Licence 2 Mathématiques- Semestre 3 Introduction aux mathématiques

Licence 2 Mathématiques- Semestre 3 Introduction aux mathématiques financières Année universitaire 2010-11 1 Version Septembre 2010 1 Responsable du cours: Marie-Amélie Morlais

2 0.1 Plan sommaire du cours Les objectifs de ce cours sont d une part de présenter le vocabulaire propre au domaine des Mathématiques financières (et d apporter ainsi une ouverture sur les secteurs de la banque et de l assurance en général) et d autre part de fournir quelques méthodes simples de modélisation mathématique de problèmes financiers concrets (tels que par exemple : le calcul de l échéancier d un prêt, les différents types de calcul d intérêts et de taux d intérêt, les méthodes de valorisation de titres financiers). Globalement il s agit de comprendre les mécanismes de base régissant les échanges financiers (on insistera sur l importance des taux d intérêt, de la valorisation) (I) Langage propre aux Mathématiques financières (II) Les taux d intérêts Quelques exemples : de quoi parle t on? exemples : taux du marché, taux réel (déduit l inflation) TEG,... taux d intérêts pré et post comptés, taux simples et composés, (III) Notion d actualisation/ capitalisation et remboursement : Remboursement de prêt : calcul d échéanciers, Actualisation : notion particulière de la VAN du TRI (mise en oeuvre de simulations numériques) flux financiers et échéancier de prêt (IV) Autour de la valorisation des obligations et des courbes de taux d intérêt

Chapitre 1 Chapitre introductif 1.1 Vocabulaire des marchés financiers Le Marché Financier est le marché sur lequel s échangent les valeurs mobilières telles que les actions, les obligations et titres dérivés : produits spéculatifs qui sont basés sur l évolution d un sous jacent en général une action, un taux d intérêt, ce sont généralement des contrats à terme des swaps ou produits d échange. On donne quelques définitions utiles pour la suite de ce cours : 1. Un titre financier est un contrat où les deux parties (acheteur et vendeur) s échangent des flux d argent. 2. Un marché financier est le lieu d achat et/ou de vente des titres financiers. Par ailleurs, sur ce type de marché, les opérateurs sont autorisés à vendre à découvert (ce qu on appelle short selling ). On distingue le marché primaire (lieu d émission des titres financiers : par les états : emetteurs notamment d obligations, les sociétes) et le marché secondaire (marché où les banques notamment s échangent les titres). Les plus gros volumes échangés concernent les produits hautement spéculatifs et les principaux acteurs sont les banques centrales, les banques d investissement, les sociétés (dans une moindre mesure et souvent par l intermédiaire de placement dans des banques les particuliers). 3. La valeur d un titre financier est un montant (positif ou négatif) représentant l enrichissement ou l appauvrissement des flux futurs : la valeur d un titre n a aucune raison d être unique (il existe plusieurs méthodes de valorisation : principe d actualisation qui repose forte- 3

4 CHAPITRE 1. CHAPITRE INTRODUCTIF ment sur la connaissance des taux du marché). La valeur d une action est celle de sa cotation en bourse. 4. Le prix d un titre est le montant convenu entre les deux parties en échange du titre : le plus souvent c est l acheteur qui paie le titre mais il arrive que le vendeur doive payer pour un titre qui lui causera des pertes. Attention : le prix n est pas nécessairement égal à la valeur (car les deux parties n ont pas nécessairement la même anticipation de l avenir). 1.2 Les produits financiers Parmi les produits financiers les plus courants, on compte : Les actions, les obligations, les contrats à terme et les produits conditionnels (warrants,bons et options) 1.2.1 Les actions Définition 1.1 Une action est un titre de propriété représentant une fraction du capital d une entreprise et donnant à son porteur le droit de vote aux assemblées, le droit d information ainsi qu aux bénéfices (dividende) En voici quelques exemples : l action classique : ce titre s acquiert contre de l argent soit à la création de l entreprise soit lors d augmentation du capital (directement sur le marché boursier). l action privilégiée elle offre un privilège (par exemple un priorité lors des votes aux assemblées ou lors de la ditribution des dividendes). L action à dividende prioritaire : Elle offre à son détenteur un rendement plus élevé que l action classique en assurant que si le profit est positif, le dividende versé ne doit pas être en deça d une fraction donnée de la valeur nominale. Certificats d investissements : Action sans droit de vote. 1.2.2 Les obligations Définition 1.2 Les obligations sont des titres de créance représentatifs de dettes : l obligation donne droit au paiement d un intérêt en général annuel et au remboursement du capital.

