Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 1 CONTRÔLE du vendredi 26 mars 21 Tous documents autorisés. Durée : 3h. Sujet proposé par O. THUAL EXERCICE 1 : Un pipeline pour la Mer Morte (4 points) La surface libre de la Mer Morte est située à une altitude Z mor = 4 m dans un repère où Z rou = m est l altitude de la surface libre de la Mer Rouge. On souhaite envisager la construction d un pipeline connectant ces deux mers, d une longueur d = 2 km, de diamètre D = 3 m et constitué d un matériau inoxydable dont la taille caractéristique des rugosités est k s = 1 mm. O z d Z rou x Z mor Z rou Z mor Fig. 9.1 Pipeline reliant la Mer Rouge et la Mer Morte. On suppose que ν = 1 6 m 2 /s est la viscosité dynamique de l eau de mer. On supposera que α = 1 dans l expression de la charge hydraulique (profils de vitesses plats) et on pourra prendre g = 1 m/s 2 pour la gravité. 1) Calculer la charge H rou de la Mer Rouge et la charge H mor de la Mer Morte en négligeant la variation de la pression atmosphérique p a = 1 5 Pa et de la masse volumique ρ = 1 kg/m 3 entre les deux mers. Que vaut Z = H rou H mor? 2) En utilisant le diagramme de Moody (voir figure 9.2), calculer le débit Q max de l écoulement gravitaire lorsque le pipeline met directement en contact les deux mers. Vérifier que le régime de l écoulement est rugueux. On construit maintenant, sur les berges de la Mer Morte, une usine hydroélectrique ) que l on U alimente avec le pipeline. Cette usine délivre une puissance P = ρ g ( H K 2 g 2 g Q où H est la différence de charge entre l amont et l aval de l usine, Q le débit turbiné, U la vitesse dans le pipeline, et K g un coefficient de perte de charge singulière dépendant des turbines utilisées. On suppose K g = 4. 3) En supposant que le régime reste rugueux, exprimer, en fonction de ρ, D, Z, λ, d et K g, le débit Q opt qui optimise la puissance électrique fournie par l usine. Exprimer de même la puissance correspondante P opt. 4) Donner les valeurs numériques de Q opt et P opt. Vérifier que l on peut effectivement considérer que l écoulement est rugueux.
2 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement Fig. 9.2 Diagramme de Moody avec les notations f = λ, V = U, h = Z, D = D H, ɛ = k s,
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 3 EXERCICE 2 : Bassin circulaire à vagues (4 points) On considère un bassin circulaire de centre O, de rayon R et de profondeur h f (r) = h m α r où r = x 2 + y 2 est la coordonnée radiale dans le plan horizontal Oxy. Un batteur à houle, situé en son centre, émet une onde de surface circulaire avec une pulsation constante. On suppose que le bord circulaire du bassin, en r = R, absorbe toute l énergie des vagues et qu il n y a donc pas de réflexion d ondes. On suppose que la longueur d onde des vagues est grande devant h m (milieu peu profond) et que α 1 (milieu lentement variable). 5) On note H R la hauteur des vagues en r = R. Exprimer, en fonction de H R, α, R, ρ, h m et g, la puissance P absorbée par le bord circulaire en Watts. 6) En r = R < R, on mesure une hauteur de vagues égale à H. Exprimer la hauteur H R des vagues en r = R en fonction de H et des paramètres du problème. Donner sa valeur numérique dans le cas h m = 1 m, α =.1, R = 2 m, R = 9.8 m et H = 1 cm. EXERCICE 3 : Mascaret du Mont Saint-Michel (4 points) Lorsque le coefficient de la marée est suffisamment fort (vives-eaux), on observe, dans la baie du Mont Saint-Michel, un mascaret qui remonte la rivière du Couesnon. On modélise cette rivière par un canal sans pente à section rectangulaire de largeur L = 5 m considérée comme grande devant la profondeur. On suppose que h = 4 cm et Q = 1 m 3 /s sont respectivement la hauteur et le débit de cette rivière à marée basse. On prendra g = 9.81 m 2 /s pour le champ de gravité. O z U W h h 1 U 1 x Fig. 9.3 Mascaret de grande marée remontant la rivière du Couesnon. 7) Calculer, à marée basse, le débit linéique q = Q /L et la vitesse U. L écoulement est-il fluvial ou torrentiel? 8) On note respectivement h 1 et U 1 la hauteur et la vitesse de l écoulement à l aval d un mascaret qui remonte la rivière avec une vitesse W négative. Écrire les relations de saut qui relient h, U, h 1, U 1 et W. En déduire que I(q W, h ) = I(q W, h 1 ) où q W = h (U W ) et I(q, h) = q 2 /h + g h 2 /2 est la fonction impulsion. 9) Avec un chronomètre, on mesure la vitesse de propagation W = 2.5 m/s. En déduire, à l aide de l abaque de la figure 9.4, la hauteur h 1 et la vitesse U 1 de l écoulement de marée haute situé à droite du mascaret.
