Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain

Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain MECANIQUE DES FLUIDES ET TRANSFERTS I V. Legat, G. Winckelmans Enoncés des exercices pour le cours MECA1321 (partie 1) Année académique 2009-2010 (version 1.1 30-1-2010)

Ce document est une oeuvre originale protégée par le droit d auteur. Copyright V. Legat, mars 2009 Ce texte est une version provisoire. Malgré tout le soin apporté à sa rédaction, il est possible que quelques erreurs soient toujours présentes dans le texte. Tout commentaire, critique ou suggestion de votre part, est évidemment le bienvenu. Il vous est possible de m envoyer vos commentaires directement par courrier électronique à l adresse suivante : vincent.legat@uclouvain.be i

Séance 1 Equations de conservation Dρ + ρ v = 0, Dt ρ Dv Dt ρ DU Dt = σ + ρg, = σ : d q + r, 1 On analyse un écoulement incompressible bidimensionnel où on suppose que la composante horsplan de vitesse est nulle. Un fluide de masse volumique ρ est coincé entre le sol situé en y = 0 et une plaque de largeur L (allant de x = L/2 à x = L/2) se déplaçant vers le bas avec une vitesse V : l épaisseur de la couche fluide entre la plaque et le sol est donc une fonction du temps h(t). La composante horizontale du champs de vitesse est supposé être de la forme : u(x, y, t) = 4U(t) [ y h(t) ( ) ] 2 y h(t) x L/2 1. Déterminer la fonction h(t) si l épaisseur en t = 0 vaut h 0. 2. Calculer la vitesse maximale U(t). 2 On considère l étude d écoulements incompressibles de fluides. 1. Ecrire en notation tensorielle (c est-à-dire avec des symboles comme, v...) la forme locale des équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l énergie interne pour de tels écoulements (c est-à-dire des écoulements incompressibles!). Effectuer les simplifications qui peuvent être réalisées et ne pas simplement écrire les équations valables pour tout type d écoulement. 2. Quelle propriété du tenseur de Cauchy est imposée par le respect de la conservation du moment de la quantité de mouvement? 3. Effectuer le décompte des équations et des inconnues et montrer qu il sera nécessaire d introduire des équations de comportement telles que la loi de Fourier et le modèle de fluide Newtonien. 4. Ecrire ces équations de comportement avec des paramètres constants et montrer comment il est possible d obtenir une formulation vitesses-pression-température pour la modélisation d écoulements incompressibles de fluides newtoniens. 5. Définir et donner les unités de tous les paramètres matériels présents dans ces équations. 6. Dans le cas général (en écoulements compressibles et incompressibles) du modèle de fluide newtonien, quelles sont les contraintes imposées sur la viscosité par le respect du second principe de la thermodynamique? Enoncer ce second principe avec des mots. 1

7. Définir la viscosité de volume et expliquer pourquoi elle est absente dans le cas d écoulements incompressibles. (Examen de juin 2000) 3 Un fluide avec une vitesse constante U et une masse volumique ρ rencontre un corps cylindrique infiniment long. L écoulement se fait perpendiculairement à l axe du cylindre. L unique force exercée sur le corps est une force de trainée F Drag. A l aval du corps, un sillage est généré où la vitesse u(x, y) est plus faible que U. On définit alors un volume de contrôle qui englobe le corps et qui s étend suffisamment loin afin que les perturbations de l écoulement soient suffisamment amoindries et que le champs de pression à l extérieur de ce volume puisse être supposé comme non pertubé. Nous supposerons donc qu à l extérieur du volume, les effets visqueux sont totalement négligeables. 1. Calculer la force de trainée par unité de longueur, en fonction d une distribution u(l, y) avec un choix de L suffisamment éloigné du corps. 2. Généraliser votre calcul pour un corps sphérique avec une distribution u(l, r) et un volume de contrôle cylindrique. 4 Pour un écoulement de cisaillement plan, on utilise souvent la relation suivante pour définir le comportement de certains fluides non-newtoniens : τ xy = m du dy n 1 du dy Les autres composantes du tenseur des extra-tensions sont nulles. On peut directement observer que lorsque n = 1, ce modèle connu sous le nom de power law ou de modèle de Ostwald-de Waele se réduit à l équation de comportement du fluide newtonien. 1. Ecrire l expression tensorielle générale du modèle de Ostwald-de Waele. 2. Déduire l équivalent de la formule de Hagen-Poiseuille pour ce modèle. 5 De la pulpe de papier est pompée dans une filière horizontale de hauteur 2h et de longueur L en imposant en gradient de pression dp/dx. La largeur de la filière étant très grande, on supposera que l écoulement est bidimensionnel. Comme la pulpe n est pas un fluide Newtonien, son profil de vitesse est donné par l expression : u(y) = n ( 1 n + 1 m ) 1/n dp ( h (n+1)/n y (n+1)/n) dx où m et n sont des paramètres matériels strictement positifs. Les composantes diagonales de τ sont nulles, tandis que l unique composante de cisaillement τ xy est indépendante de x. 1. Donner les unités des paramètres matériels n et m. 2. Calculer le gradient de pression requis pour transporter V un volume de pulpe par unité de temps et par unité de longueur de la filière. 3. En supposant que l énergie interne et l énergie cinétique restent constantes dans la filière, calculer le flux de chaleur à évacuer en raison du travail de forces de surface. 2

