CHAPITRE. Résolution d équations et d inéquations avec logarithmes et puissances. Échauffez-vous! Lorsque x 0, log(x) existe. Vrai. Faux. Faux.

CHAPITRE 7 Résolution d équations et d inéquations avec arithmes et puissances Échauffez-vous! 1 Rayez l encadré inexact Soit a, x et y des nombres réels a) On suppose a 0 Si ax y alors x / y a ; si ax y alors x / y a b) On suppose a 0 Si ax y alors x / y a ; si ax y alors x / y a 2 Cochez la case correspondant à la réponse exacte Lorsque x 0, (x) existe Vrai Faux Lorsque x 0, (x) existe Vrai Faux 3 Rayez l encadré inexact a) La courbe représentative de la fonction x (x) a l allure de celle tracée ci-dessous en : rouge / bleu y b) La courbe représentative de la fonction x q x a l allure de celle tracée ci-dessous en: rouge / bleu lorsque 0 q 1; rouge / bleu lorsque q 1 y 1 0 1 x 1 4 Cochez la case correspondant à la réponse exacte Soit q un nombre réel strictement positif et différent de 1 Pour tout nombre réel x, q x 0 Vrai Faux 0 x 85 91

1 Résolution d équations (x) = a et d inéquations (x) a (ou (x) a, ou (x) a, ou (x) a) 1 Examiner graphiquement une telle résolution On donne un tracé de la courbe représentative f de la fonction f, définie sur [0,1; 20] par f(x) = (x) 1,6 1,4 1,2 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0,2 0 0,4 0,6 0,8 y f x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Activité 1 Tracez sur le graphique les traits montrant que, dans [0,1 ; 20] : l équation (x) = 0,8 a une seule solution, que l on notera x 0 (En lire sur le graphique une valeur approchée : x 0 6 ) 2 Associez à chaque inéquation son ensemble de solutions, dans [0,1; 20] (x) 0,8 [0,1 ; x 0 [ (x) 0,8 ] x 0 ; 20] (x) 0,8 [x 0 ; 20] 2 Comment résoudre, dans un intervalle I, une équation (x) = a, avec x 0, où a est un nombre réel? Méthode 1 Étape 1 Puisque (10 a ) = a, examiner si 10 a I ou si 10 a I Étape 2 Si 10 a I, écrire que 10 a est la solution, dans I, de l équation (x) = a; si 10 a I, écrire que cette équation n a pas de solution dans I Résoudre dans I = [1; 30] chacune des équations: a) (x) = 1,2 ; b) (x) = 5 Solution a) Étape 1 10 1,2 15,8, donc 10 1,2 [1 ; 30] Étape 2 On en déduit que 10 1,2 est la solution, dans [1 ; 30], de l équation (x) = 1,2 b) Étape 1 10 5 = 0,000 01, donc 10 5 [1 ; 30] Étape 2 On en déduit que l équation (x) = 5 n a pas de solution dans [1 ; 30] 92 86

3 Comment résoudre, dans un intervalle I, une inéquation (x) a (ou (x) a, ou (x) a, ou (x) a), où x 0 et a? Méthode 2 Étape 1 Cas d une inéquation (x) a (ou (x) a) écrire que (x) a (ou (x) a) équivaut à x 10 a (ou x 10 a ) Cas d une inéquation (x) a (ou (x) a) écrire que (x) a (ou (x) a) équivaut à x 10 a (ou x 10 a ) Étape 2 Examiner si 10 a I ou si 10 a I, puis déterminer les solutions de l inéquation: ce sont les nombres x obtenus à l étape 1 et appartenant à I Pour se guider: tracer sur calculatrice la courbe représentative de la fonction Résoudre chacune des inéquations suivantes, dans l intervalle I indiqué a) (x) 0,5, avec I = ]0 ; 20] ; b) (x) 1, avec I = [0,05; 10] ; c) (x) 0, avec I = [2; 3] ; d) (x) 2, avec I = [50; 100] Solution a) Étape 1 (x) 0,5 équivaut à x 10 0,5 Étape 2 Puisque 10 0,5 3,2, 10 0,5 ]0 ; 20], l ensemble des solutions, dans ]0 ; 20], de l inéquation (x) 0,5 est l intervalle ]0 ; 10 0,5 ] b) Étape 1 (x) 1 équivaut à x > 10 1, c est-à-dire à x 0,1 Étape 2 0,1 [0,05 ; 10], donc l ensemble des solutions, dans [0,05; 10], de l inéquation (x) 1 est l intervalle ]10 1 ; 10] c) Étape 1 (x) < 0 équivaut à x 1 Étape 2 1 2, donc l inéquation (x) < 0 n a pas de solution dans [2; 3] d) Étape 1 (x) 2 équivaut à x 10 2, soit x 100 Étape 2 100 [50 ; 100], donc 100 est la solution, dans [50 ; 100], de l inéquation (x) 2 87 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 93

