Chapitre... : Matrices inversibles Définition/Proposition: Matrice inversible Soit A M n (R) une matrice carrée d ordre n. I. Matrices inversibles On dit que la matrice A est... lorsqu il existe une matrice B M n (R) carrée d ordre n vérifiant l une des deux égalités suivantes (qui sont équivalentes) :... Dans ce cas, une telle matrice B est... : on l appelle... et on la note A 1 On parle de matrices inversibles uniquement pour des matrices carrées. Exemple 1 2 3 Soient A = et B = 1 1 1 3. Vérifier que A est inversible, d inverse B. La matrice nulle O n n est pas inversible. Raisonnons par l absurde. Si O n était inversible, il existerait une matrice A M n (R) telle que...... Or pour toute matrice A M n (R),... donc c est impossible. Exemple 2 Montrer que la matrice n est pas inversible. Tout nombre réel x non nul possède une inverse 1. L exemple 2 montre que ce n est pas le cas avec x les matrices puisqu il existe des matrices carrées non nulles qui ne sont pas inversibles. Règles : inversibilité de matrices 1. Si A est inversible d inverse A 1 alors la matrice A 1 est inversible d inverse A. Autrement dit :... 2. Si A possède deux lignes identiques ou deux colonnes identiques alors elle n est pas inversible, voir Lycée Gambetta-Carnot Page 1/6 2017 2018
l exemple 2. 3. Si A est inversible alors t A est également inversible et... 4. Si A et B sont inversibles alors le produit AB est aussi inversible et... car... 5. Si A et B sont deux matrices non nulles telles que AB = O n alors aucune des deux n est inversible. 6. Soit C une matrice inversible. Si AC = BC alors... Si CA = CB alors... Si AC = B alors... Si CA = B alors... Définition : Ensemble des matrices inversibles On désigne par GL n (R) l ensemble des matrices carrées inversibles d ordre n. I n GL n (R) et I 1 n =... car... Théorème : Critère d inversibilité d une matrice carrée d ordre 2 a b Soit M = une matrice carrée d ordre 2. c d Alors A est inversible si et seulement si... Exemple 3 Redémontrer que la matrice A de l exemple 1 est inversible. Proposition : Inversibilité d une matrice diagonale a 1,1 0... 0. 0 a.. La matrice diagonale D = 2,2. est inversible si et seulement si....... 0 0... 0 a n,n... Dans ce cas, Lycée Gambetta-Carnot Page 2/6 2017 2018
Méthode : Conditions suffisantes d inversibilité d une matrice Soit A M n (R) une matrice carrée d ordre n. Pour que A soit inversible, il suffit (mais ce n est pas nécessaire) que l un des points suivants soit vérifié : 1. Si A est diagonale avec coefficients diagonaux non nuls, voir la Proposition précédente. 2. Si A est triangulaire (supérieure ou inférieure) avec coefficients diagonaux non nuls, voir l exemple 8. 3. S il existe une matrice B telle que AB = I n ou BA = I n. Dans ce cas, A 1 = B. 4. S il existe une expression factorisable par A qui est égale à I n. Dans ce cas, l autre facteur est l inverse de A, voir l exemple 4. 5. Si A est le produit de plusieurs matrices inversibles : A = C 1 C 2 C p et dans ce cas, A 1 =..., voir l exemple 5. Si aucune information n est vérifiée, on utilise la méthode du pivot de Gauss pour montrer l inversibilité de A, voir la méthode ci-dessous et l exemple 6. Exemple 4 Soit A =. Montrer que A 1 3 2 = 4A I 2 et en déduire que A est inversible. Expliciter son inverse. Exemple 5 2 3 Montrer que le produit de matrices est inversible. Expliciter son inverse. 1 1 1 3 Méthode : Étudier l inversibilité d une matrice à l aide de l algorithme du pivot de Gauss matriciel On va montrer l inversibilité d une matrice sur l exemple suivant : Exemple 6 2 Étudier l inversibilité de la matrice A = 1 1 0 1 0 1 Lycée Gambetta-Carnot Page 3/6 2017 2018
2 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 L 2 L 1 L 3 L3 L 1 dff 2 1 0 0 dff Lycée Gambetta-Carnot Page 4/6 2017 2018
On peut échanger les lignes et les colonnes, à condition de le faire simultanément pour les matrices à gauche et à droite. Exemple 7 0 1 1 Étudier l inversibilité de A = 1 1 0 à l aide de l algorithme du pivot de Gauss. 2 2 1 Exemple 8 1 Montrer que la matrice A = 0 est inversible et expliciter A 1. 0 0 3 Lycée Gambetta-Carnot Page 5/6 2017 2018
Exercices 1 4 2 2 Exercice 1. Les matrices A = 1 2 3 et B = 1 1 2 sont-elles inversibles? 2 1 5 2 4 2 1 0 2 1 1 0 Exercice 2. Les matrices A = 0 2 2 et B = 1 sont-elles inversibles? 0 1 1 1 1 0 Exercice 3. Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, déterminer leur inverse. 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1. A = 2 2 3 2. B = 2 4 3 3. C = 1 0 0 0 0 1 1 4. D = 2 4 3 2 4 3 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Exercice 4. Soit A = ( 2 3 3 2 ) 1. Pour quelles valeurs du réel λ la matrice A λi n est-elle pas inversible? 2. Déterminer en fonction de λ toutes les matrices colonnes X telles que AX = λx. 3 1 0 1 2 1 3. Mêmes questions avec A = 9 3 0 et A = 2 3 3 0 0 4 1 1 2 0 2 1 Exercice 5. Montrer que pour tout k R, la matrice M = k 1 0 est inversible et donner son inverse. 1 3 9 9 Exercice 6. Soit A = 2 0 0. Calculer A2. En déduire que A n est pas inversible. 3 3 3 Exercice 7. Soient A,P,Q et D les matrices définies par 5 1 1 1 4 0 0 A = 1 7 2, P = 1 1 1 et D = 0 6 0 1 1 6 1 1 1 0 0 8 1. Déterminer l inverse de P. 2. Vérifier que A = P DP 1 3. En déduire une expression simple de A 2. (A 2 = A A) 4. Calculer A n en fonction de n N. 1 0 1 Exercice 8. Soit C = 0 1 0. 1 1 1 1. Calculer C 2 et C 3. 2. Que vaut 3C2 2C? 3. En utilisant la question précédente, démontrer que C n est pas inversible. Lycée Gambetta-Carnot Page 6/6 2017 2018