2 nde SGT - G1 : Espace Observer, manipuler, extraire 1 / 6 2 nde SGT : GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE Capacités : G1 Géométrie dans l'espace 2G11 2G12 2G13 2G14 2G15 2G16 2G17 2G18 Manipuler, construire, représenter en perspective des solides. Représenter un solide usuel en perspective (cavalière) Tracer le patron d'un solide usuel Exploiter une configuration plane usuelle (Pythagore, Thalès, trigonométrie etc) potentiellement extraite d'un solide Calculer une aire, un volume Déterminer la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans Construire une section d'un solide usuel sur une représentation en perspective (cavalière) Utiliser de façon autonome un logiciel de géométrie dans l'espace (Geospace) I. La perspective cavalière On peut représenter des objets de différentes manières dont la perspective artistique (avec points de fuite) ou le plan d'architecte. En mathématiques, on privilégie le patron pour les solides «simples» et le dessin en perspective cavalière. Les règles de la perspective cavalière : Les arêtes visibles sont en trait continu ; les arêtes cachées (par une face) sont en trait pointillé ; Les figures représentées dans un plan parallèle au plan frontal (ABDC en couleur sur l'exemple ci-contre) sont représentées en vraies grandeur, ou à l'échelle, en respectant les angles ; les figures dans d'autres plans sont déformées par la perspective. Cependant, on continue de respecter l'alignement des points, les droites concourantes, le parallélisme, les milieux de segments et les rapports de longueurs. On respecte pour cela : un angle de fuite, traditionnellement 45. un coefficient de perspective k 1. I. II. Le patron Le patron d'un solide est une «mise à plat» du solide en découpant le long de certaines arêtes. En découpant le patron selon son contour, on peut recomposer le solide en pliant le long des arêtes. Un patron est composé du même nombre de faces que le solide et elles ont la même forme et les mêmes dimensions que les faces du solide. Deux arêtes adjacentes doivent être de même longueur. Exemple : patron d'une pyramide régulière à base carrée
2 nde SGT - G1 : Espace Observer, manipuler, extraire 2 / 6 Attention : tous les solides n'admettent forcément de patron (la sphère par exemple) et un solide peut admettre plusieurs patrons. Exemple : les 11 patrons du cube De plus, ce n'est parce que on a respecté le nombre de faces et la forme et les dimensions des faces d'un solide que l'on obtient forcément un parton de ce solide. Exemple : le dessin ci dessous n'est pas le patron d'un cube. III. Quelques règles de géométrie dans l'espace En découpant ce dessin selon le contour et en pliant, on ne peut pas recomposer un cube. Règle 1 : Une droite est définie par deux points distincts. Règle 2 : Un plan est défini par trois points non alignés. La droite (AB) est définie par tous les points alignés avec les points A et B. Règle 3 : Si un plan contient deux points distincts A et B, alors il contient aussi la droite (AB). Le plan (ABC) est constitué de tous les points coplanaires avec les points A, B et C. Règle 4 : L'intersection de deux plans est une droite. Les plans (P) et (P') se coupent suivant la droite (d). On le note : P P ' = d. On dit aussi que (d) est la «droite d'intersection de (P) et de (P')».