Séance 2 Transferts et écoulements incompressibles stationnaires établis v = 0, ρ(v )v = p + (2µd) + ρg, ρc(v )T = 2µd : d + (k T ) + r, 6 Considérons l écoulement incompressible stationnaire et établi en conduite cylindrique de section circulaire de rayon R. Le gradient de pression dp/dx, et la viscosité µ du fluide sont connus. On vous demande de : 1. Calculer le profil de vitesse u(r) et la vitesse moyenne u m. 2. Calculer le coefficient de frottement C f et les pertes de charges λ. 3. Calculer l énergie dissipée par le travail des efforts internes dans l écoulement. Quelques ordres de grandeur de viscosité Matériau µ [kg/ms] verre (à température ambiante) 10 40 verre (à 500 0 C) 10 12 bitume 10 8 polymères fondus 10 3 miel 10 1 glycérine 10 huile d olive 10 1 huile industrielle 10 2 eau 10 3 air 10 5 7 On souhaite analyser les écoulements incompressibles stationnaires et établis entre deux cylindres concentriques de rayon interne R i et R e = R. Le gradient de pression dp/dx, et la viscosité µ du fluide sont connus. On vous demande de : 1. Calculer le profil de vitesse u(r). 2. Calculer la vitesse moyenne u m. 3. Calculer les pertes de charges λ. 3

4. Qu observe-t-on dans les deux cas limites donnés par R e R i R e et R i R e? 8 On recherche le profil de température T (x) dans l épaisseur d une plaque plane dont les faces sont beaucoup plus grandes que son épaisseur L et ont une température connue : T (0) = T 0, T (L) = T L. On vous demande de : 1. Calculer la densité de flux de chaleur q = q x. 2. Déterminer le profil de température dans la plaque. Quelques ordres de grandeur de coefficient de conduction Matériau k [W/mK] cuivre 380 aluminium 260 acier 45 eau (à pression atmosphérique) 0.67 air (à pression atmosphérique) 0.02 9 Considérons une plaque plane composée de plusieurs couches dont les faces sont beaucoup plus grandes que son épaisseur L. On recherche le profil de température T (x). Les coefficients de conduction des diverses couches sont donnés par k i tandis que leur épaisseurs sont données par L i. Les densités de flux de chaleurs sur les faces extérieures sont données par les expressions : q = h 0 (T 0 T (0)) q = h L (T (L) T L ) où h 0 et h L sont des coefficients de convection, tandis que T 0 > T L sont les températures moyennes de l air des deux côtés de la plaque. Lors du transfert de chaleur d une paroi à température T (L) vers un fluide environnant dont la température moyenne est T L (supposée ici plus basse), l expérience indique que l on peut modéliser le transfert sous la forme ci-dessus connue sous le nom de loi de Newton. Cette loi purement phénomélogique est une façon très simple de modéliser le transfert de chaleur à la surface de la plaque car le coefficient h ne peut être déterminé une fois pour toutes. Il devrait contenir en réalité toutes les informations relatives à l écoulement et aux propriétés du fluide : profil de vitesse à la paroi, propriétés du fluide : viscosité, conductibilité thermique, masse volumique, chaleur massique. Ici, nous considérons que la valeur de h a été déterminée a priori pour les deux faces. On vous demande de : 1. Calculer la densité de flux de chaleur q en fonction des données. 2. Déterminer les températures aux interfaces entre les couches. 3. Dessiner le profil de température. Quelques ordres de grandeur de coefficients de convection Type de transfert Fluide h [W/m 2 K] Convection forcée Gaz 10...300 Liquide aqueux 500...12000 Huile 50...1700 Métal liquide 6000...110000 Convection naturelle Gaz 5...30 Liquide aqueux 100...1000 Changement de phase Eau, ébullition 3000...60000 Eau, condensation 5000...110000 4

