Corrigé des exercices sur les fonctions de transfert et les diagrammes de Bode. en utilisant la loi du diviseur

Corrigé des exercices sur les fonctions de transfert et les diagrammes de Bode Exercice I On considère le montage représenté ci-contre. est la grandeur d entrée et la grandeur de sortie. On leur associe les nombres complexes et V s. R Déterminer la fonction de transfert T = V s de tension. en utilisant la loi du diviseur C D'après la loi du diviseur de tension et en notant Z C l'impédance de la capacité : V s = Z C Z C +R Puisque Z C = jc ω avec w la pulsation des tensions alors V s= jc ω jc ω +R jc ω j C ω En multipliant par j C ω au numérateur et au dénominateur V s = V e ( j C ω +R) jc ω V s = + j R C ω ce qui donne T = V s = + j R C ω, on obtient Exercice II On considère le montage représenté ci-contre. st la grandeur d entrée et i la grandeur de sortie. On leur associe les nombres complexes t I. i L R Déterminer la fonction de transfert T= I V. v Les nombres complexes associés à la tension et l'intensité sont reliés par V =Z. I avec Z l'impédance du circuit. La résistance et l'inductance sont connectées en série, leurs impédances s'ajoutent : Z =R + j Lω On obtient donc V =(R+ j L ω)i soit T= I V = R+ j L ω Rappels sur les calculs avec les nombres complexes : Produit (noté X 3 ) de deux nombres complexes X et X 2 (dont les modules sont notés X et X 2 et les arguments q et q 2 ) : le module X 3 du produit X 3 est égal au produit des modules de X et X 2 : X 3 = X 2. X l argument q 3 du produit X 3 est égal à la somme des arguments de X et X 2 : q 3 = q + q 2 Quotient (noté X 3 ) de deux nombres complexes X et X 2 (dont les modules sont notés X et X 2 et les arguments q et q 2 ) : pour la réponse X 3 = X 2 X le module X 3 du quotient X 3 est égal au quotient des modules de X et X 2 : X 3 = X 2 X. et diagrammes de Bode Page TS2 ET 204 205

l argument q 3 du quotient X 3 est égal à la différence des arguments de X et X 2 : q 3 = q 2 - q Exercice III La fonction de transfert d un dispositif dont la grandeur d entrée est une intensité et la grandeur de sortie est une tension s écrit T= V =0 j. 0,3 f avec f la fréquence exprimée en Hz. I. Déterminer la grandeur de sortie v si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation i = 8 sin(2πf.t) avec f = 50 Hz. Pour déterminer v, il faut connaître son amplitude V (ou sa valeur efficace), sa phase à l'origine q t sa fréquence. La grandeur d'entrée ayant une fréquence égale à 50 Hz, il en est de même pour la grandeur de sortie. Pour les deux autres caractéristiques, on utilise les nombres complexes. Le nombre complexe I associé à la grandeur d'entrée a pour module 8 (la valeur maximale de i ) et pour argument 0 (la phase à l'origine de i ). Pour déterminer le nombre complexe V associé à v, on utilise la relation V =T. I qui devient : V =T. I pour les modules θ V =θ+θ I pour les arguments (q est l'argument de T et q V celui du courant) Pour le module, il faut calculer celui de T= V I =0 j. 0,3 f soit T = 0 2 +(0,3 50) 2 =8 Ω. On obtient finalement V =8 8=44 V, c'est la valeur maximale de la tension de sortie. Pour l'argument, il faut calculer celui de T= V =0 j. 0,3 f (le dessin d'un plan complexe avec l'affixe de I T est une bonne idée). 0 cosθ= 0 2 +(0,3 50) =0,555 2 et sin θ= 0,3 50 0 2 +(0,3 50) = 0,833 2 donne q = - 56 (attention à l'unité d'angle de la calculatrice). On obtient finalement q V = - 56. D'où l'expression de la tension de sortie v (t )=44 sin(2π f.t 56 80 π) 2. Déterminer la grandeur de sortie v 2 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation i 2 = 6 sin(2πf 2.t) avec f 2 = 50 Hz. La démarche est la même que précédemment Pour le module, il faut calculer celui de T= V I =0 j. 0,3 f soit T= 02 +(0,3 50) 2 =46, Ω. On obtient finalement V =46, 6=277 V, c'est la valeur maximale de la tension de sortie. 0 cosθ= 0 2 +(0,3 50) =0,27 2 et sin θ= 0,3 50 0 2 +(0,3 50) = 0,976 2 donne q = - 77 (attention à l'unité d'angle de la calculatrice). On obtient finalement q V2 = - 77. D'où l'expression de la tension de sortie v 2 (t )=277 sin(2 π f 2.t 77 80 π) Exercice IV La fonction de transfert d un dispositif dont les grandeurs d entrée et de sortie sont des tensions s écrit et diagrammes de Bode Page 2 TS2 ET 204 205

