Plan Matrices : transformations élémentaires Rédaction incomplète Version beta I Algorithmes 1 1 Algorithme de Gauss 1 1 Opérations élémentaires 1 2 Principe général 1 2 Algorithme I : pivot partiel 2 3 Algorithme I' : pivot partiel étendu 2 4 Algorithme II : pivot total 3 II Matrices et opérations élémentaires 4 III Applications 4 1 Invariants 4 2 Inversibilité d'une matrice carrée 5 3 Inversion d'une matrice carrée inversible 5 4 Résolution d'une équation linéaire 6 5 Calcul d'un rang 6 Index algorithme de Gauss, 1 algorithme du pivot partiel, 2 algorithme du pivot partiel étendu, 2 algorithme du pivot total, 3 invariant par équivalence, 4 invariant par transformation élémentaire, 4 matrices d'opérations élémentaires, 4 opérations élémentaires, 1 pivot, 1 système de Cramer, 6 I Algorithmes 1 Algorithme de Gauss 1 Opérations élémentaires On appelle opérations élémentaires les transformations suivantes d'une matrice à p lignes et q colonnes en une matrice à p lignes et q colonnes Permuter deux lignes Permuter deux colonnes Pour i et i entre 1 et p et λ scalaire quelconque : ajouter à la ligne i la ligne i multipliée par λ Bien noter que seule la ligne i est modiée Pour j et j entre 1 et q et λ scalaire quelconque : ajouter à la colonne j la ligne j multipliée par λ Bien noter que seule la colonne j est modiée Multiplier une ligne par un scalaire λ non nul Multiplier une colonne par un scalaire λ non nul Les opérations élémentaires sont réversibles ; c'est à dire que si A est la matrice de départ et A une matrice obtenue à partir de A par une opération élémentaire, on peut, par opération élémentaire, transformer A en A Par exemple, pour le troisième type, il sut d'ajouter λ fois la ligne i à la ligne i 2 Principe général L'algorithme de Gauss transforme une matrice en utilisant exclusivement des opérations élémentaires Le diagramme de la gure 1 présente un algorithme de Gauss très général utilisant des procédures Pivot, Nettoie et Permute Les diverses variantes s'obtiennent en modiant ces procédures Un tableau à deux dimensions représente une matrice à p lignes et q colonnes Il est commode d'utiliser des variables globales (par exemple A, p, q) pour désigner le tableau et ses dimensions Les variables i et cle sont locales La procédure Pivot(i) renvoie une clé du tableau dont la valeur (appelée pivot) est non nulle Cette clé est cherchée dans une partie de la matrice Plusieurs stratégies sont possibles 1 Rémy Nicolai C2234 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2 France disponible en ligne http://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/2/fr/
i < 1 i< i+1 V i <= min(p,q) cle < Pivot(i) cle <> Permute(i,cle) Nettoie(i) V F F retour fin retour Fig 1: Algorithme de Gauss La procédure Permute(i,cle) échange des lignes (et éventuellement des colonnes) pour placer la valeur pivot en position (i, i) La procédure Nettoie fait apparaitre des dans une partie de la colonne i Pour cela elle utilise exclusivement des transformations élémentaires de la forme L j L j + λl i Les procédures, la forme de la matrice à la n et ce que renvoie l'algorithme sont précisés dans les variantes Il est important de noter que l'algorithme s'arrête soit parceque le i dépasse p ou q soit parceque la recherche d'un pivot non nul échoue 2 Algorithme I : pivot partiel La procédure Pivot(i) cherche une valeur pivot non nulle dans la bas de la colonne courante c'est dire parmi les termes a i,i, a i+1,i, a p,i Pusieurs stratégies sont possibles Par exemple, pour un calcul à la main, on préfèrera une valeurcomme 1 ou 1 Dans le cadre d'un calcul numérique, il vaut mieux choisir le pivot le plus grand possible pour minimiser les erreurs d'arrond La procédure Nettoie (gure 2) fait apparaitre des dans le bas de la colonne courante Pour cela elle eectue L i L i a i,i a i,i L i pour i de i + 1 à p Trois formes sont possibles pour la matrice nale suivant que l'algorithme termine avec i > p, i > q ou par l`échec de la recherche d'un pivot non nul 3 Algorithme I' : pivot partiel étendu La diérence avec la version précédente porte uniquement sur la procédure Nettoie L'appel Nettoie(i) procède comme dans la première version L i L i a i,i a i,i L i mais pour tous les i de 1 à p sauf i Pour la ligne i, elle eectue L i 1 a i,i L i 2 Rémy Nicolai C2234 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2 France disponible en ligne http://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/2/fr/
