F(z) = Z f(n) = f(n) z n

ÁÊÇ Á Ì ¾¼ ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Í ËÁ Æ Ä ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ Å Ü Å ÒÓØØ Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ º ÀØØÔ»»ÛÛÛº ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº» Ñ ÒÓØØ» Ø ¾¼ ¹Ñ Ð Ñ ÒÓØØ ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº

ËÇÅÅ ÁÊ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÑ Ò ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü ÑÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÖ Ø Ð Ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò ÁÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô Ö ÈÐ Ø ÖÓ º º º º º º º º º º º ½ Ì Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

ÁÆÌ Ê Ì Ä Ì ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÁÆÁÌÁÇÆ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ì ÔÐÙ ÑÔÐ ÒÚ Ö Öµ ÈÖ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ÙØ Ð Ò Ð ÐØÖ Ø ÑÔ ¹Ö Ð Ò ÙÜ ÒÙ¹ Ñ Ö ÕÙ ÒÓÑ Ö Ò Ò ³ ÒØ ÐÐÓÒ ÔÓ Ð µ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÐØÖ Ò Ø ÖÑ ÔÐ ² Þ ÖÓ ËÓ Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ô Ö ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ {f(nt e )} ÓÙ {f(n)} ÁÆÁÌÁÇÆ ( ) F(z) = Z f(n) = + n= f(n) z n ÓÒÚ Ö Ò ÔÓÙÖ z { z C + n= f(n) z n ÓÒÚ Ö } Ë {f(n)} Ø ÙÖ Ò ÓÒÚ Ö Ò ÔÓÙÖ Ð ÔÐ Ò ÒØ Ö Ù Ò z = 0 Ø z = Ë {f(n)} Ù Ð f(n) = 0 n < 0µ f(0) = lim z + F(z) Ä Ú Ö Ð n Ø Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ø ÑÔ Ö Ø Ó¹ Ñ Ò Ø ÑÔÓÖ Ðµ Ð Ú Ö Ð z Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ ÔÙÖ Ñ ÒØ ØÖ Ø ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð Ô Ö Ò ÐÓ Ú Ð Ì µ ¾

ÇÅ ÁÆ ÇÆÎ Ê Æ ½µ Æ Ê ÄÁË ÌÁÇÆ Ä Ì ÈÓÙÖ {f(n)} Ò Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù Ð Ø ÙÖ Ò F(ν) = 1 N N 1 n=0 ( f(n) exp 2πjnν N Ä Ì Ø ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ì Ø Ô ÙØ ØÖ ØÖÓÙÚ Ò Ú ÐÙ ÒØ F(z) Ò z = exp(2πjν/n) = exp(jw) Ò Ð³ Ú ÐÙ ÒØ ÙÖ Ð ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ F(ν) = F(z) z=exp(jw) ) ÇÅ ÁÆ ÇÆÎ Ê Æ Ä Ì Ò³ Ò Õ٠гÓÒ ÔÖ Ð ÓÑ Ò Ú Ð ÙÖ z ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ØØ Ö Ü Ø Ê ÓÒ ÓÒÚ Ö Ò ËÓ Ø Ð Ö n=0 u n = u 0 + u 1 + u 2 + u 3... ÍÒ Ö ØÝÔ ÓÒÚ Ö lim n ( F(z) = + n= f(n) z n = 1 n= f(n) z n + } {{ } F(z 1 ) ) u n 1/n < 1 f(n) z n n=0 F(z 2 ) ÓÒÚ Ö lim n ( f(n) z n 1/n ) < 1 ( ) z > lim f(n) 1/n n }{{} R } {{ } F(z 2 )

ÇÅ ÁÆ ÇÆÎ Ê Æ ¾µ F(z 1 ) = 1 n= f(n) z n = f( m) z m m=1 F(z 1 ) ÓÒÚ Ö z < lim m f( m) 1/m }{{} R + Ò Ð Ò Ö Ð Ð ÓÑ Ò ÓÒÚ Ö Ò F(z) Ø ÙÒ ÒÒ Ù ÓÙ ÓÙÖÓÒÒ µ C Ô Ö ÒØ ÕÙ µ R < z < R + ( 1 ) Ê Å ÊÉÍ Ë Ë Ð ÖÐ ÙÒ Ø ÓÑ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ì Ü Ø º Ä Ô Ì Ì Ò³ Ø ÔÓ Ð ÕÙ Ð ÖÐ ÙÒ Ø ÓÑ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ä ÔÓ ÒØ Ù ÓÑ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ó F(z) = 0 ³ ÔÔ ÐÐ ÒØ Ð Þ ÖÓ Ö Ò Ù ÒÙÑ Ö Ø ÙÖµ Ä ÔÓ ÒØ Ù ÓÑ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ó F(z) = ³ ÔÔ ÐÐ ÒØ Ð ÔÐ Ö Ò Ù ÒÓÑ Ò Ø ÙÖµ Ë Ð Ì Ø Ò ÔÓÙÖ z > R Ú R < 1 Ð Ì Ò z = 1 ÔÓÙÖÖ Ù ÖÚ Ö Ù ÐÙÐ Ð ÓÑÑ ³ÙÒ Ö Ö F(z = 1) = f(n) n=0