4 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement I 6 5 4 3 2 1.2.4.6.8 1 h
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 5 EXERCICE 4 : Partage des eaux (8 points) On souhaite mettre en place un système hydraulique simple permettant de partager un débit d eau en deux sous-débits dans une proportion contrôlable. On modélise le système par un canal dont le fond est schématisé sur la figure 9.5 et dont la largeur L dans la direction y est constante. On note q = Q/L le débit linéique associé à un débit Q. On note respectivement U et h la vitesse moyenne et la hauteur d eau en un point quelconque. Les valeurs numériques demandées pourront être données avec la précision d une lecture graphique des abaques. h z q a h a a O e x x a q x e q e U a U e Fig. 9.5 Géométrie du canal de partage des eaux. On injecte un débit linéique constant q > au centre du canal en x =. Une partie q a de ce débit linéique franchit un obstacle de hauteur a = 36 cm dont le sommet est situé en x = x a < tandis l autre partie q e coule sous une vanne de fond dénoyée d ouverture e située en x = x e >. On suppose que x a et x e suffisamment grands et les pentes suffisamment petites pour que l écoulement puisse être considéré comme graduellement varié. En x =, on suppose que h = h et que la vitesse U est discontinue en x = avec U = U a pour x = et U = U e pour x = + avec q a = h U a, q e = h U e et q = q a + q e. On cherche à exprimer le rapport X = q a /q en fonction de l ouverture réglable e. On suppose que l écoulement est supercritique sur les deux rampes situées respectivement à gauche du sommet de l obstacle et à droite de la vanne, et sous-critique pour x ]x a, x e [. On néglige toutes les pertes de charges dues au frottement sur les parois. On prendra g = 9.81 m/s 2 pour le champ de gravité. 1) D où provient la relation dh dx = I (1 F r2 ) 1 où I est la pente du fond et F r = U / g h le nombre de Froude? Justifier la transition fluviale à torrentielle au sommet de l obstacle en x = x a. En déduire l expression de q a en fonction de h a et g. 11) Montrer que la charge spécifique E(q a, h) = h + q 2 a/(2 g h 2 ) est minimum en x = x a sur l intervalle [x a, [ et simplifier son expression en ce point. En déduire que E(q a, h ) = a + 3 h a /2. 12) On suppose que la vanne est immergée. Que peut-on dire de la charge spécifique E(q e, h) pour h = h et h = e? Exprimer le débit linéique q e en fonction de g, h et e. 13) Dans un premier temps, on ferme complétement la vanne, ce qui s écrit e = cm, et l on mesure h a = 16 cm. Déterminer, à l aide de l abaque de la figure 9.6, les valeurs de q = q a et h. Représenter cette situation sur un schéma à la manière de de la figure 9.5.
6 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 14) On augmente le débit q et on suppose maintenant que l ouverture de la vanne est e = 15 cm et que h = 3 cm. Déterminer, à l aide de l abaque de la figure 9.6, la valeur de q e = q. Représenter cette situation sur un schéma à la manière de de la figure 9.5. 15) On augmente encore le débit q et on ouvre la vanne de telle sorte que e = 2 cm. On mesure alors h a = 16 cm. Sur l abaque de la figure 9.6, tracer les points A et A correspondant respectivement aux hauteurs h et h a sur la courbe d iso-débit linéique q = q a ainsi que les points E et E correspondant respectivement aux hauteurs h et e sur la courbe d iso-débit linéique q = q e. En déduire les valeurs de q et X. 16) On augmente le débit q et on ouvre la vanne de telle sorte qu elle ne soit plus en contact avec l eau. On mesure alors h a = 1 cm. En déduire les valeurs de q et X. Représenter cette situation sur un schéma à la manière de de la figure 9.5. 17) On souhaite maintenant que le système puisse répartir, dans n importe quelle proportion X [, 1], les débits linéiques q inférieurs ou égaux à q max = 1.5 m 2 /s. Quelle taille minimale a min doit-on choisir pour dimensionner l obstacle? Justifier le choix de a = a min. 1.8 E.6.4.2.2.4.6.8 1 h Fig. 9.6 Charge spécifique E(q, h). Unités de h en m. Intervalle entre les iso-q de.1 m 2 /s. Courbe pointillée : minima de E.