a 1 1 a 1 i a 1 i+1 a 1 p 1 a 1 p a 1 i 1 a i 1 i a i 1 i 1 a i 1 i+1 a i 1 p 1 a i 1 p a i i a i i+1 a i p 1 a i p Ligne i a i+1 i a i+1 i+1 a i+1 p 1 a i+1 p a i+2 i a i+2 i+1 a i+2 p 1 a i+2 p a p i a p i+1 a p p 1 a p p Fig 2: Procédure Nettoie pour l'algorithme I Ainsi la colonne i ne contient que des sauf un 1 en position i, i La forme de la matrice à la n est, pour les trois cas possibles, 1 1 1 1 1 1 1 1 4 Algorithme II : pivot total L'algorithme du pivot total se diérencie des algorithmes précédents par la zone de recherche du pivot non nul et par la procédure de permutation L'appel Pivot(i) cherche une valeur pivot non nulle dans tout le bas de la matrice et pas seulement dans la colonne i La procédure renvoie donc un couple (i, j ) tel que i i p, i j q et a i,j La procédure de permutation échange les lignes i et i et les colonnes i et j de manière à placer la valeur pivot non nulle en position i, i La procédure de nettoyage est la même que pour le pivot partiel 3 Rémy Nicolai C2234 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2 France disponible en ligne http://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/2/fr/
La matrice à la n de l'algorithme est de la forme suivante II Matrices et opérations élémentaires Dénition Soit n un entier naturel non nuls Toutes les matrices dénies ici sont à n lignes et n colonnes Elles sont obtenues par des transformations élémentaires de la matrice identité I n On désigne par i et j des entiers distincts entre 1 et n P i,j (n) est obtenue à partir de I n en échangeant les lignes i et j A i,j,λ (n) est obtenue à partir de I n en ajoutant à la ligne i la ligne j multipliée par λ (scalaire quelconque) Elle est donc égale à I n sauf pour le terme i, j qui est égal à λ D i,λ (n) est obtenue à partir de I n en multipliant par λ (scalaire non nul) la ligne i de I n Les opérations élémentaires portant sur les lignes sont obtenues par multiplication à gauche par des matrices particulières Les opérations portant sur les colonnes sont obtenues par multiplication à droite Proposition Soit M M p,q (K) Les entiers i et j sont entre 1 et p quand ils gurent dans une matrice placée à gauche et entre 1 et q quand ils gurent dans une matrice placée à droite P i,j (p)m est obtenue à partir de A en permutant les lignes i et j MP i,j (q) est obtenue à partir de A en permutant les colonnes i et j A i,j,λ (p)m est obtenue à partir de A en remplaçant L i (M) par L i (M) + λl j (M) où λ est un scalaire quelconque MA i,j,λ (p) est obtenue à partir de A en remplaçant C j (M) par C j (M) + λc i (M) où λ est un scalaire quelconque D i,λ (p)m est obtenue à partir de A en multipliant la ligne i par λ (scalaire non nul) MD i,λ (q) est obtenue à partir de A en multipliant la colonne i par λ (scalaire non nul) Preuve On vérie à partir des dénitions Il est utile de remarquer que toutes les lignes de A i,j,λ (p) sont celles de I p sauf la i-eme mais que toutes les colonnes de A i,j,λ (q) sont celles de I q sauf la j-eme Proposition Toutes les matrices de transformations élémentaires sont inversibles avec P i,j (p) 1 = P i,j (p), A i,j,λ (n) 1 = A i,j, λ (n), D i,λ (n) 1 = D i, 1 λ (n) Preuve C'est facile en utilisant l'eet d'une multiplication par une matrice élémentaire III Applications 1 Invariants Un invariant par transformation élémentaire est un nombre (ou plus généralement un objet mathématique) attaché à une matrice et qui est conservé par une transformation élémentaire Proposition Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles sont obtenues l'une à partir de l'autre par transformations élémentaires Les termes invariant par transformation élémentaire ou invariant par équivalence sont donc synonymes Proposition Le noyau et l'image d'une matrice, leurs dimensions, le rang sont des invariants par équivalence Le caractère inversible d'une matrice carrée est un invariant par équivalence L'image d'une matrice est aussi le sous-espace engendré par ses colonnes ainsi que l'image de l'application linéaire X AX, sa dimension est donc aussi le rang de la matrice Le noyau de la matrice est aussi le noyau de l'application linéaire X AX Le théorème du rang donne q = dim(ker A) + rg(a) 4 Rémy Nicolai C2234 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2 France disponible en ligne http://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/2/fr/