2 Résolution d équations q x = a et d inéquations q x a (ou q x a, ou q x a, ou q x a), q 0 et q 1, où a 1 Examiner graphiquement une telle résolution On donne un tracé des courbes représentatives f et g des fonctions f et g, définies sur [ 2; 6] par f (x) = 1,3 x et g(x) = 0,4 x 8 y 7 g 6 5 f 4 3 2 1 x 2 x 1 1 0 1 2 x 0 3 4 5 6 Activité 1 Tracez sur le graphique les traits montrant que, dans [ 2 ; 6] : a) l équation 1,3 x = 2 a une seule solution, que l on notera x 0 ; b) l équation 0,4 x = 4 a une seule solution, que l on notera x 1 2 Associez à chaque inéquation son ensemble de solutions, dans [ 2; 6] 1,3 x 2 [ 2 ; x 0 [ 1,3 x 2 [x 1 ; 6] 0,4 x 4 [x 0 ; 6] 0,4 x 4 [ 2 ; x 1 [ 2 Comment résoudre, dans un intervalle I, une équation q x = a? Méthode 3 Étape 1 Identifier le signe de a Étape 2 a 0, conclure que l équation n a pas de solution (En effet, pour tout x, q x 0) a 0, en appliquant la fonction aux deux membres de l égalité, écrire que q x = a équivaut à (q x ) = (a), c est-à-dire à x(q) = (a), ou encore à x = (a) (car (q) est non nul) (q) Conclure: si (a) (q) I, alors (a) (q) est la solution, dans I, de l équation qx = a; sinon, cette équation n a pas de solution dans I Résoudre dans I = [ 1; 5] chacune des équations : a) 3 x =5;b) 0,3 x = 7 Solution a) Étape 1 a = 5, donc a 0 Étape 2 3 x = 5 équivaut successivement à (3 x ) = (5), x (3) = (5) et, puisque (3) 0, à x = (5) (5) Or, 1,5, (3) (3) donc (5) (5) [ 1 ; 5] Conclusion: est la solution de l équation (3) (3) b) Étapes 1 et 2 Puisque a < 0, l équation 0,3 x = 7 n a pas de solution 94 88

3 Comment résoudre, dans un intervalle I, une inéquation q x a (ou q x a, ou q x a, ou q x a)? Méthode 4 Étape 1 Identifier le signe de a Étape 2 Cas d une inéquation q x a (ou q x a) a 0, conclure que l inéquation n a pas de solution (En effet, pour tout x, q x 0) a 0, en appliquant la fonction, strictement croissante, aux deux membres de l inégalité, écrire que q x a équivaut successivement à (q x ) (a), x(q) (a), c est-à-dire à : x (a) (q) (a) si 0 q 1; x (q) si q 1 (Pour l inéquation q x a, suivre la même démarche avec des inégalités strictes) Cas d une inéquation q x a (ou q x a) a 0, conclure que l ensemble des solutions de l inéquation est I (En effet, pour tout x, q x 0) a 0, en appliquant la fonction, strictement croissante, aux deux membres de l inégalité, écrire que q x a équivaut successivement à (q x ) (a), x(q) (a), c est-à-dire à : x (a) (q) (a) si 0 q 1; x (q) si q 1 (Pour l inéquation q x > a, suivre la même démarche avec des inégalités strictes) Étape 3 Pour a 0, examiner si (a) (q) I ou si (a) (q) I, puis déterminer les solutions de l inéquation: nombres x obtenus à l étape 2 et appartenant à I Pour se guider: tracer sur calculatrice la courbe représentative de la fonction x q x Résoudre dans l intervalle I = [ 10 ; 50] chacune des inéquations: a) 3 x 1,5; b) 0,5 x 4 Solution a) Étape 1 a = 1,5, donc a 0 Étape 2 3 x 1,5 équivaut successivement à (3 x ) (1,5), x(3) (1,5) et, puisque (3) > 0, à x (1,5) (3) Étape 3 Puisque (1,5) 0,4, (1,5) [ 10 ; 50], donc l ensemble des (3) (3) solutions, dans I, de l inéquation 3 x 1,5 est l intervalle (1,5) ; 50 (3) b) Étape 1 a = 4, donc a 0 Étape 2 0,5 x 4 équivaut successivement à (0,5 x ) (4), x(0,5) (4) et, puisque (0,5) < 0, à x (4) (0,5) (4) Étape 3 Puisque (0,5) = 2, (4) [ 10 ; 50], donc l ensemble des (0,5) solutions, dans I, de l inéquation 0,5 x 4 est l intervalle (4) (0,5) ; 50 89 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 95