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 7 CORRIGÉ EXERCICE 1 : Un pipeline pour la Mer Morte (4 points) 1)On a H med = pa ρ g + Z med = 1 m et H mor = pa ρ g + Z mor = 39 m. On a Z = 4 m. [.5 point] 2)La rugosité est caractérisée par le nombre sans dimension Ru = k s /D = 3.3 1 4 puisque le diamètre hydraulique D H est égal à D dans le cas d un cylindre de section circulaire. En supposant le régime rugeux, la lecture du diagramme de Moody conduit à la valeur λ =.15 du coefficient de frottement. Cette valeur est proche de la valeur donnée par la loi rugueuse λ = [2. log 1 (3.7/Ru)] 2 =.156. Comme le terme de vitesse α U 2 /(2 g) est le même aux deux extrémités du tuyau, la perte de charge est H rou H mor = Z avec Z = Z med Z mor. Elle est égale à J d avec J = λ U 2 max 2 g D H avec D H = D. On a donc U 2 max = (2 g Z D)/(λ d) d où U max = 2.8 m/s avec un nombre de Reynolds Re = U max D/ν = 8.5 1 6, qui montre, comme on peut le voir sur le diagramme de Moody que l écoulement est en régime rugueux. Le débit est Q max = U max π D 2 /4 = 2 m 3 /s. 3)La charge en amont de l usine est H rou J d où J = λ U 2 /(2 g D) est la perte de charge linéique due au frottement sur les parois du[ pipeline. On a donc H = H rou J d H mor = Z λ U 2 d/(2 g D) et donc P = ρ π D2 4 Z 1 2 g (λ d/d + K g) U 2] U. La puissance est optimale pour U opt = 2 g Z 3 (λ d/d+k. Le débit correspondant est Q g) opt = π D2 4 U opt = π D2 2 g Z 4 3 (λ d/d+k. g) La puissance optimale est alors P opt = ρ π D2 2 Z 2 g Z 4 3 3 (λ d/d+k. g) [1.5 point] 4)On obtient U opt = 2 g Z 3 (λ d/d+k = 1.4 m/s, Q g) opt = U opt π D 2 /4 = 9.8 m 3 /s et P opt = 26 MW. Comme le nombre de Reynolds vaut Re = U opt D/ν = 4.1 1 6, on voit, sur le diagramme de Moody, que la valeur choisie pour λ en supposant que l écoulement était rugueux est correcte. EXERCICE 2 : Bassin circulaire à vagues (4 points) 5)Comme W = 1 8 ρ g H2 est l énergie moyenne surfacique des vagues, c g = gh f la vitesse de groupe et I = c g W le flux linéique d énergie, la puissance absorbée le long du cercle de périmètre 2 π R est donc P = 2 π R I = 2 π R c g W = 1 4 π R g (h m α R 2 ) ρ g H 2 R. [1.5 point] 6)Comme la puissance qui traverse le cercle de rayon R est aussi égale à P, on peut écrire R g h f (R ) H 2 = R g h f (R) HR 2 et donc H2 R = H2 (R /R) ( h m α R / h m α R ) = 1.3H 2. On en déduit que H R 1.1 cm. Comme H R <.78 h f (R) = 1.6 cm, les vagues n ont pas encore déferlé. [2.5 points]
8 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement EXERCICE 3 : Mascaret du Mont Saint-Michel (4 points) 7)On a q = Q /L =.2 m 2 /s et U = q /h =.5 m/s. Comme le nombre de Froude F r = U / g h =.25 est plus petit que 1, l écoulement est fluvial. 8)Les relations de saut s écrivent h (U W ) = h 1 (U 1 W ) pour la conservation de la masse et h U (U W ) + 1 2 g h2 = h 1 U 1 (U 1 W ) + 1 2 g h2 1 pour la conservation de la quantité de mouvement. En éliminant U = W + q W /h et U 1 = W + q W /h 1, on obtient qw 2 /h + 1 2 g h2 + h (U W ) W = qw 2 /h 1 + 1 2 g h2 1 + h 1 (U 1 W ) W. En utilisant la première relation de saut, cette dernière s écrit bien I(q W, h ) = I(q W, h 1 ). [2 points] 9)On calcule q W = h (U W ) = 1.2 m 2 /s. À l aide de l abaque, on trouve que la hauteur h 1 = 7 cm correspond à la même impulsion. On en déduit U 1 = W + q W /h 1 =.8 m/s. EXERCICE 4 : Partage des eaux (8 points) 1)En négligeant la perte de charge, la conservation de la charge conduit à la relation indiquée. Comme la pente change de signe au sommet de l obstacle et que le signe de dh dx reste inchangé, le nombre de Froude est supérieur à 1 (fluvial) à droite du sommet et inférieur à 1 (torrentiel) à gauche. On en déduit que h a est la hauteur critique associée au débit linéique q a = g h 3 a. 11)Comme la charge spécifique est minimum pour la hauteur critique et vaut la hauteur critique multipliée par 3/2, on a E(q e, h a ) = 3 h a /2. Comme la charge H = pa ρ g +Z f +E(q e, h) est constante sur l intervalle x [x a, [, on peut écrire E(q e, h ) = a + E(q e, h a ) = a + 3 h a /2. 12)Comme il n y a pas de perte de charge au passage de la vanne immergée, on a E(q e, h ) = E(q e, e). On en déduit q e = e h 2 g/(h + e). a) qa xa ha a h Ua z O q xe x b) xa a z h Ue e O q xe x qe c) qa ha xa Ua a h z Ue O q e xe x qe Fig. 9.7 a) Cas e = cm et h a = 16 cm. b) Cas h = 3 cm et e = 15 cm. c) Cas sans vanne avec h a = 1 cm. 13)Puisque E(q a, h) est minimum pour la hauteur critique h a = 16 cm, on lit q a =.2 m 2 /s sur l abaque (point A sur la figure 9.8a). Comme E(q a, h ) = a + 3 h a /2 = 6 cm, on lit h 6 cm (point A sur la figure 9.8a). Cette situation est représentée sur la figure 9.7a. 14)On a q a = car h < a. Comme E(q e, h ) = E(q e, e), on lit sur le graphique (points B et B
