MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Formule basique du prix d une obligation Vingt-deuxième cours Formule basique du prix d une obligation Formule prime/escompte du prix d une obligation Formule basique du prix d une obligation Formule prime/escompte du prix d une obligation Formule du montant de base du prix d une obligation 1
Formule basique du prix d une obligation Formule prime/escompte du prix d une obligation Formule du montant de base du prix d une obligation Formule de Makeham du prix d une obligation Formule basique du prix d une obligation Formule prime/escompte du prix d une obligation Formule du montant de base du prix d une obligation Formule de Makeham du prix d une obligation Valeur comptable d une obligation Formule basique du prix d une obligation Formule prime/escompte du prix d une obligation Formule du montant de base du prix d une obligation Formule de Makeham du prix d une obligation Valeur comptable d une obligation Amortissement d une obligation La formule basique pour le prix d une obligation est 2
La formule prime/escompte pour le prix d une obligation est La formule du montant de base pour le prix d une obligation est La formule de Makeham pour le prix d une obligation est Si P > C, nous disons que l obligation est vendue à prime. Si P < C, alors nous disons que l obligation est vendue à escompte. 3
la valeur comptable de l obligation après le versement du k e coupon sera notée par B k la portion d intérêt du k e coupon sera notée par I k l ajustement à être apporté à la valeur comptable de l obligation dans le k e coupon sera notée P k Si l obligation a n versements de coupon, alors B 0 = P et B n = C. La valeur comptable B k immédiatement après le k e coupon est obtenue en utilisant une des formules (formule basique ou encore formule prime/escompte ou les deux autres) du prix de l obligation au taux de rendement i obtenu lors de l achat de l obligation. Il faut considérer la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur de remboursement. La portion d intérêt I k du k e coupon est ib (k- 1). C est ce que doit nous rapporter l obligation pour une période au taux i. L ajustement P k à apporter à la valeur comptable dans le k e coupon est P k = Fr - I k. Nous avons B k = B k-1 - P k. 4
Considérons maintenant la table d amortissement d une obligation dont la valeur de remboursement C = 1 dollar et les montants des coupons sont égaux. Par la définition de taux modifié d intérêt, les coupons sont au montant de g dollars. Le prix de l obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif. À cause de la formule prime/escompte, nous avons où i est le taux de rendement. Mais nous aurions aussi pu utiliser la formule basique et obtenir où i est le taux de rendement. 5
Exemple 1: Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 6% par année. Déterminons son prix et sa table d amortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = $ à chaque année. Exemple 1: (suite) En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Cette obligation est achetée à escompte, car son prix P = 1010.68 est inférieur à sa valeur de remboursement C = 1100. Période de capitalisation 0 1 2 Coupon Intérêt I k 60.6408 61.2792 Ajustement P k -10.6408-11.2792 Valeur comptable B k 1010.68 1021.32 1032.60 Dans l exemple précédent, si nous voulons calculer la valeur comptable B 4, nous utilisons la formule basique et obtenons puisqu il reste 3 périodes de capitalisation et 3 coupons de $. Donc 3 61.956-11.956 1044.56 4 62.6736-12.6736 1057.23 5 63.4338-13.4338 1070.66 6 64.2396-14.2396 1084.90 7 65.094-15.094 1099.99 6
Nous aurions aussi pu calculer cette valeur comptable B 4, rétrospectivement. Dans ce cas nous utilisons la valeur accumulée du prix au taux de rendement à la date du 4 e coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des coupons versés à la même date, à savoir celle du 4 e coupon. Il faut inclure le 4 e coupon. Donc Exemple 2: Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 4% par année. Déterminons son prix et sa table d amortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = $ à chaque année. Exemple 2: (suite) Période de capitalisation Coupon Intérêt I k Ajustement P k Valeur comptable B k En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix 0 1 45.4404 4.5596 1136.01 1131.45 2 45.258 4.742 1126.71 3 45.0684 4.9316 1121.78 4 44.8712 5.1288 1116.65 Cette obligation est achetée à prime, car son prix P = 1136.01 est supérieur à sa valeur de remboursement C = 1100. 5 6 7 44.666 44.4528 44.2308 5.334 5.5472 5.7692 1111.32 1105.77 1100.00 7
