1ère Année Informatique 2011-2012 Cours Traitement Numérique du Signal Digital Signal Processing M. Frikel 1 GREYC, UMR 6072 CNRS, 6, Boulevard Maréchal Juin, 14050 Caen Cedex 1 Mes remerciements à Monsieur Guy BINET, Maître de Conférences à l Université de Caen, pour son support.
Table des matières 1 Les signaux discrets 5 1.1 Généralités - Signal - Mesure - Capteurs................ 5 1.1.1 Généralités sur les signaux :................... 5 1.1.2 Classification des signaux.................... 5 1.1.3 Modélisation des signaux-théorie du signal........... 6 1.1.4 Systèmes - Filtres :........................ 6 1.2 Signaux discrets.............................. 7 1.2.1 Signaux continus, discrets, échantillonnés :........... 7 1.2.2 Signaux élémentaires - distributions :.............. 8 1.2.3 signaux discrets et périodiques :................. 11 1.3 Analyse fréquentielle........................... 12 1.3.1 Transformée de Fourier :..................... 12 1.3.2 Application aux signaux périodiques :.............. 12 1.4 Application aux signaux discrets :.................... 14 1.5 Reconstruction d un signal échantillonné :............... 16 1.6 Signaux discrets et périodiques :..................... 17 1.7 Signaux réels :............................... 17 1.8 Transformée de Fourier, transformée de Laplace et transformée en Z : 18 2 Transformée de Fourier discrète : TFD et principe des analyseurs de spectre "numériques" 20 2.1 Transformée de Fourier Discrète. Définition mathématique :..... 20 2.2 Estimation de la transformée des signaux................ 21 2.2.1 Principe :............................. 21 2.2.2 Cas général :........................... 23 2.3 Signaux périodiques : TFD et série de Fourier............. 23 2.3.1 Signaux périodiques, signaux discrets :............. 23 2.4 Signaux échantillonnés et périodiques :................. 24 2.4.1 lien avec la série de Fourier :................... 26 2.5 Quelques applications de la TFD.................... 27 2.5.1 Amélioration de la précision fréquentielle :........... 27 2.5.2 Interpolation temporelle :.................... 28 2.6 Analyseur de spectre - Fenêtres de pondération............. 33 2.6.1 Analyseur de spectre "numérique" (principe) :......... 33 2.6.2 Elargissement des raies :..................... 34 2.6.3 Limite de résolution :....................... 36 2
2.6.4 Utilisation d une fenêtre :.................... 37 3 Les systèmes discrets 43 3.1 Etude des systèmes discrets. Discrétisation-Numérisation....... 43 3.1.1 Système discret, filtres :..................... 43 3.1.2 Système discret-système numérique :.............. 43 3.2 Systèmes discrets linéaires invariants.................. 44 3.2.1 Linéarité. Equation récurrente :................. 44 3.2.2 Récursivité. Forme récursive. Forme non récursive :...... 45 3.2.3 Invariance temporelle....................... 45 3.2.4 Causalité :............................. 45 3.3 Analyse temporelle............................ 46 3.3.1 Opérateur retard :........................ 46 3.3.2 Réponse impulsionnelle :..................... 46 3.3.3 Convolution discrète :...................... 47 3.4 Utilisation de la transformée en Z : Fonction de transfert....... 47 3.4.1 Résolution des équations aux différences :............ 47 3.4.2 Fonction de transfert :...................... 49 3.5 Inversion de la transformée en Z analyse temporelle - modes..... 50 3.5.1 Division selon les puissances de z 1 :.............. 51 3.5.2 Résolution de l équation aux différences :............ 51 3.5.3 Décomposition en éléments simples :.............. 52 3.6 Méthode des résidus :........................... 54 3.7 Modes et Pôles.............................. 56 3.7.1 Cas de pôles simples....................... 56 3.7.2 Cas des pôles de multiplicité >1................. 56 3.7.3 Stabilité.............................. 58 3.7.4 Mode dominant - Mode auxiliaire................ 61 3.8 Analyse fréquentielle........................... 63 3.8.1 Justification............................ 63 3.8.2 Réponse harmonique....................... 63 3.8.3 Analyse sommaire......................... 64 4 Filtres à réponses impulsionnelle infinie - Filtres RII 66 4.1 Propriétés................................. 66 4.1.1 Fonction de teransfert (Rappels)................. 66 4.1.2 Principe de la transposition................... 68 4.1.3 Exemple.............................. 68 4.2 Approximation de la dérivée....................... 69 4.2.1 Approximations.......................... 69 4.2.2 Qualité de l approximation.................... 70 4.3 Invariance impulsionnelle........................ 72 4.3.1 Principe de la méthode...................... 72 4.3.2 Qualité de l approximation.................... 72 4.4 Transposition par bloqueur d ordre N.................. 73 4.4.1 Principe.............................. 73 3
4.4.2 Bloqueur d ordre 0........................ 75 4.4.3 Autres bloqueurs......................... 78 4.5 Transposition par pôles et zéros..................... 79 4.6 Transformation bilinéaire......................... 79 4.6.1 Transformation bilinéaire..................... 79 4.6.2 Qualité de la méthode...................... 79 4.6.3 Transformation avec pré-décalage (Transformation de Tustin) 79 4.6.4 Equivalence discret-continu................... 79 4.7 Quelques rappels sur les filtres analogiques............... 80 5 Filtres à tréponse impulsionnelle finie - Filtres FIR 81 5.1 Propriétés................................. 81 5.1.1 Fonction de transfert (Rappels)................. 81 5.1.2 Exemples............................. 81 5.1.3 Forme récursive.......................... 81 5.2 Filtres à phase linéaire.......................... 82 5.2.1 Intérêt d une phase linéaire................... 82 5.2.2 Conditions d obtention d une phase linéaire.......... 82 5.2.3 Premier cas particulier : ϕ 0 = 0, filtres de types I et II.... 82 5.2.4 Deuxième cas particulier : ϕ 0 = π/2, filtres de type III et IV 82 5.2.5 Avantage pratique......................... 82 5.3 Synthèse par la méthode des fenêtres.................. 83 5.3.1 Principe.............................. 83 5.3.2 Problème général de la troncature par une fenêtre de pondération 83 5.3.3 Fenêtre rectangulaire....................... 83 5.3.4 Autres fenêtres.......................... 83 5.4 Filtres passe-haut, passe-bande, coupe-bande.............. 84 5.4.1 Filtre passe-tout......................... 84 5.4.2 Filtre passe-haut......................... 84 5.4.3 Filtre passe-bande........................ 84 5.4.4 Filtre coupe-bande........................ 84
Chapitre 1 Les signaux discrets 1.1 Généralités - Signal - Mesure - Capteurs 1.1.1 Généralités sur les signaux : Un signal est une grandeur physique accessible à la mesure. En général, un signal dépend des coordonnées d espace (l endroit où il se situe et le temps) soit {x, y, z, t}. On attribue à un signal des propriétés élémentaires comme l intensité, la puissance, l énergie... Ce sont ces grandeurs auxquelles sont sensibles les capteurs qui constituent l instrument de mesure du signal. Un capteur mesure l un des aspects du signal par exemple : Signal électrique : intensité (ampères), tension (volts), puissance (watts). Signal thermique : intensité ( C, Kelvin), énergie (calorie ou joule ). Signal lumineux : intensité (lumen), puissance (watts), énergie (joules)... Mélange chimique : concentration (mol/l), acidité (ph), taux de calcaire( th). Signal magnètique (tesla). Signal barométrique (hectopascal). Vitesse d un mobile (m/s,rd/s), accélération... Etc... Bon nombre de capteurs sont aussi en général des transducteurs c est à dire qu ils transforment la grandeur physique étudiée en une autre grandeur physique éventuellement proportionnelle et plus aisée à traiter avec les outils modernes d où la grande vogue des signaux électriques (tensions ou courants). 1.1.2 Classification des signaux Les signaux sont classables selon des grands groupes de propriétés : Signaux continus ou discrets. Signaux périodiques ou non. Signaux déterministes ou aléatoires. 5
1.1.3 Modélisation des signaux-théorie du signal Afin de pouvoir prévoir des comportements ou de concevoir des appareils susceptibles de modifier, d analyser les signaux il est intéressant de les modéliser grâce à des outils mathématiques les plus puissants possibles. La modélisation du signal peut se faire grâce à des "fonctions" mathématiques plus ou moins compliquées décrivant la manière dont le signal évolue dans l espace et le temps s(x, y, z, t). Pour l étude d un signal en un point de l espace la fonction sera uniquement dépendante du temps : s(t). Si le signal est une image statique formée par exemple sur une barrette CCD, la fonction devient s(x). S il s agit d une image statique : s(x, y), d une image à 3 dimensions (hologramme,...) : s(x, y, z). Si ces images sont animées on retrouve soit s(x, t) soit s(x, y, t) soit s(x, y, z, t). L étude du signal de manière élémentaire se fait sur des fonctions d une seule variable s(t) ou s(x). La généralisation à plusieurs dimensions utilise les mêmes concepts, seule est ajoutée un peu de complexité. 1.1.4 Systèmes - Filtres : Les signaux sont traités par des systèmes ou filtres dont le but est de les modifier pour leur conférer certaines propriétés ou d en extraîre des informations. De même que les signaux, les systèmes se classent en grandes catégories : continus ou discrets. Dans l une et l autre de ces catégories le cas particulier des systèmes linéaires invariants par translation (SLI, LTI) est particulièrement intéressant car nous disposons pour l étude de ceux-ci d outils mathématiques performants tout en restant d approche relativement aisée. 6
Outils mathématiques : 1.2 Signaux discrets 1.2.1 Signaux continus, discrets, échantillonnés : Signal continu : Classe de signaux largement étudiée dans les cours précédents. Un signal continu est connu à chaque instant t sauf en un nombre de points de mesure nulle (discontinuités de première espèce). Les signaux élémentaires ont déjà été largement étudiés : l échelon d Heaviside e(t) e at e(t) te(t) cos (ωt + ϕ) e j2πft... Signal discret : 7
Un signal discret n est connu qu à certains instants t k soit un tableau de valeurs numériques x(t = t k ). Le cas le plus simple et le plus important est celui ou : (t k+1 t k ) = cste = T s k. Le signal est alors connu par sa série de valeurs contenues dans un tableau {x(kt s )} {x k }. La représentation d un signal discret par un tableau de valeurs {x k } n est pas vraiment satisfaisante car un tableau n est pas un objet mathématique aisé à manipuler tel quel en comparaison avec les fonctions. La représentation graphique liée à ce modèle (modèle physique) sera : Nous allons voir ensuite comment lui associer un modèle mathématique plus intéressant à manipuler. Signal échantillonné : Un signal échantillonné est un signal discret dont les valeurs {x k } sont prélevées (mesurées) sur un signal continu. Par convention cela se schématise comme suit : 1.2.2 Signaux élémentaires - distributions : Nous verrons par la suite que les signaux discrets et périodiques sont intimement liés. Pour palier à l insuffisance de la modélisation par un tableau de valeurs et ainsi pouvoir manipuler les signaux discrets de manière analytique il est intéressant d utiliser la théorie des distributions de Laurent Schwartz (1915-2002). Cette même théorie permet de modéliser les signaux périodiques et constitue ainsi un excellent outil pour l étude globale des signaux discrets. Par ailleurs rappelons que c est la seule approche satisfaisante pour l étude de la dérivation généralisée dans le cas des signaux continus ayant des discontinuités de première espèce. Il n est pas nécessaire de reprendre les détails de cette théorie développée dans les cours de mathématiques mais simplement de rappeler les quelques résultats élémentaires qui nous intéressent. 8
