TD de phsique Mathématiques pour la cinématique S1 Phsique Dép. GEii D après : Phsique générale et appliquée, Schaum s ; La phsique de tous les jours, uibert uteur(s) : P.RUIZ 1. RÉFÉRENTIEL Pour étudier la position du mobile étudié, il est nécessaire de choisir un repère d'espace et un repère de temps (chronologie). L'association de ces deu repères constitue le référentiel d'étude. Repère cartésien : un point origine fie (O) et trois aes orthogonau fies (O,O,O), munis chacun d'un vecteur unitaire. On le notera R O ( O, i, j, k ). Les trois vecteurs i, j, k forment un trièdre direct. ( ) O k i j Dans la suite de ce TD nous nous placement toujours dans le repère dans le repère R O.. ECTEUR POSITION M O + Le vecteur OM définit, à chaque instant t, la position M du mobile dans le repère R O. Le vecteur position s'écrit OM du point M dans le repère R O. i + j + k où (,, ) sont les coordonnées cartésiennes
On peut écrire, pour simplifier, ces coordonnées en colonne : OM OM + positive qui représente la distance (en m) entre O et M. + est le module du vecteur position, c'est une grandeur scalaire (nombre) Dans ces eercices nous travaillons toujours dans le repère cartésien R O. 1 Trouve les coordonnées et d un vecteur représentant un déplacement dans le plan O de 5m à une angle de 10 par rapport à l ae O. Représente ce vecteur. Réponse : OM ( 0,- 1,7m ; - 1,5m) En utilisant la méthode de l eercice 1, calculer puis représente le déplacement qui résulte des deu déplacements successifs suivants dans le plan O : - 30m formant un angle de 30 par rapport à l ae O - 0m formant un angle de 140 par rapport à l ae O 3 Calculer le module du déplacement précédent et l angle qu il forme par rapport à O Réponse : Déplacement de 30m formant un angle de 7 avec l ae O 4 Un déplacement de 100m coplanaire avec O et formant un angle α avec l ae O à pour coordonnée 30m. Quelle est l angle α? Réponse : α 17,46 3. ECTEUR ITESSE C'est la dérivée par rapport au temps du vecteur position : ( M ) dom. C'est un vecteur qui est toujours tangent à la trajectoire au point M où on le calcule. Il représente la vitesse instantanée du mobile à l'instant t où on le calcule. * Coordonnées cartésiennes (,,) Si le vecteur position s'écrit OM i + j + k, le vecteur vitesse s'écrira d d d ( M ) i + j + k puisque les vecteurs ( i, j, k ) sont fies (dérivée nulle par rapport au temps).
On écrira également : ( M ) (M) d d d + + est le module du vecteur vitesse, c'est une grandeur scalaire (nombre) positive, qui représente la mesure de la vitesse du mobile (en m/s). 1 Propose deu repères permettant de résoudre le problème suivant grâce à la notion de vecteur vitesse, puis répondre au questions. Un bateau peut atteindre une vitesse de 8km/h en eau calmes. Si il se déplace sur une rivière donc la vitesse du courant est de 3km/h, à quelle vitesse le bateau se déplace- t- il par rapport à la berge si il va dans le sens du courant? Et si il va en sens contraire? Quelle sera la durée de déplacement si le bateau doit parcourir 10km dans chacun des cas précédents? 3 Le mouvement vertical d un corps suivant l ae O au cours du temps est représenté ci- dessous. Quelle est la vitesse scalaire moenne du corps entre l origine et l apogée de son déplacement? Quel est la vitesse scalaire instantanée au point? Et au point C? Quels sont les vecteurs vitesse instantanée correspondants?
4. ECTEUR CCÉLÉRTION ( M ) d OM C'est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse : ( M ) représente l'accélération instantanée du mobile à l'instant t où on le calcule.. Il Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire, le vecteur accélération, qui est sa dérivée, aura deu composantes, soit ( M) t + avec : n t accélération tangentielle portée par la tangente en M (comme la vitesse) accélération normale perpendiculaire en M à n t, et toujours dirigée vers la partie concave de la trajectoire (vers le centre de courbure, càd vers "l'intérieur" de la courbe) On peut noter que l'accélération normale n'eiste (est non nulle) que si la trajectoire présente une courbure. Si t et (M ) sont de même sens, le mouvement est dit accéléré (la vitesse augmente). Si t et (M ) sont de sens contraires, le mouvement est dit décéléré ou ralenti (la vitesse diminue). * Coordonnées cartésiennes (,,) d d d ( M ) i + j + k On pourra aussi écrire : ( M ) d d d (M) + + est le module du vecteur accélération, c'est une grandeur scalaire (nombre) positive qui représente la mesure de l'accélération instantanée (en m/s²) 1 Une voiture initialement au repos accélère uniformément à 8m/s en ligne droite. Trouver la vitesse après 5s. Quelle est la vitesse moenne durant ces 5 secondes? Et la distance parcourue? Que pense- vous de cette voiture? PS : la Bugatti EB 16.4 eron Super Sport (011) atteint 160km/h en 5s Réponses : v finale 40m/s ; v mo 0m/s ; d100m Une voiture roulant initialement à 108km/h ralenti uniformément jusqu à 36km/h en 5s. Quelle est l accélération de cette voiture? Quelle est la distance parcourue au bout de 5s? Réponse : a- 4m/s
PROBLEME Il a un embouteillage sur l autoroute, mais heureusement chacun respecte strictement la distance de sécurité (ce qui évite les carambolages). Quelle est la vitesse conseillée pour qu un maimum de voiture sorte de l embouteillage par seconde? 1 Si une voiture circule à la vitesse v, sachant que le temps de réaction de l automobiliste est t, quelle est la distance de sécurité? Réponse : d v /a + v.t où a est l accélération (ralentissement) de la voiture Si une voiture mesure une longueur l, et que toutes les voiture avancent à la vitesse v, combien de voiture sortent de l embouteillage par seconde? Réponse : N v / (d + l) 3 Si on considère N comme une fonction de v, tous les autres éléments étant connus, quelle est la valeur de v pour laquelle N est minimal? Réponse : il faut étudier les variations de N(v), on trouve v optimal al 4 Données numériques : le «ralentissement» courant d une voiture qui freine (à fond) est de 10m/s. On prendra pour longueur moenne d une voiture 5m, et pour temps de réaction t0,5s. Calculer dans le cas la vitesse optimale pour qu un maimum de voitures sortent de l embouteillage rapidement