Laboratoire virtuel : Étude d une machine asynchrone à cage

Chapitre 4 : Fonctionnement en moteur ou en générateur des convertisseurs triphasés à champ tournant Laboratoire virtuel : Étude d une machine asynchrone à cage Question 1 : Examen de la plaque signalétique La plaque signalétique porte les indications suivantes : f =50Hz P Nom = 3,75 kw U Nom = 0/380 V I Nom = 14,/8, A N Nom = 1446 tr/min. cos ϕ Nom =0,8 Quelles sont les valeurs de la tension nominale de ligne et du courant nominal de ligne si la machine est connectée en triangle? Quel est le nombre de paires de pôles? Quel est le rendement nominal théorique de la machine? Aide La puissance indiquée sur la plaque signalétique est la puissance mécanique utile du moteur. Les valeurs données pour les tensions et les courants sur la plaque signalétique sont des grandeurs de ligne. La vitesse de synchronisme est proche de la vitesse nominale et légèrement supérieure à celle-ci. Réponse U l,nom = 0 V I l,nom = 14, A p = η Nom = 0,85 Démonstration En étoile, les tensions de ligne sont 3 fois plus grandes que les tensions de phase et les courants de ligne égaux aux courants de phase. En triangle, les courants de ligne sont 3 fois plus grands que les courants de phase et les tensions de ligne égales aux tensions de phase. 1

Quel que soit le mode de connexion des enroulements on doit avoir au point de fonctionnement nominal les mêmes valeurs pour les tensions de phase et pour les courants de phase car ce sont les grandeurs qu on trouve aux bornes des enroulements. Par conséquent, en étoile la tension nominale de ligne sera 3 fois plus grande qu en triangle et le courant de ligne 3 fois plus petit. On en déduit que : les valeurs U l,nom = 380 V, I l,nom =8, A correspondent à la connexion étoile les valeurs U l,nom = 0 V, I l,nom =14, A correspondent à la connexion triangle. La vitesse de synchronisme N s exprimée en tours/min vaut : N s = 60 f tr/min p où f estlafréquence du réseau et p le nombre de paires de pôles de la machine. Comme f =50Hz,ona: N s = 3000/p tr/min soit 3000 tr/min pour p = 1, 1500 tr/min pour p =, 1000 tr/min pour p = 3,... Comme la vitesse nominale du moteur est de 1446 tr/min, la vitesse de synchronisme ne peut être que 1500 tr/min ; d où p =. La puissance P Nom est la puissance mécanique utile à la sortie. La puissance électrique absorbée au point de fonctionnement nominal peut s écrire en fonction des tensions et courants de phase nominaux : Pélec,Nom =3U ph,nom I ph,nom cos ϕ Nom Quelle que soit la connexion, on a U ph,nom = 0 V, I ph,nom =8, A,d où Pélec,Nom =3 0 8, 0, 8 = 439 W Le rendement est le rapport existant entre la puissance utile fournie et la puissance électrique absorbée : η Nom = P Nom = 375 =0, 86 Pélec,Nom 439 Question : Schéma équivalent monophasé étoile simplifié On considère lecasoù la machine est connectée en triangle au stator. Les valeurs nominales des tensions et des courants de ligne valent donc V l,nom = 0V I l,nom =14, A.1. Essai à rotor bloqué. Mesure en courant continu de la résistance R s Le rotor étant immobilisé, on règle la tension d alimentation de manière à y faire circuler des courants de valeur efficace sensiblement égale à la valeur nominale. On utilise pour mesurer la puissance absorbée au stator, la méthode des deux wattmètres (figure ). On peut lire sur les appareils, les indications suivantes :

Fig. 1 Voltmètre V : 3,5 V Ampèremètre A : 13,6 A Wattmètre W 1 : 5 W Wattmètre W : +370 W A V autotransformateur réglable W 1 W Fig. La mesure en courant continu (par exemple à l aide d un ohmmètre) de la résistance R vue entre deux bornes d alimentation du stator fournit R = 0, 5Ω. Déterminez à partir des mesures effectuées les éléments : R e = R s + R r X e = ωl cs + ωl cr = X cs + X cr du schéma équivalent monophasé simplifié de la machine. Partagez la résistance R e en ses parties R s et R r. Aide Le rotor étant immobilisé, on notera que le glissement vaut1etquelarésistance R r 1 a donc une valeur nulle. 3