Deux signaux fondamentaux seront ainsi utilisés : Propriétés mathématiques fondamentales de la distribution de Dirac : parité : δ( t) = δ(t) facteur d échelle : δ(at) = ( 1 )δ(t) avec a R a produit d une fonction (distribution régulière) par la distribution de Dirac : x(t).δ(t t 0 ) = x(t 0 ).δ(t t 0 ) produit de convolution d une fonction (ou d une distribution) par la distribution de Dirac : x(t) δ(t t 0 ) = x(t t 0 ). Le produit de deux distributions de Dirac n existe pas : δ(t t 1 ).δ(t t 2 ) n a pas de sens. Le produit de convolution de deux distributions existe en particulier : δ(t t1) δ(t t 2 ) = δ(t t 1 t 2 ). Transformée de Fourier : T F [δ(t)] = 1. Ces propriétés ne dépendent bien évidemment pas de la variable (ici le temps t), nous pouvons l utiliser dans tout autre espace comme celui des fréquences : par exemple y(f) δ(f f 0 ) = y(f f 0 ) ce qui représente la translation fréquentielle. Propriété mathématique fondamentale du peigne de Dirac : Le peigne de Dirac est une distribution périodique nous savons calculer sa transformée de Fourier : [ + ] T F δ(t nt s ) = 1 δ(f k ) = f s δ(f kf s ) (1.1) n= T s k= T s k= "La transformée d un peigne de Dirac est un peigne de Dirac". Attention au coefficient f s = 1 T s. Représentation des signaux périodiques : Un signal périodique est constitué par une fonction motif x m (t) = x(t). La modélisation complète du signal est obtenue en périodisant à la période T 0 le motif x m (t) puis en superposant les composantes obtenues soit : x(t) = n= x m (t nt 0 ) (1.2) 9
Un cas particulier très utilisé pour les représenter est de définir x m (t) pour t [0, T 0 ] (ou tout autre intervalle de largeur T 0 ) et nulle en dehors de la période T 0 La convolution par la distribution de Dirac fournissant la représentation d une translation, nous aurons : x(t) = n= x m (t nt 0 ) = x m (t) n= δ m (t nt 0 ) (1.3) Périodicité convolution par un peigne de Dirac. Remarque : ceci est aussi valable pour tout autre variable que t en particulier la fréquence f. Représentation des signaux discrets et des signaux échantillonnés : Par définition, la modélisation mathématique d un signal discret est effectuée par un peigne de Dirac pondéré par les échantillons du signal : x(t) = k= x k δ(t kt s ) (1.4) Un signal échantillonné est un signal discret obtenu à partir d un signal continu dont on prélève les valeurs à intervalles de temps réguliers T s (période d échantillonnage) : x e (t) = k= x k δ(t kt s ) = x(t) k= δ(t kt s ) (1.5) Echantillonner produit simple par un peigne de Dirac. Un problème pratique pour l échantillonnage : Certains signaux continus, en tout cas leur représentation mathématique (signaux définis presque partout sauf en un ensemble de points de mesure nulle), présentent des discontinuités de première espèce : e(t), signal carré,...les propriétés d une de ces discontinuités à t = t 0 sont : A l instant t 0 le signal n est pas connu. Seule hypothèse : sa valeur est bornée. f(t + 0 ) = lim[f(t 0 + εe)] f(t 0 ) = lim[f(t 0 ε)] et f(t 0 ) = f(t + 0 ) f(t 0 ) ε 0 ε 0 La dérivée n existe qu au sens des distributions : f (t 0 ) = f(t 0 )δ(t t 0 ). Que se passe-t-il si nous échantillonnons un tel signal à l instant t = t 0? La valeur de l échantillon ne peut être f(t 0 ) qui n existe pas. Si nous considérons la discontinuité en t 0 comme un cas limite, selon le cas choisi la valeur sera f(t 0 ), f(t + 0 ), 1/2f(t 0 ) + f(t + 0 ). Ce raisonnement est purement théorique. 10
Si nous nous intéressons au problème pratique, l échantillonnage est réalisé par un circuit électronique type SAH (sample and hold), convertisseur analogiquenumérique... Quelque soit le circuit utilisé, entre l instant où il reçoit l ordre d effectuer l échantillonnage et l instant de réalisation, il y aura toujours un retard (mêeme extrémement faible : qqs ns ou µs).. Cette façon de voir les choses nous amène donc à considérer que la valeur de l échantillon en t 0 sera systématiquement f(t + 0 ). Sauf indication contraire nous choisirons par la suite cette valeur. Ce n est en aucun cas rigoureux et nous parlerons alors de "convention d échantillonnage réel". 1.2.3 signaux discrets et périodiques : Un signal peut être à la fois échantillonné et périodique. Sa représentation devient simple lorsque le nombre d échantillons dans une période est entier soit : T 0 = N.T s avec N entier. Sa représentation peut se faire de trois façons complètement équivalentes : Motif discret périodisé : x ed = [ N 1 k=0 x k δ(t kt s ) Motif continu échantillonné et périodisé : x ed = [ x(t) N 1 k=0 ] δ(t kt s ) Motif continu périodisé et échantillonné : x ed = [ x m (t) n= ] δ(t nt 0 ) n= n= ] N 1. k=0 δ(t nt 0 ) δ(t nt 0 ) δ(t kt s ) 11
1.3 Analyse fréquentielle 1.3.1 Transformée de Fourier : L analyse de Fourier largement utilisée dans le domaine du signal permet de décomposer une fonction sur une base d exponentielles : Transformation directe : T F [x(t)] = X(f) = Transformation inverse : T F 1 [X(f)] = x(t) = + + x(t)e j2πft dt X(f)e j2πft df Cette transformée définie au sens des fonctions de L (1) est étendue aux distributions tempérées avec les résultats suivants : Translation temporelle - Déphasage fréquentiel T F [δ(t t 0 )] = e j2πft 0 T F [δ(t t 0 )] = 1 Déphasage temporel - Translation fréquentielle T F [ e j2πft 0] = δ(f f0 ) La dérivation généralisée appliquée aux séries de Fourier à termes complexes permet d établir les formules de Poisson : x(t) = n= e j2πfnt 0 = f 0 n= δ(f nf 0 ) (1.6) Ce qui permet d établir les formules déjà rappelées pour le peigne de Dirac (avec f 0.T 0 = 1) : [ + ] + T F δ(t nt 0 ) = e j2πfnt 0 = f 0 δ(f nf 0 ) n= n= n= [ + ] T F 1 δ(f nf 0 ) = T 0 δ(t nt 0 ) n= n= 1.3.2 Application aux signaux périodiques : Spectre discret (méthode no1) : Un signal périodique possède une décomposition en série de Fourier à termes complexes : avec C n = 1 T 0 = T F [x(t)] = (T 0 ) x(t)e j2πnf 0t dt n= x(t) = C n T F [ e j2πnf 0t ] = n= C n e j2πnf 0t n= C n δ(f nf 0 ) d où le résultat important suivant : la transformée de Fourier d un signal périodique est discrète. Signal périodique TF discrète Spectre discret (méthode no 2) : 12
En utilisant l expression du signal périodique défini à partir de sa fonction motif x m (t) : [ ] T F [x(t)] = T F x m (t) n= δ(t nt 0 ) = n= X m (nf 0 ).f 0 δ(f nf 0 ) Le résultat est toujours un peigne de Dirac pondéré = la transformée de Fourier est discrète. Lien série-transformée : Les deux méthodes précédentes sont équivalentes et aboutissent bien sûr à la même conclusion. En comparant les deux résultats il vient : C n = f 0 X m (nf 0 ) Ce résultat nous permet de concevoir différemment le coefficient de décomposition en série de Fourier à termes complexes : le coefficient C n est obtenu par discrétisation fréquentielle d intervalle f 0 de la transformée de Fourier du motif du signal périodique multipliée par f 0. Cas particulier des sinusoïdes : Les sinusoïdes peuvent être exprimées par les formules d Euler : cos (2πf 0 t) = ej2πf 0t + e j2πf 0t 2 T F [cos (2πf 0 t)] = 1 2 δ(f f 0) + 1 2 δ(f + f 0) sin (2πf 0 t) = ej2πf 0t e j2πf 0t 2j T F [sin (2πf 0 t)] = 1 2j δ(f f 0) 1 2j δ(f + f 0) 13
1.4 Application aux signaux discrets : Signaux discrets (méthode no1) : x(t) = k= T F [x(t)] = x k δ(t kt s ) k= x k e j2πkt sf C est une série de Fourier à termes complexes dans le domaine des fréquences = T F [x(t)] est une fonction périodique de la fréquence f. Signal discret TF périodique Conséquence : Les x k sont des coefficients de décomposition en série de Fourier à termes complexes nous pouvons donc les retrouver à partir de la transformée de Fourier : X(f) = T F [x(t)] 1 f s (f s ) X(f)e j2πkt sf df = T s (1/T s ) X(f)e j2πkt sf df Signaux échantillonnés (méthode no 2) : Cette propriété peut être établie de manière plus élégante en faisant intervenir les distributions. Le signal échantillonné x(t) est obtenu à partir du signal continu x c (t). x(t) = k= T F [x(t)] = X c (f) x k δ(t kt s ) = x c (t). n= δ(f nf s ) = f s k= δ(t kt s ) n= X c (f nf s ) (1.7) Nous retrouvons ainsi la périodicité du spectre. Bande de fréquence de Shannon : Pour étudier le spectre d un signal discret, il suffit de le connaître sur une période fréquentielle de durée f s le reste du spectre étant obtenu par périodisation de ce motif. Par convention, nous utiliserons la bande de fréquence de Shannon (ou de 14
Nyquist) [ f s 2, f s 2 ] [ 1 1, ]. L utilisation de fréquences normalisées justifiant 2T s 2T s la notation abrégée [ 1 2, 1 2 ]. Pour les calculs, bon nombre de logiciels utilisent la bande de fréquences [0, f s ] soit [0, 1] en fréquences normalisées. Ceci sera utilisé en particulier avec la transformée discrète (TFD) et son algorithme rapide (FFT). Phénomène de recouvrement fréquentiel : (repliement, folding, aliasing) Si le spectre f s X c (f) est plus étendu que la bande de Shannon, la périodisation va introduire un recouvrement dont la conséquence est que X(f) f s X c (f) ce qui interdit par simple filtrage (troncature fréquentielle) de retrouver le signal continu d origine. THEOREME DE SHANNON (1916-2001) : C est le premier résultat fondamental de la théorie des signaux discrets. Si on appelle f M la fréquence maximale du spectre X c (f) du signal continu, celui-ci pourra être retrouvé sans distorsion si on respecte la condition : f s 2.f M T s 1 2.f M 1 est la période d échantillonnage critique (pour un signal sinusoïdal, 2 échantillons par période). 2.f M Remarque : En pratique, pour un grand nombre de signaux, le spectre de Fourier n est pas limité mais tend asymptotiquement vers 0 lorsque f +. Dans ce cas, f M = + et il est impossible de respecter rigoureusement la condition de Shannon. On peut quand même chercher à la respecter approximativement par exemple en négligeant dans le spectre toutes les fréquences pour lesquelles le module de la transformée de Fourier du signal est inférieur à α% de son maximum. Conséquences expérimentales : 15
Expérimentalement il est nécessaire de supprimer toutes les fréquences supérieures f M en particulier celles qui peuvent être dues à des bruits. Il faut donc de procéder au préalable à un filtrage du signal par un filtre passe-bas : le filtre anti-repliement. Ce filtre ne peut être évidemment réalisé que de manière analogique puisqu il précède l échantillonnage. 1.5 Reconstruction d un signal échantillonné : Celle-ci est théoriquement possible si la condition d échantillonnage de Shannon a été respectée. Il suffit de faire le raisonnement suivant : Isoler le spectre du signal continu dans la bande de Shannon : X c (f) = ( 1 f s ).X(f).rect( f f s ) Effectuer la transformation de Fourier inverse : x c (t) = T F 1 [X c (f)] x c (t) = 1 sin (πf s t) x(t) f s f s πf s t = x c (t) = k= x k sin (πf s (t kt s )) πf s (t kt s ) Connaissant les échantillons x k nous sommes donc capables de reconstituer le signal. Il y a cependant un inconvénient : cette reconstruction n est pas causale puisque, à un instant t donné, il nous faut tous les échantillons y compris ceux qui interviennent dans le futur. Elle nécessite le calcul avec tous les échantillons qui peuvent être en nombre infini temps de calcul prohibitif. Cette technique peut néanmoins être utilisée en temps différé sur des signaux possédant un nombre limité d échantillons. Dans la pratique nous levons ces inconvénients en s adressant à des techniques de reconstruction approximatives mais causales et de temps de calcul raisonnable. La formule exprime quand même le fait théorique important qui est que, si on respecte la condition de Shannon, le signal échantillonné possède la totalité des "informations" contenues dans le signal continu. 16
1.6 Signaux discrets et périodiques : Ils seront étudiés en détail dans le chapitre sur la transformée de Fourier discrète. Compte tenu des chapitres précédents, le spectre aura les deux propriétés de périodicité et de discrétisation. Signal discret TF périodique Signal périodique TF discrète = Signal périodique et discret TF discrète et périodique 1.7 Signaux réels : Signaux dont la mesure est exprimée par un nombre réel (x k R) c est à dire la grande majorité des signaux traités dans la pratique. Que le signal soit discret ou continu leur spectre a les mêmes propriétés générales. Ce sont ces propriétés déjà établies dans le cas continu qui sont ici brièvement rappelées. Propriétés de la transformée de Fourier d un signal réel : Utilisons les propriétés de la transformée de Fourier (cf preuve en fin de paragraphe) : X(f) = T F [x(t)] X( f) = T F [ x(t) ] = T F [x( t)] Pour un signal x(t) réel : T F [x(t)] = X(f) = A(f) + jb(f) où A(f) et B(f) sont réels X( f) = A( f) + jb( f) = T F [x(t)] = A(f) jb(f) La transformée de Fourier d un signal réel est telle que : sa partie réelle A(f) est paire sa partie imaginaire B(f) est impaire. X(f) peut être exprimée aussi sous la forme module-argument : X(f) = X(f) e jϕ(f) Cas du module : X(f) 2 = A(f) 2 + B(f) 2 = X( f) 2 Cas de l argument : ϕ(f) = Arg[X(f)] = Arctg[B(f)/A(f)] = Arg[X( f)] La transformée de Fourier d un signal réel est telle que : le module X(f) est pair l argument Arg[X(f)] est impair. Application au calcul de la transformée de Fourier d un signal réel : Dans le cas d un signal réel et discret, il suffit de calculer la transformée de Fourier sur la moitié de la bande de Shannon [0 ; 0.5] l autre partie [-0.5 ; 0] ou [0.5 ; 1] étant complétée : par symétrie pour le module qui est pair. par antisymétrie pour l argument qui est impair. Cas particulier d un signal pair : Si x(t) est pair la transformée de Fourier est paire : X(f) = X( f). Si de plus il est réel seul A(f) existe X(f) est réel. La transformée de Fourier d un signal réel et pair est réelle et paire. Cas particulier d un signal impair : Si x(t) est impair la transformée de Fourier est impaire : X(f) = X( f). 17