T = V s = j.62,8.0 3. f avec f la fréquence exprimée en Hz. La démarche est la même que pour l'exercice précédent la détermination des modules et arguments de la fonction de transfert est juste un peu plus compliquée. La fonction de transfert est égale au quotient de deux nombres complexes T = N D = + j. 62,8.0 3. f N= et D=+ j.62,8. 0 3. f. Pour trouver le module et l'argument, on utilise les propriétés des nombres complexes : Module : T = N. Le module du numérateur est égal à et celui du dénominateur égal à D +(62,8.0 3 f ) 2 soit T = +(62,8.0 3 f ) 2 Argument : Arg(T )= Arg(N ) Arg(D). L'argument du numérateur est nul car est un réel. L'argument du dénominateur peut être obtenu par cos(arg(d))= +(62,8.0 3 f ) 2 et sin( Arg(D))= 62,8.0 3 f +(62,8.0 3 f ) 2. Déterminer la grandeur de sortie si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation = 325 sin(2πf.t) avec f = 50 Hz. Le nombre complexe associé à la grandeur d'entrée a pour module 325 (la valeur maximale de ) et pour argument 0 (la phase à l'origine de ). Pour le module, il faut calculer T = +(62,8.0 3 f ) 2 soit T = +(62,8.0 3 50) =0,303 2. On obtient finalement V =0,303 325=98,5 V, c'est la valeur maximale de la tension de sortie. cos(arg(d))= +(62,8.0 3 50) =0,303 2 et sin( Arg(D))= 62,8.0 3 50 +(62,8.0 3 50) =0,953 2 donne Arg(D)=72,4 soit q = - 72,4 (attention à l'unité d'angle de la calculatrice). On obtient finalement q Vs = - 72,4. D'où l'expression de la tension de sortie =03sin(2 π f. t 72,4 80 π) 2. Déterminer la grandeur de sortie 2 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation 2 = 65 sin(2πf 2.t) avec f 2 = 50 Hz. Le nombre complexe 2 associé à la grandeur d'entrée a pour module 65 (la valeur maximale de 2 ) et pour argument 0 (la phase à l'origine de 2 ). Pour le module, il faut calculer T = +(62,8.0 3 f ) 2 soit T = +(62,8.0 3 50) =0,06 2. On obtient finalement V =0,06 65=6,9 V, c'est la valeur maximale de la tension de sortie. soit cos(arg(d))= +(62,8.0 3 50) =0,06 2 et et diagrammes de Bode Page 3 TS2 ET 204 205