Exercices et problèmes 1 a) 10 0,5 3,2, donc 10 0,5 ]0 ; + [ On en déduit que 10 0,5 est la solution, dans ]0 ; + [, de l équation (x) = 0,5 b) 10 0,5 3,2, donc 10 0,5 [1 ; 2] On en déduit que l équation (x) = 0,5 n a pas de solution dans [1 ; 2] 2 a) 10 3 = 0,001, donc 10 3 ]0 ; + [ On en déduit que 10 3 est la solution, dans ]0 ; + [, de l équation (x) = 3 b) 10 2 = 0,01, donc 10 2 [0,5 ; 1] On en déduit que l équation (x) = 2 n a pas de solution dans [0,5 ; 1] 3 a) 10 0 = 1, donc 10 0 ]0 ; 1] On en déduit que 1 est la solution, dans ]0 ; 1], de l équation (x) = 0 b) 10 0 = 1, donc 10 0 ]0 ; 0,5[ On en déduit que l équation (x) = 0 n a pas de solution dans ]0 ; 0,5[ 4 a) 10 1 = 10, donc 10 [1 ; 2] On en déduit que l équation (x) = 1 n a pas de solution dans [1 ; 2] b) 10 1 = 10, donc 10 [1 ; + [ On en déduit que 10 est la solution, dans [1 ; + [, de l équation (x) = 1 5 a) 10 1 = 0,1, donc 10 1 ]0 ; 10] On en déduit que 10 1 est la solution, dans ]0 ; 10], de l équation (x) = 1 b) 10 3 = 1 000, donc 10 3 [1 000 ; 2 000] On en déduit que 1 000 est la solution, dans [1 000 ; 2 000], de l équation (x) = 3 6 a) (x) + 3 = 0 équivaut à (x) = 3 10 3 = 0,001, donc 10 3 [1 ; 100] On en déduit que l équation (x) + 3 = 0 n a pas de solution dans [1 ; 100] b) (x) 2 = 0 équivaut à (x) = 2 10 2 = 100, donc 10 2 [1 ; 100] On en déduit que 100 est la solution, dans [1 ; 100], de l équation (x) 2 = 0 7 a) 10 0,1 1,3, donc 10 0,1 ]0 ; 2] On en déduit que 10 0,1 est la solution, dans ]0 ; 2], de l équation (x) = 0,1 b) 3 (x) = 6 équivaut à (x) = 2 10 2 = 100, donc 10 2 ]0 ; 200] On en déduit que 100 est la solution, dans ]0 ; 200], de l équation 3 (x) = 6 8 a) 2(x) = 4 équivaut à (x) = 2 10 2 = 100, donc 10 2 ]0 ; 10] On en déduit que l équation 2 (x) = 4 n a pas de solution dans]0 ; 10] b) 2 (x) = 8 équivaut à (x) = 6 10 6 = 0,000 001, donc 10 6 ]0 ; 10] On en déduit que 10 6 est la solution, dans ]0 ; 10], de l équation 2 (x) = 8 9 a) 3(x) 1 = 8 équivaut à (x) = 3 10 3 = 1 000, donc 10 3 [5 ; 10] On en déduit que l équation 3(x) 1 = 8 n a pas de solution dans [5 ; 10] b) 0,5(x) + 1 = 2 équivaut à (x) = 2 10 2 = 100, donc 10 2 [5 ; 10] On en déduit que l équation 0,5 (x) + 1 = 2 n a pas de solution dans [5 ; 10] 10 a) (x) = (1) équivaut à x = 1 1 [0,5 ; 1] On en déduit que 1 est la solution, dans [0,5 ; 1], de l équation (x) = (1) b) (x) = (10) équivaut à x = 10 10 [0,5 ; 20] On en déduit que 10 est la solution, dans [0,5 ; 20], de l équation (x) = (10) 11 a) (x) 3 équivaut x 10 3 Puisque 10 3 = 1 000, 10 3 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) 3 est l intervalle ]0 ; 1 000] b) (x) 3 équivaut à x 10 3 Puisque 10 3 = 1 000, 10 3 [10 ; 2 000], donc l ensemble des solutions, dans [10 ; 2 000], de l inéquation (x) 3 est l intervalle [10 ; 1 000] 12 a) (x) > 0,6 équivaut à x > 10 0,6 Puisque 10 0,6 0,3, 10 0,6 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) > 0,6 est l intervalle ]10 0,6 ; + [ b) (x) > 0,6 équivaut à x > 10 0,6 Puisque 10 0,6 0,3, 10 0,6 ]0 ; 10], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 10], de l inéquation (x) > 0,6 est l intervalle ]10 0,6 ; 10] 13 a) (x) < 0,2 équivaut à x < 10 0,2 Puisque 10 0,2 0,6, 10 0,2 ]0 ; 1], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1], de l inéquation (x) < 0,2 est l intervalle ]0 ; 10 0,2 [ b) (x) < 0,2 équivaut à x < 10 0,2 Puisque 10 0,2 0,6, 10 0,2 [0,5 ; 1], donc l ensemble des solutions, dans [0,5 ; 1], de l inéquation (x) < 0,2 est l intervalle [0,5 ; 10 0,2 [ 14 a) (x) 0 équivaut à x 10 0 Puisque 10 0 = 1, 10 0 ]0 ; 10], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 10], de l inéquation (x) 0 est l intervalle [1 ; 10] b) (x) 0 équivaut à x 10 0 Puisque 10 0 = 1, 10 0 ]0 ; 0,1], donc l inéquation (x) 0 n a pas de solution 15 a) (x) 3 équivaut à x 10 3 Puisque10 3 = 1 000, 10 3 ]0 ; 1 000], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1 000], de l inéquation (x) 3 est l intervalle ]0 ; 1 000] 90