2 nde SGT - G1 : Espace Observer, manipuler, extraire 3 / 6 Dans tout plan de l'espace, toutes les règles de géométrie planes restent valables. Ainsi, le cas échéant, on essaiera le plus souvent «d'extraire» une figure plane d'un solide afin d'y appliquer les règles et les techniques vues dans le plan. III.Parallélisme dans l'espace 1. Du vocabulaire Si deux droites appartiennent à un même plan, alors on dit qu'elles sont coplanaires ; Deux droites sont dites parallèles si elle sont coplanaires et n'ont pas de point d'intersection ; Deux plans sont dits parallèles si ils n'ont aucun point d'intersection ; Une droite et un plan sont dits parallèles si ils n'ont aucun point d'intersection. Exemples : Sur la figure ci-contre, ABCDEFGH est un cube. Les droites (AC) et (BD) sont coplanaires et sécantes ; les droites (DH) et (AE) sont coplanaires et parallèles ; les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles ; la droite (AC) et le plan (EFG) sont parallèles ; etc. Attention : dans l'espace, deux droites peuvent ne pas avoir de point d'intersection sans pour autant être parallèles. Par exemple, ici (EF) et (CG) ne sont pas coplanaires, ne se coupent pas mais ne sont pas parallèles. 2. Droites parallèles Propriété : Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. (Propriété vues dans le plan en classe de sixième) Propriété : Si (P) et (P') sont deux plans parallèles, alors tout plan (Q) qui coupe (P) coupe aussi (P'), en deux droites d'intersection parallèles. Exemple : Sur le dessin ci-contre, on a (d) // (d'). Propriété : Théorème du toit Soient (d) une droite appartenant au plan (P) et (d') une droite appartenant au plan (P'). Si (d) et (d') sont parallèles, alors la droite d'intersection de (P) et de (P') est parallèle à (d) et à (d').
2 nde SGT - G1 : Espace Observer, manipuler, extraire 4 / 6 3. Droites et plans parallèles Propriété : Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles entre eux. Propriété : Si une droite (d) est parallèle à une droite (d'), alors (d) est parallèle à tout plan contenant (d'). Application : Dessiner une section d'un solide par un plan Exemple : On veut tracer la section du cube ABCDEFGH ci-dessous par un plan passant par les points I, J et K. I [CG], J [DF] et K est un point de la face ABEH. Pour cela, on utilisera le fait que les faces opposées d'un cube sont parallèles et donc que toutes sections par un même plan de deux faces opposées sont des droites parallèles. I et J sont sur la même face CDFG, visible, donc [IJ] aussi. Les faces CDFG et ABEH sont parallèles donc la section sur ABEH est parallèle à (IJ) et passe par K. Cette section est cachée et coupe ABEH en deux points M et L. I et M sont sur la même face ACGH, on peut donc les joindre, de même J et L sont sur BDFE. La se ction ainsi obtenue est IJLM.
2 nde SGT - G1 : Espace Observer, manipuler, extraire 5 / 6 Annexe 1 : Notions de repérage dans l'espace utiliser un logiciel Pour se repérer dans l'espace, on peut utiliser un repère à trois dimensions : un point O défini l'origine du repère et trois vecteurs, orthogonaux deux à deux (et le plus souvent de même longueur) définissent alors un repère orthonormal (orthonormé si les vecteurs sont de la même longueur). Ci-contre un repère (O ; i, j, k) orthonormé de l'espace : il définit par défaut les axes correspondants Ox, Oy et Oz. Tout point de l'espace est alors repéré par trois coordonnées : - son abscisse x ; - son ordonnées y ; - sa côte z (hauteur). Exemple : ci-contre, le point M a pour coordonnées - abscisse x M = 2 ; - ordonnées y M =3 ; on le note : M(2 ; 3 ; 2) - côte : z M = 2. Application : Coordonnées des sommets d'un cube On considère le cube MNOPQRST de côté 2 et représenté ci-contre en y incluant un repère orthonormé (O ; i, j, k). Alors, les différents sommets ont pour coordonnées dans l'espace : O(0 ; 0 ; 0) ; P(2 ; 0 ; 0) ; M(2 ; 2 ; 0) ; N(0 ; 2 ; 0) S(0 ; 0 ; 2) ; T(2 ; 0 ; 2) ; Q(2 ; 2 ; 2) ; R(0 ; 2 ; 2)
2 nde SGT - G1 : Espace Observer, manipuler, extraire 6 / 6 Annexe 2 : Solides usuels (vus au collège) V = Aire de la base x hauteur Sphère et boule de rayon R V = 1 3 Airedelabase Hauteur V = 4 3 R3