sin( Arg(D))= 62,8.0 3 50 +(62,8.0 3 50) 2 =0,994 donne Arg(D)=84 soit q = - 84 (attention à l'unité d'angle de la calculatrice). On obtient finalement q Vs2 = - 84. D'où l'expression de la tension de sortie =6,9sin(2 π f. t 84 80 π) Exercice V La fonction de transfert d un dispositif dont la grandeur d entrée est une tension et la grandeur de sortie est une intensité s écrit T = I V = avec f la fréquence exprimée en Hz. 0 j. 0,25. f La démarche est la même que pour l'exercice précédent. La fonction de transfert est égale au quotient de deux nombres complexes T = N D = 0 j. 0,25. f N= et D=0 j.0,25. f. Pour trouver le module et l'argument, on utilise les propriétés des nombres complexes : Module : T = N. Le module du numérateur est égal à et celui du dénominateur égal à D 0 2 +(0,25. f ) 2 soit T = 0 2 +(0,25. f ) 2 Argument : Arg(T )= Arg( N ) Arg( D). L'argument du numérateur est nul car est un réel. 0 L'argument du dénominateur peut être obtenu par cos(arg(d))= 0 2 +(0,25.f ) 2 et soit sin( Arg(D))= 0,25.f 0 2 +(0,25.f ) 2. Déterminer la grandeur de sortie i si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation v = 50 sin(2pf.t) avec f = 50 Hz. Le nombre complexe V associé à la grandeur d'entrée a pour module 50 (la valeur maximale de v ) et pour argument 0 (la phase à l'origine de v ). Pour le module, il faut calculer T = 0 2 +(0,25. f ) 2 soit T = 0 2 +(0,25 50) 2 =62,3.0 3 S («S» pour siemens). On obtient finalement I =62,3.0 3 50=9,35 A, c'est la valeur maximale de la tension de sortie. 0 cos(arg(d))= 0 2 +(0,25 50) =0,623 2 et sin( Arg(D))= 0,25 50 0 2 +(0,25 50) 2=0,782 donne Arg(D)= 5,5 soit q = 5,5 (attention à l'unité d'angle de la calculatrice). On obtient finalement q I = 5,5. D'où l'expression de l'intensité de sortie i =9,35sin (2πf.t + 5,5 80 π) 2. Déterminer la grandeur de sortie i 2 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation v 2 = 200 sin(2πf 2.t) avec f 2 = 250 Hz. Le nombre complexe V 2 associé à la grandeur d'entrée a pour module 200 (la valeur maximale de v 2 ) et pour argument 0 (la phase à l'origine de v 2 ). et diagrammes de Bode Page 4 TS2 ET 204 205

Pour le module, il faut calculer T = 0 2 +(0,25. f ) 2 soit T = 0 2 +(0,25 250) 2 =5,7.0 3 S. On obtient finalement I =5,7.0 3 250=3,93 A, c'est la valeur maximale de la tension de sortie. 0 cos(arg(d))= 0 2 +(0,25 250) =0,57 2 et sin( Arg(D))= 0,25 250 0 2 +(0,25 250) 2=0,987 donne Arg(D)= 8 soit q = 8 (attention à l'unité d'angle de la calculatrice). On obtient finalement q I = 8. D'où l'expression de l'intensité de sortie i 2 =3,93sin(2 π f.t + 8 80 π) Exercice VI On reprend le circuit RC étudié à l'exercice I avec R = 2 kω et C = 47 nf. Résultat trouvé à l'exercice I T = V s = + j R C ω. Étude du module a. Déterminer l expression littérale du module T de la fonction de transfert. La fonction de transfert est égale au quotient de la fonction de transfert N= et de la fonction de transfert D=+ j R C ω ce qui donne pour le module T = N D = +(R C ω) 2 et comme ω=2 π f alors T = +(RC 2πf ) 2 b. Compléter le tableau suivant : f (Hz) 0 00 200 500 000 2000 5000 0000 20000 T 0,998 0,993 0,959 0,86 0,646 0,32 0,67 0,084 c. Comment évolue l impédance du condensateur lorsque la fréquence tend vers 0 Hz? Vers l infini? En déduire le module de la fonction de transfert en continu et lorsque la fréquence tend vers l infini. Le module de l'impédance du condensateur est Z C = C ω et comme ω=2 π f alors Z = C C 2 π f Si f 0 alors Z C et si f alors Z C 0. En continu ( f 0 ), le condensateur se comporte comme un circuit ouvert ( Z C ) et le module de la fonction de transfert tend vers. Lorsque la fréquence tend vers l'infini, le condensateur se comporte comme un court-circuit ( module de la fonction de transfert tend vers 0. Z C 0 ) et le 2. Étude de l argument a. Déterminer l expression littérale permettant de calculer l argument q de la fonction de transfert. La fonction de transfert est égal au quotient de la fonction de transfert N= et de la fonction de transfert D=+ j R C ω ce qui donne pour l'argument Arg(T )= Arg(N ) Arg( D). L'argument du numérateur est nul car il s'agit d'un nombre réel. L'argument du dénominateur peut être déterminé par cos(arg(d))= +(RC 2π f ) 2 et sin( Arg(D))= R C 2 π f +(R C 2π f ) 2. Finalement θ= Arg( D) et diagrammes de Bode Page 5 TS2 ET 204 205

