La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant galvaudé même si l une des propriétés de la fonction exponentielle est sa «vitesse de croissance» de plus en plus grande. Un exemple de phénomène mathématique à grande vitesse de croissance est celui de la suite ( ) Souvenez vous de la légende de l échiquier! I. Extension des propriétés des suites géométriques. Exemple extension de la suite ( ) : la fonction exponentielle de base 2 définie sur IR par f(x) y 34 y 34 u532 u532 30 30 28 28 26 26 24 24 22 22 20 20 8 8 u46 u46 4 4 2 2 0 0 u3 8 u3 8 6 6 u2 4 u2 4 u 2 u0 u 2 u0-0 2 3 Représentation de la suite ( 4 5 0 2 3 4 5 x Représentation de la fonction f ) Remarques : Pour les valeurs entières négatives p, on connaît et - x. Par exemple 0.5, 0.25. 0. 0325 D où les points de la courbe de f à la gauche de l axe des ordonnées. Pour les autres points, on s est contenté de relier les points connus de manière «régulière et lisse» Pour des raisons évidentes les repères des graphiques ci-dessus ne sont pas orthonormés, dans un repère orthonormé, la rapidité de croissance ferait sortir de la page très vite. La calculatrice donne des valeurs approchées des nombres pour x réel quelconque : Par exemple, en tapant «2 ^.3» on obtient 2.46229 environ.
2. Fonctions exponentielles de base q ( avec q > 0 ) a. Définition La fonction f définie sur IR par f(x) est le prolongement de la suite géométrique ( ) b. Propriétés (admises) Positivité : Pour tout q positif on a > 0 Variations Si q, la fonction f définie sur IR par f(x) est décroissante sur IR Si q, la fonction f définie sur IR par f(x) est croissante sur IR Si q,la fonction f définie sur IR par f(x) est constante sur IR ( et vaut toujours ) Dérivation et continuité La fonction exponentielle de base q est dérivable sur IR et donc elle est continue sur IR Remarque : les variations doivent, bien sur, être cohérentes avec les variations connues des suites ( ) c. Propriétés algébriques Là encore, pour rester cohérent avec les propriétés bien connues des puissances entières : Si f est la fonction exponentielle de base q, définie sur IR par f(x) alors pour tout x et tout y de IR : f(x) f(y) f(x + y) autrement dit : On dit que «la fonction exponentielle transforme les sommes en produits» autrement dit : On dit que «la fonction exponentielle transforme les différences en quotients» f(n ) autrement dit : Exercice Le trader Jean Balseck regarde l évolution de l action de la société «Caïman placement.net» sur laquelle il a misé toutes les économies des pensionnaires de la maison de retraite «Vieux mais riches». Le prix (en ) de l action est modélisé en fonction du temps t depuis l achat ( en minute ) par p(t) 050 a) A quel prix Balseck a-t-il acheté l action? b) Quelle est la valeur de l action au bout de 45 s? de 5 minutes 30 s? au bout de 2 heures? c) A la calculatrice déterminer au bout de combien de temps (à la seconde prés) l action a augmenté de 50 %. d) A la calculatrice déterminer au bout de combien de temps (à la seconde prés) l action a triplé. 2
II. Fonction exponentielle de base «e» : La fonction exponentielle. Définition Parmi les fonctions exponentielles de base a, il en existe une seule dont le nombre dérivé en 0 vaut. On appelle cette fonction «la fonction exponentielle de base e» et même plus simplement «La fonction exponentielle». elle est notée «exp». On a donc, par définition : exp(x) exp (0) exp() 2.78 (à la calculatrice ) donc e 2.78 2. Propriétés immédiates Par application des propriétés sur avec q e donc q > on a : Positivité de l exponentielle : > 0 Variation de la fonction exp : la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR exp(0) et exp() e Pour tout x de IR et pour tout y de IR Pour tout entier relatif n et en particulier 3. Représentation graphique : Exercice : Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exp au point d abscisse 0 et tracer cette tangente. 3
4. Dérivation On admet le résultat suivant : La fonction exp est dérivable sur IR et sa dérivée est la fonction exp elle-même : exp (x) exp(x) 5. Tableau de variation et résolution de exp(x) k x 0 + exp (x) e e + exp 0 Si k est un réel négatif ou nul alors l équation k n a pas de solution. Si k est un réel strictement positif alors l équation k a une solution unique solution notée ln(k). On a donc : pour k >0 k x ln(k) Démonstration : Exemples 2 x ln(2) à la calculatrice ln(2) 0.693 x ln() or on sait que donc x 0 et donc ln() 0 n a pas de solution 3 2x ln(3) 2x ln(3) + x soit x. 6. Convexité La fonction exp est convexe sur IR Exercice : Démontrer le résultat ci-dessus et l interpréter graphiquement. 4
7. Résolutions d équations et d inéquations on utilise les propriétés suivantes : A B > A > B démonstrations : Exemples 2x + x 3 x 4 2x² + 3 5x 2x² + 5x 2 0 (forme ax² + bx + c 0) 5² 4 25 + 6 4 donc 2 solutions et 3x x² + 0 x² 3x + 2 x² 3x + 2 et on étudie alors le signe de x² 3x + 2 (forme ax² + bx + c ) 9 4 2 donc 2 racines et 2 d où le tableau de signe : x 2 + x² 3x + 2 + 0 0 + L ensemble des solutions est donc : S [ ; 2 ] 8. Fonctions composées définies par f(x) a. Dérivée de f définie par f(x) Si u est une fonction définie et dérivable sur intervalle I alors la fonction f définie par f(x) est aussi dérivable sur I et f (x) u (x) Attention!! Ne pas oublier le «u (x)» dans la formule de dérivation 5
b. Conséquence pour les variations de f Puisque IR > 0 on a donc > 0 Donc u (x) est du signe de u (x) Donc f (x) est du signe de u (x) D où le résultat suivant : La fonction f définie par f(x) a les mêmes variations que la fonction u c. Exemple Soit la fonction f définie par f(x) f(x) a la structure avec u(x) 2x² + x 3 u est définie et dérivable sur et u (x) 4x + donc f est définie et dérivable sur et f (x) u (x) (4x + ) comme > 0 on a donc f (x) du signe de 4x + d où le tableau de variation (incomplet) x /4 + 4x + 0 + f f( ) d. Exercice Soit la fonction f définie par f(x) Donner l ensemble de définition de f Etudier les variations de f sur cet ensemble de définition Dresser le tableau de variation de f sur [ 0 ; 0 ] 6