ÅÈÄ ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ò ½µ ÓÒØ ÓÒ Ö 1 ÔÓÙÖ n = 0 δ(n) = F(z) = Z [ δ(n) ] = 0 ÒÓÒ δ(n) z n = 1 (z C) n= ÓÒØ ÓÒ Ö Ê Ø Ö F(z) = Z [ δ k (n) ] = 1 ÔÓÙÖ n = k δ k (n) = 0 ÒÓÒ δ(n) z n = z k (z C ) n= ÓÒØ ÓÒ ÐÓÒ¹ÍÒ Ø U(n) = 1 n N + (n 0) F(z) = Z [ U(n) ] = U(n) z n = z n = 1 (1 z )n 1 1 n= n=0 z F(z) = z ( ) z > 1 z 1 ÆÓØ z = 1 Ø Ð³ÙÒ ÕÙ ÔÐ F(z) Ö Ò Ù ÒÓÑ Ò Ø ÙÖµ

ÅÈÄ ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ò ¾µ ÓÒØ ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ËÓ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ f(t) = a t U(t) Ø ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ Ó {a n U(n)} F(z) = Z [ a n U(n) ] = ÆÓØ a n U(n) z n = n= F(z) = z z a ( z > a ) n=0 a n z n = 1 (a z )n 1 a z Ë a < 1 Ð Ì Ü Ø F ( z = exp(2jπν) ) = exp(2jπν) exp(2jπν) a Ä ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ {a n } Ò ÓÒÚ Ö Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ù ÓÒ Ö Ö 1 n= an z n = m=1 a m z m ÕÙ ÓÒÚ Ö ÙÐ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ z < a R + = a Ø R = a µ Ñ Ñ Ú Ð Ñ Ñ Ö ÓÒ Ñ ÒØ ÓÒ Z [ exp(αn) U(n) ] z = z exp(α) ( ) z > exp(α) ÓÒØ ÓÒ ÐÓÒ ÌÖÓÒÕÙ F(z) = ËÓ Ø Ð Ì {f(n) = 1 {0,...,N 1} (n)} N 1 n=0 ÕÙ ÓÒÚ Ö z 0 z n = 1 + z 1 +... + z (N 1)

½º Ä Ò Ö Ø ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÈÊÇÈÊÁ Ì Ë Ä Ì ½µ [ ] [ ] [ ] Z λf(n) + µg(n) = λz f(n) + µz g(n) Ê ÝÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ê µ Ê f Ê g ÅÓÒØÖ Ö Z[ {cos(wn) U(n) } ] = z2 z cos w z 2 2z cos w+1 z > 1µ ¾º Ð Ò Ð Ø ÑÔ Ë Z 1 [ Z [ f(n m) ] = 1 z m Z[ f(n) ] Z [ f(n + m) ] = z m [Z [ f(n) ] z z 1 4 ] ( = ÇÒ Ö Ø Ò Ö 1 4 ) n U(n) Z 1[ m 1 p=0 1 z 1 4 f(p)z p ] ] = ( F(z) f(0) ( 1 4) n 1U(n 1) Z [ f(n + 1) ] = z Z [ f(n + 2) ] ( ) = z 2 F(z) f(0) 1 z f(1) Z [ f(n 1) ] = 1 z F(z) ij Ú Ò ØÖ Ù Ø Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö z Ä Ö Ø Ö ØÖ Ù Ø Ô Ö Ð Ú ÓÒ Ô Ö z )