b. Compléter le tableau suivant : f (Hz) 0 00 200 500 000 2000 5000 0000 20000 q (degrés) 0-3,6-6,5-6,5-30,6-49,8-7,3-80,4-85,2 c. Comment évolue l impédance du condensateur lorsque la fréquence tend vers 0 Hz? Vers l infini? En déduire l argument de la fonction de transfert en continu et lorsque la fréquence tend vers l infini. Le module de l'impédance du condensateur est Z C = C ω et comme ω=2πf alors Z C= C 2 π f Si f 0 alors Z C et si f alors Z C 0. Pour les fréquences faibles, la fonction de transfert T = + j R C ω tend vers T = = car le terme RC ω tend vers 0 : l'argument de la fonction de transfert tend donc vers zéro. Pour les fréquences élevées, la fonction de transfert T = + j R C ω tend vers T = j R C ω terme RC ω est très grand devant : l'argument de la fonction de transfert tend donc vers -90 ( et l'argument de j est égal à -90 ). car le j = j Exercice VII Dans le cas du circuit RC étudié dans l'exercice précédent (Exercice VI), y a-t-il amplification ou atténuation? La fonction de transfert de ce circuit est l'amplification en tension, le module de la fonction de transfert est toujours inférieur à un, il y a donc atténuation. Exercice VIII Le graphe ci-contre représente les grandeurs d entrée et de sortie d un dispositif. Y a-t-il amplification ou atténuation? Il y a amplification car la valeur maximale de la tension de sortie est supérieure à la valeur maximale de la tension d'entrée. Rappels sur les logarithmes : Le logarithme d un produit est égal à la somme des logarithmes : log(a.b) = log (a) + log (b) Le logarithme d un quotient est égal à la différence des logarithmes : log( a b )=log(a) log(b) La fonction «logarithme de base 0» est la fonction réciproque de la fonction «0 x». Pour calculer le module T de la fonction de transfert à partir du gain G on procède comme suit : G = 20 log T donne log T= G 20 soit G G 0 logt 20 =0 or 0 logt = T donc T =0 20 et diagrammes de Bode Page 6 TS2 ET 204 205