Si de plus il est réel seul B(f) existe X(f) est imaginaire. La transformée de Fourier d un signal réel et impair est imaginaire et impaire. Annexe : propriétés de la transformée de Fourier d un signal réel : Cas de signaux continus : T F [x(t)] = X(f) = X( f) = + + + x(t)e j2πft dt x(t)e j2πft dt = x( t)e j2πft dt = T F [x( t)] + Cas de signaux discrets : [ + ] T F [x(t)] = T F x k δ(t kt s ) = X(f) = X( f) = T F [x( t)] x k e j2πktsf = x(t)e j2πft dt = T F [ x(t) ] = x k e j2πkt sf x k e j2πkt sf = T F [ x(t) ] = x k e j2πktsf = 1.8 Transformée de Fourier, transformée de Laplace et transformée en Z : Ce sujet est plus largement discuté dans l étude de la transformation en Z dont nous rappelons ici les points essentiels. La transformée de Fourier n existe que pour les signaux de L (1) (ensemble des signaux stables). En continu, elle a été généralisée par la transformée de Laplace (moyennant quelques conditions de convergence) et l extension de cette transformation de Laplace peut se faire avec précautions aux distributions et en particulier à la distribution de Dirac. Nous sommes ainsi en mesure de l étendre à l étude des signaux discrets. + T L[x(t)] = X(p = σ + jω) = x(t)e pt dt au sens des fonctions. T L[δ(t)] = 1 T L[δ(t τ)] = e pτ pour les distributions. x(t) = k= T L[x(t)] = x k δ(t kt s ) k= x k e kpt s 0 La transformée de Laplace d un signal discret ne se met plus sous forme polynomiale comme dans le cas continu ce qui nous fait perdre un outil puissant. Pour le retrouver un changement de variable complexe suffit et amène à définir la transformée en Z d un signal discret : z = e pt s T L[x(t)] = k= x k e kpt s = k= x k z k = T Z[x(t)] Le passage de cette transformée en Z à la transformée de Fourier se fait en posant z = e jwt s et n est possible que si le cercle unité appartient à l anneau de convergence 18
de la transformée en Z étudiée (cf : notions de base sur la transformée en Z) 19
Chapitre 2 Transformée de Fourier discrète : TFD et principe des analyseurs de spectre "numériques" Transformée de Fourier discrète (TFD). Application aux analyseurs de spectre. La transformée de Fourier discrète est la transformée de Fourier "exacte" d un signal périodique et discret. Elle est très simple à calculer à partir de séries mathématiques limitées et ce calcul s implante facilement sur calculateur ou circuit spécialisé (DSP) avec un algorithme FFT (Fast Fourier Transform) permettant d en accélérer le temps de calcul de plusieurs centaines de fois. Moyennant quelques précautions d emploi, elle permet d approximer en un temps record la transformée de Fourier d un signal continu à partir de sa version échantillonnée d où le grand intérêt de cette transformation pour les ingénieurs, scientifiques et traiteurs de signaux. 2.1 Transformée de Fourier Discrète. Définition mathématique : Mathématiquement, la transformée de Fourier discrète est une transformation qui fait correspondre deux séries de données de N points chacune : {x k } {X n } avec k, n entiers 0 n appartenant pas à [0; N 1] Transformation directe : Transformation inverse : X n = [ N 1 k=0 ] k.n j2π x k e N (2.1) x k = 1 N [ N 1 n=0 ] k.n j2π X n e N 20 (2.2)
Réalisation pratique : Pour calculer ces séries il existe un algorithme de transformée de Fourier rapide ou FFT (Fast Fourier Transform) qui dans le cas où N = 2 M est particulièrement performant (en utilisant cet algorithme pour N = 1024, le temps de calcul est divisé par un facteur environ 1000 par rapport à l utilisation directe de la définition. Implanté sur des ordinateurs ou réalisations à base de processeurs actuels, il dure moins d une µs). Cet algorithme très célèbre est largement étudié dans les cours d informatique et d algorithmique. 2.2 Estimation de la transformée des signaux 2.2.1 Principe : Echantillonnons à la période T s un signal continu x c (t) pendant un temps d acquisition T a. Ce temps d acquisition dure N échantillons d où la relation : T a = N.T s Le signal échantillonné est : x(t) = x c (t) k= δ(t kt s ) = 21 N 1 k=0 x k δ(t kt s ) (2.3)
x k = x c (kt s ) x c (t NT s ) = 0 En prenant la transformée de Fourier des deux membres : T F [x(t)] = X c (f) f s. = = k= N 1 k=0 k= f s.x c (f kf s ) δ(f kf s ) x k e j2π.fkt s (2.4) Cette relation rappelle le fait que le spectre est continu et périodique. Si nous calculons N points de ce spectre pour les fréquences f = n. f s avec n [0; N 1] en N absence de repliement nous obtenons N points du spectre fréquentiel tels que : f s X c (n f N 1 s N ) = T F [x(t)] = x k e j2π.fkt s = X n (2.5) 22 k=0
en remarquant que f s N = 1 T a nous obtenons donc, si l effet du repliement est négligeable une bonne approximation de la transformée de Fourier du signal : X n f s.x c ( 1 T a ) (2.6) 1 est l intervalle entre deux points fréquentiels ou pas fréquentiel. T a 1 est la largeur de la bande [0; 1] sur laquelle est effectuée l estimation T s Nous mesurons N points en temporel et estimons ainsi N points en fréquentiel. 2.2.2 Cas général : k= f s X c ( n T a kn n T a ) = X n = f s X c ( n T a ) + k 0 f s X c ( n T a kn n T a ) N 1 k=0 X n = terme "principal" + terme de repliement. Il faut donc soigneusement éviter le repliement x k e j2π.fkts = X n (2.7) 2.3 Signaux périodiques : TFD et série de Fourier 2.3.1 Signaux périodiques, signaux discrets : Signaux périodiques : Un signal périodique possède une décomposition en série de Fourier à termes complexes : avec C n = (T 0 ) x(t) = x(t)e j2π.nf 0t dt T F [x(t)] = n= n= C n e j2π.nf 0t = X n (2.8) C n T F [ e j2π.nf 0t ] = n= C n δ(f nf 0 ) (2.9) la transformée de Fourier d un signal périodique est discrète : Signal périodique TF discrète 23
Signaux discrets : Un signal échantillonné x(t) est obtenu à partir d un signal continu x c (t). x(t) = k= x k δ(t kt s ) (2.10) T F [x(t)] = k= x k e j2π.kt sf = X c (f) f s = f s n= n= δ(f nf s ) X c (f nf s ) (2.11) la transformée de Fourier d un signal discret est périodique : Signal discret TF périodique 2.4 Signaux échantillonnés et périodiques : Hypothèse : Le nombre N d échantillons par période est supposé entier : T 0 = N.T s f 0.T s = 1 N. Transformation de Fourier directe : Le signal périodique et échantillonné peut être modélisé par un motif discret de durée T 0 = N.T s périodisé : x ep (t) = [ N 1 k=0 x k δ(t kt s ) ] n= δ(t nt 0 ) (2.12) 24
T F [x ep (t)] = X ep (f) = = = [ N 1 x k e j2πkft s ].f 0 δ(f nf 0 ) k=0 n= + [ N 1 ] f 0 x k e j2πknf 0T s δ(f nf 0 ) n= k=0 + [ N 1 ] kn j2π f 0 x k e N δ(f nf 0 ) (2.13) n= k=0 {x k } étant la série d échantillons du motif du signal échantillonné périodique, nous voyons apparaître sa transformée de Fourier discrète {X n } et : X n = [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N (2.14) T F [x ep (t)] = X ep (f) = n= f 0 δ(f nf 0 ) Remarques : X n est la transformée de Fourier du motif temporel échantillonné prise pour la valeur f = n.f 0. X n+αn = X n α la TF est périodique de période fréquentielle N.f 0 = f s soit la largeur de la bande de Shannon. (propriété déjà vue, typique d un signal discret). La TF est échantillonnée avec la périodicité fréquentielle f 0 (propriété d un signal périodique). Transformation de Fourier inverse : La procédure est la même que pour la transformée directe puisque nous avons un spectre à la fois discret et périodique. La transformée de Fourier X ep (f) est donc un motif fréquentiel de largeur f s échantillonné à la cadence f 0 et périodisé à la distance f s. Ceci peut s écrire mathématiquement sous la forme : X ep (f) = [ N 1 n=0 X n = [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N ] f 0 X n δ(f nf 0 ) La transformation de Fourier inverse donne : T F 1 [X ep (f)] = [ N 1 n=0 = f 0 T s f 0 X n e j2πnf 0t k= [ N 1 n=0 δ(f kf s ) k= ].T s k= δ(t kt s ) X n e j2πnf 0kT s ] δ(t kt s ) 25
= 1 N k= = x ep (t) = [ N 1 n=0 k= ] nk j2π X n e N δ(t kt s ) x k δ(t kt s ) (2.15) d où l expression de la transformée de Fourier discrète inverse (TFD 1 ) : x k = 1 N [ N 1 n=0 ] kn j2π X n e N (2.16) Conclusion : La transformée de Fourier Discrète (TFD) est la manière rigoureuse de calculer la transformée de Fourier d un signal à la fois périodique et discret. La TFD et sa transformation inverse permettent de relier les échantillons {x k } du motif du signal périodique aux échantillons {X n } du motif de sa transformée de Fourier. 2.4.1 lien avec la série de Fourier : Un signal périodique se décompose en série de Fourier et nous pouvons l échantillonner en prenant N échantillons par période T 0 = N.T s : [ + ] x p (t) = C m e j2πmf 0t m= (2.17) x k = x p (t = kt s ) = m= mk j2π C m e N X n = 1 N D où la relation : [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N = [ N 1 k=0 [ C m e j2π km N m= ] ] kn j2π e N (2.18) X n = = N 1 k=0 m= C m m= [ C m e k(m n) j2π N e jπ(m n) (m n) jπ e N [C m N 1 ] + ] k(m n) j2π = e N m= k=0 sin (2π(m n)) sin ( 2π (m n) ) (2.19) N Le coefficient de C m est tel que : sin (2π(m n)) sin ( 2π (m n) ) = 0 pour m n αn et = N pour m n = αn N 26
d où : X n = N.C n+αn = N.C n + α= α 0 N.C n+αn Terme principal + terme de repliement Dans certaines conditions liées à l absence de repliement subsiste seul le terme principal correspondant à α = 0 et on aura la relation : X n N.C n (2.20) Application pratique : La TFD des échantillons d un signal périodique est une évaluation du coefficient de décomposition en série de Fourier à termes complexes de ce signal. Cette estimation sera rigoureuse si nous respectons lors de l échantillonnage la condition de Shannon. Par ailleurs il ne faut pas oublier la condition T 0 = N.T s c est à dire un nombre entier d échantillons dans une période du signal (le non respect, de cette condition est vu plus tard dans le chapitre V) Nous disposons ainsi d une méthode numérique de calcul de la série de Fourier permettant de remplacer le calcul d une intégrale par celui d une série de nombre finis de termes. 2.5 Quelques applications de la TFD Une fois les acquisitions du signal réalisées, il n est pas toujours possible de les recommencer. Pour obtenir des "données" supplémentaires sur le signal, il n est pas théoriquement nécessaire de reprendre l acquisition car, si l échantillonnage a été correctement effectué, le théorème de reconstruction prouve que le signal échantillonné contient autant "d indications" que le signal continu d origine. Les "données" recherchées peuvent ainsi être obtenues directement à partir du fichier. De nombreuse applications utilisent ce fait cependant, elles sont déduites des deux grandes méthodes d interpolation permettant d augmenter soit la précision fréquentielle soit la précision temporelle. 2.5.1 Amélioration de la précision fréquentielle : Problème : Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon. Nous avons acquis N points de ce signal qui, grâce à la TFD, nous ont permis d obtenir une estimation de sa transformée de Fourier en N points répartis dans la bande de fréquences de Shannon. Nous avons montré que l écart entre deux de ces points adjacents est de f 0 = f s constituera ainsi notre précision fréquentielle. N.f 0 27
