Chapitre 4 Fonctions variations page 1 CHAPITRE 4 : FONCTIONS VARIATIONS Enoncé : Voici les représentations graphiques de plusieurs fonctions : a. Courbe représentative de la fonction f b. Courbe représentative de la fonction g c. Courbe représentative de la fonction h d. Courbe représentative de la fonction j e. Courbe représentative de la fonction k f. Courbe représentative de la fonction l
Chapitre 4 Fonctions variations page 2 1. Quelle serait une définition intuitive d une fonction croissante? D une fonction décroissante? Matérialiser en rouge sur l axe des abscisses des courbes représentatives de f, g et h les intervalles sur lesquels la fonction correspondante est croissante, et en vert les intervalles sur lesquels elle est décroissante. Synthèse : Compléter le tableau suivant : Fonction Ensemble de définition de la fonction Intervalles sur lesquels la fonction est croissante Intervalles sur lesquels la fonction est décroissante f g h 2. Reprendre l activité de l aire du rectangle inscrite dans un triangle rectangle, page 61 du livre. Que voit-on lorsque x varie de 0 à 1,5? plus x augmente, plus l aire.. Même question lorsque x varie de 1,5 à 3? plus x augmente, plus l aire... 3. On considère la représentation graphique de j. On se place sur l intervalle [ 10 ; 6]. Si l on prend deux éléments a et b quelconques de cet intervalle tels que a b, peut-on comparer leurs images? Si oui, que vérifient-elles? Répondre aux mêmes questions lorsqu on se place sur l intervalle [ 6 ; 2], puis sur [ 2 ; 2]. 4. Reprendre ces questions avec les courbes représentatives de k et l (attention, selon l ensemble de définition, il peut y avoir des intervalles sur lesquels on ne pourra pas traiter la question) : Que peut-on en déduire? Dans tout ce paragraphe, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de, de courbe représentative f, et a un réel de l intervalle I.
Chapitre 4 Fonctions variations page 3 1. Fonctions croissantes et décroissantes Il s agit d exprimer mathématiquement le fait qu une fonction «monte» ou «descend». Définitions et propriétés f est dite croissante sur I si pour tous réels a et b de I tels que a b, f(a) f(b). Une fonction croissante conserve l ordre : pour tous réels u et v de I, f(u) et f(v) sont rangés dans le même ordre que u et v, autrement dit : Si u v, alors f(u) f(v) ; Si u v, alors f(u) f(v). f est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b de I tels que a b, f(a) f(b). Une fonction décroissante «inverse» l ordre : pour tous réels u et v de I, f(u) et f(v) sont rangés dans l ordre contraire de u et v, autrement dit : Si u v, alors f(u) f(v) ; Si u v, alors f(u) f(v). f(v) f(u) f(v) f(u) u o v u o v Remarques : En remplaçant les inégalités larges dans la définition d une fonction croissante par des inégalités strictes, on dit alors que la fonction f est strictement croissante ; En remplaçant les inégalités larges dans la définition d une fonction décroissante par des inégalités strictes, on dit alors que la fonction f est strictement décroissante. Ces définitions ne sont valables que sur un intervalle I, et pas une réunion d intervalles disjoints. Contre-exemple : Soit f la fonction définie sur [ 3 ; 0[ ]0 ; 3] par ƒ(x) = 1/x. Sur quels intervalles cette fonction est-elle décroissante. On considère u = 1 et v = 2. f(u) = et f(v) =, donc f(u) f(v), ce qui contredit la définition d une fonction décroissante. 2. Variations d une fonction Étudier les variations d une fonction, c est étudier le(s) intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction est croissante, décroissante ou éventuellement constante. Ces résultats peuvent se résumer dans un tableau de variation, qui est une forme stylisée de courbe représentative où l on indique uniquement si la courbe monte, descend ou est stable. Dans la première ligne on indique les valeurs importantes de x et dans la seconde les variations de f.