1.2. LES PRODUITS FINANCIERS 5 Le détenteur perçoit un revenu connu à l avance ou dont la révision se réalise dans les conditions prévues au moment de l émission. En cas de faillite, le détenteur d une créance est toujours prioritaire à l actionnaire. Les obligations peuvent être émises par les entreprises privées ou publiques ainsi que par l état et les administrations. Vocabulaire La valeur nominale d une obligation est celle qui sert de base au calcul de l intérêt annuel (cet intérêt est appelé coupon et une obligation ne versant pas d intérêt est appelée zéro coupon). Le coupon est calculé ainsi : C = (Taux facial) (valeur nominale) avec le taux facial fixé lors de l émission. Lorsque le prix d émission est égal à la valeur nominale on parle de remboursement au pair. Mais l obligation peut être émise soit en dessous (cas le plus fréquent) soit au dessus du nominal et dans ce cas, la différence entre les deux s appelle la prime de remboursement. Remarque : le taux facial et le nominal sont fixés une fois pour toute lors de l émission de l obligation donc le coupon est également fixe. La possibilité de verser des primes d émission et/ou de remboursement permet à l émetteur de prendre en compte une évolution du taux du marché (par exemple, il peut demander un prix inférieur à la valeur nominale s il espère pouvoir réaliser avant la date de remboursement une plus value). L annuité est le flux total versé chaque année par l émetteur à l ensemble des obligataires (somme de l ensemble des intérêts auquelle s ajoute le nominal lors de l échéance du contrat). Le remboursement peut s effectuer des trois façons suivantes (on verra plus loin qu il en est de même des remboursements d emprunts auprès d organismes de prêt ou de banques) : Remboursement in fine : Celui ci est réalisé en une seule fois le dernier jour de la durée de l obligation : l annuité n est composée que des intérêts versés chaque année par l émetteur : avant l échéance, cela correspond au versement annuel du coupon. Remboursement par séries ou tranches annuelles on parle aussi de remboursement à périodicités constantes. Chaque année une même part de l emprunt est remboursée et l annuité diminue donc chaque année puisque l intérêt sur le capital restant du diminue. Remboursement par annuités constantes : à nouveau, le montant de l intérêt sur le capital restant diminue et la part du capital remboursée augmente. (c est le cas le plus fréquent des intérêts d emprunt immobilier pour un particulier)

6 CHAPITRE 1. CHAPITRE INTRODUCTIF Notons A n l annuité : celle ci est constituée de la part remboursée (amortissement du capital) et de l intérêt : A n = D n + I n, le coupon représentant ici l intérêt versé. Exemple de flux financier associé à une obligation de nominal 1000 euros, taux facial à 5 % sur 4 ans avec remboursement in fine : La suite des flux financiers est la suivante : A 1 = 1000 5% = 50, A 2 = 50, A 3 = 50 et A 4 = 1000 + 50 Pour une même durée de 4 ans (à 5 % de taux intérêts) donner la suite des annuités et des intérêts versés pour un remboursement par tranches égales. Reponse : sur 4 ans, les tranches égales correspondent à 250 euros (1/4 du capital= le nominal) et dans ce cas, les intérêts sont recalculés ensuite : successivement : I 1 = 50 puis I 2 = 750 5% = 37.5 euros, I 3 = 25, puis I 4 =12.5 (sommes auxquelles se rajoutent le remboursement des 250 euros) Remarque : On verra plus loin dans le cours une méthode de calcul du prix d une obligation en introduisant la notion de prix de non arbitrage (méthode commune de valorisation d un titre) et son calcul. Il existe deux grand types d obligations : les obligations ordinaires dont le coupon versé une fois par an est identique toute la durée de la vie : ces titres sont extrêmement vulnérables à l inflation (c est à dire la variation des taux du marché). Exemple (en exercice) : Prenons l exemple suivant qui montre l évolution du prix d une obligation en fonction du taux du marché : soit une obligation de nominal 1000 euros remboursé au pair et in fine avec un taux facial de 10 % : le remboursement se fait par versement de 100 euros auquel se rajoute les 1000 euros au bout des 10 ans. Supposons que le détenteur souhaite revendre son obligation avant l échéance mais a un moment où le taux facial pratiqué est de 15 % ainsi, au taux du marché, une telle obligation rapporte 150 euros par an. Personne n acceptera d acheter 1000 euros un titre ne rapportant que 100 euros par an. Pour revendre ce titre, le détenteur doit donc consentir à une baisse du prix d émission : le nouveau prix est alors égal à 666.7 euros (car : 15% *666.7 = 100) : en effet, le nominal de l obligation ne variant pas ici donc le coupon reste égal à 1000*10 % Les obligations à taux variable ou celles indexées sur un indice de référence (i.e. leur valeur de remboursement dépend de l évolution de cet indice de référence) Ainsi l état a émis des obligations indexées sur l inflation car ce type de produit offre donc une protection supplémentaire pour l émetteur (i.e l Etat) face à toute tentative d anticipation de l évolution de l inflation puisque dès lors il suit l évolution du taux d intérêt réel = taux nominal - inflation.