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 9 1 1 D C.8.8 C E E E.6.4.2 A A a E.6.4.2 B B C h a e h.2.4.6.8 1 a) b) h.2.4.6.8 1 h Fig. 9.8 a) Tracé des points A, A, E et E. b) Tracé des points B, B, C et C. sur la figure 9.8b) que q e =.3 m 2 /s. Cette situation est représentée sur la figure 9.7b. 15)Puisque le minimum de E(q a, h) à q a fixé est la hauteur critique h a = 25 cm, on lit q a =.2 m 2 /s sur le graphique. Comme E(q a, h ) = E(q a, h a ) + a = 3 h a /2 + a = 6 cm, on lit sur le graphique h 6 cm et on trace les points A et A comme indiqué sur la figure 9.8a. Comme h et e sont des hauteurs conjuguées pour la charge spécifique, on calcule ou on lit sur le graphique que q e =.6 m 2 /s et on trace les points E et E comme indiqué sur la figure 9.8a. On en déduit que q = q a + q e =.8 m 2 /s et X = q a /q =.25. 16)Comme h a est la hauteur critique associée au débit q a on lit sur le graphique que q a =.1 m 2 /s (point C sur la figure 9.8b). Comme E(q a, h ) = a + 3 h a /2 = 51 cm on lit h = 5 cm. Comme e = h est la hauteur critique associée au débit q e on lit sur le graphique que q e = 1.1 m 2 /s (point C sur la figure 9.8b). On en déduit q = q e + q a = 1.2 m 2 /s et X = q a /q =.8. Cette situation est représentée sur la figure 9.7c. 17)Pour pouvoir contrôler toutes les valeurs de X, il faut que µ 1 pour q = q max. Il faut donc a a min avec a min = q 2/3 max g 1/3 = 62 cm (point D sur la figure 9.8b). Le choix a = a min permet une meilleure manoeuvrabilité du dispositif (étude paramétrique non présentée ici).
1 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement CONTRÔLE du jeudi 27 mars 28 PREMIÈRE PARTIE : Circuit hydraulique d un chauffage central (5 points) Les circuits hydrauliques en charge sont utilisés pour de nombreuses applications : réseaux d eau potable, commandes hydrauliques, production d énergie, circuits de refroidissement, etc. L exemple du chauffage central est ici choisi pour explorer quelques notions d hydraulique. H(m) 1.9.8 a) b).7.6.5.4.3.2.1 r = 1 r =.2 r =.1 h 2 /m 5.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Q(m 3 /h) Fig. 9.9 a) Schéma partiel et simplifié du circuit hydraulique avec une pompe, un radiateur, des ) conduites, des vannes, des coudes et des tés. b) Courbe caractéristique H = H p (1 Q 2 /Q 2 p de la pompe et courbes H = r Q 2 pour r =.1,.2,.3,..., 1 h 2 /m 5. On considère un circuit de chauffage central constitué d une pompe, de vannes, de radiateurs et de conduites rectilignes de diamètre D = 2 cm reliées entre elles par des coudes ou des tés de même diamètre (voir le schéma simplifié de la figure 9.9a). On suppose que l écoulement est partout turbulent avec un coefficient de perte de charge linéique constant λ =.2 dans les portions de conduites rectilignes. 18) On suppose que les coudes sont droits (angle ϕ = π/2) et que leur rayon de courbure est ρ c = D. Déterminer leur coefficient de perte de charge singulière en utilisant le graphe de la figure 9.1. En déduire la perte de charge à travers un tel coude lorsque le débit qui le traverse est Q = 2 m 3 /h. On pourra prendre g = 1 m/s 2 pour la gravité. 19) On assimile la perte de charge d une vanne à celle d un rétrécissement brusque suivi de très près par un élargissement brusque, le diamètre D v de la section intermédiaire étant réglable. Calculer et tracer le coefficient de perte de charge singulière de cette vanne en fonction de β = D 2 v/d 2. 2) On définit la longueur équivalente L e d un tronçon du circuit comme étant la longueur de la conduite rectiligne de même section qui produirait la même perte de charge pour le même débit. Exprimer la longueur équivalente d une singularité hydraulique dont le coefficient de perte de charge est K g. Quelle est la longueur équivalente des coudes décrits à la question 18?