Cette précision ne nous convient pas et nous souhaitons l améliorer sans pour autant reprendre l expérience. Est-ce possible? Interpolation fréquentielle ("zero padding") : Le problème précédent est possible et même trivial. Il suffit d avoir rempli une condition : éviter une troncature temporelle lors de l acquisition du signal. Le temps d acquisition du signal est T 0 = N.T s. Nous évitons la troncature si à t = T 0 le signal est terminé c est à dire supposé pratiquement nul. Pour augmenter la précision fréquentielle il faut diminuer f 0 soit augmenter T 0. Si le signal n a pas été tronqué lors de la première acquisition, augmenter T 0 revient à faire l acquisition d échantillons supplémentaires de valeur nulle. Inutile de refaire une manipulation pour cela, il suffit de les ajouter à la fin du fichier de données. Donc pour augmenter la précision fréquentielle, il suffit d ajouter autant de zéros que souhaité en fin de fichier ("zéro padding") puis de traiter celui-ci. premier fichier N points précision fréquentielle f s N. deuxième fichier N points + M zéros nouvelle précision fréquentielle 2.5.2 Interpolation temporelle : f s N+M. C est le même problème que précédemment mais en permutant le rôle du temps et des fréquences. Cependant cela n est pas évident au premier abord et nous allons tenter de montrer ce résultat ainsi que les dispositions pratiques qui permettent de l obtenir. Problème : Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon et nous avons acquis N points de ce signal. En réalité ce nombre de points est insuffisant et nous voulons des points "intermédiaires". Pour obtenir ce résultat, il faudrait recommencer l acquisition avec une période d échantillonnage plus faible cependant, le signal échantillonné contenant toutes les informations du signal continu, il doit suffire pour retrouver ces échantillons et éviter de refaire l expérience. Propriétés de base : Nous avons un signal continu x c (t) échantillonné à une période T s1 pendant un temps d acquisition T 0 = N.T s1 ce qui nous donne le signal x 1 (t). Supposons le même signal x c (t) échantillonné à la période T s2 pendant le même temps T 0 = M.N.T s2. Ceci donne un autre signal x 2 (t) possédant M fois plus d échantillons que x 1 (t). Quelles sont les points communs et les différences entre x 1 (t) et x 2 (t)? Les deux signaux proviennent du même signal continu x c (t) et ont même durée T 0 l intervalle entre les échantillons fréquentiels est le même dans les deux cas = f 0 = 1 T 0. Pour les deux la condition de Shannon est supposée respectée T s2 < T s1 < 1/(2f max ), (f max étant la plus haute fréquence du spectre de x c (t)). 28
1 La largeur de la bande de Shannon pour x 1 (t) est = N. T s1 T 0 1 La largeur de la bande de Shannon pour x 2 (t) est = M.N soit M fois plus T s2 T 0 large que celle associée à x 1 (t). Le théorème de Shannon étant respecté dans les deux cas, le spectre de x 2 (t) est donc le même que celui de x 1 (t) mais sur une bande de Shannon plus large le spectre de x 2 (t) est le spectre de x 1 (t) complété par des zéros. Nous retrouvons ici l analogie avec le "zéro padding" : pour interpoler un signal temporel, il suffit de suréchantillonner à la période désirée et de faire en sorte que son spectre de fréquence soit complété par des zéros. exemple : x c (t) = t 2 exp( 3.t) avec T 0 = 3s. Ce signal à la forme ci-dessous : En choisissant : T s1 = 0.15s, T s2 = 0.05s N = 20 M = 3 Les spectres et bandes de Shannon associées sont les suivants : Interpolation temporelle : Il faut donc changer de période d échantillonnage, la diminuer. La méthode est basée sur la propriété que nous venons de voir et se fait en trois étapes illustrées par l exemple choisi : étape 1 : Echantillonnage du signal à la période T s1 conformément au théorème de Shannon. Etape 2 : Changement de période d échantillonnage, nous intercalons (M 1) zéros entre les échantillons du fichier nouvelle période d échantillonnage T s2 = T s1 et extension M de la bande de fréquence de Shannon. 29
En effet, les données numériques sont inchangées (des zéros ne donnent rien dans la TFD). Soit x(t) le signal échantillonné à la période T s1 (N échantillons) et y(t) le signal obtenu avec des zéros intercalés donc de période d échantillonnage T s2 (M.N échantillons). y(t) est tel que : y p = x k pour p = M.k et y p = 0 pour p M.k le calcul de la TFD nous donne : X n = [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N n n appartient pas [0; N 1] (2.21) M.N 1 pq Y q = j2π y p e MN p=0 n n appartient pas [0; M.N 1] (2.22) 30
les seuls échantillons y p non nuls étant pour p = M.k nous pouvons effectuer le changement de variable et : Y q = [ N 1 k=0 ] M.kq j2π y M.k e MN n n appartient pas [0; M.N 1] (2.23) le nouveau signal ainsi obtenu a donc même transformée de Fourier que le précédent, seule la bande de fréquence de Shannon est changée puisque multipliée par M. Nous représentons donc M bandes de Shannon du signal x(t). Etape 3 : Nous effectuons un filtrage passe-bas de fréquence de coupure 1 2.T s1 =largeur de la bande de Shannon du premier signal nous mettons à zéro les échantillons fréquentiels ajoutés. Réalisation pratique : 31
Applications : C est une méthode de compression du signal discret, il suffit de stocker juste les données nécessaires correspondant à une période d échantillonnage T s1 voisine de l échantillonnage critique. Si un besoin d échantillons se fait ressentir, la technique ci-dessus permet de les retrouver en temps réel. L un des domaines d utilisation de ce procédé est le CD audio. A l heure actuelle, un enregistrement musical est effectué à la limite de la fréquence de Shannon mais cela est insuffisant pour obtenir une restitution satisfaisante car il faut reconstruire un signal continu en temps réel. Pour cela, à la lecture du CD il est procédé à une interpolation avec M = 8 pour fournir le signal de qualité satisfaisante. Le stockage sur le CD y a quand même gagné ce facteur 8. 32
2.6 Analyseur de spectre - Fenêtres de pondération. 2.6.1 Analyseur de spectre "numérique" (principe) : Au chapitre III nous avons montré que si nous calculons la TFD des échantillons d un signal continu x c (t) de transformée de Fourier X c (f),celle-ci nous donne : 33
X n = f s X c (nf 0 ) + k 0 f s X c (nf 0 knf 0 ) terme principale + terme de repliement Si l effet du repliement est négligeable, la TFD devient une bonne approximation de la transformée de Fourier du signal : X n f s X c (nf 0 ) Déjà discuté, le résultat précédent montre que : La TFD appliquée à un signal quelconque permet d avoir une estimation de la valeur de sa transformée de Fourier en N points distants de f 0 = f s N. Pour cela, la TFD permet de remplacer une intégrale par une série à nombre fini de termes ce qui est une méthode numérique qui s implante très facilement sur calculateur, microprocesseur ou processeur de signal (DSP). Il a été développé des algorithmes mathématiques dits FFT (Fast Fourier Transform) qui accélèrent le temps de calcul dans certains cas par des facteurs 100 voire 1000 et calculer une TFD sur 1024 points peut être une opération qui ne prend que quelques µs. De ce fait, la TFD et FFT sont devenus des outils puissants de traitement de signal. Nous avons ici tous les ingrédients permettant de développer un appareil performant pour l analyse de Fourier : analyseur de spectre. 2.6.2 Elargissement des raies : Cas des sinusoïdes : Le signal dont le spectre de fréquences est le plus simple est le signal sinusoïdal de période T p. Son spectre ne contient théoriquement que deux raies aux fréquences 1 T p et 1 T p. Ceci est montré sur la figure ci-dessous. 34
Pour obtenir ce résultat, nous avons utilisé un temps d acquisition T a du signal égal à un nombre entier de fois la période T p de la sinusoïde. Si cette condition n est pas vérifiée nous obtenons le résultat suivant : nous ne retrouvons plus deux raies mais un spectre dit élargi. Explication : L un des résultats fondamentaux de l analyse Fourier est le principe d incertitude. Si DT est l étalement de la distribution d énergie dans le temps et DF l étalement associé dans le domaine fréquentiel nous savons que : t. f 1 4π Nous pouvons traduire cette relation par : plus un signal est étendu dans le domaine temporel, moins il le sera dans le domaine fréquentiel. L utilisation de la TFD implique un nombre fini d échantillons et donc un signal de durée finie. Pour les signaux de longue durée (signaux tendant asymptotiquement vers une valeur non nulle, signaux périodiques...) l utilisation de la TFD introduira une troncature temporelle plus ou moins importante dont l effet peut être indésirable sur les raies du spectre du signal. Exemple d une sinusoïde : Ce type de signal très étendu dans le temps donne théoriquement lieu à un spectre avec deux raies spectrales de largeur nulle (étalement fréquentiel faible). x(t) = k= x k δ(t kt ), x k = a.cos (2πf p kt s ) T F [(x(t)] = a 2 [δ(f f p) + δ(f + f p )] Si nous estimons son spectre grâce à une TFD calculée sur N points, cela revient à effectuer une troncature sur l intervalle de temps T a = N.T s ce qui limite l étalement temporel du signal et doit conduire à un étalement fréquentiel. 35
Le signal réel et sa transformée de Fourier seront : x(t, T a ) = x(t).rect( t T a/2 T a ) T F [x(t, T a )] = T F [x(t)] [T a.e jπft a sin (πft a) πft a ] a 2 T a[ sin (π(f f p)t a ) π(f f p )T a + sin (π(f + f p)t a ) π(f + f p )T a ] La troncature d un signal sinusoïdal a deux conséquences : Plutôt que deux raies "fines", nous trouvons des raies "élargies" correspondant aux deux sinus cardinaux. La largeur du lobe central (prise entre les deux premiers minima nuls) des raies est 2 f = 2 T a = 2 (NT s ). Outre ce phénomène d élargissement de la raie, il apparaît des lobes latéraux que nous pourrions être tentés d interpréter comme d autres raies présentes au pied de la raie principale (phénomène d apodisation des raies par troncature). Pour un sinus cardinal, le premier lobe secondaire a une amplitude relative d environ 22% ce qui est loin d être négligeable. Cas général : Un signal quelconque est une superposition de signaux sinusoïdaux et l utilisation de la TFD a deux conséquence sur les raies spectrales : Un élargissement d autant plus grand que la troncature est importante. Cela nous limite dans la séparation (la résolution) de raies voisines. L apparition de raies secondaires qui peuvent cacher des raies principales d une autre composante du signal. 2.6.3 Limite de résolution : Si le signal est composé de deux sinusoïdes de fréquences voisines : 36
x(t) = a 1 cos (2πf 1 t) + a 2 cos (2πf 2 t) Le spectre de ce signal doit comporter deux raies qui vont se trouver élargies par la troncature du signal. Quand peut-on dissocier (séparer) ces deux raies? Nous pouvons estimer cela en utilisant un critère correspondant à un cas limite : c est le critère de résolution de Rayleigh. Critère : Deux raies d un spectre sont considérées comme séparables, si le maximum de l une correspond au premier minimum nul de l autre. En appelant 2 f la "largeur" d une raie prise par convention comme étant l écart entre les fréquences correspondant aux deux premiers minima nuls encadrant le maximum de la raie, la limite de résolution sera donc telle que f 2 f 0 = f. Ceci est illustré par les figures suivantes (elles correspondent à des raies avec fenêtre de Hamming étudiée ensuite). 2.6.4 Utilisation d une fenêtre : Pour éviter ces inconvénients, nous pouvons réaliser une troncature avec pondération des échantillons : fenêtre de pondération. La fenêtre doit être choisie de manière à ce que sa transformée de Fourier ait un lobe central le plus étroit possible et des lobes latéraux d amplitude la plus faible possible. Le compromis entre ces deux exigences est réalisé par un certain nombre de fenêtres : Hanning, Hamming, etc. Fenêtre rectangulaire : C est la troncature simple, son lobe central est de largeur 2 f = 2 (NT 0 ) = 2 et l amplitude du premier lobe de l ordre de 22%. (NT s ) L effet des lobes latéraux se met en évidence sur le traitement d un signal composé de deux raies théoriquement résolues mais d amplitudes de rapport 10. La TFD donne le résultat ci contre où la "petite" raie est non détectable. 37
Fenêtre de Hanning : Fenêtre dite en "cosinus", son lobe central est de largeur 2 f = 4 et son premier lobe latéral d amplitude relative d environ 3%. (NT s ) ( ) 2πt f(t) = [0.5 + 0.5cos ]rect( t ) T 0 T 0 T F [f(t)] = F (f) = 1 2 δ(f)1 4 {[δ(f 1 ) + δ(f + 1 sin (πft 0 ) )]} [T 0 T 0 T 0 (πft 0 ) Nous perdons un facteur 2 en résolution spectrale mais l importance des lobes latéraux est moindre ce qui permet par rapport à la troncature de mieux séparer les raies d amplitudes différentes. Ceci est montré sur la figure ci-contre qui reprend le traitement par TFD avec fenêtre de Hanning de l exemple précédent de deux raies théoriquement résolues et d amplitudes de rapport 10 Fenêtre de Hamming : Dite en "cosinus rehaussé", son lobe central est de largeur 2 f = 4 et ses lobes latéraux d amplitude relative inférieure à 1%. (NT s ) 38