1.2. LES PRODUITS FINANCIERS 7 1.2.3 Les autres produits échangés Deux grands types de produits existent : Les produits de taux : produit dont les revenus et la valorisation dépendent de la variation d un taux et notamment de celle du taux du marché, les produits dérivés généralement des produits spéculatifs basés sur le cours du sous jacent (i.e. une action ou obligation) : Quelques exemples : les contrats à terme (contrat gré à gré : forwards ou futures) ou les options et les warrants donnant droit et non l obligation d acheter ou vendre un titre à un prix fixé à l avance et à une date d échéance précise (les warrants n autorisant pas la vente à découvert.) Parmi les options on citera les options d achat dites Call, les options de vente dites Put, ces deux types d options donnent le droit et non l obligation d acheter ou vendre à la date d exercice (date d échéance) et à un prix d exercice déterminé à l avance (strike) le calcul à l instant initial dépend notamment de la volatilité du sous jacent mais aussi de la distance (en temps) avant l échéance (anticipation de l avenir). On parle d option européenne pour celles qui contraignent le détenteur à exercer ou non à l échéance alors que pour une option américaine le détenteur peut exercer à tout moment (avant l échéance).

8 CHAPITRE 1. CHAPITRE INTRODUCTIF

Chapitre 2 Les taux d intérêt La connaissance des taux du marché est primordiale afin d évaluer notamment le prix d une obligation ou en général de tout produit financier. Ils régissent toutes les opérations financières et interviennent de facon cruciale dans les deux mécanismes suivants : actualisation et capitalisation. En particulier fondamentaux dans ce qui concerne les prêts/ emprunts. Exemples de taux on distingue les taux court à moyen termes (tel que taux EURIBOR european interbank offered rate, TMM taux moyen du marché monétaire de valeur calculée mensuellement pour TMM et trimestrielle pour EURIBOR) et les taux longs tels que ceux du marché obligataire Parmi les taux couramment cités, on parle des taux directeurs (ceux pratiqués par les banques centrales, le taux réel du marché (=taux nominal moyen pratiqué déduit de l inflation) le TEG : taux effectif global (taux d un crédit pour un emprunteur comptabilisant les intérêts + frais de dossier et assurance : il doit figurer sur le dossier du prêt depuis 1966). On parle aussi de taux fixes ou de taux variables (leur valeur fluctue suivant les montants et les finalités des prêts ; à la consommation, prêts immobiliers les crédits les moins chers sont les crédits immobiliers (car possibilité pour la banque d hypothéquer le bien) Définition 2.1 L intérêt est le loyer de l argent : pour un consommateur c est le prix à payer pour la jouissance immédiate d un bien de consommation (automobile, maison ou appartement,..) accessible à l aide de l argent. Inversement, l int erêt est source de revenu pour l organisme de prêt (banques, assurances). Pour l épargnant, l intérêt est la récompense pour une remise à plus tard de la jouissance. L intérêt est calculé à chaque période de la durée du contrat : cette période est précisée dans le contrat (on parle d intérêt mensuel, semestriel annuel selon que le calcul de l intérêt se fait tous les mois, tous les deux 9