Réponse R e =0, 6 Ω R r =0, 37 Ω X e =1, 3 Ω Démonstration On utilise le schéma équivalent monophasé étoile simplifié où (figure 3) : on remplace la résistance R r 1 par un court-circuit puisque vaut 1 ; onnéglige l impédance jx μ = jωl μ. Re j X e Vs j L j Xm V s j X e R e Fig. 3 On en déduit que V s cos ϕ = R e d où R e = V s cos ϕ V s sin ϕ = X e d où X e = V s sin ϕ Dans ces relations V s et sont les grandeurs de phase étoile correspondant aux grandeurs de ligne mesurées ; d où V s =3, 5/ 3=18, 76 V =13, 6A La somme W 1 + W correspond à la puissance totale absorbée par la machine ; on a donc : W 1 + W =3V s cos ϕ = 345 W 4

D où On obtient cos ϕ =0, 45 R e = V s cos ϕ =0, 6 Ω X e = V s sin ϕ =1, 3 Ω On déduit R s de la valeur mesurée en courant continu entre deux bornes d alimentation statorique. La résistance R s vaut R/ puisque pour la machine équivalente qui, connectée en étoileétoile aurait le même comportement la résistance mesurée entre deux bornes d alimentation vaudrait R s La résistance R r vaut : R r = R e R s =0, 6 0, 5 = 0, 37 Ω Remarque : les valeurs de R e et X e sont celles de la machine étoile-étoile équivalente lorsque la machine est physiquement connectée en triangle au stator... Essai à faible glissement On alimente la machine sous sa tension de ligne nominale V l,nom, le rotor n étant relié à aucune charge mécanique. A vitesse stabilisée, on obtient les lectures suivantes : Voltmètre V = 0 V Ampèremètre A = 7,4 A Wattmètre W 1 = 1 W Wattmètre W = 1589 W Une mesure stroboscopique de la vitesse indique que le moteur perd 3 tours par rapport à la vitesse de synchronisme en 48 secondes. Calculez l impédance de magnétisation de la machine jx μ = jωl μ. Réponse jx μ = jωl μ = j17, 3Ω Démonstration Comme la mesure stroboscopique indique que le moteur a perdu 3 tours/min en 48 secondes, le nombre n de tours perdus par minute par rapport à la vitesse de synchronisme vaut : n = 3 60 =3, 75 tr/min 48 La vitesse de rotation du moteur est égale à N = N s n = 1496, 5 tr/min 5

Le glissement vaut : = N s N = n =0, 005 N s N s Connaissant le glissement on peut calculer la valeur de R r 1 R r 1 = 147, 6Ω La branche R e, jx e, R r 1 impédance Z R égale à du schéma équivalent simplifié (Figure 4) présente donc une Z R = R e + jx e + R r 1 = (148, 3+j1, 3) Ω Re j X e I Vs j L j Xm R' r 1- Fig. 4 On ne commet pas d erreur significative en négligeant jx e devant R e + R r(1 )/, c està dire en supposant cette branche purement résistive. Le schéma équivalent simplifié se réduit alors à celui de la figure 5. Re V s I Vs j L j Xm R' r 1- I Fig. 5 On a : I μ = sin ϕ = V s = X μ = V s X μ sin ϕ V s et sont les valeurs efficaces de la tension de phase étoile et du courant de phase étoile correspondant à la tension de ligne et au courant de ligne mesurés, d où V s = 0/ 3 = 17 V =7, 4A 6

La puissance absorbée par la machine égale à W 1 + W vaut : W 1 + W =3V s cos ϕ = 367 W D où cos ϕ = W 1 + W 3V s =0, 13 sin ϕ = 1 cos ϕ =0, 99 On a X μ = V s =17, 3Ω sin ϕ Remarques : La valeur de X μ est celle de l impédance de magnétisation de la machine étoile-étoile équivalente lorsque la machine est physiquement connectée en triangle au stator. En utilisant le schéma équivalent où onnéglige X e devant R e + R r(1 )/ (figure), on obtient sous la tension de 17 V uncourant égal à une puissance absorbée de ) ( ) = ( Vs V s + X μ R e + R r 1 1/ =7, 39 A 3Vs P = R e + R r (1 ) = 36W au lieu de 367 W L écart par rapport aux valeurs mesurées provient principalement de l approximation liée à l emploi du schéma équivalent simplifié. Question 3 : Valeurs du couple de démarrage et du couple nominal On alimente la machine à partir d un réseau dont les tensions de ligne ont une valeur efficace de 0 V. 1. Pour une connexion en triangle de la machine, calculez à partir du schéma équivalent simplifié : la valeur théorique du couple à l arrêt (couple de démarrage) ; la valeur théorique du couple électromagnétique à la vitesse nominale. Déterminez dans les deux cas les valeurs efficaces des courants de ligne correspondant.. Pour une connexion en étoile de la machine, qu elle est la valeur théorique du couple à l arrêt et du courant de ligne correspondant. 7