b) (x) > 1 équivaut à x > 10 1 Puisque 10 1 = 0,1, 10 1 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) > 1 est l intervalle ]0,1 ; + [ 16 a) (x) < 5 équivaut à x < 10 5 Puisque 10 5 = 0,000 01, 10 5 ]0 ; 2], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 2], de l inéquation (x) < 5 est l intervalle ]0 ; 10 5 [ b) (x) 2 équivaut à x 10 2 Puisque 10 2 = 0,01, 10 2 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) 2 est l intervalle [0,01 ; + [ 17 a) (x) + 2 0 équivaut à (x) 2, soit x 10 2 Puisque 10 2 = 100, 10 2 ]0 ; 1 000], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1 000], de l inéquation (x) + 2 0 est l intervalle ]0 ; 100] b) (x) 4 < 3 équivaut à (x) < 7, soit x < 10 7 Puisque 10 7 = 10 000 000, 10 7 > 1, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1], de l inéquation (x) 4 < 3 est l intervalle ]0 ; 1] 18 a) 3 (x) < 1 équivaut à (x) < 1 3, soit x < 10 1 3 Puisque 10 1 3 0,5, 10 1 3 ]0 ; 15], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 15], de l inéquation 3 (x) < 1 est l intervalle 0 ; 10 1 3 b) (x) 10 équivaut à (x) 10, soit x 10 10 10 10 ]0 ; 1], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1], de l inéquation (x) 10 est l intervalle ]0 ; 10 10 ] 19 a) 2 x = 0,5 équivaut successivement à (2 x ) = (0,5), x (2) = (0,5) et, puisque (2) 0, à x = (0,5) (2) = 1 Conclusion : 1 est la solution, dans, de l équation 2 x = 0,5 b) (0,5) = 1 1 [ 1 ; 1], donc 1 est la solution, (2) dans [ 1 ; 1] de l équation 2 x = 0,5 20 a) 1,5 x = 2 équivaut successivement à (1,5 x ) = (2), x (1,5) = (2) et, puisque (1,5) 0, à x = (2) (1,5) Conclusion : (2) est la solution, dans, de l équation (1,5) 1,5 x = 2 b) (2) (1,5) 1,7, donc (2) [ 1 ; 1] (1,5) Conclusion: l équation 1,5 x = 2 n a pas de solution dans [ 1 ; 1] 21 a) 0,2 x = 1 équivaut successivement à (0,2 x ) = (1), x (0,2) = 0 et, puisque (0,2) 0, à x = 0 0 [0 ; 1], donc 0 est la solution, dans [0 ; 1] de l équation 0,2 x = 1 b) 0,2 x = 2 équivaut successivement à (0,2 x ) = (2), x (0,2) = (2) et, puisque (0,2) 0, à x = (2) (0,2) Or, (2) (0,2) 0,4, donc (2) [0 ; 1] (0,2) Conclusion : l équation n a pas de solution dans [0 ; 1] 22 a) L équation 2,5 x = 1 n a pas de solution b) 0,1 x = 1 équivaut successivement à 0,1 x = 1, (0,1 x ) = (1), x (0,1) = 0 et, puisque (0,1) 0, à x = 0 0 [1 ; 2], donc l équation n a pas de solution dans [1 ; 2] 23 a) 3 x = 0,1 équivaut successivement à (3 x ) = (0,1), x (3) = (0,1) = 1 et, puisque (3) 0, à x = 1 (3) Or, 1 (3) 2,1, donc 1 [ 1 ; 0] (3) Conclusion : l équation n a pas de solution [ 1 ; 0] b) 0,4 x = 3 équivaut successivement à (0,4 x ) = (3), x (0,4) = (3) et, puisque (0,4) 0, à x = (3) (0,4) Or, (3) (0,4) 1,2, donc (3) [ 10 ; 10] (0,4) Conclusion : (3) est la solution, dans [ 10 ; 10], de (0,4) l équation 0,4 x = 3 24 a) 10 x 3 = 0 équivaut successivement à 10 x = 3, (10 x ) = (3), x (l0) = (3), x = (3) (3) 0,5, donc (3) [ 5 ; 0] et l équation n a pas de solution dans [ 5 ; 0] b) 10 x + 2 = 0 équivaut à 10 x = 2 ; l équation n a pas de solution dans [0 ; + [ 25 a) 2 10 x = 10 équivaut successivement à 10 x = 5, (10 x ) = (5), x (10) = (5), x = (5) (5) 0,7, donc (5) [ 5 ; 5] et (5) est la solution de l équation 2 10 x = 10 b) 3 10 x = 6 équivaut successivement à 10 x = 2, (10 x ) = (2), x (10) = (2), x = (2) (2) 0,3, donc (2) [0 ; 2] et (2) est la solution de l équation 3 10 x = 6 26 a) 2 5 x = 4 équivaut successivement à 5 x = 2, (5 x ) = (2), x (5) = (2) et, puisque (5) 0, à x = (2) (5) Or, (2) 0,4, donc (2) [ 100 ; 0] et l équation (5) (5) 2 5 x = 4 n a pas de solution dans [ 100 ; 0] b) 2 + 0,5 x = 8 équivaut successivement à 0,5 x = 6, (0,5 x ) = (6), x (0,5) = (6) et, puisque (0,5) 0, à x = (6) (0,5) Or, (6) (0,5) 2,6, donc (6) [5 ; 10] et l équation (0,5) 2 + 0,5 x = 8 n a pas de solution dans [5 ; 10] 91 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 91