10 CHAPITRE 2. LES TAUX D INTÉRÊT mois, tous les ans). De façon générale, le taux d intérêt r est le ratio (sur une période) entre l intérêt I (revenu pour l épargnant et coût pour l emprunteur) sur la valeur du capital V i r = I V I ou encore I = r V I. Le taux d intérêt est une mesure de l intérêt : il dépend des facteurs suivants la durée de l emprunt/ placement (dont dépend le calcul de l interêt versé), le risque de contrepartie : cela signifie que l emprunteur peut faire défaut. Ainsi, le taux est une mesure croissante du risque : par exemple dans le cas des assurances de prêt immobilier, le taux de l assurance augmente avec l âge. Dans le cas des assurances automobile, le calcul du taux dépend aussi de l âge et notamment l expérience du conducteur. les conditions économiques : si le prêteur peut placer à un taux de 5 %, il n acceptera donc pas de prêter en dessous (remarque : c est pourquoi les taux bas du marché avantagent d avantage les emprunteurs que les épargnants). 2.1 Les différents types d intérêts 2.1.1 Taux précomptés et postcomptés Lorsque l intérêt est versé en début de période on parle d intérêt précompté ou d intérêt à terme à échoir. Lorsqu au contraire, celui ci est versé en fin de période, on parle d intérêt postcompté ou d intérêt à terme échu. Ainsi, le taux précompté avantage le prêteur puisque le versement de l intérêt a lieu dès le début contrairement au taux postcompté (ce sera le cas lorsque l on va parler d escompte commercial accordé par une banque). Intérêt postcompté Lors du calcul de ce type d intérêt, la valeur du capital ainsi que l intérêt sont versés en fin de période : on note V f (resp. V i ) la valeur finale reversée (resp. valeur initiale) : on a la relation suivante V f = V i + I = (1 + r) V i Exemple 1 : On investit une somme de 350 euros : le calcul de l intérêt est postcompté au taux de 7 % sur la période. Quel est l intérêt versé et quelle est la valeur finale reversée?

2.1. LES DIFFÉRENTS TYPES D INTÉRÊTS 11 Réponse : I = 7% 350 = 24.5 et V f = 350 + 24.5 = 350 1.07 = 374.5 euros. Exemple 2 : Un prêt est réalisé : l intérêt est toujours postcompté au taux de 7 %. La valeur finale à verser est de 400 euros : de combien était le prix initial? Un prêt similaire de cette dernière somme rapporte 500 euros : quelle est la valeur du taux sur cette période. Réponse : V I = 400 1.07 r = 500 373.8 33% Intérêt précompté = 373.8 euros. Dans le second cas, le nouveau taux est Lorsque l intérêt est précompté, l intérêt est versé en début de période et le capital initial en fin de période : ainsi avec une somme initiale de M, l intérêt I = r p M est versé initialement et l emprunteur dispose ainsi de : M I = M (1 r p ), à la fin de la période la somme initiale M est versée On pourrait aussi le voir comme l emprunt de la somme M I = M (1 r p ) avec remboursement au taux postcompté r et versement de M en fin de période, ce qui fournit la relation entre taux d intérêt pré- et postcomptés M (1 r p ) (1 + r) = M (1 r p ) (1 + r) = 1. Exemple 3 : Un prêt de 350 euros est réalisé : l intérêt de ce prêt est précompté au taux de 7 % : quel est la valeur de l intérêt versé et quelle est la valeur finale reversée? quel est, par ailleurs, le taux postcompté d un tel prêt? Réponse : L intérêt d un tel prêt est : I = r p 350 = 24.5, et la somme réellement à disposition est donc de M I = 325.5 euros. La valeur finale reversée dans ce cas est de 350 euros et le taux postcompté d un tel prêt se calcule ainsi : 1 + r = M M I = 350/325.5 7.5% (vérifier la formule reliant les deux taux d intérêt) fournir la correction des exercices. La valeur empruntée dans ce cas est égale à la valeur totale reversée au prêteur. La différence entre les deux types d intérêt réside dans le fait que l intérêt est ou non comptabilisé dans le prêt. (Du point de vue de l emprunteur, il est beaucoup plus simple de parler en termes d intérêts postcomptés! pourquoi ce choix en pratique?) Résumons la philosophie de ce type d intérêt : afin de posséder N, je dois emprunter la somme x de sorte que : x = (1 r p ) N, ce qui me coûtera donc : x r p = N rp 1 r p. Avec la somme N, je peux prêter x = N 1 r p ce qui me rapportera alors x r p. Exemple 4 Comparaison entre les deux modes : Nous avons besoin de 350 euros : les emprunts à l intérêt précompté affichent un taux de 6.8 % alors que ceux à l intérêt postcompté affichent un taux de 7 % : calculer l intérêt