Aide La puissance convertie d énergie électrique en énergie mécanique P e m correspond à trois fois la puissance dissipée dans la résistance R r 1 du schéma équivalent. Réponse 1. Le couple à l arrêt est de 60,1 Nm. Le courant de ligne correspondant est de 98,6 A. Le couple à la vitesse nominale vaut 8, Nm. Le courant de ligne correspondant vaut 14,5 A.. Le couple à l arrêt est de 0 Nm pour un courant de ligne de 3,9 A. Remarques : Le courant de ligne au démarrage est 7 fois plus élevé que sa valeur nominale. En calculant le courant de ligne à la vitesse nominale à partir du schéma équivalent monophasé simplifié de la machine, on obtient une valeur légèrement différente (14,5 A) de la valeur nominale mentionnée sur la plaque signalétique. De même la valeur du couple électromagnétique est entachée d une légère erreur, mais cette erreur est plus difficile à déterminer car elle nécessiterait de connaître le couple de frottement correspondant aux pertes mécaniques internes à la machine pour en déduire une valeur théorique du couple utile et la comparer à celle calculée à partir de la puissance utile àlavitesse nominale. Les différences proviennent de l approximation liée à l utilisation du schéma équivalent monophasé simplifié de la machine et des simplifications faites lors du calcul des paramètres de ce schéma. Si on alimentait la machine sous une tension de ligne de 380 V lorsqu elle est connectée en étoile, on retrouverait, pour toute valeur de, lamême valeur du couple que dans le cas où la machine est connectée en triangle et alimentée sous une tension de ligne de 0 V, mais avec un courant de ligne 3 fois plus petit. Démonstration 1. Pour calculer les valeurs du couple et du courant de ligne statorique, on utilise le schéma équivalent étoile simplifié dont on a calculé précédemment les valeurs des paramètres à partir d un essai à rotor bloqué et d un essai à vide sous tension nominale (figure 6). Re j X e I Vs j L j Xm R' r 1- Fig. 6 8

Comme la machine est connectée en triangle au stator, les valeurs des paramètres de ce schéma sont celles de la machine étoile équivalente, c est-à-dire de la machine qui connectée en étoile au stator et au rotor aurait sous la même tension de ligne le même comportement que la machine testée. Les valeurs des paramètres du schéma étoile équivalent sont : R s =0, 5 Ω R r =0, 37 Ω X e =1, 3 Ω X μ =17, 3Ω La machine ayant deux paires de pôles, la vitesse de synchronisme vaut : ω 1500 π = = 157 rad/s. p 60 La valeur efficace de la tension de phase V s qu il faut appliquer à ce schéma est 3 fois plus petite que la tension de ligne. Elle est donc égale à 0V/ 3 = 17 V. Le courant de phase calculé à partir de ce schéma est égal au courant de ligne absorbé par la machine puisqu en étoile le courant de ligne est égal au courant de phase. La puissance convertie d énergie électrique en énergie mécanique vaut trois fois la puissance dissipée dans la résistance R r 1 du schéma équivalent (figure 6) : À partir de ce schéma, on calcule : D où : P e m =3R r 1 I r = P e m =3R r 1 V s I r ( R s + R r ) + X e V s ( R s + R r ) + X e Le couple électromagnétique s obtient en divisant la puissance P e m par la vitesse de rotation ω m =(1 ) ω p où ω p est la vitesse de synchronisme. Il s exprime donc en fonction du glissement par : C em = 3pR r ω V s (R s + R r ) + X e ou encore en multipliant le numérateur et le dénominateur de cette expression par C em = 3pR r Vs ω (R s + R r) +(X e ) La valeur efficace du courant de ligne correspondant est de : D où : V s Ī s = Īμ + Ī r = ( ) + V s R s + R r + jx jx μ e Ī s = [( ) ] V s R s + R r + j(x e + X μ ) [( ) ] jx μ R s + R r + jx e 9

