Calcul matriciel, corrections des exercices Systèmes linéaires Correction de l exercice. (Système linéaire paramétrique { { x + 2y x + 2y 2x + my (4 my Ce système n admet de solution que si m 4. Dans ce cas, on a donc y /(4 m, et x 2y, soit x (2 m/(4 m. Correction de l exercice.2 (Système linéaire paramétrique { x + (m + y m + 2 mx + (m + 4y { x + (m + y m + 2 (m 2 4y m(m + 2 admet une solution si et seulement si m ±2. Alors, on a y (m 2 + 2m /(m 2 4, et y m + 2 (m + y, soit x ( m 2 m 5/(m 2 4. { mx + (m y m + 2 (m + x my 5m + 2 Matrices, Produits de matrices Correction de l exercice 2.. Calculons ( i i 2 i i ( + i i X i i conduit à X ( i i 2 i i ( + i i i i 2. En additionnant les deux équations membre à membre on obtient X i + i 2 i 2 i i ( d où ( i Y X i 2 i Correction de l exercice 2.2 Produit des matrices : ( 2 2 a b c c b a 2 4 a c b b c a 4 2 2 5 7 2 6 5 7 9 a + b + c a 2 + b 2 + c 2 b 2 + 2ac a + b + c b 2 + 2ac a 2 + b 2 + c 2 a + b + c a + b + c 5
Correction de l exercice 2. Produits de matrices rectangulaires i i 2i i i 2 i produit impossible, ( i i 2i i i, i i 2 i 2 4 i 2 2 2 2i 2 4 Correction de l exercice 2.4 (Associativité du produit matriciel On considère les trois matrices suivantes : 7 2 2 A 5 4 B 5 2 2 6 et C 5 7 6 2 7 6 2 5 59 85 AB 6 9, (ABC 2 67 49 9 7 7 27 595 24 56 BC 6 5 59 85 25, A(BC 2 67 49 7 27 595 6 2 6 Correction de l exercice 2.5 (Puissances d une matrice. ( a b A, A 2 a 2 2ab a a 2, A a ab 2 a ceci suggère la forme suivante, à montrer par récurrence ( (P n A n a n nab n a n (, A 4 a 4 4ab a 4, Initialisation : (P est évidemment vraie. Hérédité : Supposons (P n vraie, et calculons ( A n+ A.A n a b a n nab n ( a n+ nab a a n n + ab n a n 2. et donc (P n+ est vraie. Conclusion : (P n est vraie pour tout n. a b B b a 6
. Calculons 2 6 4 5 5 C, C 2 2, C, C 4 4, C 5 5. La conjecture naturelle est de poser n n(n + /2 (P n C n n, à démontrer par récurrence. Initialisation : (P est évidemment vraie. Hérédité : Supposons (P n vraie, et calculons n n(n + /2 n + + n + n(n + /2 C n+ C.C n n, n + et donc (P n+ est vraie car + n + n(n + /2 (n + (n + 2/2. Conclusion : (P n est vraie pour tout n. Inversion, application aux systèmes linéaires Correction de l exercice. (Déterminants 2 4 8 +. 2 4 5 (28 (2 25 + 2 (8 2 6. 5 6 7 6 4 5 (84 9 + 6 (8 2 8 5 6 2 2 5 4 4 Correction de l exercice.2 (Matrice de Vandermonde det(m (yz 2 zy 2 (xz 2 zx 2 + (xy 2 yx 2 yz(z y + xz(x z + xy(y x (y x[xy xz] + xz(y z + yz(z y (y x[xy xz] + z(z y(y x (y x(x z(y z Donc le déterminant de Vandermonde est non nul si et seulement si x, y et z sont tous différents. Correction de l exercice. (Inversion des matrices. Inversion par le système linéaire : { { { 2 x y x + 2x y x + 2x y x 6y + y 5 x y x + 5x y x y y x y y 7