Séance 3 Transferts et écoulements incompressibles instationnaires établis v = 0, ρ Dv Dt ρc DT Dt = p + (2µd) + ρg, = 2µd : d + (k T ) + r, 10 Démarrage brusque d une plaque Considérons un écoulement instationnaire le long d une plaque plane définie par l équation y = 0. On recherche donc une vitesse de la forme : u = u(y, t). Il n y a pas de gradient de pression latéral et on souhaite étudier le démarrage brusque d une plaque. Pour t < 0, il n y a pas de vitesse de plaque et aucun écoulement. Pour t > 0, une vitesse de plaque constante, U, est imposée. Un écoulement démarre progressivement au sein du fluide afin de respecter la condition de non-glissement à la paroi : u(0, t > 0) = U. 1. Montrer que le champs de vitesse satisfait à l équation classique de la diffusion ρ u t = µ 2 u y 2. 2. Montrer qu en introduisant une variable de similitude adéquate η(y, t), on peut se limiter à résoudre une équation différentielle ordinaire par rapport à cette variable η. 3. Obtenir l expression analytique du champs de vitesse u(y, t). 11 Plaque oscillante Considérons toujours un écoulement instationnaire le long d une plaque plane (située en y = 0). Il n y a pas de gradient de pression latéral et la vitesse de la plaque est donnée par U cos(ωt). 1. Donner l équation aux dérivées partielles modélisant ce problème ainsi que les conditions aux limites sous forme dimensionnelle. 2. Proposer des adimensionnalisations u, η et t pour la vitesse u, la variable spatiale y et le temps t respectivement. 3. Montrer que la solution adimensionnelle peut s écrire sous la forme u (η, t ) = f(η)cos(t ). 5

4. Montrer que f est la solution d une équation différentielle ordinaire du second ordre. Donner le polynôme caractéristique de cette équation. 5. Obtenir l expression analytique du champs de vitesse u(y, t). 12 Relaxation d un échelon de température appliqué à un mur d épaisseur 2L On considère un mur subissant un changement brutal de la température environnante moyenne de l air d une valeur T 0 à une valeur T e. Le mur est supposée suffisamment haut et long afin de pouvoir négliger tous les effets de bord : en d autres mots, on suppose que le problème n a qu une dimension spatiale le long de l épaisseur (x, en l occurence, avec x = +/ L pour les 2 faces de notre mur). La profil initial de température dans le mur est donnée par T (x, 0) = T 0, et le transfert de chaleur à la paroi peut être approchée par la relation : ( ) T k = h(t (L, t) T e ). x L,t Pour obtenir le profil de température dans la paroi, on va utiliser la méthode de séparation des variables en cherchant une solution du type : T (x, t) T e = X(x)Y (t) } {{ } θ(x, t) 1. Donner l équation aux dérivées partielles qui régit le profil de température, ainsi que les conditions aux limites sous forme dimensionnelle. 2. Definir le nombres adimensionnels de Biot et de Nusselt et en donner le sens physique. 3. Quel est le sens physique du nombre de Fourier défini à chaque instant par F o(t) = αt/l 2? 4. Montrer que la forme générale du profil de température s écrit sous la forme T (x, t) T e = ( ) ( ωj x ) ω 2 j αt A j cos exp T 0 T e L L 2. j Montrer ensuite comment il serait possible d obtenir la forme finale du profil de température en tirant profit des conditions aux limites. En utilisant un programme Matlab, évaluer numériquement les ω i et les A i. 5. Définissons un temps de relaxation comme un ordre de grandeur de temps τ au bout duquel la différence de température entre le centre de la plaque et le fluide a chuté de 95% de sa valeur initiale. En supposant que le premier terme de la solution est une bonne approximation de l entièreté de la solution (ce qui est le cas lorsque F o 0.25) et que le terme A 1 est proche de l unité (ce qui est une bonne approximation, quel que soit le nombre de Biot), montrer que le temps de relaxation d un échelon de température peut être donné par une expression du type τ 3L2 αω1 2. Pour obtenir cette estimation, on considère la température au milieu de l épaisseur de la plaque (x = 0) : ce qui est bien la position la plus critique. Quelques ordres de grandeur de diffusivité thermique Matériau (à température et pression ambiantes) air sec granit hélium eau verre neige béton kérozène gazoline huile de moteur (à 300 0 C) α [cm 2 /s] 2.5 10 1 1.2 10 2 2.1 10 2 1.5 10 3 3.4 10 3 3.9 10 3 6.6 10 3 7.1 10 4 7.5 10 4 8.5 10 4 6