27 a) 3 10 x 1 = 5 équivaut successivement à 10 x = 2, (l0 x ) = (2), x (10) = (2), x = (2) (2) 0,3, donc (2) [0 ; 1] et (2) est la solution de l équation dans [0 ; 1] b) 0,5 1,5 x + 1 = 2 équivaut successivement à 1,5 x = 2, (1,5 x ) = (2), x (1,5) = (2) et, puisque (1,5) 0, à x = (2) 1,7 (1,5) (2) [ 1 ; 0], donc l équation n a pas de solution dans (1,5) [ 1 ; 0] 28 a) L équation 2 x = 2 n a pas de solution dans ] ; 0] b) 2 0,5 x = 0 équivaut successivement à 0,5 x = 2, (0,5 x ) = (2), x(0,5) = (2) et, puisque (0,5) 0, à x = (2) (0,5) = 1 1 [0 ; 1], donc l équation n a pas de solution dans [0 ; 1] 29 a) 2 x 3 équivaut successivement à (2 x ) (3), x (2) (3) et, puisque (2) > 0, à x (3) (2) L ensemble des solutions de l inéquation 2 x 3 est l intervalle ; (3) (2) b) Puisque (3) 1,6, (3) [0 ; 10], donc l ensemble (2) (2) des solutions, dans [0 ; 10], de l inéquation 2 x 3 est l intervalle 0 ; (3) (2) 30 a) 1,5 x > 0,5 équivaut successivement à (1,5 x ) > (0,5), x(1,5) > (0,5) et, puisque (1,5) > 0, à x > (0,5) L ensemble des solutions, dans, (1,5) de l inéquation 1,5 x > 0,5 est l intervalle (0,5) (1,5) ; + b) Puisque (0,5) 1,7, (0,5) < 1, donc l ensemble (1,5) (1,5) des solutions, dans [ 1 ; 1], de l inéquation 1,5 x > 0,5 est l intervalle [ 1 ; 1] b) L ensemble des solutions de l inéquation 0,1 x > 1 est l intervalle [0 ; 100] 34 a) 2 10 x > 8 équivaut successivement à 10 x > 4, (10 x ) > (4), x (10) > (4), x > (4) Puisque (4) 0,6 > 0, l inéquation n a pas de solution dans [ 50 ; 10] b) 0,5 3 x 1 équivaut successivement à 3 x 2, (3 x ) (2), x (3) (2), et, puisque (3) > 0, à x (2) (3) Puisque (2) 0,6, l ensemble des solutions, dans [0 ; 2], (3) de l inéquation 0,5 3 x 1 est l intervalle (2) (3) ; 2 35 a) 2 x + 2 0 équivaut successivement à 2 x 2, (2 x ) (2), x (2) (2), et, puisque (2) > 0, à x 1 L ensemble des solutions, dans [0 ; 1], de l inéquation 2 x + 2 0 est l intervalle [0 ; 1] b) 10 x 4 < 5 équivaut successivement à 10 x < 9, (10 x ) < (9), x (10) < (9), x < (9) Puisque (9) 0,95, l ensemble des solutions, dans [0 ; 1], de l inéquation 10 x 4 < 5 est l intervalle [0 ; (9)[ 36 a) 0,8 x 2 équivaut successivement à (0,8 x ) (2), x (0,8) (2) et, puisque (0,8) < 0, à x (2) (0,8) Puisque (2) 3,1 < 0, l ensemble des solutions, (0,8) dans [0 ; 1], de l inéquation est l intervalle [0 ; 1] b) 1,2 x + 2 > 3 équivaut successivement à 1,2 x > 1, (1,2 x ) > (1), x (1,2) > 0 et, puisque (2) > 0, à x > 0 L inéquation n a pas de solution dans [ 1 ; 0] 31 a) 10 x < 5 équivaut successivement à (10 x ) < (5), x (10) < (5), x < (5) Puisque (5) 0,7, l ensemble des solutions, dans [0 ; 10], de l inéquation 10 x < 5 est l intervalle [0 ; (5)[ b) (5) < 1, donc dans l intervalle I = [1 ; 10], l inéquation n a pas de solution 32 a) 0,5 x 1 équivaut successivement à (0,5 x ) (1), x (0,5) 0 et, puisque (0,5) < 0, à x 0 L ensemble des solutions, dans [ 10 ; 10], de l inéquation 0,5 x 1 est l intervalle [ 10 ; 0] b) Dans l intervalle I = [1 ; 10], l inéquation n a pas de solution 33 a) L inéquation 0,1 x 1 n a pas de solution 37 a) p(x) = 173 équivaut successivement à 194 44 (x) = 173, 44 (x) = 21, (x) = 21 44 21 21 10 44 3, donc 10 44 [1 ; 12] 21 On en déduit que 10 44 est la solution de l équation p(x) = 173 ; sa valeur arrondie à l unité est 3 b) Le client a acheté 3 caisses de bouteilles de produit ménager 38 1 a) u 0 = 1 500 ; u 1 = (1 + 0,02)u 0 = 1,02u 0 ; u 2 = (1 + 0,02)u 1 = 1,02u 1 ; u 3 = (1 + 0,02)u 2 = 1,02u 2 ; u n+1 = (1 + 0,02)u n = 1,02u n 92