12 CHAPITRE 2. LES TAUX D INTÉRÊT versé pour chacun des modes de calcul d intérêt afin que l emprunteur puisse disposer de la somme de 350 euros. Lequel des choix va t il donc prendre? Réponse : Dans le cas de l intérêt précompté, la somme effectivement empruntée est : x = 350 1.068 et l intérêt versé est donc : I = (0.068 x) = 25.5 euros. Dans le second cas, l intérêt vaut : I 2 = 0.07 350 = 24.5 euros. Le choix de l intérêt postcompté est le meilleur (du point de vue de l emprunteur). Remarque : Le taux précompté r p correspondant au taux postcompté de 7% est donné par : r p = 1 1 1+r, c est-à-dire : r p 6.5 % (à.1 % près). Principe de non arbitrage Afin de ne pas avoir d opportunité d arbitrage : c est-à-dire gagner de l argent en empruntant et prêtant la même somme à l aide des deux modalités, il faut nécessairement que (1 r p ) (1 + r) = 1. Preuve : Considérer la stratégie suivante : on emprunte N à intérêt poscompté r et on prête en même temps la somme x = au taux précompté de r p. A la fin de la période, on touche alors N 1 r p N 1 r p et on doit rembourser N 1 r p. N (1+r) : il n y a aucune plus value si et seulement si : N (1+r) Pour l inégalité dans l autre sens, on reproduit le même raisonnement avec la stratégie inverse (consistant à emprunter x avec taux d intérêt précompté et à prêter la somme x à taux postcomptés). 2.1.2 Taux d intérêts simples et composés Intérêts simples L intérêt est dit simple lorsqu il est calculé à chaque période seulement sur la base de la somme prêtée ou empruntée à l origine : il est généralement utilisé pour les opérations à court terme (i.e. en dessous d un an) on parle parfois d intérêt commercial. Calcul dans le cas d intérêt postcomptés : On note N le nombre de périodes du contrat, V i le capital initial, I n l intérêt à la n ième période (toujours postcompté i.e. calculé à la fin) et r le taux d intérêt fixe : on a alors que pour tout n I n = r V i et donc V f = (1 + N r) V i et la somme des intérêts vaut donc : NrV i. Exemple 1 : on investit 350 euros avec intérêts simples postcomptés de 7% par période de 1 mois : l emprunt est de 14 mois : quel est l intérêt versé au bout d un mois, que vaut la somme des intérêts à la fin de la période 12?