13 Milieu thermiquement semi-infini soumis à des fluctuations périodiques Considérons un milieu semi-infini dont la température à la paroi (située en x = 0) fluctue à une pulsation ω donnée autour d une valeur moyenne T m constante : T (0, t) = T m + θ 0 cos(ωt). Cette fluctuation de température pénètre dans le milieu en s amortissant. Il vous est demandé de calculer sa répartition au sein du milieu T (x, t). Il s agit donc d un problème avec une dimension spatiale et périodique dans le temps. 1. Donner l équation aux dérivées partielles modélisant ce problème ainsi que les conditions aux limites sous forme dimensionnelle. 2. Proposer des adimensionnalisations θ, η et t pour la température T, la variable spatiale x et le temps t respectivement. 3. Montrer que la solution adimensionnelle peut s écrire sous la forme θ(η, t ) = f(η)cos(t ). 4. Montrer que f est la solution d une équation différentielle ordinaire du second ordre. Donner le polynôme caractéristique de cette équation. 5. Obtenir l expression analytique du champs de température T (x, t). 6. A quelle distance de la paroi, la température (elle-même oscillante...) est-elle déphasée de 180 degrés par rapport à la température de la paroi? 14 Formation d une plaque de glace sur un lac On se propose de suivre l évolution de l épaisseur d une plaque de glace se développant à la surface d un lac à la suite de la chute brutale de la température atmosphérique. Le lac est supposé suffisamment grand afin de pouvoir négliger tous les effets de bord. En d autres mots, on suppose que le problème n a qu une dimension spatiale : x, en l occurence, partant de la surface vers le fond du lac. Les conductibilités, masses volumiques et chaleurs spécifiques de la glace et de l eau sont notées respectivement k s, k l, ρ s, ρ l, c s et c l. On souhaite déterminer à chaque instant la position x f (t) de l interface glace-eau où s effectue le changement de phase à la température connue T f. La température globale de l air est notée T e. Toutefois, au dessus du lac, une couche limite d air surplombant la glace en formation va apparaître et la température de l air en surface du lac vaudra donc une valeur T w inconnue que nous supposons constante afin de simplifier notre problème 1. La température initiale du lac est notée T i. Pour que le problème soit réaliste, il faut évidemment que T e < T w < T f < T i. Le profil de température au sein de la glace est notée T s (x, t) tandis que le profil de température au sein de l eau est notée T l (x, t). Afin de tenir compte de la congélation, la continuité du flux de chaleur à l interface glace-eau s écrit k s T s x (x f (t), t) = k l T l x (x f (t), t) + ρ s H sl dx f dt (t) où H sl est l enthalpie (ou chaleur) latente de fusion de la glace. 1. Définir et évaluer numériquement (avec les unités!) les diffusivités thermiques respectives de la glace et de l eau : α s et α l. 2. Faire un schéma approximatif du problème avec un profil intuitif de température et les 3 domaines (air, glace, eau) à un instant t arbitraire. Y indiquer T e, T w, T f, T i. 3. Donner les deux équations aux dérivées partielles, ainsi que les trois conditions aux limites sous forme dimensionnelle pour déduire le profil de température au sein de la glace et de l eau du lac. 1 Une telle approximation n est pas totalement correcte, car la hauteur de la couche limite va grandir progressivement, tout comme l écart T w T e. Mais, il faut bien simplifier l algèbre, on approxime donc T w(t) par une valeur constante que l on peut interpréter comme une moyenne temporelle... 7

4. Trouver l expression du profil de température dans la glace et dans l eau en utilisant comme variable de similitude η = x 2 α s t, et en supposant que les profils de température s écrivent sous la forme T s (x, t) T w = (T f T w ) f(η(x, t)), f(η f ) T l (x, t) T w = (T i T w ) (T i T f ) 1 f( αs α l η(x, t)). 1 f( αs α l η f ) où η f est une constante solution de l équation scalaire transcendante k s (T f T w ) exp( ηf 2 ) αs π erf(η f ) = k l(t i T f ) αl π exp( αsη2 f α l ) (1 erf( αs α l η f )) + ρ s αs H sl η f. Démontrer que ce choix est judicieux et trouver l expression de la fonction f. En utilisant Matlab, résoudre numériquement l équation dont η f est la solution pour T w = T e. 5. Obtenir une expression pour la vitesse du front de glaciation dx f dt (t). 6. Calculer l épaisseur de la glace après une heure, si l on suppose que T w = T e. 7. Calculer la valeur de T w, sachant qu expérimentalement on a observé que l épaisseur de la glace atteint approximativement 5 mm. Une résolution numérique de l équation liant η f et T w sera à nouveau requise. 8. Estimer la valeur de T w en calculant un profil linéaire de température au sein de la glace, lorsqu on néglige tous les effets dynamiques et que la température de l eau du lac est supposée être maintenue à T f. Par contre, les échanges par convection et par rayonnement à l interface air-glace sont modélisés à l aide de la loi de Newton avec un coefficient h = 20.0 W m 2 K 1 supposé uniforme et constant. L épaisseur de la glace supposée évidemment constante vaudra 5 mm. Valeurs numériques et indications diverses k s 2.0 W m 1 K 1 k l 0.6 W m 1 K 1 ρ s 920.0 kg m 3 ρ l 1000.0 kg m 3 c s 1800.0 J kg 1 K 1 c l 3900.0 J kg 1 K 1 H sl 333600.0 J kg 1 T f 0.0 0 C T e 10.0 0 C T i 5.0 0 C Il peut aussi être utile de se rappeler que : erf(η) = 2 η exp( s 2 )ds. π 0 erf(0) = 0 lim η erf(η) = 1 8