Chapitre 4 Fonctions variations page 4 Exemple La fonction f représentée ci-contre est décroissante sur [ ; ], croissante sur [ ; ] et décroissante sur [ ; ] : x 2 1 2 3 ƒ(x) La ligne «x» se lit sur l axe des et la ligne «ƒ(x)» se lit sur l axe des. Remarques : Un tableau de variation d une fonction donné sans la représentation graphique associée amène donc plusieurs informations : De plus, si la fonction présente une valeur interdite (comme dans le contre-exemple), on la matérialise par une double-barre : on reprend la fonction du contre-exemple : ƒ(x) = 1/x définie sur [ 3 ; 0[ ]0 ; 3]. Son tableau de variations est le suivant : x 3 0 3 ƒ(x) Exercice : Reprendre les représentations graphiques de l activité d introduction, et dresser le tableau de variations de chacune des fonctions correspondantes. On fera bien attention au fait qu une étude de variation faite à partir d un graphique donné ou d une représentation graphique obtenue sur l écran d une calculatrice ne donne pas forcément les mêmes résultats. En effet : pour une représentation graphique donnée, la convention graphique veut que les points importants soient placés, ce qui nous permet de connaître avec précision les variations ; pour une représentation graphique à la calculatrice, il peut y avoir de petites variations que l on ne peut voir sans effectuer un zoom ; si une fonction est donnée par son expression algébrique, il faut vérifier sa croissance ou décroissance en utilisant la définition.
Chapitre 4 Fonctions variations page 5 Techniques pour montrer qu une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle : 1. L énoncé demande de montrer que la fonction f définie sur par ƒ(x) = 2x + 1 est croissante. On se donne deux éléments a et b de tels que a b. On applique ensuite les règles d ordre que nous avons étudié dans le mini-chapitre «Ordre, intervalles» : a b 2a 2b (car la multiplication par un nombre positif ne modifie pas le sens) 2a + 1 2b + 1 (car l addition d un réel quelconque ne modifie pas le sens) ƒ(a) ƒ(b). Le critère de la définition d une fonction croissante est vérifié, la fonction f est donc bien croissante. 2. L énonce demande de montrer que la fonction g définie sur [1 ; + [ par g(x) = x + 1 x est croissante. On se donne déjà deux réels a et b dans l intervalle [1 ; + [ tels que a b. On essaye d abord la méthode 1 : 1 a b 1 a 1 b 1. On se retrouve avec a b et 1 a 1, et on ne peut pas b additionner membre à membre car les inégalités ne sont pas dans le même sens. Il faut trouver une autre méthode!!! On va calculer ƒ(b) ƒ(a), et déterminer son signe sachant que a b (cela veut dire qu il faille transformer l expression de ƒ(b) ƒ(a) de sorte que le résultat s exprime sous forme de produits ou quotients dont on peut déterminer le signe) : ƒ(b) ƒ(a) = b + 1 b a + 1 a = (b a) + 1 b 1 a a b = (b a) + ab = (b a) 1 1 ab = (b a) ab 1 ab. A partir de là, on fait un tableau de signes : b a + car a b ab 1 + car a 1 et b 1 ab 1 ab + car on vient de voir que ab 1 ƒ(b) ƒ(a) + D où ƒ(b) ƒ(a) 0, c est-à-dire ƒ(b) ƒ(a), ou encore ƒ(a) ƒ(b). Le critère de la définition d une fonction croissante est vérifié, donc f est bien croissante sur [1 ; + [. Exercice d introduction 1 : Reprendre l activité p. 61. Quel était le but du problème? En quelle valeur de x ce problème était-il satisfait? x 0 = Quelle était la valeur correspondante de l aire? 0 = Peut-on trouver une valeur différente de x 0 telle que l aire correspondante soit plus grande que 0? Finalement, quel est le terme qui qualifierait au mieux 0? Exercice d introduction 2 : Un rectangle a un périmètre égal à 16 cm. On appelle x sa largeur. 1. Déterminer l ensemble des valeurs que peut prendre x.