2.1. LES DIFFÉRENTS TYPES D INTÉRÊTS 13 Réponse : L intérêt simple I vaut 350 0.07 (si 7% désigne le taux sur une période ici le mois). Au bout de 12 mois, il suffit de multiplier par 12 (progression linéaire). Exemple 2 : A quel taux annuel a été placé un capital de 20000 euros ayant généré des intérêts simples postcomptés de 2500 euros en deux ans? combien de périodes faut il avec ce même taux afin de générer 8750 euros (avec le même capital initial)? Réponse : 1 + 2r a = 22500 20000 soit : r a 6.25%, et le nombre N de périodes est tel que N r a 20000 = 8750 soit : N = 7 ans. Pour le cas de l intérêt composé : (1 + r e,a ) 2 = 22500 20000, soit : r e,a 6.1%. Pour obtenir 8750 euros, le nombre N de périodes satisfait : (1 + r e,a ) N = 28750 28750 log( 20000 20000, soit N = ) log(1+r e,a) soit encore N 6.16 (6 ans et 2 mois environ) Attention : il est fondamental que toutes les variables soient exprimées en fonction de la même unité de temps : si N est un nombre de jours, le taux r doit être le taux journalier (si N est un nombre de mois,..) On précisera pour la suite que par convention, l année sera divisée en 360 jours, 52 semaines, 12 mois 4 trimestres. Généralement, on traite avec des taux annuels mais si l on veux convertir, il faut alors utiliser le principe d équivalence des taux : i.e convertir comme suit Si r est le taux annuel alors les taux proportionnels équivalents r m, r t et r s (mensuels trimestriels et semestriels) se calculent comme suit r m = r 12, r t = r 4 et r s = r 2 Calcul dans le cas d intérêt précomptés : On conserve les mêmes notations pour N, V i et V f = V i (dans le cas précompté) et r p désigne le taux d intérêt précompté. La somme des intérêts versés au début est égale à N r p V i et le capital V i est reversé à la fin de la N ieme période. le taux postcompté r équivalent à ce taux précompté satisfait alors (1 + N r)(1 N r p ) = 1. Les opérations à court terme 1 L escompte commercial L entreprise A vend le 8 Février à son client Ω pour V = 10000 euros de marchandises (valeur nominale de l effet) avec date de réglement le 30 Avril (date d échéance de l effet). Cependant, le 10 Mars A a besoin de l argent afin de réinvestir, argent qu il emprunte à sa banque. A souhaite donner à son banquier la créance qu elle détient sur Ω mais le banquier n y consentira que s il bénéficie d une rémunération appelée

14 CHAPITRE 2. LES TAUX D INTÉRÊT escompte commercial calculé à l aide de la formule d intérêts simples (journaliers) où l intérêt précompté se calcule ainsi I = V r e 360 N, N étant le nombre de jours séparant la date de la remise de l escompte de l échéance de l effet (= durée du prêt consenti par la banque). S ajoutent à cet escompte différentes commissions proportionnelles à la durée de l escompte de taux r c et d autres fixes pour toute la durée du prêt de taux r ci d où la formule suivante e = V ( r e 360 N + rc 360 N + r ci), = V (re+rc+r ci 360 N ) 360 N = V rp 360 N avec r p qui représente le taux effectif annuel précompté et : a = V e est appelée valeur actuelle commerciale 2 L escompte commercial rationnel Le taux d escompte affiché est parfois le taux postcompté de la valeur actuelle de l effet et non pas de sa valeur nominale : ainsi, r e = (V e) r 360 N, et en le convertissant ensuite en taux précompté, il s ensuit que r 1+N r e = V r 360 360 N (on précompte ici sur la somme V en tenant compte des intérêts du banquier avec le taux précompté r p = 1 1 1+r 0 = r 0 1+r 0 soit : r 0 = N r 360 ) ce taux est beaucoup moins utilisé que le précédent. 3 Le découvert (ou avance en compte courant) se traduit par un compte débiteur et suit la règle des intérêts simples : le coût du découvert est affecté par la commission de plus fort découvert qui s applique au plus fort solde débiteur mensuel (1 pour mille). La commission de confirmation (appliquée lorsque le découvert est confirmé par écrit par la banque 1 % du plafond autorisé) et les intérêts résultent de l application du taux de découvert. Ainsi pour un découvert de 200 euros sur 30 jours (plafond à 250) à un taux de découvert annuel de 12 %, les agios (ou frais de découvert) s élèvent à 0.001 200 +.01 250 + 200 (.12/360) 30 = 4.7 euros et le taux d intérêt effectif appliqué r eff, a satisfait donc 4.7 200 = r eff, a 30 360 (le taux effectif annuel est donc de 28.2 % ce qui est bien supérieur au taux de 12 % annoncé)