ρ A t + (ρ A v) = j A + m A, Séance 4 Mélanges binaires visqueux ρ B t + (ρ B v) = j B + m B, ρ Dv Dt ρ DH Dt = p + (2µd) + ρ A g A + ρ B g B, = Dp + 2µd : d + (k T ) + r Dt + j A g A (j A H A ) + m A H A + j B g B (j B H B ) + m B H B. ( j A = ρ D ρ ) A ρ = j B 15 Diffusion et réaction chimique homogène Examen de juin 1999 On considère le système suivant : au dessus de z = 0, nous avons un gaz A et en dessous une phase liquide dans laquelle le gaz A se dissout dans un liquide B et diffuse dans la phase liquide. Pendant que A diffuse dans la phase liquide, il subit simultanément une réaction chimique irréversible du second ordre dont la cinétique est donnée par m A M A = kc 2 A. On souhaite obtenir le profil de concentration molaire de A dans la phase liquide si on suppose que la concentration en surface est c A0. Dans notre analyse, nous supposerons que la phase liquide a une très grande profondeur, que la concentration de A est très faible dans la phase liquide et que le produit de la réaction AB n interfère pas avec la diffusion de A dans B. Le coefficient de diffusion de A dans le liquide sera noté D et est supposé constant. 1. Dessiner un schéma clair et concis du problème. 2. Ecrire l équation différentielle qui modélise, à l équilibre, la diffusion avec la réaction chimique. Le mélange liquide est supposé être au repos (v = 0) et sa densité ρ peut également être supposée constante (Pourquoi?). 3. Ecrire les deux conditions aux limites. 4. Résoudre l équation différentielle et obtenir le profil de concentration. Il peut être utile de savoir que ce profil est de la forme suivante (Az + B) r (où A et B sont des constantes réelles et r est un entier). 5. Montrer que la densité de flux de masse à la surface du liquide (z = 0) est donnée à l équilibre par 2kc 3 A0 DM A 2 /3. Donner les unités de cette grandeur!! 16 Transfert simultané de chaleur et de masse Nous allons rechercher le profils de concentration x A (x) et de température T (x) pour le système suivant. Nous avons une surface froide mise en présence d un mélange contenant une vapeur chaude condensable A et un gaz non-condensable B. La vapeur va donc se condenser sur la paroi et former 9

un fin film liquide sur celle-ci. Nous allons considérer qu à la surface extérieure du film liquide x = 0, on connaît la concentration molaire c A0 et la température T 0. De même, à une distance x = δ, nous connaissons également ces deux grandeurs, soit x Aδ et T δ. Il s agit de la distance dans laquelle, on peut estimer que le gaz B est immobile, tandis qu au delà l écoulement global rend homogène la température et la concentration. Il y a, par contre, un mouvement global de la vapeur A de x = δ vers x = 0 correspondant à la quantité de vapeur qui va se condenser en x = 0 et couler le long de la paroi froide. Dans notre analyse, nous allons supposer que le comportement du mélange peut être considéré comme un gaz idéal avec des propriétés matérielles constantes et à pression constante. Le coefficient de diffusion de A dans le gaz B sera noté D et est supposé constant. 1. Dessiner un schéma clair et concis du problème. 2. Ecrire l équation différentielle qui modélise, à l équilibre, le transfert de masse, en supposant que la concentration molaire c peut également être supposée constante. Que pensez-vous de cette dernière hypothèse? 3. Ecrire l équation différentielle qui modélise, à l équilibre, le transfert d énergie en sachant que la chaleur spécifique à pression constante de A est notée c p. 4. Obtenir le profil de concentration en termes de x A0 et x Aδ. Il peut être utile de savoir que ce profil est de la forme suivante log(1 x A ) = (Ax + B) (où A et B sont des constantes réelles). 5. Obtenir le profil de température et le comparer à celui que l on obtiendrait en absence de transfert de masse. Quelques ordres de grandeur de diffusivités massiques Mélanges gazeux (température et pression ambiantes) air-ammoniac air-dioxyde carbone air-vapeur d eau hydrogène-azote Solutions liquides (soluté-solvant à température ambiante) air-eau dioxyde carbone-eau ethanol-eau hydrogène-eau D [cm 2 /s] 2.8 10 1 1.4 10 1 2.6 10 1 7.8 10 1 D [cm 2 /s] 2.5 10 5 1.9 10 5 8.4 10 6 4.5 10 5 17 Evaporation d un liquide Considérons un liquide A qui s évapore dans un gaz B. Nous pouvons imaginer que le niveau du liquide est maintenu constant à la hauteur z = 0. A l interface liquide-gaz, la concentration de A est exprimée comme la fraction molaire x A0. Cette valeur est la concentration de gaz A correspondant à l équilibre avec le liquide à l interface. Nous supposerons en outre que la diffusion de B dans le liquide A est négligeable. Au sommet de la colonne de hauteur L, un mélange de gaz A + B de concentration x AL s écoule lentement. Le système entier est supposé, en outre, être maintenu à pression et à température constantes. Les deux gaz sont supposés idéaux. Lorsque le système atteint un régime permanent, il n y a plus qu un mouvement de A à partir de la surface d évaporation et le gaz B est immobile. Le profil de concentration est donné par l expression suivante : ( ) ( ) z 1 xa 1 xal L =. 1 x A0 1 x A0 On vous demande de : 10