ÈÊÇÈÊÁ Ì Ë Ä Ì ¾µ º ÌÖ Ò ÓÖÑ {a n f(n)} [ ] ( z Z a n f(n) = F a) ÇÒ Ø ÕÙ Z[ {cos(wn) U(n) } ] = z2 z cos w z 2 2z cos w+1 z > 1µ ÓÒ Z[ {a n cos(wn) U(n) }] = z2 a z cos w z 2 2 a z cos w+a 2 z > aµ º ÌÖ Ò ÓÖÑ {n f(n)} [ ] Z n f(n) = z F (z) ÇÒ Ø ÕÙ Z[ {U(n) } ] = z z 1 ³Ó Z[ {n U(n) } ] = z ÈÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Z [ n k f(n) ] = z > 1µ ( ) z z 1 = z (z 1) 2 ( k z dz) d F(z) º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ù ÔÖÓ Ù Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ f(n) g(n) Z F(z). G(z) º Ì ÓÖ Ñ Ð Ú Ð ÙÖ Ò Ø Ð ² Ò Ð Ò Ð Ù Ð lim F(z) = f(0) z ( ) z 1 lim z 1 F(z) = lim n f(n)

ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÁÆÎ ÊË ½µ Ä ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÒÚ Ö Ø ÓÒÒ Ô Ö ] f(n) = Z [F(z) 1 = 1 F(z) z n 1 dz 2 πj C = Ê {z n 1 F(z)} z=zi z i =ÔÐ z n 1 F(z) Ó C Ø ÙÒ Ñ Ò ÖÑ Ô ÖÓÙÖÙ Ò Ð Ò ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ø Ê º Ò Ð ³ÙÒ Ò Ð Ù Ð ÐÐ ³ Ø٠г Ö Ù Ó٠г ØÖÓ Ñ ¹ Ø Ó ÑÔÐ ½º ÍØ Ð Ø ÓÒ Ì Ð Ø ÈÖÓÔÖ Ø F(z) = 0.5 z 1 (1 0.5 z 1 ) 2 Z 1[ F(z) ]? ÇÒ ÙØ Ð Õ٠гÓÒ Ø ÚÓ Ö a n U(n) Z Ø ÓÒ 1 1 a z 1 Ø Z n a n U(n) Z 0.5 z 1 (1 0.5 z 1 ) 2 [ n f(n) a z 1 (1 a z 1 ) 2 ] = z F (z) Z 1 n(0.5) n U(n)

ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÁÆÎ ÊË ¾µ ¾º ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ë ÑÔÐ ÈÖ Ò Ô ÓÒ ÓÑÔÓ F(z) Ò ÓÑÑ ÓÒ¹ Ø ÓÒ ÑÔÐ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ð Ì ÒÚ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ò Ö Ø Ð Ì µ F(z) Ô ÙØ Ø ³ Ö Ö Ú Ö [P0 (z)] < Ö [Q(z)] F(z) = S(z) + P 0(z) Q(z) ÄÓÖ ÕÙ Ð Ö Ò Q(z) ÔÐ µ ÓÒØ ÑÔÐ Ú P 0 (z) Q(z) = N i=1 α i z p i α i = (z p i ) P 0(z) Q(z) z=pi ÄÓÖ ÕÙ ÙÒ ÔÐ p n Q(z) Ø ³ÓÖ Ö q > 1 P 0 (z) Q(z) = N i=1 Ú β j = 1 (q j)! α i z p i + q j=1 β j (z p n ) j d q j [ (z p dz q j n ) q P 0(z) ] Q(z) z=p n ½¼

ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÁÆÎ ÊË µ X(z) = = = = 1 1 3z 1 + 2z 2 0.5 (z 1 1)(z 1 0.5) α 1 z 1 1 + α 2 z 1 0.5 1 z 1 1 + 1 z 1 0.5 X(z) = X(z) = 1 1 z 1 + 2 1 2z 1 Z 1 U(n) + 2 2 n U(n) z 2 z 2 3z + 2 = (2 n+1 1) U(n) = 1 + 3z 2 z 2 3z + 2 = 1 + 3z 2 (z 2)(z 1) = 1 + α 1 z 2 + α 2 z 1 = 1 + 4 z 2 + 1 z 1 = 1 + 4z 1 z 1 + 1 2z 1 1 z 1 X(z) Z 1 δ(n) + 4 2 n 1 U(n 1) U(n 1) ½½