Par conséquent, si deux matrices de même taille ont des noyaux (ou des images) de même dimension, leurs images (ou leur noyaux) sont aussi de même dimension Preuve Pour P matrice inversible, les matrices A et P A ont le même noyau Pour Q inversible les matrices A et AQ ont la même image à compléter Par exemple pour une matrice carrée, la trace n'est pas un invariant par équivalence mais le caractère c'est un invariant par similitude (deux matrices semblables ont la même trace) 2 Inversibilité d'une matrice carrée Proposition Une matrice carrée A M p (K) est inversible si et seulement si la matrice obtenue à partir de A par l'algorithme I est de la forme T = Preuve L'algorithme I conduit à une matrice P A où P est inversible car égal à un produit de matrices élémentaires Lorsque P A = T, comme T est clairement inversible car ses colonnes forment une famille libre, T est également inversible Si la matrice P A n'est pas de la forme T, elle est de la forme T = Notons s le nombre de termes non nuls sur le début de la diagonale Il est clair que les s premières colonnes de T forment une base du sous-espace des matrices colonnes dont les p s derniers termes sont nuls D'autre part C s+1 (T ) est dans ce sous-espace donc les s + 1 premières colonnes de T forment une famille liée La matrice T n'est donc pas inversible ce qui entraîne que A ne l'est pas non plus 3 Inversion d'une matrice carrée inversible Proposition Soit A M p (K) inversible On forme une matrice par blocs dans M p,2p (K) en plaçant à droite de A un bloc constitué de la matrice identité L'algorithme du pivot partiel étendu (I') conduit à une matrice dont le bloc de droite est A 1 [A I p ] Algorithme I' [ I p A 1] Preuve Les opérations élémentaires intervenant dans l'algorithme I' sont les mêmes que l'on parte de A ou de [A I p Notons P 1, P 2, P s les matrices élémentaires correspondant à ces opérations Les algorithmes du pivot partiels ne font intervenir que des opérations sur les lignes qui sont associées à des multiplications par des matrices élémentaires placées à gauche On a donc I p = P s P s 1 P 2 P 1 A A 1 = P s P s 1 P 2 P 1 = P s P s 1 P 2 P 1 I p Autrement dit, A 1 s'obtient à partir de I p en subissant les mêmes transformations élémentaires que celles permettant de passer de A à I p En écrivant I p à droite de A, cela se réalise automatiquement sans qu'il soit nécessaire de mémoriser les transformations élémentaires Remarque Attention, cette méthode est très séduisante mais il ne faut pas chercher à l'appliquer systématiquement Lorsqu'on fait des calculs à la main, les éventuelles erreurs de calcul sont diciles à trouver D'autres méthodes à considérer sont Résoudre un système AX = Y avec une colonne X inconnue et une colonne Y formelle Considérer A comme la matrice d'une famille A de vecteurs et chercher à exprimer les vecteurs de la base comme combinaison linéaire de ceux de A 5 Rémy Nicolai C2234 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2 France disponible en ligne http://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/2/fr/
4 Résolution d'une équation linéaire Proposition Soit A GL p (K) et Y M p,1 (K) Il existe un unique vecteur colonne X tel que AX = Y (système de Cramer) Pour l'obtenir, on forme une matrice par bloc à p + 1 colonnes et l'on utilise l'algorithme du pivot partiel étendu [A Y ] Algorithme I' [I p X] Remarque Calculer d'abord A 1 puis multiplier ensuite X = A 1 Y est une mauvaise idée du point de vue du coût du calcul Inverser une matrice p p, c'est résoudre p systèmes de Cramer (colonne après colonne) Pour résoudre une équation AX = Y lorsque A n'est pas inversible (ni même carrée), on utilise les opérations élémentaires de l'algorithme du pivot total au niveau du système d'équations Il faut remarquer que permuter deux colonnes revient à permuter deux inconnues Lorsque l'algorithme s'arrête, on fait passer les inconnues qui restent de l'autre côté, et on exprime les premières inconnues par substitution 5 Calcul d'un rang Proposition Le rang est invariant par opération élémentaire Le rang d'une matrice A est le nombre de termes non nuls sur la diagonale de la matrice obtenue à partir de A par l'algorithme du pivot total Preuve En eet, une matrice obtenue à partir de A par des opérations élémentaires est de la forme P AQ où P et Q sont des produits de matrices élémentaires Elles sont donc inversibles À rédiger 6 Rémy Nicolai C2234 Paternité-Pas d'utilisations commerciale-partage des Conditions Initiales à l'identique 2 France disponible en ligne http://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/2/fr/