ou encore : = [ ( ) ] 1/ V s R s + R r +(Xe + X μ ) [ ( X μ R s + R r ) + X e ] 1/ 1.1. À l arrêt (pour = 1) le couple électromagnétique vaut : C em = 1.11 157 (17) (0, 5 + 0, 37) =60, 1Nm +(1, 3) Le courant de ligne correspondant est égal à: = 17 [ (0, 5 + 0, 37) + (17, 3+1, 3) ] 1/ 17, 3 [(0, 5 + 0, 37) +(1, 3) ] 1/ =98, 6A 1.. La vitesse nominale est égale à 1446 t/min. À vitesse nominale le glissement vaut : 1500 1446 = 1500 D où la valeur du couple à vitesse nominale : C em,nom = 1.11 0, 036 157 Le courant de ligne correspondant est égal à: =0, 036 (17) (0, 009 + 0, 37) =8, Nm +0, 44,Nom = 17 [ (0, 5 + 10, 3) + (17, 3+1, 3) ] 1/ 17, 3 [(0, 5 + 10, 3) +(1, 3) ] 1/ =14, 5A 10

Remarques On obtient une valeur du courant nominal de la machine légèrement différente de celle indiquée sur la plaque signalétique (14, A). La différence provient de l approximation liée à l utilisation du schéma équivalent monophasé simplifié de la machine et des approximations faites lors du calcul des paramètres de ce circuit. Le couple utile à l arbre est égal au couple électromagnétique diminué du couple C p correspondant aux pertes mécaniques internes à la machine. On peut estimer le couple C p en supposant qu il est sensiblement égal au couple électromagnétique développé par la machine lors de l essai à vide car la vitesse varie peu de la marche àvideà la vitesse nominale. Lors de l essai à vide la puissance dissipée dans les résistances R r(1 )/ correspond au couple de pertes mécaniques multipliées par la vitesse de rotation. Comme lors de cet essai le glissement vaut 0,005 la puissance on a 3V s R e+r r (1 ) vaut approximativement 36 W C p = 36 157 (1 0, 005) =Nm D où le couple utile théorique à vitesse nominale C u,nom C u,nom = C em,nom C p 8, =6, Nm A partir des données de la plaque signalétique, on peut calculer le couple utile à partir de la relation P ut,nom = C u,nom ω m,nom avec ω m,nom = 1446 1500 π 60 rad/s P ut,nom = 375 W. On a C u,nom =4, 6 Nm. Ici aussi l erreur commise provient de l approximation liée à l utilisation du schéma équivalent simplifié et de simplifications faites lors du calcul des paramètresdeceschéma.. Si la machine est connectée en étoile à neutre isolé le schéma équivalent monophasé étoile fournit l impédance que présente chacune des phases de la machine. Si la machine est connectée en triangle le schéma équivalent monophasé étoile fournit une impédance égale à 1/3 de l impédance réellement présentée par chacune des phases (voir transformation étoile triangle glossaire). Le schéma équivalent monophasé étoile lorsque la machine est connectée en étoile s obtient donc en multipliant par 3 les valeurs de tous les éléments du schéma monophasé étoile équivalent représentant la machine lorsqu elle est connectée en triangle. On trouve donc le courant absorbéà l arrêt et le couple développéà l arrêt lorsque la machine est alimentée sous une tension de ligne de 0 V en appliquant une tension V s = 0/ 3= 17 V au schémadelafigure6enyposant R s =0, 75 Ω R r =1, 11 Ω X e =3, 69 Ω 11

X μ =51, 9Ω =1 On a C em =0Nm =3, 9A Le courant de ligne absorbé et le couple développé sont égaux au tiers de la valeur qu ils avaient pour une connexion en triangle du stator. Remarque Si on alimentait la machine sous une tension de 380 V lorsqu elle est connectée en étoile au stator, on aurait V s = 380/ 3 = 0 V. D où : C em =60Nm =55, 6A C est-à-dire le même couple uncourant 3 fois plus petit que pour une alimentation sous une tension de 0 V et une connexion triangle des enroulements. Question 4 : Comportement en charge 1. Quelle est l erreur commise sur la valeur de la vitesse à laquelle le couple électromagnétique atteint sa valeur nominale théorique si on approxime la caractéristique couple-vitesse dans la zone utile de fonctionnement par sa tangente au point correspondant à la vitesse de synchronisme?. Sur la base de cette approximation de la caractéristique couple-vitesse, calculez la valeur efficace du courant absorbé auréseau et le cos ϕ lorsquelepoint de fonctionnement correspond à un couple électromagnétique égal à 5% du couple nominal théorique 50% du couple nominal théorique 75% du couple nominal théorique Réponse 1. L erreur commise sur la vitesse au couple électromagnétique nominal théorique, obtenue en approximant la caractéristique par sa tangente, est de 3 tr/min. Cette approximation est donc tout à fait acceptable pour l étude du comportement de la machine dans la zone utile de fonctionnement, à savoir dans la zone des faibles glissements ( < Nom )..1. Pour C em =0, 5 C em,nom =7, 05 Nm =7, 94 A cos ϕ =0, 364 1