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 11 D H ϕ π K g 2 ϕ 2 1.8 1.6 1.4 ρ c 1.2 1.8.6.4.2 1 2 3 4 5 ρ c D H Fig. 9.1 Coefficient de perte de charge singulière dans un coude. 21) On considère qu un radiateur est constitué de n = 9 tronçons en parallèles de longueurs équivalentes respectives L t = 2.7 m. Calculer la longueur équivalente de ce radiateur. 22) Le circulateur de la chaudière est une pompe ) dont le gain de charge H est relié à son débit Q par la relation H = H p (1 Q 2 /Q 2 p avec H p = 1 m et Q p = 3.6 m 3 /h. On suppose que la longueur équivalente du circuit de chauffage central alimenté par cette pompe est L e = 2 m. Calculer le débit Q du circuit ainsi que la puissance P délivrée par la pompe. Le graphe de la figure 9.9b pourra être utilisé pour déterminer les valeurs numériques demandées. On prendra ρ = 1 3 kg/m 3 pour la masse volumique de l eau. DEUXIÈME PARTIE : Dispersion des ondes capillaires (7 points) Lorsque la surface libre d un liquide est déformée, la résultante des forces de cohésion intermoléculaires génère une force surfacique perpendiculaire à cette surface qui s oppose à la déformation. Si z = η(x, y) est l équation de cette surface libre, cet effet de tension superficielle se traduit par une différence de pression à l interface qui s écrit ( 2 ) η p p a = T x 2 + 2 η y 2 (E.1) où p est la pression dans le fluide, p a la pression atmosphérique et T une constante qui vaut T = 7 1 2 N/m pour l eau. Pour déterminer la contribution de la tension superficielle à la relation de dispersion des ondes de surface, on suppose que la profondeur du domaine fluide est infiniment grande et que le champ de vitesse U est nul lorsque z. La dynamique du fluide est modélisée par les équations d Euler incompressibles : div U = où ρ est la masse volumique constante. 23) et U t + U grad U = 1 ρ grad p g e z, (E.2) Écrire la condition aux limites cinématique qui complète la condition aux limites dynamique (E.1).
12 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement Fig. 9.11 Visualisation d ondes capillaires. 24) On s intéresse aux petites oscillations de la surface libre. Écrire le système d équations linéarisées ainsi que les conditions aux limites complètement linéarisées. 25) On suppose que l écoulement est irrotationnel est l on pose donc U = grad φ. Montrer que l on peut choisir φ(x, y, z, t) de manière à pouvoir écrire p = p a ρ g z ρ φ t. (E.3) 26) En déduire une formulation des conditions aux limites en z = qui ne fait intervenir que φ et η. 27) On cherche des solutions complexes de la forme φ(x, y, z, t) = Φ(z) e i k 1 x+i k 2 y i ω t. Montrer que Φ(z) = Φ m exp(β z) où β est une constante que l on déterminera. (E.4) 28) En déduire que la relation de dispersion de ces ondes s écrit ( ) ω 2 = g k 1 + k2 kc 2, (E.5) k 2 1 + k2 2 et k c une constante que l on déterminera. En déduire l ordre de grandeur où k = des longueurs d ondes des ondes de surface dont la période est influencée par les effets de tension superficielle. 29) Déterminer les minima respectifs c (min) ϕ et c (min) g des modules de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe de ces ondes de surface. Le graphe de la figure 9.12 pourra être utilisé pour déterminer les valeurs numériques demandées. 3) On jette un caillou dans une mare profonde. Montrer qu une zone de calme s étend à une vitesse que l on déterminera. 31) Un obstacle de petite taille se déplace à la surface de l eau à la vitesse V e x où l on suppose que V = 1.6 g/k c. Indiquer pourquoi l on observe des ondes capillaires de courte longueur d onde à l avant de l obstacle et des ondes de plus grande longueur d onde à l arrière. Déterminer la longueur d onde des ondes que l on observe dans l axe de la trajectoire.