(u n ) est une suite géométrique de terme initial 1 500 et de raison 1,02 b) u n = u 0 1,02 n = 1 500 1,02 n 2 Tracé de la courbe représentative de la fonction f 2 400 40 1 f(40) = 40 (40) 10 54,08, soit 54,08, f(60) = 40 (60) 10 61,13, soit 61,13 et f(80) = 40 (80) 10 66,12, soit 66,12 2 a) Tracé sur tableur de la courbe représentative de la fonction f 2 200 2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 La courbe est située au-dessus de la droite d équation y = 1 600 pour x 4, donc le salaire mensuel du salarié deviendra supérieur à 1 600 à partir de la quatrième année 4 a) On résout l inéquation 1 500 1,02 x > 1 600, successivement équivalente à 1,02 x > 16 15, (1,02x ) > 16 15, x (1,02) > 16 et, puisque (1,02) > 0, 15 16 15 16 15 à x > (1,02) Puisque 3,3, on retrouve donc (1,02) le résultat de la question précédente b) On résout l inéquation 1 500 1,02 x > 1 800, successivement équivalente à 1,02 x > 6 5, (1,2x ) > 6 5, x (1,02) > 6 5 6 5 6 5 et, puisque (1,02) > 0, à x > (1,02) Puisque 9,2, le salaire mensuel du salarié (1,02) deviendra supérieur à 1 800 à partir de la dixième année c) La courbe est située au-dessus de la droite d équation y = 1 800 pour x 10, on retrouve donc le résultat de la question précédente b) La courbe est au-dessus de la droite d équation y = 60 pour les abscisses x de l intervalle [57 ; 100] ; les frais de déplacement seront au moins de 60 à partir de 57 km parcourus 3 f(x) 60 équivaut successivement à 40 (x) 10 60, (x) 7 7 4, x 10 4 7 Or, 10 4 56,2, soit 57 arrondi à l unité, ce qui vérifie le résultat précédent 41 1 L = 120 + 10 0,01 4πR 2 L = 120 + 10((0,01) (4πR 2 )) L = 120 + 10 (0,01) 10((4π) + (R 2 )) L = 120 20 10 (4π) 10 (R 2 ) L = 100 10((4) + (π)) 20 (R) Or 100 10 (4) 10 (π) 89, donc L peut s écrire approximativement L = 89 20 (R) 2 a) f(x) 69 équivaut successivement à 89 20 (x) 69, (x) 1, x 10 L ensemble des solutions, dans [1 ; 50], de l inéquation f(x) 69 est l intervalle [10 ; 50] b) Tracé sur tableur de la courbe représentative de f 39 1 f(14) = 5 1,02 14 6,60, soit environ 6,60 millions d habitants 2 On résout l inéquation f(t) > 7,3, successivement équivalente à 5 1,02 t > 7,3, 1,02 t > 7,3 5, (1,02t ) > 7,3 5, t (1,02) > 7,3 5 et, puisque (1,02) > 0, 7,3 5 à t > (1,02) 7,3 5 Or, 19,1, donc la population de la ville dépassera (1,02) 7,3 millions d habitants au bout de 20 ans, soit en 2030 3 a) À partir de 10 m de la source, le niveau d intensité sonore devient inférieur ou égal à 69 db b) La courbe est située au-dessous de la droite d équation y = 69 pour x 10, ce qui vérifie le résultat précédent 93 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES

42 Partie A 1 Tracé sur tableur de la courbe représentative de f b) La valeur acquise par le capital du placement Q dépassera 2 000 à partir de la dixième année, soit à partir de 2020 3 a) Tracé sur tableur des courbes représentatives des fonctions p et q 2 La solution de l équation f(x) = 5 000 est l abscisse du point d intersection de la courbe et de la droite d équation y = 5 000, on lit x 10,3 3 On résout l équation 50 000 0,8 x = 5 000 successivement équivalente à 0,8 x = 0,1, (0,8 x ) = (0,1), x (0,8) = (0,1) et, puisque (0,8) 0, à x = (0,1) (0,8) Or, (0,1) 10,3, donc (0,1) [0 ; 15] (0,8) (0,8) Conclusion : (0,1) est la solution de l équation, dans (0,8) [0 ; 15] On retrouve le résultat de la question précédente Partie B On doit résoudre l inéquation f(x) < 0,1 50 000, soit f(x) < 5 000 : en utilisant la partie A, on en conclut que la valeur de la machine devient inférieure au dixième de sa valeur initiale au bout de 11 ans 43 1 a) p(x) > 2 000 équivaut successivement à 1 300 1,04 x > 2 000, 1,04 x > 20 13, (1,04x ) > 20 13, x (1,04) > 20 et, puisque (l,04) > 0, à 13 20 13 20 13 x > (1,04) De plus, 10,98, donc (1,04) l ensemble des solutions, dans [0 ; 20], de l