Exercice IX La figure ci-contre représente l évolution du gain G du circuit RC en fonction de la fréquence. Déterminer G pour 50 khz et 00 khz. En déduire T pour 50 khz et 00 khz. La lecture sur le graphe donne pour 50 khz et G 00 35 db G 50 29 db On obtient les modules de la fonction de transfert en appliquant la méthode vue précédemment 29 35 T 50 =0 20 =35.0 3 et T 00 =0 20 =7,8.0 3 Exercice X Soit deux fonctions de transfert T et T 2 dont les modules sont notés T et T 2 et les gains G et G 2.. La fonction de transfert T 3 est égale au produit de T et T 2 (T 3 = T. T 2 ). Écrire la relation entre les modules T 3, T et T 2 et en déduire la relation entre G, G 2 et G 3. Le module du produit est égal au produit des modules soit T 3 =T T 2 d'où le gain G 3 =20 log T 3 =20log(T T 2 ) et comme le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes on obtient G 3 =20(log T +log T 2 )=20logT +20log T 2 soit G 3 =G +G 2 car G =20log T et G 2 =20log T 2 2. La fonction de transfert T 3 est égale au quotient de T et T 2 ( T 3 = T 2 ). Écrire la relation entre les modules T 3, T T et T 2 et en déduire la relation entre G, G 2 et G 3. Le module du rapport est égal au rapport des modules soit T 3 = T 2 T d'où le gain G 3 =20log T 3 =20log( T 2 ) T et comme le logarithme du rapport est égal à la différence des logarithmes on obtient G 3 =20(log T 2 logt )=20log T 2 20log T soit G 3 =G 2 G car G =20log T et G 2 =20log T 2 Exercice XI Les courbes ci-contre représentent l évolution du gain G et G 2 de deux fonctions de transfert T et T 2 en fonction de la fréquence.. Déterminer G et G 2 pour f = 5 khz. On lit sur le graphe G = 60 db et G 2 =40 db 2. En utilisant les résultats de l'exercice 0, déterminer le gain G 3 de la fonction de transfert T 3 telle que T 3 = T.T 2 pour f = 5 khz. Dans ce cas (produit de fonctions de transfert), il faut additionner les gains ce qui donne G 3 = 60+40= 20 db (db) G G 2 et diagrammes de Bode Page 7 TS2 ET 204 205

3. Déterminer le gain G 4 de la fonction de transfert T 4 telle que T 4 = T 2 T pour f = 2,5 khz. Dans ce cas (quotient de fonctions de transfert), il faut soustraire le gain du dénominateur à celui du numérateur ce qui donne G=40 ( 60)=00 db Exercice XII On souhaite représenter l intervalle de fréquence compris entre 0 Hz et 0 khz sur un axe de longueur égale à 5 cm. La plage de fréquence comprise entre 0 Hz et 00 Hz occupe d = 5 cm.. Tracer un segment de 5 cm et placer 0 Hz à sa gauche. 2. Placer sur ce segment 00 Hz puis khz et 0 khz. On appelle «décade» l intervalle entre une fréquence et dix fois cette fréquence. Comparer les distances entre 0 et 00 Hz et entre 00 Hz et khz. La fréquence 00 Hz est placée 5 cm à droite de 0 Hz, la fréquence 000 Hz est placée 5 cm à droite de 00 Hz et ainsi de suite... Les distances entre 0 et 00 Hz et entre 00 Hz et khz sont égales. 3. Placer la fréquence 20 Hz sur ce segment puis 200 Hz et 2 khz. On appelle «octave» l intervalle entre une fréquence et deux fois cette fréquence. Comparer les distances entre 0 et 20 Hz et entre 00 Hz et 200 Hz. On utilise la relation d 20 =d log( 20 0 ) avec d 20 la distance entre 20 Hz et 0 Hz. La fréquence 200 Hz est à une décade de 20 Hz donc à 5 cm de 20 Hz ; la fréquence 2 khz est à une décade de 200 Hz donc 5 cm de 200 Hz. Les distances entre 0 et 20 Hz et entre 00 Hz et 200 Hz sont égales. 4. Déterminer, si c est possible, la position de la fréquence 0 Hz. Il n'est pas possible de placer 0 Hz sur l'axe : cette fréquence se retrouverait à une distance infinie vers la gauche. Exercice XIII Le graphe de la page suivante représente l évolution du gain de la fonction de transfert d'un circuit RC en fonction de la fréquence avec une échelle logarithmique.. Repérer les fréquences correspondant à 00 Hz, 200 Hz, 300 Hz. Les fréquences 00 Hz et 300 Hz sont directement indiquées sur l'axe des abscisses. Pour 200 Hz, on utilise d 200 =d log( 200 00 ) avec d 200 la distance entre 00 Hz et 200 Hz et d la distance correspondant à une décade. 00 Hz 200 Hz 300 Hz (Hz) et diagrammes de Bode Page 8 TS2 ET 204 205