( ) ( 2πt t f(t) = [α + (1 α)cos ]rect T 0 T 0 ) Le paramètre α est ajusté pour minimiser ( les ) lobes ( latéraux ) en particulier le second 2πt t α = 0.54 f(t) = [0.54 + 0.46cos ]rect T 0 Tout en concédant toujours un facteur 2 sur la résolution de la fenêtre rectangulaire, l importance des lobes latéraux est moindre ce qui améliore le résultat de la fenêtre de Hanning pour la détection de raies d amplitudes différentes. La figure ci-contre reprend le traitement par TFD de l exemple de deux raies théoriquement résolues et d amplitudes de rapport 10 avec une fenêtre de Hamming Autres fenêtres : De nombreuses autres fenêtres ont été développées. Elles sont aussi utilisées dans les méthodes de synthèse des filtres RIF. Elles sont traitées à ce niveau, les analyseurs de spectre se contentant largement de celles que nous venons d étudier. Signalons une fenêtre dite à "toit plat" (flat top) utilisée dans les analyseurs de T 0 39
spectre travaillant par TFD. Lors de la restitution du spectre, et donc des différentes raies, l utilisation d une fenêtre peut introduire une incertitude sur la mesure de l amplitude de la raie. Pour comparer avec précision les amplitudes des diverses raies d un spectre, il vaut mieux utiliser une fenêtre de pondération qui les préserve : c est le rôle de cette fenêtre à "toit plat". 40
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Chapitre 3 Les systèmes discrets 3.1 Etude des systèmes discrets. Discrétisation- Numérisation 3.1.1 Système discret, filtres : Un système discret répond à la définition générale des systèmes : ensemble qui introduit une relation entre ses signaux d entrée et signaux de sortie. Ici, tous ces signaux sont discrets. L une des méthodes d étude de l action des systèmes discrets étant l approche fréquentielle (utilisation de la transformée de Fourier) nous parlons alors de filtrage. Ainsi, nous utiliserons indifféremment de manière équivalente le terme de système discret ou celui de filtre discret. Nous développerons le cas monovariable SISO (Single Input Single Output) : x(t) = x k k= (t kt s ) y(t) = x k n= Relation de filtrage : y n = f({x k }, {y n m }. (t nt s ) 3.1.2 Système discret-système numérique : Les signaux physiques sont transformés en signaux discrets par échantillonnage. Ensuite, pour traiter ces signaux, nous utilisons des machines qui sont soit de simples microprocesseurs, des processeurs dédiés au traitement du signal (DSP : Digital Signal Processor), des ordinateurs, etc...tous ces systèmes comportent une partie acquisition du signal à base de convertisseurs analogique numériqe (CAN = Convertisseur Analogique Numérique ou ADC = Analog to Digital Converter) et de convertisseurs numériqe analogique (CNA = Convertisseur Numérique Analogique ou DAC = Digital to Analog Converter). Comme l indique le nom de ces 43
composants, le signal continu (analogique) est numérisé (digitalisé) ce qui recouvre deux opérations : Une discrétisation par échantillonnage à une période T s. Une numérisation : la valeur de l échantillon devant être traitée par des composants travaillant en binaire, elle est codée soit en virgule fixe soit en virgule flottante sur un nombre fini de bits. Ce type de codage comporte une perte de précision par arrondi des données. C est le problème de la quantification liée à la numération binaire à nombre fini de bits. Le traitement du signal se fait alors sur ces données : traitement des données (ou filtrage des données). Compte tenu des remarques précédentes il y a deux aspects dans ce traitement : Un aspect filtrage où le filtre est un système qui agit sur des grandeurs d entrée pour les traiter et fournir des grandeurs de sortie. Agissant sur des signaux discrets le filtre est un système discret. Un aspect numérisation : la numérisation introduit sur les coefficients du filtre un effet d arrondi ce qui génère des imperfections de fonctionnement. Ces effets peuvent être parfois préjudiciables au bon fonctionnement du filtre. Le filtre conçu, la réalisation peut se faire de plusieurs manières ou structures. D un point de vue théorique toutes ces structures sont équivalentes mais elles sont plus ou moins sensibles aux erreurs commises par quantification des coefficients et cela justifie le choix d une structure par rapport à une autre. En résumé : Filtre numérique = système discret+numérisation. L ambition de ce chapitre est de donner les notions nécessaires pour l étude des systèmes discrets l aspect numérisation n étant pas étudié. 3.2 Systèmes discrets linéaires invariants 3.2.1 Linéarité. Equation récurrente : Un système est linéaire s il répond au principe de superposition : Si y 1 (t) = f[x 1 (t)] et y 2 (t) = f[x 2 (t)] x(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t) alors f[x(t)] = f[α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t)] = α 1 f[x 1 (t)] + α 2 f[x 2 (t)] = α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t) = y(t) α 1 et α 2 C. En conséquence, pour un système linéaire, la relation "entrée sortie" y n = f({x k, y m n}) est une relation linéaire du type équation récurrente (ou équation aux différences) : y n = b k x n k a m y n m k m 0 terme récursif ou avec la convention a 0 = 1 a m y n m = m k b k x n k 44
Les {b k } et {a m } étant les coefficients de l équation récurrente. 3.2.2 Récursivité. Forme récursive. Forme non récursive : La récursivité est, dans la modélisation mathématique, la dépendance du signal y n vis à vis de ses valeurs aux autres instants soit le terme m 0 a m y n m expression non récursive, exemple : y n = x n + a 1 y n 1 avec y n 1 = x n 1 + a 1 y n 2 y n = x n + a 1 x n 1 + a 2 1y n 2 puis y n 2 = x n 2 + a 1 y n 3 y n = x n + a 1 x n 1 + a 2 1x n 2 + a 3 1y n 3 y n 3 = x n 3 + a 1 y n 4 y n = x n + a 1 x n 1 + a 2 1x n 2 + a 3 1x n 3 + a 4 1y n 4 En poursuivant le procédé à l infini y n ne dépend plus que des x n i mais dans une expression comportant à priori une infinité de termes. Nous pouvons appliquer ceci à tout système en exprimant les y n m pour m 0 grâce à l équation récurrente elle-même ce qui amènera à une équation non récurrente. La relation d entrée-sortie du système a donc une forme récursive déjà évoquée et aussi une forme non récursive : y n = i h i x n i (3.1) Les {h i } sont les coefficients de cette forme. Ils sont appelés aussi séquence de pondération du système et sont étroitement liés aux {b k } et {a m }. Comme nous l établirons par la suite ils ont pour le système une signification particulière puisqu ils sont les échantillons de sa réponse impulsionnelle. 3.2.3 Invariance temporelle. L invariance temporelle (ou invariance par translation) est liée à la propriété du système d avoir une relation entrée-sortie indépendante du temps : y(t) = f[x(t)] y(t τ) = f[x(t τ)] τ R Pour un système linéaire, cela implique que les coefficients {h i }, {b k } et {a m } sont indépendants du temps. 3.2.4 Causalité : La cause précède la conséquence. Pour un système causal, les équations récurrentes auront donc nécessairement la forme : a m y n m = b k x n k y n = m=0 k=0 i=0 h i x n i (3.2) 45
La causalité permet de calculer immédiatement à un instant t = nt s la valeur yn de la sortie du système puisque toutes les données nécessaires sont connues. Ce n est pas le cas pour un système non causal puisque celui-ci nécessite la connaissance de l entrée du système à des instants suivant celui où on opère. Ces notions sont souvent associées à celle de temps réel : Système causal temps réel Système non causal temps différé 3.3 Analyse temporelle 3.3.1 Opérateur retard : La réponse temporelle d un système est connue si nous sommes capables de calculer ses échantillons {y n } en temps réel ou différé. Ceci est donc directement lié à la connaissance de l équation récurrente sous l une de ses formes. Ces formes peuvent être simplifiées mathématiquement en utilisant l opérateur retard temporel défini par : q 1 x(t) = x(t T s ) ou d une manière plus générale q d x(t) = x(t dt s ). Ces relations sont étendues aux échantillons du signal soit : q 1 x n = x n 1 et q r x n = x n r et permettent de formaliser les équations récurrentes en faisant intervenir des opérateurs fonctions de q 1. a m q m y n = m k b k q k x n y n = i h i q i x n (3.3) [ ] [ ] a m q m y(t) = b k q k x(t) m k A ( q 1) y(t) = B ( q 1) x(t) (3.4) [ ] y n = h i q i x(t) i y(t) = H ( q 1) x(t) (3.5) 3.3.2 Réponse impulsionnelle : Elle correspond à une entrée x(t) = δ(t) x 0 = 1, x k 0 = 0. En utilisant la forme non recursive n = i y n = h n Les échantillons de la réponse impulsionnelle sont les coefficients de l équation récurrente du système mise sous forme non récursive. La réponse impulsionnelle est donc une caractéristique du système et cela permet de les classer en deux catégories : 46
Filtres à réponse impulsionnelle finie : filtres RIF. La suite {h i } comporte un max nombre fini : y n h i x n i i=min Filtres a réponse impulsionnelle infinie : filtres RII. La suite {h i } comporte un nombre infini d échantillons h i au moins l une des bornes min ou max est infinie (le plus souvent min = 0 et max = + ). 3.3.3 Convolution discrète : La relation entrée-sortie y n h i x n i provient du produit de convolution. En effet un i système est caracterisé par sa réponse impulsionnelle h(t) et nous pouvons écrire : Pour une excitation quelconque : x(t) = h(t) = h(t) δ(t) (3.6) x m δ(t mt s ) Le système étant linéaire et invariant la réponse à x(t) peut s écrire : y(t) = y n δ(t nt s ) = h(t) x m δ(t mt s ) = h(t) x m δ(t mt s ) = h(t) x(t) m m Nous retrouvons un résultat caractéristique des systèmes linéaires invariants : la sortie y(t) est le produit de convolution de la réponse impulsionnelle h(t) par l entrée x(t). L équation qui permet de calculer les échantillons du signal de sortie est y n h i x n i et constitue la convolution discrète étudiée lors des propriétés de la i transformée en Z. En résumé : Cas general des SLI continus ou discrets : ce sont des systèmes dits de convolution le calcul de la sortie y(t) se fait par un produit de convolution. Cas particulier des SLI discrets : le calcul des échantillons {yn} de y(t) se fait par le produit de convolution discret. 3.4 Utilisation de la transformée en Z : Fonction de transfert 3.4.1 Résolution des équations aux différences : Forme en z 1 Elle est obtenue par utilisation de l outil transformée en Z sur les équations récurrentes décrites avec l opérateur retard. Exemple simple : Pour illustrer la démarche prenons l exemple de : Pour illustrer la démarche prenons l exemple de : 47
y n = x n + a 1 y n 1 En utilisant l opérateur retard : y(t) a 1 q 1 y(t) = x(t) Puis la transformée en Z : Y (z) a 1 [z 1 Y (z) + y( 1)] = X(z) ce qui fait intervenir la condition initiale y( 1). En arrangeant les termes : A(z) = La méthode générale est identique : équation récurrente en q 1 : 1 a 1 z X(z) + a 1y( 1) B(z 1 CI(z 1 = X(z) + 1 a 1 z 1 A(z 1 A(z 1 transformation en Z : [ ] [ ] a m q m y(t) = b k q k x(t) m k [ ] [ ] (T Z) a m z m Y (m) CI(z 1 ) b k z k X(z) m k CI(z 1 : conditions initiales Y (z) = B(z 1 ) A(z 1 ) X(z) + CI(z 1 ) A(z 1 ) régime forcé + régime libre Par convention, les coefficients sont normalisés par le coefficient a 0 donc a 0 = 1. Cette forme est directement liée aux équations récurrentes et on passe aisément de l un à l autre en faisant la correspondance q 1 z 1 en absence de conditions initiales. Forme en z : Pour étudier les signaux avec la transformée en Z, il est nécessaire de passer à une forme polynomiale en z et non en z 1. En reprenant l exemple : Soit, dans le cas général : Y (z) = z X(z) + a 1zy( 1) z a 1 z a 1 Y (z) = B(z) CI(z) X(z) + A(z) A(z) (3.7) régime forcé + régime libre Il y a un lien évident entre B(z 1 ) et B(z) ainsi qu entre A(z 1 ) et A(z). Bon nombre d auteurs utilisent une simplification d écriture commode en écrivant B(z) au lieu de B(z) et A(z) au lieu de A(z). D un point de vue strictement mathématique B(z) et 48