inéquation 1 300 1,04 x > 2 000 est l intervalle 20 13 20 (1,04) ; b) La valeur acquise par le capital du placement P dépassera 2 000 à partir de la onzième année, soit à partir de 2021 2 a) q(x) > 2 000 équivaut successivement à 1 500 1,03 x > 2 000, 1,03 x > 4 3, (1,03x ) > 4 3, x (1,03) > 4 et, puisque (1,03) > 0, 3 4 3 4 3 à x > De plus, 9,7, donc l ensemble (1,03) (1,03) des solutions de l inéquation 1 500 1,03 x > 2 000 est l intervalle 4 3 20 (1,03) ; b) La courbe représentative de la fonction p est située audessus de la droite d équation y = 2 000 pour x > 10 et la courbe représentative de la fonction q est située au-dessus de la droite d équation y = 2 000 pour x > 9 ; ce qui vérifie les résultats précédents c) La courbe représentative de la fonction p est située audessus de celle de la fonction q pour x > 14 ; la valeur acquise par le capital du placement P sera plus élevée que la valeur acquise par le capital du placement Q à partir de la quinzième année, c est-à-dire à partir de 2025 44 1 d(i v ) = 10((10 6 I 0 ) (I 0 ) d(i v ) = 10 10 6 I 0 I 0 d(i v ) = 10 (10 6 ) = 60 db 2 a) d(i) = 120 équivaut successivement à 10((I) (I 0 )) = 120, (I) (I 0 ) = 12, I I 0 = 12 b) d(i) = 120 équivaut successivement à I I 0 = 12, I I 0 = 1012, I = 10 12 I 0 L intensité I d un son de 120 db est égale à 10 12 I 0 3 Tableau I = Niveau sonore, en db Fusée au décollage 10 17 I 0 170 Avion au décollage 10 12 I 0 120 F1 en course 10 13 I 0 130 Concert 10 11 I 0 110 Baladeur à puissance maximale 10 10 I 0 100 Moto 10 9 I 0 90 Voiture 10 8 I 0 80 Aspirateur 10 7 I 0 70 Rue calme 10 4 I 0 40 Vent dans les arbres 10I 0 10 94 94

4 a) d(i 2 ) d(i 1 ) = 10((I 2 ) (I 0 )) (10((I 1 ) (I 0 )) d(i 2 ) d(i 1 ) = 10((I 2 ) (I 1 )) d(i 2 ) d(i 1 ) = 10 I 2 I1 b) d(i 2 ) d(i 1 ) = 7 équivaut successivement à 10 I 2 I1 = 7, I 2 I1 = 7 10, I 7 2 I1 = 10 7 10, I 2 = 10 10 I 1 7 c) 10 10 5, donc si d(i 2 ) d(i 1 ) = 7 alors I 2 5 I 1 Ainsi, lorsque le niveau sonore augmente de 7 db, l intensité est 5 fois plus forte! Le père a raison! 95 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 95

COMME À L ÉCRAN Résoudre une équation et une inéquation Lors de l étude de la progression d une épidémie de grippe, on modélise le nombre d individus ayant été contaminés à la date t, exprimée en jours, par f (t) = 500(1 0,75 t ), avec 0 t 20 Voici un tableau de valeurs ( f (t) à l unité près) et un tracé obtenus avec un tableur 1 a) Expliquez comment remplir la colonne A sans saisir les valeurs une à une On entre 0 dans la cellule A2 et 1 dans la cellule A3 On sélectionne ces deux cellules, que l on recopie vers le bas jusqu à la valeur 20 b) Entourez la formule écrite dans la cellule B2, puis recopiée jusqu en B22 =500*(1 0,75^A2) =500*(1 0,75)(A2)) =500*(1 0,75)^A2 2 a) Écrire une équation à résoudre dans [0; 20] pour déterminer au bout de combien de jours le nombre de personnes contaminées est égal à 450 On résout l équation f(t) = 450, soit 500(1 0,75 t ) = 450 b) Indiquez la cellule du tableau où lire une valeur approchée de la solution de cette équation, puis donner cette valeur La cellule A10 ; la solution est 8 c) Vérifiez ce résultat sur le graphique, en traçant les traits appropriés 3 a) Écrire une inéquation à résoudre dans [0 ; 20] pour déterminer à partir de combien de jours le nombre d individus contaminés sera supérieur ou égal à 479 On résout l inéquation f(t) 479, soit 500(1 0,75 t ) 479 b) Indiquez la cellule du tableau où lire une valeur approchée de la borne inférieure de l intervalle des solutions de cette inéquation, puis donner cet intervalle, avec cette valeur approchée La cellule A13 ; les solutions sont les réels de [11 ; 20] c) Contrôler sur le graphique, en marquant l intervalle des solutions 100 96

