Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Zoltán Szigeti Ensimag April 4, 2015 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 1 / 16
Forme Générale Définition Forme canonique Ax b x 0 c T x = z(max) Forme standard Ax = b x 0 c T x = z(max) Théorème Tout programme linéaire admet 1 une forme canonique et 2 une forme standard. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 1 / 16
Forme Générale Démonstration (pour la forme canonique) a i x b i = ( a i ) x ( b i ). a i x = b i = a i x b i,( a i ) x ( b i ). x i 0 = x i = x i 0. x i sans contrainte de non-négativité = x i 0, x i 0, x i = x i x i. c T x = w(min) = ( c) T x = z(max). Démonstration (pour la forme standard) a i x b i = a i x +y i = b i, y i 0. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 2 / 16
Forme Générale Exemple Mettre le programme linéaire 1 sous forme canonique puis 2 sous forme standard. 1x 1 +2x 2 1x 3 +2x 4 = 1 1x 1 +1x 2 +1x 3 1x 4 2 1x 1 3x 2 +2x 3 +2x 4 3 0 x 2, x 3 0,x 4 0 1x 1 +2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 3 / 16
Forme Générale Forme canonique Exemple x 1 = x 1 x 1,x 1 0, x 1 0 et x 2 = x 2. 1x 1 +2x 2 1x 3 +2x 4 = 1 1x 1 1x 1 2x 2 1x 3 +2x 4 1 1x 1 +1x 2 +1x 3 1x 4 2 1x 1 +1x 1 +2x 2 +1x 3 2x 4 1 1x 1 3x 2 +2x 3 +2x 4 3 1x 1 +1x 1 +1x 2 1x 3 +1x 4 2 0 x 2, x 3 0,x 4 0 1x 1 1x 1 +3x 2 +2x 3 +2x 4 3 1x 1 +2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) x 1, x 1, x 2, x 3, x 4 0 1x 1 1x 1 2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) Forme standard Il faut encore introduire deux nouvelles variables x 5 0 et x 6 0. 1x 1 1x 1 2x 2 1x 3 +2x 4 = 1 1x 1 +1x 1 +1x 2 1x 3 +1x 4 +1x 5 = 2 1x 1 1x 1 +3x 2 +2x 3 +2x 4 +1x 6 = 3 x 1, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 1x 1 1x 1 2x 2 3x 3 +1x 4 = z(max) Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 4 / 16
Algèbre Linéaire : A x = b Notation 1 Les colonnes de A sont notées : a 1,...,a n, 2 Les lignes de A sont notées : a 1,...,a m. Rappel 1 Les colonnes a 1,...,a n de A engendrent un espace vectoriel. 2 Les lignes a 1,...,a m de A engendrent un espace vectoriel. 3 Ces deux espaces vectoriels sont de même dimension. 4 Une base d un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui sont linéairement indépendants et engendrent tout l espace. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 5 / 16
Algèbre Linéaire : A x = b Théorème (Existence) A x = b possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A = 0 et y T b 0. Exemple 1x 1 2x 2 = 1/ 2 2x 1 +4x 2 = 3/ 1 0x 1 +0x 2 1 y T A = ( 2 1 )( ) 1 2 = ( 0 0 ) et y 2 4 T b = ( 2 1 )( ) 1 = 1. 3 Résolution Elimination de Gauss : PIVOT. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 6 / 16
Programmation Linéaire : A x = b,x 0 Lemme de FARKAS (Existence) A x = b,x 0 possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A 0 et y T b < 0. Exemple 2x 1 1x 2 = 1/ 1 1x 1 +3x 2 = 2/ 1 x 1, x 2 0 1x 1 +2x 2 1 y T A = ( 1 1 )( ) 2 1 = ( 1 2 ) et y 1 3 T b = ( 1 1 )( ) 1 = 1. 2 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 7 / 16
Programmation Linéaire : A x = b,x 0 Lemme de FARKAS (Existence) A x = b,x 0 possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A 0 et y T b < 0. Démonstration 1 x et y ne peuvent pas tous les deux exister : 0 (y T A) x = y T (A x) = y T b < 0. 2 x ou y existe : 1 Soit b appartient au cône(a 1,...,a n ) : b est une combinaison linéaire non-négative des a 1,...,a n, n 1 xi ai = b,x i 0, A x = b,x 0. 2 Soit b n appartient pas au cône(a 1,...,a n ) : il existe un hyperplan H qui sépare b et les a i, pour le vecteur normal y de H : y T a i 0 pour tout i et y T b < 0. y T A 0 et y T b < 0. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 8 / 16
