Chapitre 10 : Equations réduites de droites Objectifs : *Connaitre les deux types d équations réduites de droites * Savoir tracer une droite à partir de son équation réduite * Savoir trouver une équation réduite à partir de 2 points ou d un point et un vecteur directeur *Savoir si un point donné appartient à une droite *Savoir déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou confondus *Savoir résoudre un système de deux équations à deux inconnues Exercice : 1) Dans le repère orthonormé, placer les points A(0 ;3) ; B(-2 ;-1) ; C(3 ;0) ; D(0 ;4) 2) Tracer la droite (AB), la droite (d) verticale passant par C et la droite horizontale (d ) passant par D. 3)Que peut-on dire des abscisses des points de (d)? Quelle équation pourrait-on donner à (d)? 4) Que peut-on dire des ordonnées des points de (d )? Quelle équation pourrait-on donner à (d )? 5) On dit que l équation de (AB) est donc y=2x+3. a)vérifier que les coordonnées de A et B vérifient l équation précédente. b) Quel lien semble-t-il y avoir entre y=2x+3 et le point A? Chapitre 10 : Equations de droites Page 1
I. Equation de droites Propriété : Soit (O,, ) un repère du plan. Soit D une droite du plan. Si D est parallèle à l axe des ordonnées alors l équation de D est de la forme x = c, où c est un nombre réel. O j i D c Si D n est pas parallèle à l axe des ordonnées alors l équation de D est de la forme y = ax + b, où a et b sont deux nombres réels. O b j i 1 D a Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite D et b est appelé l ordonnée à l origine de la droite D. Exemples : Soit (O,, ) un repère du plan. Dans ce repère, tracer les droites d 1, d 2 et d 3 d équations respectives : y = 2x + 3, y = 4, x = 3. Propriété : Soit (O,, ) un repère du plan et a, b, c trois nombres réels, a étant non nul. L ensemble des points M du plan dont les coordonnées sont tels que : y = ax + b ou x = c, est une droite. Chapitre 10 : Equations de droites Page 2
Exemple : Soit (O,, ) un repère du plan. Les points la droite d d équation? appartiennent-ils à 70à75p276 Propriété : Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points distincts d une droite D tel que x A droite D a pour coefficient directeur x B alors la Exemple : Soit (O,, ) un repère du plan. Soit et deux points d une droite d. Déterminer une équation de la droite d. 80p276 II. Position relative de deux droites Propriété : Soit (O,, ) un repère du plan. Soit D et D deux droites non parallèles à l axe des ordonnées. Dire que D et D sont parallèles entre-elles équivaut à dire qu elles ont le même coefficient directeur. 76,81p276 Exercices supplémentaires : Math repère 2010 Hachette p255+63à67p275 Chapitre 10 : Equations de droites Page 3
III. Systèmes Définition : Soit a, b, a et b des nombres réels donnés. Résoudre le système d équations deux équations du système. c est trouver tous les couples (x ; y) de nombres réels vérifiant simultanément les Méthode 1: Résoudre un système d équation par la méthode de substitution Soit le système (S) : 3 x 2 y 17 x y 6 Remarque : Ici, la méthode de substitution se prête bien à la résolution du système car une équation contient une inconnue facile à isoler. On commence par isoler une inconnue dans une équation. On exprime y en fonction de x dans la deuxième équation. 3x 2y 17 y x 6 On substitue l inconnue isolée dans l autre équation. On remplace y dans la première équation par son expression en fonction de x. 3 2 6 x x 17 y x 6 On résout cette équation pour trouver la valeur d une inconnue. 3x 2x12 17 y x 6 x 12 17 y x 6 On substitue dans la deuxième équation la valeur ainsi trouvée pour calculer y. x 5 y 5 6 x 5 y 1 La solution est le couple (-5 ; 1). Méthode 2 : Résoudre un système d équations pas la méthode des combinaisons linéaires Résoudre le système suivant : 3x2y5 5x3y2 Remarque : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en isolant une inconnue, on ramène les équations à des coefficients rationnels. Ce qui compliquerait considérablement les calculs. Chapitre 10 : Equations de droites Page 4
On multiplie la première équation par 5 et la deuxième équation par 3 dans le but d éliminer une inconnue par soustraction ou addition des deux équations. On soustraie les deux premières équations pour obtenir une nouvelle première ligne. Ici, on élimine l inconnue x. On recopie une des équations précédentes en deuxième ligne. On résout la première équation obtenue pour trouver une inconnue. On substitue dans la deuxième équation du système la valeur ainsi trouvée pour calculer la valeur de la 2e inconnue. La solution est le couple (1 ; -1). Exemple de système ayant un unique couple de solution : Soit le système (S) : 3x 2y 17 x y 6 x 5 y 1 Il existe un unique couple de réels (-5 ;1) qui vérifie simultanément les deux équations du système (S). (S) possède donc une unique solution. Interprétation géométrique : Les droites d équations se coupent au point de coordonnées (-5 ;1) sont sécantes et Exemple d un système n admettant pas de solution : 3x y1 Soit (S) le système : 6x2y6 y3x1 Le système (S) équivaut à 2y 6x 6 y3x1 6 6 y x 2 2 Chapitre 10 : Equations de droites Page 5
y3x1 y 3x 3 Les deux équations du système (S) ne peuvent pas être vérifiées simultanément par un couple de nombres réels (x ; y). Le système (S) ne possède donc pas de solution. Interprétation géométrique : Les droites d équations y3x 1 et y3x 3 coefficients directeurs égaux, elles sont donc strictement parallèles. possèdent des Exemple d un système admettant une infinité de solutions : Soit (S) le système : 6x 3y 6 2x y2 Le système (S) équivaut à : 3y 6x 6 y 2x 2 6 6 Soit : y x 3 3 y 2x 2 2 2 Soit encore : y x y 2x 2 Tous les couples de coordonnées (x ; y) vérifiant l équation sont solutions du système (S). Il existe une infinité de couples de nombres réels (x ; y) vérifiant l équation y 2x 2. Le système (S) possède donc une infinité de solutions. Interprétation géométrique : Les droites associées à ces deux équations sont donc confondues. Remarque : On peut déterminer à l avance le nombre de solutions du système à l aide du «déterminant» ab -ba : Propriété : Soit a, b, a et b des nombres réels donnés. Soit le système d équations *Si ab -ba *Si ab -ba 85p277+86,87p278+100p281+101,102,106p283 Exercices supplémentaires : Math repère 2010 Hachette p257+68à69p275+77,78,79,82à84p276+88,p278+101p282 Chapitre 10 : Equations de droites Page 6