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 13 2 1.8 1.6 F ϕ 1.4 1.2 F g 1.8.6.4.2.5 1 1.5 2 κ Fig. 9.12 Fonctions F g (κ) = (1 + 3 κ 2 ) [ 4 κ (1 + κ 2 ) ] 1/2 et Fϕ (κ) = (1 + κ 2 ) 1/2 κ 1/2. TROISIÈME PARTIE : Réfraction de la houle par un courant (8 points) Dans cette troisième partie, on s intéresse à la réfraction des ondes de surface par un courant. On suppose que la longueur d onde des paquets d ondes considérés permet de négliger la tension superficielle. Lorsque le courant moyen est nul, on note Ω i (k, x) = g k tanh[ k h f (x)] la relation de dispersion intrinsèque locale d un paquet d ondes dispersé. On admettra qu un paquet d ondes dispersé, en présence d un courant moyen V (x) stationnaire variant lentement par rapport à la longueur d onde locale, obéit à l une des relations de dispersion ω = Ω + (k, x) = Ω i (k, x) + V (x) k ou ω = Ω (k, x) = Ω i (k, x) + V (x) k, (E.6) définies, par convention, seulement pour ω. η(x, t) z A(x) z = h f (x) z = h V x Fig. 9.13 Houle η(x, t) réfractée par le courant V (x) = A(x) e x et la bathymétrie h f (x). On considère la bathymétrie définie par h f (x) = h + β x pour x et h f (x) = h pour x, que traverse un écoulement moyen de vitesse V (x) = A(x) e x définie par A(x) = q/h f (x). Les
14 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement constantes β =.1, h = 2 m et q sont positives. Ce modèle, invariant par translation en y, décrit l écoulement d une rivière de débit linéique q qui se jette dans la mer (voir la figure 9.13). Le graphe de la figure 9.14 pourra être utilisé pour déterminer les valeurs numériques demandées. 9 8 7 h 6 5 4 3 2 1 q = q = 2 1 2 3 4 5 6 7 L q = 1 q = 4 [ Fig. 9.14 Fonction h(l) solution de l équation implicite h = L 2 π argth T = 1 s et q {, 2, 4, 6, 8, 1} m 2 /s. ( 2 π L g T 2 ) ] 1 + q T 2 pour L h 32) On suppose qu au large, en x =, une houle de période T = 1 s se propage vers la côte avec une vitesse de phase parallèle à e x. Calculer sa longueur d onde L l et sa vitesse de groupe c gl. On pourra prendre g = 1 m/s 2 pour toutes les applications numériques. 33) On suppose, pour cette question et les deux suivantes, que q =, la rivière étant donc au repos. La houle de la question 32) arrive près de la côte et remonte le lit de la rivière après avoir été réfractée par la bathymétrie de la côte. Déterminer la longueur d onde L de cette houle pour x. 34) On considère qu une houle de hauteur H et de longueur d onde L est en milieu peu profond si L > 2 h f et que, dans ce cas, le critère de déferlement de Munk H/h f >.78 s applique. Peut-on affirmer que la houle de la question 32) ne déferle pas en arrivant dans la rivière si sa hauteur au large est H l = 8 cm? On notera H la hauteur de la houle qui se propage dans le lit de la rivière. On admettra que la houle ne déferle pas avant d atteindre le régime des faibles profondeurs.
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 15 35) On installe un récupérateur d énergie de la houle dans le lit de la rivière dont la largeur dans la direction y est L y = 1 m. Quelle est la puissance P qu apporte la houle de la question 34)? On prendra ρ = 1 kg/m 3 pour la masse volumique de l eau. 36) On suppose maintenant que le débit linéique q de la rivière est strictement positif. On admettra que seule la relation de dispersion Ω +, notée Ω par la suite, est pertinente pour étudier la réfraction de la houle qui arrive du large. Exprimer la vitesse de groupe c g (k, x) = grad k Ω(k, x) associée à cette relation de dispersion en fonction de la vitesse de groupe intrinsèque c gi (k, x) = grad k Ω i (k, x) des ondes de surface dont on suppose connue l expression en fonction de k et x. 37) On suppose que q = 4 m 2 /s. Montrer que la houle de la question 32) atteint la rivière et déterminer sa longueur d onde L 4 pour x. 38) On suppose que q = 6 m 2 /s. Déterminer le point x = x c à droite duquel la houle de la question 32) ne peut pas passer. 39) On considère un paquet d ondes localisé en espace dont la longueur d onde au large est centrée en L l. On suppose que ce paquet d ondes reste localisé en espace en arrivant près de la côte et qu il se retrouve bloqué en x = x c. Déterminer la vitesse de groupe intrinsèque c gi ainsi que la vitesse de phase intrinsèque c ϕi = Ω i / k du paquet d ondes bloqué. En déduire que la vitesse des crêtes des vagues est non nulle en x = x c. Que deviennent ces crêtes pour x x c?
