse indicielle (consigne de 7,2 m.s 1 ) pour le système corrigé par une correction intégrale pure avec B = 45 Correction proportionnelle et intégrale (dite «PI») La fonction de transfert du correcteur est de la forme C(p) = K τ > 0 et B = K ( > 0. On a donc C(jω) = K 1 + 1 ) = τ jτω 20 log K + 10 log(1 + τ 2 ω 2 ) 20 log(τω) et ϕ C (ω) = arctan τω π 2 ( 1 + 1 ) = K + B τp p avec K > 0, K(1 + jτω), d où G db C (ω) = jτω : ce correcteur diminue la pente 256

Figure 9.22 Réponse indicielle du système corrigé par une correction intégrale pure, pour différentes valeurs de B de la courbe de gain de 20 db/décade à basses fréquences (pour ω < 1 ) tout en augmentant le gain τ de 20 log K aux pulsations ω > 1 τ, et il diminue la phase de 90 à basses fréquences. Pour les valeurs K = 100 et τ = 1 s (soit B = 100) permettant le respect de la marge de phase, on obtient les tracés de la Figure 9.23. Stabilité Précision Amortissement Rapidité maîtrisée + + + perfectible ça dépend L influence de K et τ sur la forme de la réponse indicielle est illustrée sur les Figures 9.24 et 9.25. La correction proportionnelle et intégrale est utilisée pour améliorer la précision/robustesse sans trop dégrader les autres performances. Si l on règle bien le gain K et la constante de temps τ, on atteint souvent des performances correctes. Ce type de correction peut cependant ralentir de manière très sensible les systèmes déjà trop lents (tels que les systèmes mécaniques). 257

0 Influence du couple proportionnel intégral 20 Influence de l effet intégral 0 2.3 Gain (db) 50 100 20 Influence du couple proportionnel intégral 40 150 Gain (db) 60 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Phase (deg) 0-90 Influence de l effet intégral 80 100-180 120 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Pulsation (rad/s) -210-180 -150-120 -90-60 -30 Phase (deg) 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 t (s) Figure 9.23 Réponses fréquentielles de la FTBO (plans de Bode et de Black) et réponse indicielle (consigne de 7,2 m.s 1 ) pour le système corrigé par une correction proportionnelle et intégrale avec K = 100 et τ = 1 s Correction à «retard de phase» Considérons un correcteur du 1 er ordre de fonction de transfert C(p) = K p + z 0 p + p 0 Lorsque p 0 < z 0, on appelle ce correcteur un correcteur à retard de phase. Si l impact du zéro z 0 était négligeable par rapport à celui du pôle p 0 (en terme de constante de temps), c est-à-dire si p 0 z 0, et si le pôle p 0 se trouvait à l origine du plan complexe, on aurait un système intégrateur 258

Figure 9.24 Réponse indicielle du système corrigé par une correction proportionnelle et intégrale, pour différentes valeurs de K de fonction de transfert C(p) Kz 0 p Un tel correcteur est donc un correcteur à effet intégral. Sa fonction de transfert peut se réécrire sous la forme p C(p) = K p + z 0 = Kz 1 + 0 z 0 p + p 0 p 0 1 + p p 0 La fonction de transfert d un correcteur à retard de phase est donc de la forme C(p) = A 1 + τp 1 + aτp avec τ = 1, a = z 0 > 1 et A = Ka > 0. On a donc C(jω) = A 1 + jτω z 0 p 0 1 + jaτω, d où G db C(ω) = 20 log A + 10 log(1 + τ 2 ω 2 ) 10 log(1 + a 2 τ 2 ω 2 ) et ϕ C (ω) = arctan τω arctan aτω : ce correcteur diminue la pente de la courbe de gain de 20 db/décade (et se comporte a fortiori comme un intégrateur) pour les pulsations ω telles que p 0 = 1 aτ ω 1 τ = z 0 (du fait que c est le pôle p 0 qui apparaît en premier dans le plan fréquentiel), et il diminue la phase du fait que a > 1 aτω > τω arctan aτω > arctan τω 259

Figure 9.25 Réponse indicielle du système corrigé par une correction proportionnelle et intégrale, pour différentes valeurs de τ étant donné que la fonction arctan est strictement croissante sur R. On a donc ω, ϕ C (ω) < 0. On peut obtenir un correcteur à retard de phase en réalisant le circuit représenté sur la Figure 9.26. R 1 R 2 v 1 (t) v 2 (t) C Figure 9.26 Un correcteur à retard de phase 260