A(z) ne sont bien sûr pas déduits de B(z 1 ) et A(z 1 ) par le simple changement de z- 1 en z et la notation est donc l objet de confusions pour des néophytes. Pour passer d une forme à l autre il faut utiliser la relation B(z) A(z) = B(z 1 ). Nous utiliserons A(z 1 ) cette pratique et il faudra ainsi interpréter les choses comme A(z) forme en z du numérateur et A(z 1 ) forme en z 1 du numérateur. Il en sera de même pour B(z) et B(z 1 ) La forme en z est la seule à prendre en compte pour utiliser la transformée en Z et définir les pôles et les zéros du système. Régime libre, régime forcé : Dans la solution temporelle, la transformée en Z fait apparaître 2 termes qui se superposent (propriété des systèmes linéaires) l un dépendant des conditions initiales du problème et l autre de l excitation x(t) du système. Le régime libre est la partie de la solution qui ne dépend que des conditions initiales. La transformée en Z du régime libre a comme pôles les racines de D H (z) soit les pôles du système. Les modes associés ne dépendront donc que de la nature du système étudié. Le régime forcé est la partie de la solution faisant intervenir l excitation. La transformée en Z de cette fraction de solution a deux types de pôles : Ceux provenant des racines de A(z) = pôles du système. Ceux provenant des racines de D x (z) dénominateur de X(z) = pôles de l excitation. Le regime forcé est une caractéristique du système s il n y a pas de pôles de l excitation soit, cas le plus simple, X(z) = 1 x(t) = δ(t). C est la réponse impulsionnelle. Régime transitoire, Régime permanent : Dans de nombreux cas, les pôles de l excitation sont différents de ceux du système et le régime forcé pourra alors se séparer en deux termes : régime transitoire et régime permanent. A l intérieur du régime forcé, il y a des modes qui proviennent des pôles du système : ils constituent le régime transitoire. Il y a des modes qui proviennent des pôles de l excitation x(t) : ils forment le régime permanent. 3.4.2 Fonction de transfert : La fonction de transfert H(z) est définie avec conditions initiales nulles : H(z) = B(z) A(z) H(z)X(z) + CI(z) A(z) (3.8) régime forcé + régime libre En utilisant l expression non récursive de l équation aux différences sans conditions initiales : 49
[ ] [ ] y(t) = h i q i x(t) Y (z) = h i z i X(z) i La fonction de transfert prend donc deux formes principales : [ ] H(z 1 ) = h i z i i = B(z 1 ) A(z 1 ) = i [ k b k z k] [ m a m z m ] Si x(t) = δ(t) X(z) = 1 Y (z) = H(z). Avec la même discussion que sur B et A on utilisera indifféremment une notation H(z 1 ) ou H(z). La fonction de transfert H(z) est la T Z de la réponse impulsionnelle du système avec conditions initiales nulles. remarque : Au premier abord, la connaissance de la fonction de transfert ne permet d obtenir que le régime forcé mais comme elle permet de remonter à l équation récurrente par la démarche inverse de celle adoptée pour l établir, elle nous permet aussi d atteindre le régime libre. exemple : 1 H(z) = y(t) ay(t 1) = x(t) 1 az 1 T Z : Y (z) a[z 1 Y (z)) + y( 1)] = X(z) regimelibre Y (z) = azy( 1) z a 3.5 Inversion de la transformée en Z analyse temporelle - modes Dans ce paragraphe, nous nous contentons de rappeler les techniques établies dans tout cours d étude de la transformée en Z. Pour les SLI les fonctions étudiées se mettent sous forme d un rationnel de polynômes : X(z) = N(z) D(z) et nous n étudierons que ce cas correspondant à 99, 9% des applications en ingénierie. La transformée en Z utilisée est la transformée monolatérale qui ne fournit que la partie causale d un signal soit t 0). X(z) = k = + x k z k = k = 1x k z k + k = 0+ x k z k (3.9) artie anticausale + partie causale p 50
3.5.1 Division selon les puissances de z 1 : SiX(z) est une fraction rationnelle de deux polynômes en z, il suffit de la mettre sous forme d une fraction rationnelle de deux polynômes en z 1 et d effectuer la division ce qui nous donne les échantillons par identification avec la définition de la T Z. T Z[x(t)] = X(z) = k=0 x k z k (3.10) X(z) = z (z a)(z b) X(z) = z 1 (1 az 1 )(1 bz 1 ) = z 1 (1 (a + b)z 1 + abz 2 ) x 0 = 0 x 1 = 1 x 2 = a + b x 3 = a 2 + ab + b 2... Nous ressortons ainsi la valeur de chaque échantillon sans faire apparaître une expression analytique générale. C est une méthode qui est plus intéressante avec des expressions à coefficients numériques, les coefficients 3.5.2 Résolution de l équation aux différences : X(z) = k = 0+ x k z k = N(z 1 ) D(z 1 ) (3.11) D(z 1 ) k = 0+ x k z k = N(z 1 ) Les coefficients des polynômes D et N sont connus et on retrouve les x k en identifiant les deux membres : X(z) = z (z a)(z b) X(z) = z 1 (1 az 1 )(1 bz 1 ) = z 1 (1 (a + b)z 1 + abz 2 ) (1 (a + b)z 1 + abz 2 ) k = 0+ x k z k = z 1 (3.12) termes de degré 0 x 0 = 0 termes de degré 1 (a + b)x 0 + x 1 = 1 x 1 = 1 termes de degré 2 abx 0 (a + b)x 1 + x 2 = 0 x 2 = a + b termes de degré 3 abx 1 (a + b)x 2 + x 3 = 0 x 3 = (a + b) 2 ab Cette méthode peut être intéressante dans des cas simples mais se trouve elle aussi vite limitée dans son application. 51
3.5.3 Décomposition en éléments simples : Le passage de X(z) = T Z[x(t)] à x(t) peut se faire à partir des éléments de base contenus dans les tables : décomposition en éléments simples. Pôles, zéros : L élément de base de la méthode est : T Z[α t Ts ] = complexe. z k = 0+ α k z k avec α z α La fonction X(z) est sous forme polynomiale : X(z) = N(z). Nous pouvons définir : D(z) les pôles z i tels que D(z) = 0. C est l équation caractéristique associée à X(z). Cela permet d écrire : D(z) = K 1 (z z i ). i les zéros z k tels que N(z) = 0. Cela permet d écrire : N(z) = K 2 (z z k ). la forme pôles et zéros de X(z) : X(z) = K k(z z k ) i(z z i ) Décomposition, modes : Si le degré de N(z) est inférieur ou égal à celui de D(z) nous pouvons écrire dans le cas où tous les pôles sont simples : X(z) = i C i z décomposition en éléments simples de X(z). z z i [ (z z i ) X(z) ] z Le calcul de C i se fait par C i = L inversion sera telle que : x k = C i zi k chaque terme de la somme est un mode de i X(z). z Exemple : X(z) = (z a)(z b) X(z) = 1 [ ] z z X(z) = a b (z a) (z b) 1 [ a k b k] a b Pôles simples réels : z i est réel. Si z i est complexe et si les coefficients des polynômes N(z) et D(z) sont réels (cas des problèmes correspondant à la réalité), z i est aussi pôle du système et le coefficient de décomposition en éléments simples associé sera C i. Dans la solution temporelle apparaîtrons les termes : z=z i X k =... + C i z k i + C i z k i +... en posant Z i = Z i e jω it s et C i = C i e jϕ i il vient X k =...+ Z i [ k C i (e jω ikt s e jϕ i )+ C i [ (e jω ikt s e jϕ i ) ]] +... X k = 2 C i Z i k cos (ω i kt s + ϕ i ) +... les deux pôles complexes conjugués correspondent à un mode sinusoïdal amorti si z i < 1 ou divergent si z i > 1. Pôles multiples : Dans l équation caractéristique D(z) = 0, il se peut que z i soit une racine multiple d ordre m. k 52
D(z) = (...).(z z i ) m.(...). Dans ce cas la décomposition en éléments simples est un peu plus délicate : X(z) =... + C i,1z + C 2 i,2z +... + C m i,mz +... z z i z z i z z i Le calcul des coefficients C i,q est réalisable en prenant des cas particuliers (z = 0, z,...) mais cette méthode est vite limitée et ne s applique véritablement bien que pour m = 2. Pour une multiplicité plus grande il y a une formulation générale que nous ne justifirons pas ici : [ 1 d m q [ C i,q = (z z (m q)! dp m q i ) m X(z) ]] z z=z i [ Nous vérifions aisément que pour q = m : C i,q = (z z i ) m X(z) ] z [ z=z i de même que pour une multiplicité m = 1 : C i = (z z i ) X(z) ] z z=z i l exemple simple : g(t) = t.x(t) etx(t) = z t/t s i avec z i réel. x k = zi k et g k = kt s zi k. z X(z) = et, en appliquant le théorème de la dérivation G(z) = [ (z z i ]) d z zt s = zz it s dz (z z i ) (z z i ) 2 Utilisons ce résultat : Un pôle z i de multiplicité 2 correspond aux échantillons (à quelques coefficients près) : (k.zi k ). Le mode correspondant est donc une puissance zi k multipliée par un temps échantillonné k. La croissance comparée des deux fonctions pour k + donne priorité à zi k (pour zi = 1) et nous retrouvons ainsi en partie le cas d un pôle simple : si z i < 1 mode amorti. si z i > 1 mode divergent si z i = 1 ce qui était un mode borne dans le cas du pôle simple devient un mode divergent d amplitude donnée par k. Généralisation : Le calcul précédent peut être généralisé à un pôle z i de multiplicité m quelconque. Sans détailler, nous pouvons rapidement retracer les grandes lignes du raisonnement : X(z) = (...)...(z z i ) m...... + C i,1z + C 2 i,2z +... + C m i,mz +... z z i z z i z z i Ceci donne comme échantillons : x k =... + (.)z k i + (.)k.z k i +... + (.)k m 1 z k i +... xk =... + [(.) + (.)k. +... + (.)k m 1 ]z k i +... où (.) désigne des coefficients à calculer. 53
Si nous appelons mode associé au pôle de multiplicité m le terme : [(.) + (.)k. +... + (.)k m 1 ]z k i = P m 1 (k).z k i il est constitué du produit d un polynôme en k(p m 1 (k)) d ordre (m 1) par la puissance z k i. Pour les limites asymptotiques lorsque k + nous aurons les trois points suivants : si z i < 1 mode amorti. si z i > 1 mode divergent. si z i = 1 ce qui était un mode borne dans le cas du pôle simple devient un mode divergent d amplitude bornée par P m 1 (k) equivalent a k m 1 lorsque k +. 3.6 Méthode des résidus : Méthode de calcul beaucoup plus puissante que la décomposition en éléments simples. Elle permet de calculer en 1 seule fois l ensemble du mode associé à un pôle multiple. D un point de vue pratique elle nécessite des calculs qui sont toujours plus simples que ceux impliqués par la décomposition en éléments simples et elle dispense de l apprentissage fastidieux de résultats tabulés. C est donc une méthode a utiliser de préférence lorsque nous sommes obligés de faire nous même le calcul à la main. Basée sur la méthode des résidus, il est établi que : [ 1 d (m 1) ] Residus[F (z)] z=zi = (m 1)! dz [(z z i) m F (z)] (3.13) (m 1) z=z i X n = /poles [ 1 d (m 1) ] (m 1)! dz [(z z i) m X(z)] (3.14) (m 1) z n 1 X(z) z=z i Le résidu par rapport à un pôle de la fonction z n 1 X(z) fournit le mode associé à ce pôle. Toujours se simplifier le travail : Les points singuliers intervenant dans le calcul des résidus peuvent être de deux origines : les pôles de X(z) et éventuellement des pôles à l origine provenant du terme en z n 1 si celui-ci n a pas été simplifié par X(z). 1 exemple : X(z) = (z a)(z b) avec a et b réels. z n 1 zn 1 X(z) = (z a)(z b) pour n > 0 deux pôles simples z 1 = a et z 2 = b deux résidus à calculer. a n 1 résidu en z = a : (a b) b n 1 résidu en z = b : (b a) 54
solution pour n 1 : x n = an 1 (a b) + bn 1 (b a) = an 1 b n 1 (a b) pour n = 0 trois pôles simples z 1 = a et z 2 = b et z 3 = 0 trois résidus à calculer. 1 résidu en z = a : a(a b) 1 résidu en z = b : b(b a) 1 résidu en z = 0 : ab 1 solution pour n = 0 : x 0 = a(a b) + 1 b(b a) + 1 ab = 0 Une simple remarque permet d éviter les états d âme et de savoir quels sont les termes qu il est utile de calculer. Repartons de l hypothèse où X(z) est sous forme rationnel polynomial : X(z) = N(z) D(z) = nb k=0 b kz k nb i=0 a i z i n a et n b sont respectivement les degrés du dénominateur et du numérateur. Nous pouvons nous ramener à une forme en z 1 en factorisant z nb au numérateur et z na au dénominateur 55
3.7 Modes et Pôles Dans l étude de l inversion de la transformée en Z soit X(z) {x k } deux grandes méthodes s associent à la notion de "modes" : la décomposition en éléments simples et la méthode des résidus. Ces deux méthodes sont rigoureusement équivalentes et décomposent le problème en séparant les différents termes liés aux pôles de X(z). 3.7.1 Cas de pôles simples Il y a deux raisons essentielles pour s intéresser au cas particulier d une fonction en z n ayant que des pôles simples : c est un cas simple à analyser et c est, pratiquement, le cas le plus fréquent. Dans le cas de pôles simples, nous avons établi le résultat général suivant : un pôle simple z i dans l expression de X(z) introduira un terme en (z i ) k dans la réponse temporelle. Ce terme est appelé un "mode". Cette notion est légèrement modifiée : z i réel : le mode est bien en (z i ) k z i complexe : z i = z i e jwt s On associe dans l expression temporelle, le terme provenant du pôle complexe conjugué. Le résultat donne un terme du type z i k cos (ωkt s + ϕ) qui est appelé un mode oscillant (c est en réalité la superposition de deux modes associés à deux pôles complexes conjugués). première conséquence : Pour un pôle simple donné, le mode temporel correspondant peut avoir trois comportements : il est amorti et tend asymptotiquement vers 0 lorsque k +. C est le cas si z i < 1 le ou les pôles étudiés sont à l intérieur d un cercle de rayon 1 : le cercle unité. L amortissement sera d autant plus lent que le ou les pôles seront voisins du cercle unité. il est divergent et tend asymptotiquement vers une limite non bornée lorsque k +. C est le cas si z i > 1 le ou les pôles étudiés sont à l extérieur du cercle unité. La divergence sera d autant plus lente que le ou les pôles seront voisins du cercle unité. il n est ni convergent ni divergent et son amplitude reste bornée à une valeur non nulle lorsque k +. C est le cas si z i = 1 le ou les pôles étudiés sont sur le cercle unité. Ces résultats sont rappelés dans des cas simples par les figures ci-dessous. Lorsque les modes se superposent dans une expression temporelle, ils sont affectés de coefficients plus ou moins grands qui dépendent des zéros de la fraction X(z). 3.7.2 Cas des pôles de multiplicité >1 Nous avons vu qu un pôle z i de multiplicité m introduisait dans la solution un terme du type P m 1 (k).zi k que nous appelons mode associé au pôle de multiplicité m. Il est 56