16 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement CORRIGÉ PREMIÈRE PARTIE : Circuit hydraulique d un chauffage central (5 points) 1)On lit K g.3 pour les coudes et K g 2 pour les tés. La perte de charge est H = K g Q 2 avec A = π D 2 8 Q /4. On a donc H = K 2 g = 4.7 cm. g π 2 D 2 [,5 point] 2)La perte de charge à travers le rétrécissement brusque est négligeable. La perte de charge à Q travers l élargissement brusque est H = K 2 v ge où A 2 g A 2 v = 4π Dv/4 2 et K ge = (1 A v /A) 2. v En utilisant la loi de conservation de la masse Q v A v = Q A, le coefficient de perte de charge Q de la vanne, défini par la relation H = K 2 g est K 2 g A 2 g = (1 β) 2 /β 2. C est une fonction décroisante de β =, où elle infinie, à β = 1 où elle vaut 1, ce qui correspond à une absence de perte de charge singulière (D = D v ). 3)Comme le rayon hydraulique d une conduite circulaire est D H = D et que la vitesse est U = Q/A, la perte de charge d une conduite rectiligne de longueur L e est H = λ U 2 2 g D H L e. U Par définition de K g, la perte de charge d une singularité hydraulique est H = K 2 g 2 g. On en déduit que L e = K g D/λ. La longueur équivalente d un coude de coefficient de perte de charge K g =.3, est L e = 3 cm. 4)Si Q est le débit aux bornes du radiateur, chaque tronçon est traversé par un débit Q t = Q/n. La perte de charge dans chaque tronçon est H = λ Q2 t L 2 g A 2 t = λ Q2 (L 2 g A 2 t /n 2 ). La longueur équivalente du radiateur est donc L e = L t /n 2 = 3.3 cm. 5)La perte de charge dans le circuit alimenté par la pompe est H = r Q 2 avec r = 2 g A 2 λ Le 2 g A 2 D =.8 h 2 /m 5. La lecture du graphe la figure 9.9b conduit aux valeurs numériques Q = 1.1 m 3 /h et H = 9 cm. La puissance délivrée par la pompe est P = ρ g H Q = 2.8 W. [1.5 point] DEUXIÈME PARTIE : Dispersion des ondes capillaires (7 points) 6)La condition aux limites cinématique est η t (x, y, t) + u[x, y, η(x, y, t)] η x η (x, y, t) + v[x, y, η(x, y, t)] (x, y, t) = w[x, y, η(x, y, t)]. (1) y [,5 point] 7)Les équations linéarisées sont div U =, U t = 1 ρ grad p g e z. La condition aux limites U pour z est inchangée. La condition aux limites dynamique conserve la forme de
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 17 l équation (E.1) mais elle est, dans sa forme linéarisée, écrite pour z = : [ 2 ] η p(x, y,, t) p a = T x 2 (x, y, t) + 2 η (x, y, t). (2) y2 La condition aux limites cinématique linéarisée s écrit η (x, y, t) = w(x, y, ). (3) t 8)Comme U = grad φ, l équation de conservation de quantité de mouvement linéarisée s écrit ( φ grad t + p ) ρ + g z =. (4) La fonction dont le gradient est nul ne dépend donc que du temps. Comme φ est définie à une fonction du temps près, on peut choisir cette dernière de manière à satisfaire la relation p = p a ρ g z ρ φ t. [,5 point] 9)Les conditions aux limites sont grad φ = pour z et, en z = : φ t = g η + T ( 2 ) η ρ x 2 + 2 η η y 2 et t = φ z. (5) [,5 point] 1)La condition aux limites grad φ = pour z entraine que lim z Φ(z) =. La loi de conservation de la masse div U = φ =, combinée à cette condition, entraine que Φ(x) = Φ m exp(k z) avec k = k1 2 + k2 2. On a donc β = k. [,5 point] 11)L élimination de η entre les deux conditions aux limites en z = conduit à la condition aux limites 2 φ φ t 2 = g z + T ( ) 2 ρ x 2 + 2 φ y 2 z. (6) En reportant l expression de φ dans cette condition aux limites, on obtient (ω 2 g k T ρ k3 ) Φ m =. (7) La relation de dispersion est donc ω = g k ( 1 + k 2 /k 2 c ) avec kc = ρ g/t = 378 m 1. La longueur d onde associée est l c = 2 π/k c = 1.6 cm. Seules les ondes de longueurs d ondes comparables ou inférieures à l c sont influencées par la tension superficielle. 12)La relation de dispersion s écrit ω = Ω(k) = g k 1/2 ( 1 + k 2 /k 2 c ) 1/2 en adoptant la convention ω. On en déduit la vitesse de phase c ϕ (k) = Ω i (k)/k = g/k c F ϕ (k/k c ) et la vitesse de groupe c g (k) = Ω (k) = g/k c F g (k/k c ) avec F g (κ) = (1 + 3 κ 2 ) [ 4 κ (1 + κ 2 ) ] 1/2 et