1. Dessiner un schéma clair et concis du problème. 2. Calculer la densité de flux de masse à la surface du liquide. 3. Calculer le taux d évaporation (en grammes/heures) d un pesticide CCl 3 NO 2 dans de l air considéré ici comme substance pure à 25 degrés. Valeurs numériques Pression totale 770 mm Hg Diffusivité massique 0.088 cm 2 s 1 Pression partielle de la vapeur à l interface 23.81 mm Hg L 11.14 cm Masse molaire du CCl 3 NO 2 164.36 gr mole 1 Surface du bac 2.29 cm 2 18 Diffusion dans un film sphérique non-isotherme On considère le même problème de diffusion dans le cas sphérique. Nous considérons l évaporation d une bulle de liquide A de rayon R 0 entourée d un film gazeux B sphérique de rayon R 1. On vous demande de : 1. Dessiner un schéma clair et concis du problème. 2. Obtenir l expression de la fraction molaire dans le cas isotherme. 3. Obtenir le flux molaire global. 4. Etendre les résultats précédents aux cas non-isotherme si on considère un champ de température donné et la variation thermique du coefficient de diffusion massique décrits par : ( ) ( ) n ( ) ( T (r) r D(T ) T = = T 0 où D 0, T 0 et n sont des constantes. R 0 D 0 T 0 ) 3 2 19 Méthode de diffusion pour séparer l hélium du gaz naturel En 1958, K.B. McAfee décrit une manière de séparer l hélium du gaz naturel. La méthode est basée sur le fait que le verre pyrex est imperméable pour tous les gaz, à l exception de l hélium : typiquement le coefficient de diffusion de He dans le pyrex est plus de 25 fois supérieur à celui de H 2, l hydrogène étant le plus proche concurrent dans cette compétition du gaz le plus diffusif... Cette méthode offre une alternative efficace et moins coûteuse que les techniques habituelles de distillation à basse température. On considère donc que le gaz se trouve dans un tube pyrex de rayons intérieur et extérieur R i et R e. La hauteur du tube est L : il n y a pas de diffusion par les bases du tube. On supposera que la concentration c A0 d Hélium dans le pyrex en contact avec le gaz naturel reste constante et est connue (pas évident, en pratique!) On vous demande de : 1. Dessiner un schéma clair et concis du problème. 2. Ecrire l équation différentielle régissant la diffusion de l hélium dans le verre pyrex. 3. Proposer des conditions aux limites à appliquer. 4. Calculer le profil de concentration. 5. Calculer le taux global avec lequel l hélium s échappera du tube en fonction du coefficient de diffusion, de la concentration c A0 et des dimensions du tube pyrex. 11