constitué du produit d un polynôme P m 1 (k) d ordre (m 1) en k par la puissance z k i. Pour les limites asymptotiques lorsque k + nous avons les trois points suivants : si z i < 1 mode amorti. si z i > 1 mode divergent. si z i < 1 ce qui était un mode borné dans le cas du pôle simple devient un mode divergent d amplitude bornée par P m 1 (k) équivalent à k m 1 lorsque k +. Tout ceci est illustré par les quelques figures suivantes : 57
3.7.3 Stabilité Lors de l étude de l inversion de la T Z nous avons établi qu il existe une représentation par pôles et zéros telle que : - Zéros du système Racines du numérateur N(z) = 0 {z k }. - Pôles du système Racines du dénominateur D(z) = 0 {z i }. H(z) = K k(z z k ) i(z z i ) (3.15) 58
A un pôle z i simple ou multiple nous pouvons associer un mode qui diverge si z i > 1 et converge si z i < 1. Pour un pôle complexe, on lui associe son complexe conjugué ce qui fait apparaître un mode oscillant amorti ou divergent selon la valeur de z i. La réponse impulsionnelle ou une réponse libre sont caractéristiques du système. Dans ces réponses nous avons la superposition de tous les modes du système associés à ses pôles. Pour que le système soit stable, il faut que tous ses modes le soient et donc que tous les pôles du système soient situés à l intérieur du cercle unité. Un système linéaire invariant discret est asymptotiquement stable 59
lorsque tous les pôles de sa fonction de transfert sont situés à l intérieur du cercle unité du plan z. Nous aurons les trois situations suivantes : Tous les pôles sont à l intérieur du cercle unité : le système est dit strictement stable. Un ou plusieurs pôles de multiplicité simple sont situés sur le cercle unité : le système est à la limite de stabilité ou stabilité au sens large. Un ou plusieurs pôles sont situés à l extérieur du cercle unité : système instable. Autre conséquence un filtre RIF a tous ses pôles à l origine et sera donc toujours 60
stable. 3.7.4 Mode dominant - Mode auxiliaire Dans le cas de modes amortis, plusieurs modes peuvent se superposer dans l expression temporelle. Il est évident que lorsque k + le mode qui a tendance à subsister est celui qui est le moins amorti et nous le qualifieront de dominant. lors de la comparaison de deux modes, on appellera mode dominant celui dont l expression s amortit le plus lentement. L autre sera qualifié de mode auxiliaire. 61
le mode dominant correspond donc à un ou des pôles plus proches du cercle unité que dans le cas d un mode auxiliaire. Par extension on parle aussi de pôle(s) dominant(s) et de pôle(s) auxiliaire(s). 62
3.8 Analyse fréquentielle L analyse fréquentielle est liée à une des propriétés essentielles des SLI continus et discrets : e j2πft est valeur propre du système. 3.8.1 Justification x(t) = e j2πft y(t) = f[e j2πft ] Le système étant invariant, pour une valeur de t fixée : x(t τ) = e j2πf(t τ) y(t τ) = f[e j2πf(t τ) ] e j2πft est une constante vis à vis de t et comme le système est linéaire : y(t τ) = f[e j2πf(t τ) ] = e j2πfτ f[e j2πft ] = e j2πft y( τ) e j2πft est valeur propre de la transformation. Ceci est vrai quelque soit t et aussi pour la valeur particulière τ = 0 : y(t) = e j2πft y(0) lorsque x(t) = e j2πft Lorsque l entrée du SLI comporte une seule fréquence f la sortie ne comporte, elle aussi, que cette fréquence. Nous pouvons donc étudier le comportement du système sur l ensemble des fréquences f : analyse harmonique, le signal d entrée étant décomposé sur la base des e j2πft ce qui est le rôle de la transformation de Fourier. 3.8.2 Réponse harmonique C est la réponse du système lorsque l entrée ne comporte qu une seule fréquence. x m = e j2πfmt s y n = i h i x n i (3.16) y n = i [ ] h i e j2πf(n i)t s = h i e j2πfit s e j2πfnt s = H(e j2πft s )e j2πfnt s (3.17) i Le signal de sortie est à la même fréquence que celui d entrée. L amplitude et la phase ont été modifiées par le système par le facteur H(e jωts ) qui est la transmittance du système ou sa fonction de transfert isochrone. On vérifie aisément un second résultat du filtrage linéaire : La transmittance est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du système. h(t) = i T F [h(t)] = i h i δ(t it s ) h i e j2πift s = H(e j2πft s ) (3.18) 63
Usuellement on sépare la transmittance sous la forme module-argument : H(e j2πft s ) = A(f)e jϕ(f). Module A(f) = H(e j2πft s ) Phase ϕ(f) = Arg[H(e j2πft s )]. Ces grandeurs peuvent être représentées sur les diagrammes habituels de Bode, de Nyquist, etc... Cependant il y a une différence essentielle avec le continu due au fait que h(t) est un signal discret et sa transformée de Fourier H(e j2πfts ) est donc périodique. Pour les diagrammes de représentation fréquentielle, nous nous contentons de la représenter dans la bande de fréquences de Shannon [ 1/2, 1/2] ou plutôt [0, 1] en fréquences normalisées ceci impliquant une échelle de fréquences linéaire plutôt que logarithmique. Le lien avec la transformée en Z est immédiat : H(z = e j2πft s ) A partir de la transmittance nous pouvons retrouver les échantillons temporels de la réponse impulsionnelle du système en appliquant le résultat général des signaux discrets : h i = 1 f s (f s) H(j2πfT s e j2πift s df = T s 3.8.3 Analyse sommaire (1/T s) H(j2πfT s e j2πift s df (3.19) Elle utilise la forme pôles et zéros du système et permet une analyse rapide, souvent qualitative des caractéristiques du système. On reprend l analogie entre les complexes et leur représentation géométrique vectorielle. Dans le plan complexe on associe : z vecteur OM. z = e jωt s M sur le cercle unité Zéro α i vecteur OZ i (z α i ) vecteur Z i M pôle β j vecteur OP j (z β j ) vecteur P j M H(e j2πft s ) = K i(e j2πfts α i ) j(e j2πfts β j ) H(e j2πft s i Z i M ) = A(f) = K j P j M ϕ(f) = i ( Ox, Z i M) j ( Ox, P j M) De l expression du module nous tirons les remarques suivantes : un zéro ou un pôle à l origine n influent pas sur le module de la réponse fréquentielle. Un zéro sur le cercle unité introduit une annulation du module pour la fréquence correspondant à OZi 64
Un zéro au voisinage du cercle unité introduit une atténuation dans le module de la réponse en fréquence. Atténuation d autant plus importante que le zéro est proche du cercle unité. Un pôle sur le cercle unité introduit une résonance infinie dans le module de la réponse en fréquence pour la fréquence correspondant à OP j. Un pôle au voisinage du cercle unité introduit une résonance d autant plus importante dans le module de la réponse en fréquence que le pôle est proche du cercle unité. A partir de ces remarques, dans le cas d un nombre faible de pôles et zéros, nous aurons une idée des atténuations ou des résonances introduites par un système. On peut aussi avoir une idée de son comportement général : passe-bas, passe-haut ou passe-bande. Elles peuvent aussi être utilisées pour mener à bien une synthèse sommaire des filtres. 65
Chapitre 4 Filtres à réponses impulsionnelle infinie - Filtres RII Les méthodes de synthèse de ces filtres se classent en deux catégories : 1. Les méthodes de transposition : elles partent du principe que le problème de la synthèse des filtres a déjà été largement développé dans le domaine du signal continu. Il a été établi plusieurs méthodes d approximation polynômiale d un gabarit aboutissant aux filtres de Butterworth, Tchebychev, Cauer, Legendre...Le filtrage des signaux discrets reprend ces méthodes en cherchant simplement une technique de passage du continu au discret qui préserverai au mieux les caractéristiques du filtre. 2. Les méthodes directes : elles cherchent à faire une synthèse directe dans le domaine discret à partir du gabarit. Ce sont des méthodes itératives basées sur la minimisation d un critère comme celui des moindres carrés utilisé par l algorithme de Fletcher et Powel. L ambition de ce chapitre se limite à l étude des seules méthodes de transposition. 4.1 Propriétés 4.1.1 Fonction de teransfert (Rappels) Un filtre RII est un système linéaire invariant discret dont le comportement entréesortie est caractérisé par les coefficients {g i } de sa réponse impulsionnelle. Le calcul de la sortie se fait grâce au produit de convolution discret et la transformée en Z permet de définir sa fonction de transfert G(z). x(t) = y(t) = k= n= x k δ(t kt s ) y n δ(t nt s ) (4.1) 66
y n = G(z) = i= i= g i x n i g i z i (4.2) Dans cette première forme, la suite des {g i } est illimitée et cette forme est donc inadaptée à une implantation du filtre (même pour des filtre causaux où la somme débute en i = 0). La seconde description sous forme de fraction rationnelle des polynômes A(z) et B(z) de dimension finie menant à l équation récurrente est celle qui fournit la base de l implantation du filtre : G(z) = nb k=0 b kz k na m=0 a m z m = B(z) A(z) (4.3) y n = n k k=0 b k x n k n a m=0 a m x n m (4.4) Le premier terme de cette description correspond à une moyenne mobile MA et le second est un terme autorégressif AR d où l appellation de filtres ARMA (AR si le numérateur est restreint à b 0 ) pour ce type de filtres. La fonction de transfert peut se mettre aussi sous forme factorisée pôles et zéros : - Zéros du système Racines du numérateur B(z) = 0 {z j }. - Pôles du système Racines du dénominateur A(z) = 0 {z i }. G(z) = K j(z z i ) i(z z i ) (4.5) Cette forme est aussi pratique pour réaliser une analyse fréquentielle rapide des caractéristiques du filtre. Nous devrons toujours nous assurer que la méthode de synthèse utilisée aboutit à un filtre stable soit : z i < 1. Si le filtre continu est stable, la stabilité théorique du 67
filtre discret est en général assurée cependant, dans le cas de pôles au voisinage du cercle unité ceux-ci peuvent se retrouver translatés en dehors de ce cercle à la suite d arrondis numériques. 4.1.2 Principe de la transposition Nous supposons posséder un filtre continu dont la fonction de transfert isochrone H(jω) constitue une approximation satisfaisante du gabarit du filtre recherché. Il nous reste à chercher le filtre discret de transfert isochrone G(e jωt s ) équivalent. H(p) G(z) Il nous faut une méthode à laquelle nous imposons les contraintes suivantes : - Etre simple. - Faire en sorte que G(e jωts ) soit la plus proche possible de H(jω). - Obtenir une fonction de transfert discrète G(z) qui puisse s implanter sous forme d équation récurrente ce qui nécessite une forme de rapport de polynômes B(z)/A(z). La transposition peut être en toute rigueur parfaite puisque nous savons faire le passage du plan Z au plan p par le changement de variable : z = e pt s p = 1 T s Ln(z). Cependant cette transposition ne permet pas de conserver le caractère polynomial de la fonction de transfert, il faut donc rechercher des méthodes d approximation. 4.1.3 Exemple Afin d illustrer et comparer l ensemble des différentes méthodes, nous utiliserons pour toutes un exemple de transposition d un filtre continu de type sélecteur de fréquence. Les caractéristiques de ce filtre sont les suivantes : - Fonction de transfert : H(p) = ω 2 0 p 2 + 2ξω 0 p + ω 2 0 = 2.25 p 2 + 0.3p + 2.25 - ω 0 = 1.5rd/s ; ξ = 0.1 résonnance pour ω r = ω 0 1 ξ 2 Soit ω r = 1.492rd/s ω 0. Nous aurons donc une fréquence de résonnance très proche de f 0 = 0.237Hz 0.24Hz. - Gain statique : H(0) = 1 - Gain à la résonnance : H(w r ) = 5. - Limite vers les hautes fréquences : H(+ ) = 0. - Pôles de H(p) p 1,2 = 0.15 ± j1.4925 Le module de la fonction de transfert isochrone est porté sur toutes les courbes d illustration. Dans tous les cas, la période d échantillonnage est choisie T s = 1s. 68
4.2 Approximation de la dérivée La variable complexe de Laplace p, est associée à la dérivée temporelle d/dt. Nous pouvons chercher à approximer cette dérivée de manière discrète et lui associer un opérateur polynomial en q 1 ce qui substituera à la variable complexe p une fonction polynomiale D(z). 4.2.1 Approximations Nous savons très bien approximer une dérivée de courbe par la méthode des rectangles à un instant t = kt s. Parmi les approximations possibles, les trois plus élémentaires sont : - Dérivée "arrière" (backward) : d dt x(t) = x k x k 1 T s - Dérivée "avant" (forward) : - Dérivée "centrale" : p 1 z 1 T s = z 1 zt s d dt x(t) = x k+1 x k T s p z 1 T s d dt x(t) = x k+1 x k1 2T s p z z 1 2T s = z2 z 2zT s 69