.. Pour C em =0, 5 C em,nom =14, 1Nm =9, 56 A cos ϕ =0, 6.3. Pour C em =0, 75 C em,nom =1, 15 Nm =11, 7A cos ϕ =0, 77 Remarque. On constate que le cos ϕ de la machine n est jamais bon et qu il est d autant plus mauvais que la machine est peu chargée. On a donc tout intérêt à choisir la machine en fonction de la charge àentraîner de manière à ce que le point de fonctionnement en régime soit proche du point de fonctionnement nominal. Mais, dans ce cas comme on peut le voir dans le laboratoire virtuel où on étudie le démarrage direct du moteur asynchrone à partir du réseau, si la charge présente un moment d inertie important, on risque d avoir une dissipation d énergie excessive au rotor durant le démarrage. Dans ce cas, il faut utiliser une procédure de démarrage qui permette de limiter les pertes au rotor en alimentant par exemple la machine par un onduleur de tension travaillant à U/f imposé. Démonstration 1. Sur la base du schéma equivalent monophasé simplifié, on a montré que le couple électromagnétique s écrivait en fonction du glissement : C em = 3pR r Vs ω (R s + R r) +(X e ) Sa dérivée en fonction de s écrit soit C em = 3pR r V (R s + R r) +(X e ) (Rs +R s R r +Xe ) s ω [(R s + R r) +(X e ) ] = 3pR r Vs ω C em (R s + X e )+R r [ (R s + X e )+R s R r + R r ] = 114( 1, 58 +0, 137) (1, 58 +0, 185 +0, 137) À la vitesse de synchronisme (pour = 0), C em / vaut : ( ) Cem 114(0, 137) = (0, 137) = 83 =0 13

Si on approxime la courbe C em - aux environs de la vitesse de synchronisme par sa tangente prise au point =0,ona: C em = 83 (Nm) soit pour la caractéristique couple-vitesse : ( C em = 83 1 pω ) m (Nm) ω Pour la valeur nominale C em,nom = 8,17 Nm du couple, l approximation de la caractéristique couple-glissement par sa tangente donne : 8, 17 Nom = =0, 034 83 soit une vitesse de rotation de 1449 tr/min au lieu de 1446 tr/min..1. Pour C em =0, 5 C em,nom,ona: C em =0, 5 8, =7, 05 Nm D où : La résistance R r 1 = 7, 05 83 =0, 0085 du schéma équivalent monophasé simplifié vaut: R r 1 =0, 37 1 0, 0085 0, 0085 =43, 15 Ω Le courant Īs est la somme du courant Īμ et du courant I r (figure 7). Le courant Īμ est déphasé deπ/ en arrière par rapport à V s et a une valeur efficace égale à Le courant Ī r a une valeur efficace égale à Soit = V s = 17 =7, 3 A. X μ 17, 34 I r = V s [ (R s + R r ) + X e ] 1/ I r 17 = [ ] 1/ =, 89 A (0, 5 + 0,37 0,0085 ) +(1, 3) il est déphasé en arrière sur V s d un angle ψ égal à ( ψ = arctan X e R s + R r ) soit ( ) 1, 3 ψ = arctan =1, 61 43, 78 14

Re R s R' r j X e I Vs j L j Xm R' r 1- sin cos V s sin I I I Fig. 7 La composante I r cos ψ de Ī r en phase avec V s vaut : I r cos ψ =, 889 A La composante I r sin ψ de I r en quadrature avec V s vaut : I r sin ψ =0, 08 A La composante de Īs = Ī r + Īμ en phase avec V s vaut Īs cos ϕ = I r cos ψ. La composante de Īs en quadrature avec V s vaut Īs sin ϕ = I μ + I r sin ψ. On a : cos ϕ =, 889 A sin ϕ =7.4A D où =7, 945 A ϕ = arctan sin ϕ =68, 67 cos ϕ cos ϕ =0, 364. et.3. Le calcul est similaire pour C em =0, 5 C em,nom et 0, 75 C em,nom. 15