Programmation Linéaire : A x = b,x 0,c T x = z(max) Lemme de FARKAS (Existence) A x = b,x 0 possède une solution si et seulement si il n y pas de contradiction : y T A 0 et y T b < 0. Résolution Algorithme du simplexe : PIVOT. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 9 / 16
Programmation Linéaire Notation Soient J {1,...,n} et J = {1,...,n}\J, ( ) ( ) A J A J x J = b Ax = b ( x J ) xj x 0 0 c T x x = z(max) J ( c T J c T ) ( ) x J = z(max) J x J A J x J +A J x J = b x J,x J 0 c T J x J +c T J x J = z(max) Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 10 / 16
Programmation Linéaire Supposition Les lignes a 1,...,a m de la matrice A sont linéairement indépendantes, (rang(a) = m). Si certaines lignes sont linéairement dépendantes alors on peut en effacer une. Définition : J {1,...,n} 1 base si {a j : j J} forme une base de l espace vectoriel engendré par les colonnes de A, ( J = m). si et seulement si (A J ) 1 existe, si et seulement si A J est non-singulière : det(a J ) 0. 2 solution de base associée à( J :) la solution ( unique de A J x J = b, xj (A = J ) 1 ) b. 0 3 réalisable : si (A J ) 1 b 0. x J 4 Z. optimale Szigeti (Ensimag) : si la solution de base ROassociée 1A à J est une solution April 4, 2015 11 / 16
Exo 9.1. Énoncé On considère le programme linéaire: 1x 1 +1x 2 1x 3 = 2 1x 1 1x 2 +1x 3 = 2 x 1, x 2, x 3 0 2x 1 +3x 2 +4x 3 = w(min) On pose J = {1, 2}. (a) Montrer que J est une base réalisable. (b) Montrer que la solution de base est optimale. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 12 / 16
Exo 9.1. Solution ( ) (a) 1 1 1 J = {1, 2} est une base : det(a J ) = det = 2 0. 1 1 ( ) xj 2 J = {1, 2} est réalisable : = 2 0 0. x J 0 3 w = 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 4. x 1 2 (b) On considérant x 3 comme constante, on obtient x 2 = x 3 et x 3 x 3 w(min) = 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 4+7x 3 4, donc 2 0 est une solution réalisable optimale. 0 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 13 / 16
Solution d un PL : Méthode graphique Exemple 1 2x 1 +1x 2 8 1x 1 +2x 2 7 x 2 3 x 1, x 2 0 4x 1 +5x 2 = z(max) 4x 1 +5x 2 = z(max) x 2 x 2 = 3 x 1 +2x 2 = 7 x 1 2x 1 +x 2 = 8 Solution Optimale 2x 1 +1x 2 = 8 1x 1 +2x 2 = 7 ( x1 x 2 ) = ( ) 3 2 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 14 / 16
Solution d un PL : Méthode graphique Exemple 2 2x 1 +1x 2 2 1x 1 +2x 2 5 +1x 1 4x 2 4 x 1, x 2 0 +1x 1 +2x 2 = z(max) x 2 2x 1 +x 2 = 2 x 1 +2x 2 = z x 1 +2x 2 = 5 x 1 4x 2 = 4 x 1 Solution Optimale n existe pas. Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 15 / 16
Algorithmes pour résoudre un PL Algorithme Auteur Théorie Pratique Simplexe Dantzig 47 non-polynomial très rapide Ellipsoïde Khachiyan 79 polynomial très lent Point intérieur Karmarkar 84 polynomial rapide Remarques sur l algorithme du simplexe 1 Il existe une solution optimale qui est un sommet (point extrême) du polyèdre (borné). 2 L algorithme du simplexe se promène sur des sommets du polyèdre en améliorant la valeur de la fonction objectif. 3 Le nombre de sommets peut être exponentiel! 4 Il existe des exemples où l algorithme du simplexe passe par tous les sommets du polyèdre et il y en a 2 n (n = nombre de variables). Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 16 / 16