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Séance 5 Ecoulements incompressibles stationnaires rampants v = 0, 0 = p + µ 2 v + ρg, 20 Nous considèrons l écoulement stationnaire bidimensionnel autour d un cylindre de section circulaire de diamètre D = 2a. Cet écoulement n est pas un écoulement établi. Le nombre de Reynolds caractéristique est Re = U D/ν, avec U > 0 la vitesse loin du cylindre. Plus précisément, nous prenons le cas où Re est très petit : les termes non-linéaires d inertie sont supposés négligeables dans l équation du mouvement. On se place dans un repère fixe par rapport au cylindre et nous allons rechercher une solution en terme de fonction de courant de la forme : ψ(r, θ) = f(r) sin θ 1. Donner l équation différentielle que doit satisfaire la fonction de courant? 2. Donner les conditions aux limites du problème. 3. Montrer que la fonction f s écrit sous la forme générale f(r) = U a ( r c 1 a + c a 2 r + c r ( r ) ( r ) ) 3 3 a log + c 4 a a 4. Montrer qu il est impossible de satisfaire simultanément la condition de vitesse nulle à la paroi et celle de vitesse uniforme à l infini : il s agit du paradoxe de Stokes. 21 Ecoulement rampant avec une sphère de fluide Examen de juin 1999 On considère l écoulement rampant avec un fluide interne de viscosité µ i à l intérieur de la sphère de rayon a et un fluide externe de viscosité µ e à l extérieur de la sphère. On se place dans un repère fixe par rapport au centre de la sphère avec U la vitesse de l écoulement externe à l infini. En effectuant l algèbre, on obtient la forme suivante de la solution (en utilisant un indice e et i respectivement pour les écoulements externes et internes) : 13

µ ( r r 1 r sin θ ( ( r ) ( a ) 2 ( ) r 3 ψ = U a c 1 + c 2 + c 3 + c4 sin θ a r a) ( ( a ) ( a ) 3 ( ) r 2 θ (sin θ ψ) = u r = 2 U c 1 + c 2 + c 3 + c4 cos θ r r a) 1 r ( uθ ) + 1 r r ( ( a ) ( a ) 3 ( ) r 2 r (r ψ) = u θ = U c 1 + 2 c 2 c 3 + 4 c4 sin θ r r a) ) u r θ = τ rθ = µ U a ( ( a ) 4 ( r ) ) 6 c 3 + 6 c4 sin θ r a 1. En exprimant la condition à l infini, déduire que c e,4 = 0 et c e,2 = 0.5. 2. En considérant l écoulement à l origine, déduire que c i,3 = 0 et c i,1 = 0. 3. Comme la sphère ne se déforme pas, montrer que chaque écoulement est caractérisé par un unique paramètre : c e c e,1 et c i c i,2. 4. Déterminer les solutions externes et internes pour ψ, u r, u θ et τ rθ. 5. Donner les conditions de raccord entre les deux écoulements sur la sphère et en déduire les expressions de c e et c i en fonction de µ e et µ i. 6. Lorsque µ i µ e, montrer que la solution tend bien vers l écoulement autour d une sphère. 7. Qu obtient-on lorsque µ i µ e? Donner un exemple pratique en ingénierie. 8. Calculer le coefficient de traînée C D entre les deux domaines. µ e µ i = 0.1 µ e µ i = 10 Figure 5.1: Lignes de courant pour l écoulement rampant avec sphère de fluide: iso-contours de ψ/ (U a) pour les cas µ e/µ i = 0.1 et µ e/µ i = 10. 14

Séance 6 Théorie de la lubrification u x + v y = 0 0 = dp dx + µ 2 u y 2 22 Convoyeur hydraulique rectiligne Pour déplacer des pièces très lourdes, on utilise un convoyeur hydraulique avec une pompe qui alimente, via deux rainures centrales, deux patins distincts avec une huile dont les caractéristiques sont ρ = 900 kg/m 3 et µ = 0.2 Ns/m 2. L écart entre la rainure centrale et le bord de chaque demi-patin est L = 0.1 m tandis que la longueur totale du convoyeur est b = 2.0 m. La distance entre la surface des patins et le sol est uniforme et est notée h. La pression à la sortie de chaque patin (et aussi à l entrée de la pompe) est celle du milieu ambiant et est notée p 0. La pression à l injection de chaque patin (et aussi à la sortie de la pompe) est notée p i. La caractéristique de la pompe est (p i p 0 ) = α β Q 2, ρ avec α = 10 3 m 2 /s 2, β = 10 9 m 4 et Q le débit volumique. 1. Réaliser un schéma du problème. 2. Quel type d écoulement a-t-on sous chaque demi-patin? Donner l expression du profil de vitesse et la relation liant la vitesse de débit au gradient de pression. 3. Exprimer la distribution de pression p(x) p 0, en fonction de x, L, p i et p 0. 4. Calculer la valeur de p i p 0 nécessaire pour supporter une charge (poids propre du système et charge utile) de W = 25 tonnes. 5. Quel est alors le débit, Q, fourni par la pompe? Quelle est aussi la puissance utile fournie par la pompe? Que vaut alors h entre le patin et le sol? 6. Que se passe-t-il lorsque la charge diminue? 23 Convoyeur hydraulique axisymétrique Nous avons maintenant un convoyeur de type axisymétrique avec un système hydraulique intégré. La distance entre la surface du convoyeur et celle du sol est notée h. Une pompe alimente le système avec une huile dont les caractéristiques sont ρ = 900 kg/m 3 et µ = 0.2 Ns/m 2. Le rayon à l injection est r i = 0.05 m et la pression y est p i. Le rayon à la sortie est r o = 0.50 m et la pression y est la pression ambiante p o. On a que h r i. La caractéristique de fonctionnement de la pompe est (p i p 0 ) = α β Q 2, ρ avec α = 10 3 m 2 /s 2, β = 10 9 m 4 et Q le débit volumique. 15