d où 2 x 4 5 d où x x + 2y + 5z u x + 2y + z v 2x + 8y + z w { y 2x + x y y 4x + 5x y A 6. A { 2x + x y x 2y y 2. 2 x + 2y + 5z u 4y + 8z u + v 2y + 2z 2u + w 2. Inverser les matrices ci-dessus en utilisant un déterminant { x y + 2y x 2y y x + 2y + 5z u 4y + 8z u + v 4z u + v w Correction de l exercice.4 (Systèmes linéaires paramétriques Exercice. { x + (m + y m + 2 m + x m + 2 mx + (m + 4y m m + 4 y calculons le déterminant m + m m + 4 4 m2. Le système admet une solution si et seulement si le déterminant est non nul, c est à dire ssi m ±2. Alors, on a m + m + 4 m m m + 4 4 m 2 et donc m x m + 4 m m + 2 y 4 m 2 m 4 m 2 y ( m 2 2m + /(4 m 2, et y m + 2 (m + y, soit x (m 2 + m + 5/(4 m 2. Exercice.2 { mx + (m y m + 2 (m + x my 5m + On peut procéder comme ci-dessus, ou utiliser directement la méthode de Cramer décrite en cours m + 2 m 5m + m x m m + 2 6m2 m m 2m 2, y m + 5m + 4m2 2 m m 2m 2 2. m + m m + m Correction de l exercice.5 (Noyau, image et rang Le noyau d une matrice A M N (R est l ensemble des vecteurs X M N, (R tels que AX. L image de la matrice A est l ensemble des vecteurs Y M N, (R tels qu il existe X M N, (R vérifiant Y AX. Le rang de A est la dimension de l image ( si l image est le vecteur nul, si c est une droite vectorielle, 2 si c est un plan vectoriel,... On se donne les matrices A 2 4. Déterminer le noyau de A, B et C. 2. Déterminer l image de A et B. 2 2, B 4 5 6, C 2 7 8 9 2 8
Correction de l exercice.6 Soit 2 A. 2 A A 4I. On a donc A(A 2 I (A 2 I A 4I, d où A 4 (A2 I 2 4 2 2 4 2 4 Applications du calcul matriciel Correction de l exercice 4. (Diagonalisation et application On considère les matrices suivantes 2 A, P. 2 4 2 2 2. On note V, V 2 et V les trois colonnes extraites de P. AV V, AV 2 2V 2, AV V. 6 2 2 2. On a clairement AP. 6 2 2 Calculons l inverse de P, en posant le système linéaire P X Y x u u P y v v z w 2 2 w u v u w + 2u D où on déduit De là, on a P 2 P AP 2 2, 6 2 2 Ce qui est effectivement une matrice diagonale.. On voit facilement que 9 27 7 D 2 4, D 8, D 2 6,... et on peut montrer par récurrence (à faire que k D k 2 k, et reste une matrice diagonale. 9
4. A P DP, A 2 P DP P DP P D 2 P, A P D P... A k P D k P 5. On considère trois suites (x n, (y n et (z n définies par la relation de récurrence a On voit facilement que x n+ x n + 2y n, y n+ y n, z n+ 2x n 4y n + 2z n. b On pose W n P U n. On a alors et de là par récurrence U n+ AU n, U n AU n A 2 U n 2 A n U. W n P U n P AU n P AP W n DW n, W n D n W D n P U. En repassant aux composantes, on peut donc écrire u n n u v n 2 n v. w n w c Finalement, mettant les choses ensembles, on écrit U n P D n P U, soit en composantes x n y n z n n x 2 n 2 y 2 2 z n y 2 n 2x + z 2 2 x y n y 2 (x + z 2 2 x y x + ( n y n y (2 n 2x + 2( n y + 2 n z Au final, la solution explicite est de la forme x n x + ( n y y n n y z n (2 n 2x + 2( n y + 2 n z Correction de l exercice 4.2 (Diagonalisation On considère la matrice : 2 A 4 et on recherche des vecteurs V x tels que AV λv pour un certain scalaire λ. y. Transformer l équation AV λv en un système paramétrique, de paramètre λ.