1 MP*1 016/017 Problème 1, d après Mines-PC-011 : DS Le guidage des avions, un instrument essentiel : l altimètre Le principe général d un altimètre est très simple. Un oscillateur embarqué dans l avion émet un signal sinusoïdal s(t) modulé en fréquence. Ce signal est envoyé vers le sol et se réfléchit. Une antenne fixée sur l avion permet de récupérer le signal. L altitude se déduit alors du temps mis par l onde radioélectrique pour effectuer l aller-retour entre le sol et l avion. La fréquence f s (t) du signal s(t) émis par l oscillateur de l altimètre varie périodiquement au cours du temps selon le graphe représenté sur la figure 1. 1- A partir du graphe de la figure 1, établir la loi de variation de la fréquence f s (t) sur une période en fonction de t, f o, δf et t o. Figure 1 La quantitéf s (t) est en fait la fréquence instantanée du signal s(t) émis par l altimètre. Cela signifie ici que s(t) = Acos(θ(t)) avec f s (t) = 1 dθ(t). π dt - Sachant que s(0) = A, déterminer l expression de s(t) en fonction de A, t, ω o = πf o et ω 1 = δf. Tracer l allure du graphe de s(t) sur une période. f o t o On admet que le signal réfléchi par le sol puis capté par l antenne de l altimètre peut se mettre sous la forme r(t) = as(t τ) où τ représente le temps mis par l onde pour effectuer un aller-retour soit τ = cz, c étant la vitesse de la lumière c = 3.10 8 ms 1 et a l amortissement du à la propagation dans l air. Le schéma bloc décrivant le fonctionnement de l altimètre est décrit sur la figure. On admet que δf f o et τ t o. A la sortie du multiplieur on a un signal n(t) = kr(t). s(t). Figure
3- Montrer que le signal de sortie du multiplieur n(t) peut s écrire comme la somme de deux signaux sinusoïdaux dont l un possède une fréquence instantanée f 1 qui ne dépend pas de t et l autre une fréquence instantanée f (t) qui varie avec t. On donnera l expression de ces deux fréquences en fonction de τ, δf et t o dans le cas de f 1 et t, τ, δf, f o et t o dans le cas de f (t). On donne : cosa. cob = 1 cos(a + b) cos (a b). 4- Pour les avions standard on a toujours τ 100 μs et on a δf f o. Quel type de filtre doiton utiliser et comment calibrer ce dernier pour pouvoir obtenir un signal de sortie u(t) qui permette de déterminer facilement la valeur de l altitude z de l avion. On justifiera la réponse en utilisant les valeurs numériques données par l énoncé. 5- Parmi les filtres dont les schémas sont représentés sur la figure 3, quel est celui qui vous paraît le plus adapté à un avion de hauteur z = 3 km, ce qui correspond à τ = 5. 10 6 s. On justifiera sa réponse en commentant les caractéristiques de chacun d eux. Figure 3 Problème : D après Mines MP-005 I. Rotation d une barre rigide Une barre solide OA, de longueur au repos L 0 et de section s constante et très petite devant L 0 a une masse linéique 0. Cette barre tourne autour d un axe vertical avec la vitesse angulaire constante (Fig. A et B).
3 O P A Fig. A libre O libre Fig. B A On appelle T (r) la tension de la barre au point P à une distance r de l axe de rotation ; cette grandeur représente l action du reste de la barre sur la longueur OP. 1 En considérant un bilan de forces, établir qu en régime permanent la mesure de T (r) sur l axe radial, notée T vérifie : Barre rigide dt dr r [1]. On suppose que la barre est rigide, c est-à-dire que 0 est constant. L extrémité A est libre, l extrémité O est fixe (fig A). Déterminer l évolution de la tension, notée T 1 r, le long de la barre. 3 L extrémité O est libre, l extrémité A est fixée à un mur vertical tournant à la vitesse angulaire (fig B). Exprimer la nouvelle tension, notée T r. 4 Les deux extrémités sont attachées au mécanisme assurant la rotation, de sorte que la longueur de la barre est constante, égale à L 0. Peut-on déterminer la constante d intégration dans l équation [ 1 ] de la question 1? Barre déformable On abandonne maintenant l hypothèse de rigidité. On adopte pour la barre l équation d état r 0 1 Tr, où E est une constante appelée module de rigidité et s la section constante se de la barre (le module de rigidité de la barre rigide des questions à 4 est infini). Dans la pratique, l inégalité r Tr 1 est vérifiée pour les corps solides. se 5 Intégrer l équation [1] et donner le résultat au premier ordre en r T r. Le résultat se sera mis sous la forme Tr fr K, où K est la constante d intégration, indéterminée à ce stade, et fr une fonction à déterminer, sous la condition f0 0.
4 6 Déterminer la constante K en exprimant la conservation de la masse. En déduire que la loi de répartition de la tension Tr est indépendante du module de rigidité. En quel point de la barre cette tension est-elle nulle? II. Rotation à vitesse angulaire variable y Su S v g P d G C v u Une cheminée verticale est modélisée par un cylindre homogène de masse M, de longueur D et de rayon très petit devant D. Pour une raison quelconque, l équilibre de la cheminée est détruit ; cette dernière amorce une rotation autour de sa base dans le plan vertical (O, x, y). On appelle l angle de la cheminée avec la verticale. On étudie le mouvement de la cheminée dans le repère de coordonnées polaires unitaires u, noté u ˆ sur la figure, et v, noté v ˆ sur la figure, où u est porté par l axe de la cheminée, v est perpendiculaire à u dans le sens de rotation de l angle ; G est le centre de masse de la cheminée. Le moment d inertie en O autour de l axe Oz est J O 1 3 M D. La Fig. liaison 3 : pivot la chemine en O est sõcroule parfaite. Elle ne travaille pas. O 7 Déterminer, par application du théorème du moment cinétique en O, l équation d évolution de l angle. 8 Retrouver cette équation par un raisonnement énergétique. x 9 Exprimer, en fonction de l angle, les composantes R u et R v de la réaction du sol en O en projection sur u et sur v. 10 Pour quelle valeur de la cheminée décolle-t-elle du sol? z En réalité, une cheminée peut se briser au cours de sa chute. L étude suivante va préciser les contraintes subies par la cheminée pendant sa chute. Une longueur OP = d de cheminée subit l action du sol en O, l action de son poids ainsi que l action du reste de la cheminée sur elle-même, en P. Cette action assure la rigidité de la cheminée. Le contact en P n est pas ponctuel. L action du reste de la cheminée sur la longueur d est modélisée par une force S de composantes S u et S v et un couple C porté par l axe horizontal Oz. 11 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la longueur d de cheminée, exprimer S v en fonction de M, g,, d et D. La grandeur S v est appelée effort de cisaillement. Tracer qualitativement le graphe donnant S v en fonction du rapport d D ( est donné). 1 Si la cheminée perd sa rigidité, elle s effrite. Elle aura tendance à s effriter au point où l effort de cisaillement S v est le plus important ; quel est ce point?
5 13 Montrer que le théorème du moment cinétique en O, appliqué à la longueur d de cheminée conduit à l expression suivante du moment (noté C) du couple C : C 1 4 Mgd d D 1 sin. 14 Si ce couple est supérieur au couple maximum que peut subir la cheminée, celle-ci se brise. En quel point la cheminée se brisera-t-elle? Commenter à ce sujet les deux photographies ci-dessous.