1. Montrer que p = p(r) et que l équation de quantité de mouvement en r se réduit à: ρ u u r = dp dr + µ 2 u y 2 2. Donner le critère global permettant de simplifier le problème en : 0 = dp dr + µ 2 u y 2 3. Obtenir le profil de vitesse en fonction du gradient local de pression. 4. Montrer que la conservation de la masse implique que : ( d r dp ) = 0 dr dr 5. Calculer la pression et en déduire la relation suivante entre le débit et la différence de pression : Q = π h3 6µ (p i p o ) log(r o /r i ) 6. Considérons un débit global de Q = 0.5 10 3 m 3 /s. Quelle est alors la différence de pression fournie par la pompe? Quelle est alors la puissance utile fournie? Que vaut alors la distance h? Que valent alors les vitesses de débit à l injection et à la sortie? Est-il correct de négliger les termes d inertie dans ce cas? 7. Calculer la charge totale portée (charge utile + poids propre du convoyeur avec son système hydraulique). y, v 0 p i r i r, u h p o r o Figure 6.1: Vue schématique du convoyeur et du système de coordonnées. 16

Séance 7 Conduction thermique stationnaire dans un écoulement établi en conduite ρ c u T x 0 = dp dx + µ ( d r du ) r dr dr = k 1 r ( r T ) + k 2 T r r x 2 + µ ( ) 2 du dr 24 Entrée thermique : le problème de Poiseuille On souhaite étudier le développement du profil de température après un changement brusque de la température de paroi, dans une conduite circulaire de diamètre D = 2R où l écoulement est établi avec une vitesse moyenne u m. Pour x < 0 et x > 0, la température de paroi vaut une constante T 0 et une autre constante T w T 0, respectivement. Le problème est stationnaire. En outre, on néglige les effets de dissipation visqueuse et la conduction dans la direction axiale de l écoulement. 1. Donner les équations et les conditions aux limites que doivent satisfaire u(r) et T (x, r). 2. Calculer le profil de vitesse. 3. Exprimer la grandeur caractéristique X en fonction de R, α, ν et u m, afin que le profil de température T (η, ζ) satisfasse l équation suivante : ( 1 η 2 ) T ζ = 2 ( η T ) η η η avec η = r/r et ζ = x/x. La normalisation ainsi obtenue permet d obtenir une équation différentielle générique ne faisant pas apparaître de paramètres dimensionnels. 4. Montrer que la température peut s exprimer sous la forme T (η, ζ) T w T 0 T w = A n f n (η) g n (ζ) n=1 Notons que si le calcul de g est aisé, l équation différentielle pour f n est pas du tout facile à résoudre. Une solution analytique existe toutefois et a été obtenue par Poiseuille en 1885. 17

25 Entrée thermique simplifiée : le problème de Grätz On peut simplifier le problème précédent en considérant un profil de vitesse uniforme u m. On parle également d écoulement bouchon (plug flow). Ce problème plus simple a lui été résolu par Grätz en 1883. 1. Montrer que le profil de température T (η, ζ) satisfait l équation suivante : T ζ = 4 ( η T ) η η η avec η = r/r et ζ = (αx)/(u m D 2 ). 2. Montrer que le profil de température s écrit sous la forme : T (η, ζ) T w T 0 T w = 2 J 0 (λ n η) λ n J 1 (λ n ) e 4 λ n=1 où λ n sont les racines successives de la fonction de Bessel J 0. 3. Estimer la longueur adimensionnelle caractéristique ζ c de dévelopement du profil de température. 4. Montrer que le flux de chaleur moyen q w,m (x) calculé à partir de x = 0 satisfait l équation : d ( ) x q w,m (x) } dx {{ } q w (x) = Dρ u m c 4 2 n ζ dt m dx (x) 5. Définir un nombre de Nusselt moyen Nu m (x) à partir q w,m (x), D, k, T m (0), T w et T m (x) afin qu il satisfasse l équation : d ( ) x Nu m (x) } dx {{ } Nu(x) = Dρ u m c 4 d ( ) log(t m (x) T w ) dx 1 η T T w T 0 T w 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 ζ Figure 7.1: Entrée thermique avec écoulement bouchon en conduite circulaire.. 18