¾ ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÁÆÎ ÊË µ º Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ò Ö ½ F(z) = 1 1 a z 1 Z 1[ F(z) ]? Ò ÒØ ÙÒ Ú ÓÒ ÐÓÒ Ù ÓÒ Ó Ø ÒØ F(z) = 1 + a z 1 + a 2 z 2 +... Z 1 f(n) = a n U(n) F(z) = z 2 (1 1 2 )(1 + z 1 )(1 z 1 ) = z 2 1 2 z1 1 + 1 2 z 1 Z 1 δ(n + 2) 1 2 δ(n + 1) δ(n) + 1 δ(n 1) 2 F(z) = z z 2 3z + 2 = z 1 + 3z 2 + 7z 3 + 15z 4 + 31z 5 +... Ò Ó Ð ÕÙÓØ ÒØ Ø ÙÒ ÓÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ô ÙØ Ö ÓÒÒ ØÖ ÕÙ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø f(n) = (2 n 1) U(n) Ñ Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ù Ú ÒØ F(z)= exp(z 1 )(1 + z 1 ) = Z 1 f(n) = n + 1 n! U(n) n + 1 n=0 n! z n ½¾

ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ Ä Ì ½µ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ Ö Ò ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ Ö Ò Ð Ò Ö Ù Æ¹ Ñ ÓÖ Ö ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ y(n) + N a k y(n + k) = x(n) + k=1 M b k x(n + k) k=1 Ò Ð ÕÙ ÐÐ x = {x(n)} Ø ÓÒÒ Ø y = {y(n)} Ø ÒÓÒÒÙº Ä N ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ð Ù Ø ÓÒØ ÓÒÒ Ü ÑÔÐ ¹½¹ 2y(n + 1) + y(n) = n n N + y(0) = 0 2y(n + 1) + y(n) = n Z z (2z + 1)Y (z) = (z 1) 2 z Y (z) = (2z + 1)(z 1) [ 2 ] = z 1 2 (z + 0.5)(z 1) 2 [ ] = z 4 2 9 2 (z + 0.5) + 3 (z 1) + 4 9 2 (z 1) = 2 9 z 1 (z + 0.5) + 3 z (z 1) + 2 9 z 2 (z 1) Y (z) Z 1 y(n) = 1 [ 3n 2 + 2 ( 1 ) ] n U(n) 9 2 ½

ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ Ä Ì ¾µ Ü ÑÔÐ ¹¾¹ ËÓ Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ÒØ Ù ¾Ò ÓÖ Ö Ù Ú ÒØ f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) n N + f(0) = f(1) = 1 f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) Z ( ) ( ) z 2 F(z) 1 z 1 = z F(z) 1 + F(z) z 2 F(z) = z 2 z 1 [ ] z + 1 = 1 + (z z 0 )(z z 1 ) [ = 1 + = (z z 0 ) + (z z 1 ) ] ¹ z 0,1 = 1± 5 2 z 0 z 1 = 5 z 1 z 0 = 5 ½

ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ ÌÊ ÆË ÇÊÅ Æ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ Ä Ì µ ÍÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ Ö Ò Ø y(n) + Y (z) [ N a k y(n k) = x(n) k=1 1+ Z N a k z ]= k X(z) k=1 Ä Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ H(z) = Y (z) Ø Ð ÓÒØ ÓÒ X(z) ØÖ Ò ÖØ ÕÙ Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ð Ö Ð Ð³ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð Y (z) = H(z) X(z) Z 1 y(n) = h(n) x(n) ÍÒ ÐØÖ Ø ÑÔ ¹Ö Ð Ô ÙØ ÓÒ Ò Ö Ô Ö ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ÓÙ Ö ÙÖ Ú µ Ä Ú Ð ÙÖ Ó ÒØ ÐØÖ Ü Ö Ð ØÝÔ ÐØÖ Ô ¹ Ô ¹ ÙØ Ô ¹ Ò Ö Ø ÙÖ Ö ÕÙ Ò Øº ½

Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆ È Ê È Ä Ë Ì ÊÇË ÍÒ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ìµ Ô ÙØ ÒÓØ Ö H(z) = Y (z) X(z) = b 0 + b1 z 1 +... + b n z n 1 + a 1 z 1 +... + a n z = A ΠM m=1 (z z m) n Π N n=1 (z p n) Ü ÑÔÐ H(z) Ò Ô Ö {z 1 = 0; p 1 = a} ÓÙ a n z n = z z a n=0 Ê ÔÔ ÐÐÓÒ ÕÙ³ÙÒ Ì Ö ÕÙ ÖØ ³ Ú ÐÙ Ö Ð Ì ÙÖ z = 1 Ò ÙÒ Ö ÕÙ Ò F 0 º º Ò z = exp(2πjf 0 ) Ä ÑÓ ÙÐ Ð Ì Ø ÓÒÒ Ô Ö N / D Ó N Ø D ÓÒØ ¾ Ú Ø ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ Ø Ð ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ ØØ Ì Ä³ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ð Ö Ò ÒØÖ Ð θ Ø Φ ½

Ì Ä ½