SESSION 2013 CONCOURS BLANC EPREUVE DE PHYSIQUE DUREE : 4 H L UTILISATION D UNE CALCULATRICE EST AUTORISEE Aucun document ni autre matériel, quel qu'il soit, n'est autorisé. Les téléphones portables doivent être éteints et placés sur le bureau du surveillant de salle. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Page 1 sur 11
Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 11 pages numérotées 1/11, 2/11, 3/11, 4/11... Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points. Les problèmes sont indépendants. Les diverses parties peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions. A. Optique géométrique 7/11 Page 2 sur 11
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B. Electronique Problème 1 : Circuit RC 1. Régime transitoire : Nous considérons le circuit ci-dessous. Nous noterons i, l intensité dans le résistor de résistance R, i 1 l intensité dans le condensateur de capacité C, i 2 l intensité dans le résistor de résistance R 2 et u ( t ) la tension aux bornes du condensateur. L interrupteur est ouvert depuis très longtemps. A l instant t = 0, pris pour origine des temps, R nous fermons l interrupteur K. i E i 2 K R 2 i 1 C 1.1. Préciser i, i1, i 2 et u à l instant t = 0, juste avant la fermeture de l interrupteur. 1.2. Préciser i, i1, i 2 et u à l instant + t = 0. 1.3. Même question quand t tend vers l infini. 1.4. Montrer en transformant le réseau que le circuit est équivalent à un simple circuit RC en charge dont on précisera les caractéristiques. u t. 1.5. En déduire l équation différentielle vérifiée par u ( t ) ainsi que la solution ( ) 1.6. Tracer l allure de u ( t ). 2. Régime sinusoïdal : L interrupteur est fermé et nous remplaçons le générateur de f.e.m constante par une source idéale de tension e t = E 2 cos ωt où ω représente la pulsation du générateur et E, la tension efficace. On de f.e.m. ( ) ( ) associe le complexe u = U 2 exp j ( ωt + ϕ ) = U exp jωt à la tension u ( t) U 2 cos( ωt ϕ ) ( ) ( ) = + où U = U 2 exp( jϕ ). De même, E = E 2. U H0 2.1. Calculer la fonction de transfert, H = que l on écrira sous la forme H =. E 1 + jω ω0 Préciser le module H et le déphasage ϕ. 2.2. Etablir l expression littérale de la fréquence de coupure f c en fonction de R et C. 2.3. Nous traçons le diagramme de Bode en fonction de la fréquence f en échelle semi-log. 2.3.1. On obtient le graphe ci-dessous. Déterminer graphiquement la valeur de f c en précisant la méthode utilisée. 2.3.2. En déduire la valeur de la capacité C si R = 1000Ω. Page 8 sur 11
Problème 2 : Filtre de Sallen-Key La mesure du débit massique d un écoulement est une opération très courante dans l industrie. Dans les débitmètres à effet Coriolis, on obtient des signaux électriques issus de deux capteurs de vitesse situés en deux points de l écoulement. Ces signaux sont théoriquement des sinusoïdes de fréquence f = 80 Hz déphasées d un angle ϕ proportionnel au débit massique que l on cherche à mesurer. On constate en fait expérimentalement que le signal est brouillé par des signaux de fréquence inférieure à f, et par des signaux de fréquence supérieure à f. Tous les amplificateurs opérationnels utilisés sont idéaux et de gain infini. 1. Quel type de filtrage peut-on envisager pour réduire l amplitude des signaux parasites? On s intéresse à un filtre de Sallen Key composé de 4 4 d admittances dipôles ( 1 ),( 2 ),( 3 ) et ( ) complexes respectives Y 1, Y 2, Y 3 et Y 4, et de deux résistors de résistances r et ( 1) k r, où k est en réel positif tel que 1< k< 5. L amplificateur opérationnel est en fonctionnement linéaire. 2 sont Pour toute la suite, les composants ( 1 ) et ( ) des résistors identiques de résistance R,( 3 ) est un condensateur de capacité C et ( 4 ) est constitué d un résistor de résistance R en parallèle avec un condensateur de capacité C. 2. On note v et v + les potentiels des entrées inverseuse et non inverseuse. Déterminer la relation entre v, u s et k. Page 9 sur 11
3. Déterminer la nature du filtre en prévoyant, sans calculs, les comportements asymptotiques à haute et basse fréquence. 4. On note V P le potentiel complexe du point P. Déterminer une relation entre v +, V P, R, C et ω. 5. Montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme : H = G0 ω 1 jq ω 0 + ω0 ω avec G0 k =, 5 k Q = 2 5 k et 2 ω 0 =. RC A quelles caractéristiques du filtre correspondent les grandeurs ω 0, G 0 et Q? 6. Déduire de l expression de H( jω ) l équation différentielle qui relie u ( t ) à ( ) quelle condition sur k ce filtre est-il stable? e u t. A 7.a. Quelle valeur doit-on choisir comme fréquence f 0 correspondant à la pulsation ω 0? s b. La figure suivante correspond au diagramme de Bode pour une valeur de Q donnée. En exploitant graphiquement ce diagramme, donner l expression du signal de sortie pour chacun des trois signaux suivant, dans lesquels le temps t est exprimé en secondes : ( ) = ( π t), u ( t) = E ( π t) et u ( t) E ( t) ue1 t E cos 100 Commenter les résultats obtenus. e2 cos 160 e3 = cos 200π. Page 10 sur 11
8. On remarque que l intensité ie( t ) (voir figure 12) est non nulle. Or, pour fonctionner correctement, le capteur de vitesse situé à l entrée du filtre ne doit délivrer aucun courant. Comment peut-on très simplement modifier l entrée du filtre étudié ici pour y remédier? Valeurs approchées pour les applications numériques Expressions π cos( 30 ) cos( 45 ) sin( 30 ) sin( 45 ) sin( 60 ) Valeurs approchées 3 0,9 0,7 0,5 0,7 0,9 Expressions log( 5/ 8 ) log( 5/ 4 ) 11/20 10 18/20 10 37/20 10 Valeurs approchées 0,2 0,1 4 8 1 7 10 Page 11 sur 11