2. Si la tension d entrée est sinusoïdale de valeur efficace 2 t de fréquence inférieure à 300 Hz, quelle est la valeur efficace de la tension de sortie? Pour les fréquences inférieures à 300 Hz, on lit sur le diagramme un gain proche de 0 db ce qui donne 20log V s =0 soit log V s =0. Puisque 0 log x =x alors =0 0 = et finalement V V s = e Si la valeur efficace de la tension d'entrée est de 2 V alors la tension de sortie a aussi une valeur efficace égale à 2 V. Exercice XIV Le graphe ci-dessous représente le diagramme de Bode pour l argument de la fonction de transfert du même circuit RC que pour l'exercice XIII. Associé au diagramme de Bode pour le gain, tracé ci-dessus, il permet de déterminer les caractéristiques (amplitude ou valeur efficace et phase à l origine) de la tension de sortie si la tension d entrée est sinusoïdale et connue. Une tension sinusoïdale d amplitude 2 V, de fréquence 2 khz et de phase à l origine nulle est placée en entrée du circuit. V s (Hz). Déterminer le gain et l argument de la fonction de transfert pour 2 khz. Ces valeurs sont lues sur les diagrammes de Bode : Pour le gain : -3,6 db Pour l'argument : -50 2. Étude de l amplitude a. Déduire de la question la relation entre les modules des grandeurs d entrée et de sortie (les rappels sur les logarithmes de la page 2 peuvent être utiles ). D'après la définition du gain 3,6 V s =0 20 =0,66 G=20 log V s soit log V s = G 20 qui donne V s =0 b. En utilisant le résultat de la question 2.a, calculer l amplitude de la tension de sortie. V s D'après =0,66 alors V V s =0,66 =0,66 2=,32 V e 3. Étude de l argument a. Déduire de la question la relation entre les phases à l origine de la tension d entrée et de sortie. G 20 et finalement et diagrammes de Bode Page 9 TS2 ET 204 205

La relation T = V s donne pour les arguments Arg(T )= Arg(V V s ) Arg( ) et Arg(T )= 50 e donc 50= Arg(V s ) Arg( ) b. Quelle est la valeur de la phase à l origine de la tension d entrée? Utiliser ce résultat et celui de la question 3.a pour calculer la phase à l origine de la tension de sortie. Il est indiqué dans l'énoncé que la phase à l origine de la tension d entrée est nulle, la relation trouvée précédemment devient 50= Arg(V s ) et Arg(V s ) est la phase à l'origine de la tension de sortie. 4. Indiquer parmi les graphes suivants celui qui peut correspondre à la situation décrite ci-dessus. a. b. Ne correspond pas car la valeur maximale de est trop élevée. c. Ne correspond pas car est en avance sur d. La valeur maximale de ainsi que son déphasage avec sont cohérents avec les résultats trouvés. Ne correspond pas car la valeur maximale de est trop élevée. Exercice XV Soit un dispositif dont les grandeurs d entrée et de sortie sont des tensions. et diagrammes de Bode Page 0 TS2 ET 204 205

. Les graphes suivants représentent l évolution des tensions d entrée et de sortie. Pour chacun, déterminer le gain de la fonction de transfert ainsi que son argument. Méthode : Pour chacun des graphes : Déterminer la période et en déduire la fréquence. Déterminer les valeurs maximales de la tension d'entrée et de sortie et calculer le gain en utilisant G=20 log V smax max Déterminer le déphasage entre les tensions d'entrée et de sortie (ce déphasage correspond à l'argument de la fonction de transfert) en faisant attention à son signe. 2. Placer les quatre points ainsi obtenus sur les diagrammes de Bode pour le module et l argument de la fonction de transfert. L axe des abscisses commence à 00 Hz et se termine à 5 khz. Pour la graduation de l'axe des abscisses : voir l'exercice XII. Remarque : cet exercice est très proche du travail réalisé lors de la séance de travaux pratiques. et diagrammes de Bode Page TS2 ET 204 205

