Chapitre 2: Modélisation

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Jean Villeneuve
il y a 8 ans
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1 RCP104 Optimisation en Informatique Chapitre 2: Dr. Nazih OUWAYED Sommaire Comment décrire un porblème Principe Cas réel par un programme mathématique Principe Cas réel Types de variables Types de contraintes Types des fonctions objectives Type des programmes mathématiques 2 1

com Sommaire Comment décrire un porblème Principe Cas réel par un programme

2 Description du problème Principe Il faut décrire : A Les données du problème B Ce qu est une solution réalisable C S il y a lieu, le coût d une solution et donc l objectif à optimiser Minimiser ou Maximiser 3 Description du problème Cas réel (1/3) Localisation de concentrateurs Données : Terminaux (T), Sites (S) potentiels pour concentrateurs Distances Sites Terminaux (km) Coût d installation d un concentrateur sur un site (euro) Coût d un km de raccordement (euro) Dist (km) S1 S2 S3 S4 T T Côut inst (euro) S1 S2 S3 S T T Coût d un km de raccordement : 15 euros T Septembre

pour concentrateurs Distances Sites Terminaux (km) Coût d installation d un concentrateur sur un site (euro) Coût d un km de raccordement (euro) Dist (km) S1 S2

3 Description du problème Cas réel (2/3) A Données n : nombre de terminaux m : nombre de sites potentiels pour concentrateurs d ij : distance (en km) entre T i et S j C : coût d un km de raccordement F j : coût d installation d un concentrateur sur le site S j 5 Description du problème Cas réel (3/3) B Description d une solution réalisable On veut : Localiser des concentrateurs sur certains sites Affecter chaque terminal à un site où est placé un concentrateur C Coût d une solution Somme des coûts d installation des concentrateurs + raccordement des terminaux aux sites A Minimiser 6 3

(3/3) B Description d une solution réalisable On veut : Localiser des concentrateurs sur certains sites Affecter chaque terminal à un site où est

4 Principe Il faut définir : A Les variables et leur domaine de définition B Les contraintes C S il y a lieu, la fonction objectif 7 Cas réel (1/3) A Variables y j = 1 si un concentrateur est installé sur le site S j = 0 sinon y j = 0 x ij = 1 si le terminal T i est raccordé au site S j = 0 sinon x ij = 0 Décrivent toutes les possibilités 8 4

1 si un concentrateur est installé sur le site S j = 0 sinon y j = 0 x ij = 1 si le

5 Cas réel (2/3) B Contraintes m x ij j= 1 = 1 i = 1,,n Chaque terminal i est raccordé à exactement 1 site Le terminal i n est raccordé au x ij y j i = 1,...,n; j = 1,...,m site j que s il est équipé d un concentrateur Définissent l ensemble des solutions réalisables 9 Cas réel (3/3) C Objective min z = m F y + C j j j= 1 i= 1 j= 1 n m d ij x i j Rappel : n : nombre de terminaux m : nombre de sites potentiels pour concentrateurs d ij : distance (en km) entre T i et S j C : coût d un km de raccordement F j : coût d installation d un concentrateur sur le site S j 10 5

..,m site j que s il est équipé d un concentrateur Définissent l ensemble des solutions réalisables 9 Cas réel (3/3) C Objective min z = m F y

6 Types des variables Elles peuvent être Réelles (continues) Binaires (0-1) Entières 11 Types des contraintes Elles peuvent être Linéaire y=ax Quadratiques y=ax 2 autres Elles peuvent être de la forme g(x) 0 g(x) 0 g(x) =0 12 6

7 Types des fonctions objectives Elle peut être Linéaire Quadratique autre Avec un objectif de Maximiser ou Minimiser 13 Types des programmes mathématiques Programme linéaire continu Objectif et contraintes linéaires Variables continues Résolution «facile» au sens de la théorie de la complexité Méthodes de résolution Algorithme du simplexe Méthodes des points intérieurs 14 7

Objectif et contraintes linéaires Variables continues Résolution «facile» au sens de la

8 Types des programmes mathématiques Programme linéaire en nombres entiers Objectif et contraintes linéaires Variables entières Résolution «NP-difficile» Méthodes de résolution Branch-and-bound Méthodes de coupes Coopération des deux 15 Types de programmes mathématiques D autres que nous verrons si besoin 16 8

«NP-difficile» Méthodes de résolution Branch-and-bound Méthodes de coupes

9 Savoir modéliser les problèmes par la programmation mathématique Vient surtout par la pratique Alors place aux exemples 17 Exemple 1 public static int truc(int n) { int s = 0; while (n>0) { if (n%2==0) n=n/2; else { n=n-1; s++; } } return s; } Compléter le tableau suivant : n s 9

10 Exemple 1 - Solution public static int truc(int n) { int s = 0; while (n>0) { if (n%2==0) n=n/2; else { n=n-1; s++; } } return s; } Compléter le tableau suivant : n s Exemple 2 Une compagnie d alimentation dispose de 1000 kilos de café africain, 2000 kilos de café brésilien et 500 kilos de café colombien. Elle ensache deux sortes de café. La première sorte, «Doux réveil», est un mélange à parties égales de café africain et brésilien et se vend à 6 le kilo. La deuxième sorte, «Arôme velouté», est un mélange de trois parties de café brésilien pour une partie de café colombien et se vend à 8 le kilo. Le problème consiste à déterminer quelle quantité de café de chaque sorte la compagnie devrait ensacher de façon à maximiser son profit. Modéliser ce problème? 20 10

La première sorte, «Doux réveil», est un mélange à parties égales de café africain et brésilien et se vend à 6 le kilo.

11 Exemple 2 - Solution Variables x 1 = nombre de kilos de café «Doux réveil» ensachés par la compagnie x 2 = nombre de kilos de café «Arôme velouté» ensachés par la compagnie Contraintes 1/2x /2x 1 + 3/4x /4x x 1, x 2 0 Objectif Max Z = 6x 1 + 8x 2 21 Références Cours Optimisation en Informatique Sourour ELLOUMI Wikipédia 22 11

Contraintes 1/2x 1 1000 1/2x 1 + 3/4x 2 2000 1/4x 2 500 x 1, x 2 0 Objectif Max Z = 6x

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