Chapitre 5 : Droites perpendiculaires et droites parallèles Dans ce chapitre, on utilisera la règle et l équerre. 1) Droites perpendiculaires : Rappel : Si deux droites se coupent en un point, on dit qu elles sont sécantes. (même si ce point n est pas sur la figure). Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant quatre angles égaux (qui sont des angles droits). Exemple : et (d ) sont perpendiculaires. (d ) On note : (d ) On code la figure en traçant deux petits traits. On code un seul angle droit, pas les quatre. On n écrit pas «à» après le symbole. Le symbole ne s écrit pas dans une phrase avec un verbe. Lorsqu il y a trois droites, on n écrit pas (d ) (d ) mais on écrit (d ) et (d ) (d ). (d ) se lit «d prime» et (d ) se lit «d seconde»
2) Construction de droites perpendiculaires : Exemple : A est un point qui n est pas sur la droite. Construire la droite (d ) perpendiculaire à la droite passant par le point A. A Pour construire la perpendiculaire à la droite passant par le point A, on pose l équerre sur et on la fait glisser le long de jusqu à ce qu elle touche le point A. On trace le morceau de droite, puis on le prolonge. On code la figure. Remarque : le côté en face de l angle droit sert juste à tenir l équerre. On utilise les deux autres côtés pour construire. 3) Droites parallèles : Deux droites distinctes sont parallèles si elles ne sont pas sécantes. Elles n ont pas de point d intersection. Exemple : (d ) La droite est parallèle à la droite (d ). On note : // (d ). On n écrit pas «à» après le symbole «//». Le symbole «//» ne s écrit pas au milieu d une phrase avec un verbe. ll faut aller à la ligne. Lorsque deux droites ne sont pas distinctes, on dit qu elles sont confondues.
4) Construction de droites parallèles : On utilise la propriété : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. En faisant glisser l équerre le long de la règle, on construit deux droites toutes les deux perpendiculaires à la règle donc deux droites parallèles. Exemple : construire la droite parallèle à passant par le point A. A On commence par poser l équerre sur la droite en face du point A. On pose ensuite la règle sur l autre côté de l équerre et on fait glisser l équerre le long de la règle jusqu au point A. On trace la parallèle à la droite passant par A. On prolonge si besoin. Cette méthode permet aussi de vérifier graphiquement que deux droites semblent parallèles mais ce n est pas une preuve. Attention à ne pas confondre avec le tracé d une perpendiculaire où l on fait juste glisser l équerre sur la droite.
5) Pour reconnaître deux droites parallèles : Exemple : Montrer que les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles. (d 3 ) (d 1 ) (d 2 ) Preuve : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Les deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sont perpendiculaires à la même droite (d 3 ) donc (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles. Lorsqu on voit deux angles droits sur une figure, les droites sont parallèles. Pour le montrer, on écrit la propriété dans le cas général puis on la réécrit avec les lettres de l énoncé. Le 1 de (d 1 ) est écrit petit et légèrement sous l interligne. C est pareil pour (d 2 ) et (d 3 ). On a aussi la propriété : Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre.
6) Le triangle rectangle : Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Exemple : Construire le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 5 cm. B 3 cm A 5 cm C On construit les deux côtés perpendiculaires [AC] et [AB] de longueur 5 cm et 3cm puis on trace le segment [BC] (sans connaître sa longueur). On code la figure. «rectangle en A» veut dire que l angle droit se trouve au point A. On n a pas besoin de connaître la longueur du troisième côté pour construire un triangle rectangle. Un triangle peut être isocèle rectangle : G 3 cm E E 3 cm F (EF) (EG) et EF = EG Le triangle EFG est isocèle rectangle en E. Ses deux côtés perpendiculaires ont la même longueur. Le côté le plus long d un triangle rectangle est toujours en face de l angle droit et s appelle l hypoténuse.
7) Le rectangle : Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Exemple : Construire un rectangle ABCD tel que AB = 6 cm et AD = 3 cm. 6 cm A B (AB) (BC) (BC) (CD) 3cm (CD) (DA) (DA) (AB) D C Remarque : Attention à l ordre des points pour construire le quadrilatère ABCD. Les quatre points doivent se suivre sur la figure. 8) Le carré : Définition : Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de la même longueur. Exemple : Construire le carré ABCD tel que AB = 3cm. 3cm A A B (AB) (BC) (BC) (CD) 3cm (CD) (DA) (DA) (AB) AB= BC = CD = DA D C Remarque : Un carré est à la fois un rectangle (car il a quatre angles droits) et un losange (car il a ses quatre côtés de la même longueur).
Annexe : extrait du programme officiel : 3.1. Figures planes Notions de parallèle, de perpendiculaire. - Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée. - Utiliser différentes méthodes. Il est seulement attendu des élèves qu ils sachent utiliser en situation ces notions, notamment pour la reconnaissance de deux droites parallèles ou pour leur tracé.