Remarque : la première approximation est causale ce qui n est pas le cas des deux dernières. 4.2.2 Qualité de l approximation Pour avoir une idée de la qualité de la méthode, il suffit de comparer les caractéristiques fréquentielles des deux fonctions complexes :p, associée à la dérivée rigoureuse et (1 z 1 )/T s associée à son approximation discrète. En fréquentiel : - p = jω jω = ω et arg(jω) = π/2. Résultat classique du dérivateur. - p D(z) = 1 z 1 D(jω) = 1 e jωts = 2j ( ) e j ωts ωts 2 sin T s T s T s 2 D(jω) = 1 ( ) ωts sin et Arg(D(jω)) = π T s 2 2 ωt s 2 La comparaison des modules et des arguments est indiquée ci-dessous : De l examen des courbes nous pouvons conclure : - L approximation des modules est correcte vers les basses fréquences, mais nettement moins bonne vers les hautes fréquences. - L approximation de la phase est peu satisfaisante. La méthode utilisée aura donc l avantage de la simplicité de mise en oeuvre, mais la transposition ne peut qu être médiocre surtout vers les fréquences élevées de la bande de Shannon. Exemple : Avec l exemple proposé : H(p) = G(z) = 2.25 p 2 + 0.3p + 2.25 2.25z 2 3.55z 2 2.3z + 1 p = z 1 z (4.6) 70
Soit un système discret ayant un zéro double et deux pôles z 1,2 = 0.3239 ± j0.4204. La réponse en fréquence donnée ci-dessous n est pas dans ce cas satisfaisante : 71
4.3 Invariance impulsionnelle 4.3.1 Principe de la méthode Une autre idée pour réaliser la transposition continu-discret est de se rappeler qu un système est caractérisé par sa réponse impulsionnelle. Nous pouvons donc prendre comme système discret celui dont la réponse impulsionnelle est la version échantillonnée de celle du système continu d origine. D un point de vue mathématique l opération est donc simple : pour un système continu de réponse impulsionnelle h(t) et de fonction de transfert H(p) on obtiendra un système discret de fonction de transfert G(z) correspondant à une réponse impulsionnelle g(t) g 1 (t) = h(t) k= δ(t kt s ) (4.7) et H(p = T L[h(t)] G 1 (z) = T Z[g 1 (t)] = T Z[T L 1 [H(p)]] Il faut se rappeler que ce que nous voulons voir coïncider au mieux, ce sont non pas les réponses impulsionnelles mais les réponses fréquentielles. Lors de líétude des systèmes discrets il a été établi que, pour une pulsation díéchantillonnage ω s : G(e jωt s ) = 1 T s k= H(j(ω kω s )) (4.8) Cette expression rappelle que, lors díune discrétisation, nous avons une périodisation du spectre qui donne lieu éventuellement à un phénomène de repliement. Si la condition díéchantillonnage (ici de discrétisation) de Shannon est respectée, ce phénomène nía pas lieu. La réponse fréquentielle du système discret coïncide donc, dans la bande de fréquences de Shannon, avec celle du système continu cependant il y a un coefficient 1/Ts entre les deux introduit par l échantillonnage. Un coefficient Ts annulera cet effet. G(z) = T s.t Z[T L 1 [H(p)]] Dans les cas simples, cette opération peut être très rapide avec l utilisation de tables ayant en regard les T L et TZ des fonctions usuelles. Pour les fonctions de transfert H(p) d ordre supérieur ou égal à trois, une décomposition de H(p) en éléments simples du premier et du second ordre sera nécessaire pour utiliser les tables. 4.3.2 Qualité de l approximation Pour comparer le filtre discret au filtre continu díorigine, il suffit de comparer leurs réponses fréquentielles G(e jωts ) et H(jω) dans la bande de fréquence de Shannon. Nous venons de rappeler que la transposition du filtre continu par la méthode de líinvariance impulsionnelle ne peut se faire que si la réponse en fréquence de ce filtre 72
respecte la condition de Shannon : 2w max < w s. Il est rare que cette condition soit rigoureusement respectée car en général H(jω) ne tend vers zéro quíasymptotiquement et la transposition introduira donc plus ou moins díécart dans les réponses fréquentielles. Pour les filtres continus de type passe-haut, cette condition níest à coup sûr pas vérifiée et la méthode ne peut donner de résultat satisfaisant. C est une méthode qu il vaut mieux réserver à des filtres ayant un comportement passebas ou passe-bande. M. Exemple : H(p) = 2.25 p 2 + 0.3p + 2.25 invariance impulsionnelle 1.292z 2 G(z) = z 2 0.13416z + 0.7396 Soit un système discret ayant un zéro double et deux pôles z 1,2 = 0.0671 ± j0.8574 d où une résonnance pour ωt s = Arctg(0.8574/0.0671) ω r = 1.493rd/s 4.4 Transposition par bloqueur d ordre N 4.4.1 Principe Nous avons un filtre continu dont le comportement est conforme à ce que nous attendons pour des signaux continus : s(t) = h(t) h(t) S(p) = H(p).E(p) Comment obtenir le même comportement pour des signaux discrets x(t) et y(t) obtenus respectivement par échantillonnage de e(t) et s(t)? y(t) = g(t) x(t) Y (z) = G(z).X(z) Nous pouvons imaginer le scénario suivant : Le signal continu e(t) est échantillonné ce qui donne le signal x(t). Le signal discret x(t) est mis en forme par un dispositif de transfert B(p) pour donner un nouveau signal continu ê(t). Le signal continu ê(t) est filtré par le filtre continu de transfert H(p) qui fourni le signal continu de sortie s(t). Ce signal de sortie s(t) est échantillonné pour fournir le signal discret y(t). Le système qui relie x(t) discret à y(t) discret a pour fonction de transfert G(z) et le système qui relie e(t) continu à s(t) continu a pour fonction de transfert H(p). La condition évidente pour que ces systèmes aient des comportements fréquentiels identiques est que ê(t) = e(t). C est le rôle du système de transfert B(p) qui est un 73
système hybride puisqu il transforme un signal discret en un signal continu. Aucun système linéaire ne peut remplir cette condition et nous sommes donc amenés à envisager une approximation ê(t) e(t) 74
4.4.2 Bloqueur d ordre 0 Un des dispositifs les plus simples pour reconstruire approximativement un signal continu. Il suffit de maintenir le signal à sa valeur x k entre les instant kt s et (k+1)t s : blocage du signal entre les deux instants d échantillonnage. Un bloqueur dëordre 0 est donc un dispositif qui transforme une impulsion en un signal maintenu pendant une période d échantillonnage. Sa réponse impulsionnelle b 0 (t) et sa fonction de transfert B 0 (p) sont donc les suivantes : b 0 (t) = u(t) u(t T s ) B 0 (p) = 1 p (1 epts ) La fonction de transfert ainsi obtenue est la fonction de transfert échantillonnéebloquée notée G(z) = B 0 H(z). Son expression s établit comme suit : - La réponse temporelle du système continu de transfert B 0 (p)h(p) est [ ] [ ] [ ] H(p) H(p) T L 1 [B 0 (p)h(p)] = T L 1 p (1 epts ) = T L 1 T L 1 H(p) pts e p p [ ] H(p) T L 1 [B 0 (p)h(p)] = f(t) f(t T s ), avec f(t) = T L 1 p - Si nous échantillonnons l entrée et la sortie de ce système, on obtient le système discret de fonction de transfert G(z) : 75
G(z) = T Z[f(t) f(t T s )] = (1 z 1 )T Z[f(t)] = (1 z 1 )T Z Transposition avec bloqueur d ordre 0 : Exemple : G(z) = (1 z 1 )T Z H(p) = [ T L 1 [ H(p) p 2.25 p 2 + 0.3p + 2.25 Bloqueur d orde 0 ]] [ T L 1 [ H(p) p 0.8464z + 0.7597 G(z) = z 2 0.1347z + 0.7408 Soit un système discret ayant un zéro en ñ0.897 qui aura donc pour effet d atténuer vers les hautes fréquences et deux pôles z 1,2 = 0.0671 ± j0.8574 d où une résonnance pour ωt s = Arctg( 0.8574 / 0.0671 ) ω r = 1.493rd/s ]] Avantage de la méthode : Le bloqueur d ordre zéro ajoute un filtrage fréquentiel passe-bas sur le filtre continu : 76
B 0 (p) = 1 p (1 ept s ) B 0 (jω) = T s (e jωts/2 ) sin (ωt s/2) ωt s /2 B 0 (jω) = T s. sin (ωt s/2) ωt s /2 Ce filtrage passe-bas minimise les effets d un éventuels du repliement dû à la discrétisation ce qui peut être vu comme une amélioration par rapport à la méthode de l invariance impulsionnelle. Remarque 1 : Le calcul de la fonction de transfert échantillonnée-bloquée G(z) fait intervenir l échantillonnage de f(t) qui est la réponse indicielle du système continu. Si le filtre continu est strictement propre (le degré du numérateur de sa fonction de transfert est inférieur au degré de son dénominateur), la valeur de la réponse indicielle en t = 0 est : f(0) = lim p + [ p H(p) p Le premier échantillon non nul de l échantillonnage de f(t) est f(t s ) on peut factoriser dans la fonction de transfert échantillonnée-bloquée un terme en z 1 qui correspond dans la réponse impulsionnelle du filtre discret à un retard d une période d échantillonnage G(z) = z 1 G (z). G(z) est de la forme : Remarque 2 : Lors de l application d un signal de commande à un système continu par l intermédiaire d un convertisseur numérique-analogique, ce convertisseur a un effet de bloqueur d ordre 0. Du point de vue de l échantillonné, le système commandé est donc constitué de ce bloqueur suivi du procédé continu. Le modèle discret de l ensemble est donc un modèle avec bloqueur d ordre 0 systématiquement utilisé par les automaticiens. 77 ] = 0
G(z) = h 1 z 1 + h 2 z 2 + = b 1z 1 + b 2 z 2 + b 3 z 3 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 + 4.4.3 Autres bloqueurs Bloqueur d ordre 1 : Plutôt que de bloquer simplement le signal échantillonné entre deux périodes d échantillonnage, une meilleure approximation ê(t) peut être obtenue en maintenant pendant l intervalle [kt s, (k + 1)T s ] la pente à l instant t = kt s. On utilise alors un bloqueur d ordre 1 dont la fonction de transfert est une fonction triangle T ri(t/t s ). La même démarche que pour le bloqueur d ordre 0 permet de calculer la fonction échantillonnée-bloquée d ordre 1 : G(z) = (1 z 1 ) 2 [ [ ]] H(p) T Z T L 1 z 1 T s p 2 Bloqueurs d ordre 2,3,... : Obtenus en maintenant le signal pendant une période d échantillonnage avec des approximations polynômiales d ordre n>1. Les expressions de calcul deviennent plus complexes, ces cas sont peu intéressants pour les applications. Bloqueur exponentiel : Le principe est toujours le même avec un maintient du signal assuré par une fonction exponentielle. 78
4.5 Transposition par pôles et zéros Un filtre est rigoureusement caractérisé par la position de ses pôles et ses zéros dans le plan p (en continu) ou dans le plan z (en discret). La donnée de ces points singuliers permet de calculer la fonction de transfert du système à une constante près. Cette constante est précisée par une donnée supplémentaire par exemple le gain statique. L idée de cette méthode de transposition est : la transposition z = e pts p = 1 T s Ln(z) n est pas applicable pour conserver à la fonction de transfert une forme polynomiale, elle est par contre applicable sur les points singuliers que sont les pôles et les zéros. La transposition par pôles et zéros calcule la fonction de transfert discrète G(z) ayant comme points singuliers les transposés rigoureux des points singuliers de la fonction de transfert continue H(p). 4.6 Transformation bilinéaire 4.6.1 Transformation bilinéaire Principe Approximation de l intégration 4.6.2 Qualité de la méthode 4.6.3 Transformation avec pré-décalage (Transformation de Tustin) 4.6.4 Equivalence discret-continu 79
4.7 Quelques rappels sur les filtres analogiques Gabarit ñ définitions Approximation de Butterworth Approximation de Tchebycheff I Approximation de Tchebycheff II Approximation elliptique (Cauer) Exemple Autres approximations 80
Chapitre 5 Filtres à tréponse impulsionnelle finie - Filtres FIR 5.1 Propriétés 5.1.1 Fonction de transfert (Rappels) 5.1.2 Exemples 5.1.3 Forme récursive 81
5.2 Filtres à phase linéaire 5.2.1 Intérêt d une phase linéaire 5.2.2 Conditions d obtention d une phase linéaire 5.2.3 Premier cas particulier : ϕ 0 = 0, filtres de types I et II Réponses impulsionnelle Réponse fréquentielle type I Réponse fréquentielle type II 5.2.4 Deuxième cas particulier : ϕ 0 = π/2, filtres de type III et IV Réponse impulsionnelle Réponse fréquentielle type III Réponse fréquentielle type IV 5.2.5 Avantage pratique 82
5.3 Synthèse par la méthode des fenêtres 5.3.1 Principe 5.3.2 Problème général de la troncature par une fenêtre de pondération 5.3.3 Fenêtre rectangulaire 5.3.4 Autres fenêtres Fenêtre triangulaire (Bartlett) Fenêtre de Hann (ou Hanning) Fenêtre de Hamming Fenêtre de Blackman Fenêtre de Kaiser 83
5.4 Filtres passe-haut, passe-bande, coupe-bande 5.4.1 Filtre passe-tout 5.4.2 Filtre passe-haut 5.4.3 Filtre passe-bande 5.4.4 Filtre coupe-bande 84
Bibliographie [1] Guy BINET, Notes de cours de Traitement Numérique du signal, Université de Caen Basse-Normandie. 85