Évaluation Nom Prénom Classe Date Exercice 1 5 points 1 Résoudre dans ]0 ; 200] l équation (x) = 2,1 (Donner la valeur exacte de la solution, puis sa valeur décimale arrondie à 0,1 près) 10 2,1 125,9, donc 10 2,1 ]0 ; 200] On en déduit que 10 2,1 125,9 est la solution, dans ]0 ; 200], de l équation (x) = 2,1 2 Résoudre dans ]0 ; 50] l inéquation (x) 1,5 (x) 1,5 équivaut à x 10 1,5 10 1,5 31,6, donc 10 1,5 ]0 ; 50] L ensemble des solutions, dans ]0 ; 50], est l intervalle [10 1,5 ; 50] 3 Résoudre dans ]0 ; 10] l inéquation (x) 0,5 Log(x) < 0,5 équivaut à x < 10 0,5 10 0,5 0,3, donc 10 0,5 ]0 ; 10] L ensemble des solutions, dans ]0 ; 10], est l intervalle ]0 ; 10 0,5 [ Exercice 2 5 points 1 Résoudre dans [ 10; 10] l équation 2,5 x = 20 20 < 0, donc l équation n a pas de solution dans [ 10 ; 10] 2 Résoudre dans [ 20; 10] l inéquation 0,5 x < 10 0,5 x < 10 équivaut successivement à (0,5 x ) < (10), x (0,5) < (10) et, puisque (0,5) < 0, à x > (10) (0,5) (10) (0,5) 3,3, donc l ensemble des solutions est (10) (0,5) ; 10 3 Résoudre dans [ 20; 100] l inéquation 1,05 x 12 1,05 x 12 équivaut successivement à (1,05 x ) (12), x (1,05) (12) et, puisque (1,05) > 0, à x (12) (1,05) (12) (1,05) 50,9, donc l ensemble des solutions est Exercice 3 10 points (12) (1,05) ; 100 La population d une ville s accroît de 3 % par an Le nombre d habitants en (2010 + x) est donné par l égalité p(x) = 40 000 1,03 x 1 Déterminer le nombre d habitants de cette ville en 2010, puis en 2016, en arrondissant le dernier résultat à la centaine près p(0) = 40 000, p(6) 47 762 En 2010 et 2016, les populations seront respectivement de 40 000 et 47 762 habitants 97 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 97 101

2 a) Montrer que p(x) = 54 000 équivaut à 1,03 x = 1,35 p(x) = 54 000 équivaut à 40 000 1,03 x = 54 000, soit 1,03 x 54 000 = 40 000 = 1,35 b) Résoudre l inéquation p(x) 54 000, c est-à-dire 1,03 x 1,35 1,03 x > 1,35 équivaut successivement à (1,03 x ) > (1,35), x (1,03) > (1,35) et puisque (1,03) > 0, à x > (1,35) (1,03) L ensemble des solutions est (1,35) (1,03) ; + c) En déduire l année à partir de laquelle la population dépassera 54 000 habitants (1,35) 10,2, donc la population dépassera 54 000 habitants à partir (1,03) de 2021 3 Déterminer l année à partir de laquelle la population dépassera le double de celle de 2010 On résout l inéquation 40 000 1,03 x > 80 000 successivement équivalente à 1,03 x > 2, (1,03 x ) > (2), x (1,03) > (2) et puisque (2) (1,03) > 0, à x > (1,03) (2) 23,4, donc la population (1,03) dépassera le double de celle de 2010 à partir de 2034 4 On se propose de vérifier avec un tableur les résultats obtenus aux questions 2 c) et 3 Entrer dans les cellules A1 à A40 les valeurs de x avec le pas de calcul 1 a) Expliquer comment procéder pour ne pas saisir les valeurs une à une On entre les valeurs 0 et 1 dans les cellules A1 et A2, on sélectionne ces deux cellules, puis on les recopie vers le bas jusqu en A40 b) Entrer dans les cellules B1 à B40 les valeurs de p(x) associées à celles de x Donner la formule entrée dans la cellule B1, puis copiée jusqu à la cellule B40 =40000*1,03^A1 c) Utiliser l assistant graphique du tableur pour obtenir un tracé de la courbe représentative de la fonction p d) Le graphique obtenu à la question précédente est anaue au suivant Résoudre graphiquement dans [0; 40] les inéquations p(x) > 54 000 et p(x) > 80 000 (Faire apparaître les traits utiles sur le graphique) La courbe est au-dessus de la droite d équation y = 54 000 pour x > 10 et au-dessus de la droite d équation y = 80 000 pour x > 23 Les solutions sont respectivement les intervalles ]10 ; + [ et ]23 ; + [ Le résultat est-il cohérent avec ceux des questions 2 c) et 3? Oui 102 98