En effet, la fonction de transfert de ce circuit a pour expression : H(p) = V 2(p) V 1 (p) = R 2 + En posant τ = R 2 C et a = R 1 + R 2 R 2, on a : 1 Cp R 1 + R 2 + 1 Cp = H(p) = 1 + τp 1 + aτp 1 + R 2 Cp 1 + (R 1 + R 2 )Cp Déterminons la pulsation ω m à laquelle se produit la perte de phase maximale. On a : Par conséquent : dϕ C dω (ω m) = 0 dϕ C dω (ω) = τ 1 + (τω) 2 aτ 1 + (aτω) 2 τ 1 + (τω m ) 2 aτ 1 + (aτω m ) 2 = 0 τ(1 + (aτω m) 2 ) = aτ(1 + (τω m ) 2 ) 1 + a 2 τ 2 ωm 2 = a + aτ 2 ωm 2 a(a 1)τ 2 ωm 2 = a 1 ωm 2 = 1 τ 2 a ω m = 1 τ a Comme dans le cas du correcteur à avance de phase, on peut remarquer que ω m est le milieu logarithmique de p 0 = 1 aτ et z 0 = 1 τ. En injectant l expression de ω m dans l expression de la phase ϕ C (ω), on obtient : ϕ C (ω m ) = arctan 1 arctan a a d où : tan ϕ C (ω m ) = 1 a a 1 + 1 a a = 1 a 2 a On a cependant l habitude d exprimer ϕ m = ϕ C (ω m ) à l aide de son sinus, soit : sin ϕ m = cos ϕ m tan ϕ m = = 1 a 2 a 1 + 2a + a 2 (2 a) 2 = tan ϕ m 1 + tan 2 ϕ m = 1 a 2 a (1 + a) 2 (2 a) 2 = 261 1 a 2 a ( ) = 1 a 2 1 + 2 a 1 a 2 a 1 + a 2 a = 1 a 1 + a 1 a 2 a 4a + 1 2a + a 2 (2 a) 2

d où : sin ϕ m = 1 a 1 + a ϕ m = arcsin 1 a 1 + a L évolution de ϕ m en fonction de a est représentée sur la Figure 9.27. 0 retard de phase maximal ϕm 20 40 60 80 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 rapport a = z 0 p 0 Figure 9.27 Retard de phase maximal ϕ m en fonction de a On retrouve sur la Figure 9.28 les valeurs utiles pour le réglage de ce correcteur. Pour les valeurs A = 1900, a = 30 et τ = 0, 1 s permettant le respect de la marge de phase, on obtient les tracés de la Figure 9.29. Stabilité Précision Amortissement Rapidité + L influence de A et a sur la forme de la réponse indicielle est illustrée sur les Figures 9.30 et 9.31. La correction à retard de phase est moins performante que la correction proportionnelle et intégrale, qui lui sera donc très souvent préférée. Elle est utilisée non pas pour fournir un retard de phase, qui a plutôt tendance à rendre le système instable, mais plutôt pour atténuer le gain à basses fréquences. En revanche, l atténuation de gain fournie par ce type de correction provoque une diminution de la bande passante à 0 db, et donc une diminution de la rapidité. Cette correction est cependant intéressante en complément d autres corrections. 262

20 log A 40 30 Gain (db) 20 10 0 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 0 p 0 = 1 aτ = ω 1 ω m ω 2 = 1 τ = z 0 20 log A a Phase (deg) -30-60 ϕ m -90 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Pulsation (rad/s) Figure 9.28 Valeurs utiles pour le réglage d un correcteur à retard de phase Les systèmes réels étant naturellement atténuateurs et déphaseurs à hautes fréquences, on utilisera ce correcteur pour atténuer le gain à basses fréquences, et donc pour générer une baisse de gain là où elle ne peut se réaliser naturellement. Pour cela, la démarche suivante peut être adoptée (elle n est évidemment pas unique) : 1. tracer le diagramme de Bode du système non corrigé, 2. déterminer la marge de phase du système non corrigé et, si elle est trop faible, suivre les étapes suivantes, 3. déterminer la pulsation ω C0 à laquelle la contrainte de marge de phase serait satisfaite si cette pulsation était la pulsation de coupure (en autorisant un retard de phase de 5 dû au correcteur), 4. placer le zéro z 0 du correcteur une décade en amont de la nouvelle pulsation de coupure ω C0, afin de garantir un retard de phase inférieur à 5 à cette pulsation, 5. mesurer l atténuation nécessaire à la pulsation ω C0 pour que la courbe de gain coupe l axe des abscisses à cette pulsation, 263