18 Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement F ϕ (κ) = (1 + κ 2 ) 1/2 κ 1/2. Le graphe de la figure 9.12 indique que les minima respectifs de F ϕ et F g sont 1.4 et 1.1. On a donc c (min) ϕ = 1.4 g/k c = 23 cm/s et c (min) g = 1.1 g/k c = 18 cm/s. 13)Les paquets d ondes les plus lents voyagent à la vitesse de groupe c (min) g = 18 cm/s. C est la vitesse de propagation de la zone de calme qui s installe pour la réponse implusionnelle du milieu. [,5 point] 14)On note maintenant Ω i (k) = g k 1/2 ( 1 + k 2 /k 2 c ) 1/2 la relation de dispersion intrinsèque des ondes de surface dans un repère fixe et c ϕi et c gi les vitessses de phase ou de groupe associées. Dans le repère lié à l obstacle, les relations Ω + (k) = Ω i (k) + V k 1 et Ω (k) = Ω i (k) + V k 1 sont à considérer, avec la convention ω. Seules les ondes vérifiant Ω + (k) = ou Ω (k) = sont observables dans le sillage de l obstacle. Si k = k 1 e x et ω =, on a doit donc avoir Ω (k) = Ω i (k)+v k pour k 1 et Ω + (k) = Ω i (k) V k pour k 1. On en déduit V = c ϕi (k) pour k = k 1 e x, ce qui s écrit V/ g/k c = F ϕ (k/k c ). Pour V/ g/k c = 1.6, le graphe de la figure 9.12 indique que les deux solutions sont k a =.5 k c et k b = 2. k c. Comme c gi (k) < c ϕi pour k < k c et c gi (k) > c ϕi pour k > k c, on a c gi (k a ) < V et c gi (k b ) > V. En examinant le signe de la vitesse de groupe c g (k) = [ c gi (k) + V ] e x, on voit que les ondes longues de longueur d onde L a = 2 π/k a = 3.3 cm sont émises vers la droite (à l aval de l obstacle) tandis que les ondes courtes, capillaires, de longueur d onde L b = 2 π/k b = 8 mm sont émises vers la gauche (à l amont de l obstacle). [1,5 point] TROISIÈME PARTIE : Réfraction de la houle par un courant (8 points) 15)Au large, la vitesse A(x) est nulle et la profondeur infinie. La relation de dispersion s écrit donc ω = g k l avec ω = 2 π T et k l = 2 π L l. On a donc L l = g T 2 2 π = 16 m. La vitesse de groupe est c gl = 1 g 2 k l = g 2 ω = g T 4 π = 8 m/s. 16)La pulsation étant conservée le long des rayons, on peut écrire ω = où k(x) e x est le vecteur d onde local. On a donc h f = 1 k argth ( ω 2 g k g k(x) th [k(x) h f (x)] ). En définissant L(x) = 2 π k(x), on peut écrire h f = L 2 π argth ( 2 π L g T 2 ). La lecture du graphe de la figure 9.14, pour q =, permet de déterminer que L = 43 m pour h f = h = 2 m. 17)Comme L /h = 22 > 2, on peut considérer que la rivière est peu profonde. La conservation de l énergie le long des rayons entraine que c gl Hl 2 = c H 2 où H est la hauteur de la houle pour x et c = cgl g h = 4.5 m/s. On a donc H = H l c = 1 m. Comme H /h =.53 <.78, la houle ne déferle pas. 18)La puissance est P = 1 8 ρ g H2 l c gl L y = 1 8 ρ g H2 c L y = 63 kw.
Annales Corrigées du cours MEC567 : Sciences de l eau et environnement 19 19)Seules les ondes répondant à la relation de dispersion Ω + (k, x) ont une vitesse de groupe positive qui leur permet de se rapprocher de la côte. Cette vitesse de groupe est c g (k, x) = c gi (k, x) e x A(x) e x. [,5 point] 2)Comme ω est invariant le long des rayons, on doit avoir ω = Ω (k, x) = g k(x) th [k(x) h f (x)] A(x) k(x). (8) Comme A(x) = q/h f (x), L(x) = 2 π/k(x) et ω = 2 π/t, on en déduit h f (x) = L(x) 2 π argth 2 π L(x) g T 2 [ 1 + ] 2 q T L(x) h f (x). (9) Le graphe de la figure 9.14 permet de déterminer que L 4 = 22 m lorsque h f () = h = 2 m. 21)La propagation de l énergie le long d un rayon est d écrite par l équation ẋ = c g [k(x), x] = c gi [k(x), x] A(x). Cette trajectoire de rayon est stoppée lorsque c g [k(x c ), x c ] =. Cette situation correspond au minimum de la courbe h(l) de la figure 9.14 pour q = 6 m 2 /s (on peut, par exemple, invoquer le théorème des fonctions implicites). La lecture de ce graphe conduit L c = 11 m et h c = 2.1 m. Cette profondeur h c = h f (x c ) = h β x c correspond aux point x c = (h c h )/β = 1 m. 22)En notant k c = k(x c ) = 2 π/l c, on peut écrire c g [k c, x c ] =, ce qui entraine c gi [k c, x c ] = A(x c ) = q/h c = 3 m/s. Comme ω = Ω i (k c, x c ) A(x c ) k c, on a c ϕi (k c, x c ) = ω/k c + A(x c ) = L c /T + q/h c = 4 m/s. La vitesse de phase des crêtes du paquet d onde est plus grande que sa vitesse de groupe, ce qui est normal pour les ondes de surface. Alors que l enveloppe du paquet d ondes est immobile en x = x c, les crêtes du paquet d ondes dépassent ce point mais deviennent évanescentes pour x x c. [1,5 point]