2.1. LES DIFFÉRENTS TYPES D INTÉRÊTS 15 Intérêts composés L intérêt est dit composé lorsqu il s ajoute à la fin de chaque période au capital. Cette nouvelle somme forme la base de l intérêt sur la période suivante. Le montant de l intérêt et du capital en début de chaque période varie donc. Interets postcomptés N désigne le nombre de périodes du contrat V i le capital initial (somme prêt ee ou empruntée) I n l intérêt versé à la fin de la n ième période et V f (n) la valeur du capital en fin de n ième période (début de la n + 1 ième). Enfin r est le taux d intérêt fixe. Sur la première période, on a I 1 = r V i et V f (1) = (1 + r)v i, sur la deuxième I 2 = r V f (1) et V f (2) = (1 + r)v f (1) = (1 + r) 2 V i, d ou il s ensuit en itérant que : V f (N) = (1+r) N V i et la somme I des intérêts satisfait ( N 1 ) I = r V i (1 + r) i 1 (1 + r)n = r 1 (1 + r) V i i=1 ainsi cette somme croit exponentiellement avec la période du prêt (ou du placement) du capital V i. Exemples de calcul : Quel est le taux annuel d un placement de 10000 euros à intérêts composés rapportant 18000 euros en 3 ans? Pour le même placement, combien d années faut il pour quadrupler le capital? Réponse Le taux annuel r a satisfait (1 + r a ) 3 = 28000 10000 soit r a 41 %. Le capital quadruple au bout d un nombre N d années tel que : (1+r a ) N = 4 soit N = log(4) log(1+r a) = 4 ans et 14 jours environ. La capitalisation indique à quelle fréquence l intérêt s ajoute au capital en cas d intérêts composés. On parle de capitalisation annuelle semestrielle trimestrielle mensuelle selon la périodicité du versement des intérêts Pour rappel deux taux sont dits équivalents si à placement identique, ils permettent d obtenir le même capital. En général, les banques fournissent un taux nominal annuel calculé dans le cas des intérêts simples et qui ne permet donc pas le calcul d intérêts composés. Le taux équivalent annuel correspondant à un taux mensuel fixé dans le cas d une capitalisation mensuel sera appelé le taux effectif annuel r e,a il se calcule ainsi r e,a = (1 + r m ) 12 1 > 12r m! en pratique, si une banque annonce un taux nominal annuel de 8% le taux effectif annuel est de : r e,a = (1 +.08/12) 12 1 8.16%, soit des intérêts de 81 euros 60 centimes sur un total de 1000 euros.

16 CHAPITRE 2. LES TAUX D INTÉRÊT

Chapitre 3 Actualisation/ Capitalisation et applications 3.0.3 Notion d actualisation : application au remboursement de prêt A l inverse de la capitalisation qui permet de calculer des valeurs futures à partir des valeurs initiales (ou valeurs présentes) on peut souhaiter connaitre la valeur qui doit être prêtée aujourd hui pour obtenir un montant fixé à l avance : ceci s appelle principe d actualisation (d un flux financier). Principe d actualisation Définition 3.1 Une suite d annuité est une suite de réglements réalisés à des intervalles de temps égaux (à savoir les périodes) mais de montant non nécessairement égaux. Le terme d annuité bien que parfois utilisé quelque soit la périodicité des versements est réservé habituellement à des périodicités annuelles. Pour les plus courantes on parle de Semestrialités pour des périodicités de six mois Mensualités pour des périodicités d un mois La suite d annuité correspond à une rente pour celui qui la percoit. Voici quelques exemples concrets de suite de versements : a Un emprunt remboursé sur dix ans par mensualités constantes donne lieu au versements de 120 périodicités b La constitution d un capital par versements constants, c L acquisition d une obligation d une durée de vie de six ans versant des coupons annuels Valeurs actuelles et acquises Les mécanismes de calcul des valeurs actuelles et acquises sont semblables : 17

18CHAPITRE 3. ACTUALISATION/ CAPITALISATION ET APPLICATIONS pour la valeur acquise à la date n, il s agit de la valeur de la suite des annuités jusqu à la date n. Pour la valeur actuelle, c est la valeur à l origine de la suite des annuités (somme actuelle prêtée ou empruntée et qui va donner lieu au versement de la suite des annuités. Définition 3.2 (ia) La valeur actuelle à t = 0 associée à un flux F p flux donné au bout de p périodes se calcule ainsi F 0 = F p (1 + r) p (ib) La valeur acquise à la date N à partir d un flux F n réalisé à la fin de la n ième période vaut V N = F n (1 + r) N n, et cette valeur acquise correspond à la somme suivante dans le cas d un flux financier N V N = F p (1 + r) N p. p=n (ii) La valeur actuelle associée à une suite de versements ou flux financiers (F p ) p=1, N correspond à la somme de chaque flux actualisée à la date présente, à savoir que l on a : V 0 = N p=1 F p (1 + r) p. (3.1) Quelques remarques Conséquence immédiate de (ii) : Si on considère le flux financier (F p ) p=1, N et une date n fixée telle que : 1 n N, alors la valeur à la date n associée à ce flux se calcule ainsi V n = N p=n N n F p (1 + r) p n = F n+p (1 + r) p, la deuxième somme étant obtenue par une réindexation de la première. Considérant la relation (3.1) dans le cas où la suite de versements est constitués de périodicités constantes, on a V 0 = N p=1 p=0 F p 1 (1 + r) (N+1) = F, (1 + r) p r