0 20 Phase BF inchangée 0 2.3 Gain (db) 50 20 Zone d influence du retard de phase 100 40 150 Gain (db) 60 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Phase (deg) 0-90 Phase BF inchangée Zone d influence du retard de phase 80 100 120-180 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Pulsation (rad/s) -210-180 -150-120 -90-60 -30 0 Phase (deg) 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 t (s) Figure 9.29 Réponses fréquentielles de la FTBO (plans de Bode et de Black) et réponse indicielle (consigne de 7,2 m.s 1 ) pour le système corrigé par une correction à retard de phase avec A = 1900, a = 30 et τ = 0, 1 s 6. calculer la valeur de a en remarquant que l atténuation introduite par le correcteur à retard de phase à la pulsation ω C0 vaut 20 log a, 7. calculer la valeur du pôle p 0 = 1 aτ = z 0 a. 264

Figure 9.30 Réponse indicielle du système corrigé par une correction à retard de phase, pour différentes valeurs de A En effet, nous avons montré que ϕ C (ω) = arctan τω arctan aτω. Du fait que le zéro z 0 est placé à une décade en amont de ω C0, on a ω C0 = 10z 0 = 10. Le retard de phase dû au correcteur à cette τ pulsation vaut donc : ϕ C (ω C0) = arctan 10 arctan 10a a pouvant théoriquement varier entre 1 et +, on a : lim ϕ C(ω a + C0) = arctan 10 90 5, 71 et le retard de phase dû au correcteur à la pulsation ω C0 est compris entre 0 (lorsque a 1) et 5, 71 (lorsque a + ), d où la valeur approximative de 5 retenue pour le retard de phase maximal dû au correcteur à la nouvelle pulsation de coupure. En toute rigueur, le retard de phase dû au correcteur à cette pulsation est inférieur à 5 si et seulement si 1 < a < 8, 06. 265

Figure 9.31 Réponse indicielle du système corrigé par une correction à retard de phase, pour différentes valeurs de a 9.2.5 Corrections complètes de type PID Introduction Comme on pouvait s y attendre, il est impossible d améliorer l ensemble des performances d un système avec une unique correction «élémentaire» de type proportionnelle, intégrale ou dérivée. En créant un correcteur à partir de ces trois corrections, on peut espérer prendre le meilleur de chacune afin de respecter l ensemble des attendus du cahier des charges. C est effectivement faisable... mais au prix d un réglage assez complexe et non systématique. Sur le principe, la structure d un tel correcteur se fait par la mise sous une forme «semi-série» (cas rare, représenté à gauche sur la Figure 9.32) ou en parallèle (cas classique, représenté à droite sur la Figure 9.32) des trois corrections de référence. Il existe bien entendu beaucoup d autres formes. La fonction de transfert d un tel correcteur est de la forme C(p) = K p + K i p + K dp = K dp 2 + K p p + K i p = K d ( p 2 + K p K d p + K i p K d ) = K d(p + z 1 )(p + z 2 ) p 266

P I + + D + + I P + + + D Figure 9.32 Structures des corrections PID Correction proportionnelle, intégrale et dérivée (dite «PID») On cherche, en associant les effets des correcteurs de référence, à améliorer le maximum de performances. En pratique, le réglage doit être ajusté «sur site», ce qui demande une grande connaissance des effets relatifs des différentes corrections. Ces effets sont résumés dans la Table 9.2. Les trois types de correction vont avoir des effets différents et leurs zones d influence sont représentées sur la Table 9.3. Le diagramme fréquentiel d un tel correcteur est représenté sur la Figure 9.33. Correction Performances améliorées Performances dégradées Correction précision stabilité proportionnelle rapidité amortissement Correction à précision stabilité, amortissement effet intégral rapidité Correction à stabilité, amortissement précision effet dérivé rapidité Table 9.2 Effets des correcteurs de référence Basses fréquences Zone intermédiaire Hautes fréquences Effet intégral Effet proportionnel Effet dérivé Précision Amortissement Stabilité Rapidité Zone d influence de l effet intégral Zone d influence de l effet proportionnel Zone d influence de l effet dérivé Table 9.3 Zones d influence des correcteurs de référence 267

80 70 Gain (db) 60 50 40 90 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Phase (deg) 0-90 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Pulsation (rad/s) Figure 9.33 Réponse fréquentielle d un correcteur PID Il existe de nombreuses méthodes pour régler ce type de correcteur, la plus classique (mais pas forcément la meilleure) étant celle dite de Ziegler-Nichols, mise en place en 1942 pour déterminer facilement les paramètres optimaux à partir de l analyse du comportement indiciel du système corrigé par le correcteur PID en se plaçant à la limite de la stabilité. Cette méthode consiste à : 1. régler les gains K i et K d à 0 (le correcteur PID est alors équivalent à un correcteur proportionnel, dont on cherche à déterminer l influence), 2. augmenter le gain K p jusqu à ce que le système en boucle fermée atteigne la limite de la stabilité, c est-à-dire que son signal de sortie oscille avec une amplitude constante : le gain à la limite de la stabilité, noté K u, est appelé gain limite, 3. identifier la période limite T u des oscillations entretenues, 4. régler les 3 gains de la manière suivante : K p = 0, 6K u ; K i = 1, 2K u T u 268 ; K d = 0, 6K ut u 8