Exercice XVI On considère le montage représenté ci-contre :. Établir l expression littérale de sa fonction de transfert. D'après la loi du diviseur de tension V s = R R+ j L ω ce qui donne T = V s = R R+ j L ω 2. pour f = 30 Hz. a. Calculer le module et l argument de cette fonction de transfert L R R = 0 Ω et L = 40 mh R Pour le module : T = R 2 +(Lω) = 0 2 0 2 +(40.0 3 2 π 30) =0,798 2 (méthode : voir l'exercice IV) Pour l'argument : Arg(T )= Arg(R) Arg(R+ j L ω). Comme Arg(R)=0, il suffit de déterminer l'argument de (R+ j L ω) en utilisant les relations de trigonométrie : et R cos(arg(r+ j L ω))= R 2 +(Lω) = 0 2 0 2 +(40.0 3 2π 30) =0,798 2 L ω sin( Arg(R+ j L ω))= R 2 +(L ω) = 40.0 3 2 π 30 2 0 2 +(40.0 3 2 π 30) =0,602 2 ce qui donne Arg(T )= 37 b. Les diagrammes de Bode de la fonction de transfert sont représentés ci-dessous. Vérifier que les résultats de la question précédente sont en concordance avec ces diagrammes. Pour l'argument, la lecture sur le diagramme de droite est directe, pour le gain, il faut le calculer à partir du module de la fonction de transfert par G=20 log0,798 2 db. Les valeurs trouvées graphiquement sont cohérentes avec celles de la question précédente. (db) (degrés) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f 3. On place une tension rectangulaire de fréquence 50 Hz en entrée du montage. Son développement en série de Fourier limité au rang 7 s écrit : t =325 sin t 08 sin 3 t 65 sin 5 t 46sin 7 t a. Déterminer le gain et l argument de la fonction de transfert pour le fondamental. Le fondamental a une fréquence égale à 50 Hz. On lit sur les diagrammes de Bode un gain proche de 0 db et un argument proche de -5. et diagrammes de Bode Page 2 TS2 ET 204 205

b. Déduire de la question 3.a la relation entre les valeurs efficaces des tensions d entrée et de sortie. Le gain est défini par G=20 log( V s ) avec V s et les valeurs efficaces des tensions de sortie et d'entrée. En arrangeant la relation, on trouve 20 V s = 0 soit V s = puisque le gain G est nul. c. Déterminer la valeur efficace du fondamental de la tension de sortie ainsi que sa phase à l origine. La valeur efficace de la tension d'entrée est égale à 325 2 =230 V. Comme V s = alors =230 V. L'argument de la fonction de transfert T = V s G est égal à -5 (voir ci-dessus). Pour les arguments, la relation précédente devient Arg(T )= Arg(V s ) Arg( ), la phase à l'origine de la tension d'entrée étant nulle alors Arg(T )= Arg(V s )= 5 d. Déterminer les valeurs efficaces et les phases à l origine des harmoniques de rang 3, 5 et 7. La démarche est identique à celle utilisée pour le fondamental. Rang de l'harmonique 3 5 7 Fréquence (Hz) 50 250 350 Gain(dB) - -5,5-7,5 V s 2,5 7,7 4,3 Phase à l'origine de (en degrés) -74-80 -83 4. Représenter à l aide d une calculatrice graphique les tensions d entrée et de sortie. Équation donnant les 4 premiers harmoniques de la tension de sortie : =230 2sin(ωt 5 74 80 83 π)+2,5 2sin (3ωt π)+7,7 2sin(5ωt π)+4,3 2sin (7 ωt 80 80 80 80 π) On obtient la courbe ci-dessous (ordonnée en volts et abscisse en secondes) et diagrammes de Bode Page 3 TS2 ET 204 205