19 cette relation sera importante lors du calcul des périodicités associées à un remboursement de prêts par versements constants : V 0 représentant ici la somme empruntée et F la périodicité constante. Lien entre valeur actuelle et valeur acquise à la date N associé à un flux financier V N = N F p (1 + r) N p = (1 + r) N p=1 Emprunts indivis N p=1 F p (1 + r) p = (1 + r)n V 0. On parle d emprunts indivis pour ceux contractés auprès d un seul créancier : ils s opposent aux obligations où le nombre de créancier est grand. En général, il s agit d emprunts contractés par des particuliers auprès des banques ou par des entreprises à la recherche de financement pour des investissements. Pour chaque contrat de prêt sont clairement définies dans les clauses du contrat : la durée de mise à disposition, le taux d intérêt et les conditions de remboursement du capital selon l une des trois modalités déjà décrites au premier chapitre : 1. Le remboursement in fine : seuls les intérêts calculés périodiquement sont versés excepté lors de la dernière période, 2. Le remboursement à amortissement constant : à chaque période et notant N le nombre de périodes du contrat, V 0 le capital emprunté, la fraction V 0 N du capital est amortie ou remboursée. 3. Le remboursement à périodicité constante : la suite des périodicités est une suite constante. Ensemble des notations et relations Notons respectivement par V 0, N et r le capital emprunté, le nombre de périodes de l emprunt et le taux d intérêt sur une période. Les intérêts sont supposés composés et le calcul de l intérêt est postcompté (ou à terme échu). On note aussi par V n la capital (restant) dû en fin de nième période (ou encore début de (n + 1)-ième période et I n l intérêt versé à la nième période I n = rv n 1. D autre part si F n désigne le montant du n-ième remboursement (ou réglement) en fin de n ième période et D n le capital ayant été amorti (= amortissement) durant la n ième période on a les relations suivantes F n = D n + I n, V n = V n 1 D n.

20CHAPITRE 3. ACTUALISATION/ CAPITALISATION ET APPLICATIONS Par ailleurs, à la fin de la N ieme période, le capital est intégralement remboursé à savoir que l on a : V N = 0. De toutes ces relations, on déduit successivement les propriétés suivantes : 1. La somme de tous les amortissements doit coincider exactement avec le montant emprunté à savoir que : V 0 = V 1 + D 1 = = 2. Le montant V n du capital restant dû correspond à la valeur actualisée à la fin de la n ième période des règlements à partir de la (n+1)-ième période, i.e V n = N n k=1 F N n+k (1 + r) k = k=n+1 N n=1 D n F k (1 + r) k n Preuve : On exploite les égalités suivantes V n = V n+1 + D n+1 = V n+1 + F n+1 I n+1 = V n+1 + F n+1 rv n, pour obtenir une première relation V n = F n+1 (1 + r) + V n+1 (1 + r). La relation s ensuit à l aide d une récurrence décroissante de n = N à n = 0. On appelle coût global du crédit C g la somme des intérêts C g = Le cas du remboursement in fine N I n. n=1 L emprunteur ne paie que les intérêts du capital jusqu à la N 1 ième période il rembourse en une seule fois à l échéance du prêt, l intégralité du capital emprunté. Pour ce type de remboursement et pour tout n, on a : D n = 0 et I n = rv 0 D ou l échéancier suivant Structure de l échéancier Années intérêts I n amortissement D n capital dû n=1 rv 0 0 V 0 n =2 rv 0 0 V 0 n rv 0 0 V 0 n = N rv 0 V 0 0