Chapitre 4 Fonctions variations page 6 2. Déterminer l aire (x) du rectangle en fonction de x et donner son ensemble de définition. 3. Construire un tableau de valeurs de la fonction avec un pas de 0,25. Quelle semble être l évolution de l aire du rectangle? Quel semble être l aire maximale? 4. Montrer que 16 (x) = x 2 8x + 16, puis factoriser x² 8x+16. En déduire le signe de 16 (x). Quelle est donc la plus grande valeur possible pour l aire du rectangle et pour quelle valeur de x est-elle atteinte? Comparer avec les réponses obtenues à la question précédente. 5. Observer ces résultats à l aide de la courbe représentative de la fonction. Dans ce paragraphe, représentative. f désigne toujours une fonction définie sur un intervalle I, de courbe Définitions On dit que f(a) est le maximum de f sur I lorsque pour tout réel x de I, ƒ(x) ƒ(a). On dit que f(a) est le minimum de f sur I lorsque pour tout réel x de I, ƒ(x) ƒ(a). o Remarque : On dit aussi que f admet un maximum (ou un minimum) en a sur I. La valeur du maximum (ou du minimum) doit être une valeur atteinte par la fonction, comme le montre l exemple suivant. Exemple : La fonction f définie sur par f (x) = x 2 + 1 n admet pas 1 comme minimum. En effet, si on a bien f (x) 1 sur, il n existe pas de a tel que f (a) = 1. Par contre 1 est bien le minimum de f sur car f (x) 1 pour tout x f (0) = 1. ET On dira donc : le minimum de f sur est 1 et il est atteint pour a = 0. Dans ce paragraphe, f désigne toujours et encore une fonction définie sur un intervalle I, et sa courbe représentative. Exercice : a. Tracer à la calculatrice les courbes représentatives des fonctions ƒ(x) = x 2 et g(x) = x 3. Que constate-t-on par rapport à ces courbes en terme de symétrie?
Chapitre 4 Fonctions variations page 7 b. Recopier et compléter le tableau suivant : x ƒ(x) ƒ( x) g(x) g( x) 3 2 1 0 1 2 3 4 c. Que pourrait-on conjecturer pour la fonction f? Pour la fonction g? Démontrer ces conjectures. Définitions Une fonction ƒ est dite paire sur I si pour tout réel x de I, ƒ( x) = Une fonction ƒ est dite impaire sur I si pour tout réel x de I, ƒ( x) = Exercice 1 On considère la fonction f (x) = x 2 6x + 5. Conjecturer le tableau de variations de f à l aide de sa représentation graphique. Démontrer la conjecture. Indication : 1) Factoriser f (v) f (u). 2) Déterminer le sens de variation de f sur [3 ;+ [. 3) Déterminer le sens de variation de f sur ] ;3]. 4) Établir le tableau de variation de f. Exercice 2 Soit f la fonction définie sur par f (x) = x 2 5. On s intéresse au minimum de f sur 1) Montrer que ƒ(x) 5. 2) Cela suffit-il pour déterminer le minimum de la fonction f? Exercice 3 Soit f la fonction définie sur par f(x) = (x+1)²-2 1) Quel est le minimum de f sur pour quelle valeur de x est-il atteint? 2) On souhaite étudier les variations de f sur. Emettre une conjecture puis la démontrer. Exercice 4 Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f sachant que : f est définie sur l intervalle [-3 ; 3] f est strictement décroissante sur [-3 ; -1] f est strictement croissante sur [-1 ; 3] pour tout x appartenant à [-3 ;3], -1 f(x) 4. Exercice 5 Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f sachant que : f est définie sur l intervalle [-3 ; 4] f admet un minimum en -1 et un maximum en 2 les images de -3 et de 4 sont respectivement 2 et 1 0 a deux antécédents : -2 et 1 Exercice 6 Soit f la fonction définie sur par f (x) = 2(x + 1) 2 3. On note (Π) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1) Etudier les variations de f : a. Sur ]- ;-1] b. Sur ]-1 ; + [ 2) En déduire le tableau de variations de f sur. 3) Tracer (Π). (unité graphique : 1cm) 4) Soit (d) la droite d équation y= 1. Calculer les coordonnées des points d intersection de (Π) et (d). 5) Résoudre l inéquation ƒ(x) 1. Interpréter graphiquement ce résultat. 6) Soit h la fonction affine définie par h(x) = 4x + 5. On note ( ) sa courbe représentative. a. Tracer ( ) dans le même repère que (Π). b. Déterminer les points d intersection à (Π) et ( ).