Ainsi nous avons deux approches pour calculer la valeur comptable B k d une obligation: prospectivement ou encore rétrospectivement. Prospectivement il suffit d utiliser une des formules du prix pour calculer la somme des valeurs actuelles des (n - k) coupons non versés et la valeur actuelle de la valeur de remboursement pour (n - k) périodes de capitalisation. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de l achat Rétrospectivement il suffit de calculer la valeur accumulée du prix d achat P de l obligation après le k e coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des k premiers coupons. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de l achat Exemple 3: Reprenons l exemple 1 du 21 e cours. Considérons une obligation dont la valeur nominale est 700$ d une durée de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée semestriellement et qui sera remboursé à 78000$ si cette obligation est achetée pour que le taux de rendement soit 10% par année capitalisé semestriellement. 8
Exemple 3: (suite) Exemple 3: (suite) Avec nos notations précédentes, nous avons F = 700$ C = 78000$ r = 8%/2 = 4% par semestre n = 15 x 2 = 30 semestres i = 10%/2 = 5% par semestre Nous avons aussi calculé le prix P = 64164.79$ Déterminons la valeur comptable B 17 immédiatement après le 17 e coupon, la portion d intérêt I 18 de la 18 e période et l ajustement à apporter P 18 à la valeur comptable au 18 e coupon. Exemple 3: (suite) Prospectivement nous obtenons que Exemple 3: (suite) La portion d intérêt I 18 de la 18 e période est Rétrospectivement nous obtenons que L ajustement P 18 à apporter à la valeur comptable est 9
Exemple 3: (suite) Conséquemment la valeur comptable à la fin de la 18 e période est B 18 = B 17 - P 18 = 69545.78 - (-477.29) = 70023.07. Nous pourrions vérifier aussi ceci. Prospectivement Lorsque les coupons de l obligation sont égaux, nous pouvons remarquer que les ajustements P k de la valeur comptable forment une suite géométrique de raison (1 + i). ou encore rétrospectivement L amortissement est tout à fait similaire à ce qui se produit pour l amortissement des prêts. Lorsque les coupons sont égaux pour l obligation et que les paiements sont égaux pour le prêt. La valeur comptable de l obligation au k e coupon est similaire au solde restant du prêt après le k e paiement. La portion d intérêt de la k e période pour l obligation correspond à la portion d intérêt du k e paiement. Finalement l ajustement pour l obligation est similaire à la portion de principal. Cependant pour l obligation, l ajustement peut être négatif ou positif; alors que la portion de principal pour les prêts est toujours positive. 10
Nous avons décrit jusqu à maintenant la méthode actuarielle pour la construction de la table d amortissement de l obligation. Il existe une seconde méthode beaucoup plus simple: la méthode linéaire. Dans la méthode linéaire, l ajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à s il y a n coupons. La portion d intérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - P k = Fr - [(P-C)/n]. Exemple 4: Période de capitalisation Coupon Intérêt I k Ajustement P k Valeur comptable B k Reprenons l exemple 1. Cette obligation est achetée au prix de 1010.68 pour un taux de rendement de 6% par année. Le coupon est de $ à chaque année et sa valeur de remboursement est 1100. Dans ce cas, l ajustement sera toujours 0 1 2 3 1010.68 1023.44 1036.20 1048.96 (1010.68-1100)/7 = -12.76$ 4 5 1061.72 1074.48 La table d amortissement est alors 6 7 1087.24 1100.00 11
Nous allons maintenant considérer le prix d une obligation entre des paiements de coupon. Avant d analyser plus en détail ceci, nous allons illustrer ce prix en faisant l hypothèse que le taux de rendement demeure constant pour toute la durée de vie de l obligation. Considérons le prix P(x) d une obligation au moment x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, d une durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8. Alors P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Nous obtenons donc que Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant: 12
Notons qu il y a un saut à chaque x égal à un entier et il est égal à -4. En effet, À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme («flat price») et le prix du marché («market price») ou encore la valeur comptable de l obligation. 13