Il existe bien entendu de nombreuses autres méthodes (Chien-Hrones-Reswick et Cohen-Coon pour les plus connues), mais aucune n est universelle : il est donc impossible d imaginer régler un tel correcteur sans tenir compte de la réalité et des attendus du cahier des charges. Correction par avance et retard de phase On peut remarquer que les corrections à retard et à avance de phase sont relativement complémentaires en termes de performances, ce qui conduit à penser qu une «bonne correction» pourrait sans doute être obtenue par association de ces deux types de correction. La fonction de transfert d un tel correcteur est la suivante : C(p) = A 1 + τ 1p 1 + bτ 2 p 1 + aτ 1 p 1 + τ 2 p avec 1 < 1 < 1 < 1 aτ 1 τ 1 bτ 2 τ 2 Le diagramme fréquentiel d un tel correcteur est représenté sur la Figure 9.34. Le réglage d un tel correcteur est relativement simple en utilisant la démarche vue précédemment pour les deux correcteurs à avance et à retard de phase, en réglant le correcteur à avance de phase puis celui à retard de phase. Par contre, son efficacité est moindre que celle du «vrai» correcteur PID présenté précédemment. 9.2.6 Correction des systèmes à retard : prédicteur de Smith (pour information) Considérons le système à retard à corriger représenté sur la Figure 9.35. Le retard pur de ce système a un effet néfaste sur la stabilité du système en boucle fermée en raison de la rotation rapide de la phase. On pourrait logiquement penser à compenser le retard par une avance temporelle de type e τp, mais un correcteur de ce type n est pas réalisable physiquement en raison du principe de causalité. La solution proposée par l inventeur américain Otto J. M. Smith (1917-2009) consiste à rejeter le retard hors de la boucle en introduisant une boucle interne. Une structure de correction possible est représentée sur le schéma-bloc de la Figure 9.36. La fonction de transfert en boucle fermée corrigée s écrit : C(p) 1 + C(p)C (p) H(p)e τp C(p) 1 + K 1 + C(p)C (p) H(p)e τp = C(p)H(p)e τp 1 + C(p)C (p) + KC(p)H(p)e τp = C(p)H(p)e τp 1 + C(p)(C (p) + KH(p)e τp ) En choisissant C (p) de sorte que C (p) + KH(p)e τp = KH(p) C (p) = KH(p)(1 e τp ), qui est physiquement réalisable, la fonction de transfert en boucle fermée devient X(p) X c (p) = C(p)H(p) 1 + KC(p)H(p) e τp 269

20 25 Gain (db) 30 35 40 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 90 Phase (deg) 0-90 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Pulsation (rad/s) Figure 9.34 Réponse fréquentielle d un correcteur par avance et retard de phase X c (p) + ε(p) C(p) H(p)e τp X(p) K Figure 9.35 Système à retard à corriger Le système est donc équivalent à celui représenté sur le schéma-bloc de la Figure 9.37. On constate que le terme de retard pur se trouve désormais hors de la boucle : il n influe donc plus sur la stabilité du système, tout en étant malgré tout conservé dans la fonction de transfert en boucle fermée. Nous avons construit le correcteur (ou prédicteur) de Smith. 270

X c (p) + ε(p) + C(p) H(p)e τp X(p) C (p) K Figure 9.36 Structure de correction du système à retard de la Figure 9.35 X c (p) + ε(p) C(p) H(p) e τp X(p) K Figure 9.37 Exemple de schéma-bloc du système corrigé 9.3 Bilan général Au final, le type de correcteur qui sera retenu dépendra de la performance qui est privilégiée : si l on privilégie la stabilité, on retiendra un correcteur de type proportionnel et dérivé (avec éventuellement un correcteur à avance de phase), si l on privilégie la précision, on retiendra un correcteur de type proportionnel et intégral (avec éventuellement un correcteur à retard de phase), si l on privilégie l amortissement, on retiendra un correcteur de type proportionnel et dérivé (avec éventuellement un correcteur à avance de phase), si l on privilégie la rapidité, on retiendra un correcteur de type proportionnel, intégral et dérivé (avec éventuellement un correcteur par avance et retard de phase). 271