INTRODUCTION À OMP PROBLÈME D USINAGE 1 Préambule

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1 1 Préambule 1 sur 7 Le logiciel OMP est un produit de OM Partners. Le version mise à disposition est la version OMP comporte : un compilateur de modèles et de données ; un optimiseur ; un générateur automatique de rapports. OMP est un logiciel d optimisation qui permet de résoudre des problèmes de programmation linéaire et de programmation mixte-entière (MIP). Le programme, aussi appelé modèle, répond à une syntaxe stricte mais assez simple qui permet d écrire sous une forme compacte des programmes linéaires comportant un grand nombre de variables et de contraintes. Le modèle peut être écrit au moyen de n importe quel éditeur de texte tel Notepad. Le fichier contenant le modèle doit être suffixé par.mod. Les données s écrivent sous forme de tableaux Excel dont la première ligne et la première colonne sont réservées aux labels ; la cellule A1 reste donc vide. Les autres cases contiennent exclusivement des valeurs numériques. Deux possibilités sont offertes pour écrire le modèle : une version explicite destinée aux petits problèmes ; une version utilisant un générateur de modèles. Le langage du générateur de modèle est une extension du langage d écriture de la version explicite. Ce dernier type de modèle est donc vu en premier lieu. 2 Structure et syntaxe du modèle explicite 2.1 Règles générales Les mots (ou parties de mots) clefs doivent être écrits en majuscules ; nous les mettons en gras dans ce texte. Certaines zones de texte sont libres (noms de variables par exemple) mais obligatoires ; elles figurent en italique dans les définitions de syntaxe. Dans ces mêmes lignes, les éléments optionnels autres que les parties non significatives des mots clefs sont entre deux crochets ([ ]). Les blancs sont non significatifs sauf comme séparateurs entre des éléments

2 2 sur 7 d un ensemble de mots. Les lignes du fichier modèle sont limitées à 150 caractères et peuvent s écrire sur une ou plusieurs lignes physiques. Le premier caractère non blanc d une ligne de continuation ne peut être que +,, =, > ou <. OMP distingue les minuscules des majuscules ; il est recommandé d utiliser systématiquement ces dernières. Les lignes de commentaires commencent par une *, sautées par l interpréteur, elles se placent où l on veut pour aérer le texte ou décrire la signification des variables et contraintes. L étoile est aussi le caractère utilisé pour le produit ; une ligne ne doit donc jamais commencer par un produit! 2.2 Version Version=numéro La première partie, obligatoire, du modèle précise la version d OMP utilisée. La version la plus récente à ce jour est la version Scenario Scenario=titre La deuxième partie, optionnelle, du modèle fait référence au titre. Le titre (maximum 50 caractères) apparaîtra sur chaque page des listings de résultats. 2.4 Fonction Objectif MINimiser [texte libre] ou MAXimiser [texte libre] La troisième partie, obligatoire, du modèle sert à définir le sens d optimisation et rappelle la signification de la fonction objectif. 2.5 Variables de décision La quatrième partie, obligatoire, du modèle définit simultanément toutes les variables et la fonction objectif.

3 3 sur 7 Chaque ligne de ce groupe définit une seule variable. Toutes les variables structurelles doivent être définies. Les variables d écart et les variables artificielles ne peuvent pas être définies! Chaque variable structurelle doit toujours avoir un label, un nom et un type. Elle peut aussi avoir un coefficient dans la fonction objectif et au plus deux limitations (Bounds) Label Chaque label commence par la majuscule X suivie d un nombre qu OMP génère automatiquement dans l ordre des définitions. X7 est donc la septième variable définie. Il est possible de fixer soi-même les numéros des variables, mais cela est inutile voire déconseillé Nom Chaque nom est limité à 24 caractères, le premier étant numérique. Il peut être divisé en champs. Les champs dont le nombre est limité à 7 sont des chaînes de caractères séparées par des.. La variable à un seul champ MAIN OEUVRE et la variable à trois champs STOCK.PROD FINI.EXPORT illustrent ce concept Type Chaque variable a un type : Continuous, Integer ou Binary Coefficient Objectif La valeur du coefficient doit être précédé du symbole $. Si $ n apparaît pas dans la définition, le coefficient de la variable dans la fonction objectif est 0 par défaut. Si $ est présent mais pas suivi d un nombre, le coefficient est mis à 1. (option à éviter!) Les variables peuvent avoir soit une valeur fixée, soit des limitations i.e. des bornes inférieures et/ou supérieures.

4 4 sur 7 Les limitations (Bounds), e.g. 100 X17 250, peuvent s écrire sous la forme de deux contraintes. Lorsque les contraintes portent sur une seule variable (ici X17), l algorithme de résolution d OMP peut ne pas les traiter comme les autres contraintes mais tenir compte des limitations directement dans le calcul des solutions successives. Etant donné les performances supérieures de ce procédé, lorsque le temps CPU est un facteur important, il est recommandé d utiliser les limitations plutôt que d écrire des contraintes explicites quand cela est possible. Inversement, lorsque l on souhaite profiter des informations fournies par la post-optimisation, il est judicieux de travailler avec des contraintes explicitement écrites. Les limitations sont précédées des symboles =, > ou < selon le type souhaité. Bien entendu, > et < correspondent en fait aux inégalités larges et. Par défaut, la borne inférieure d une variable est 0. Si l on veut travailler, comme c est presque toujours le cas, avec des variables positives ou nulles il est inutile d écrire la limitation > 0. Pour définir une variable de signe quelconque (pouvant être négative), il suffit de lui donner une borne inférieure négative très grande. La syntaxe des lignes de définition des variables est donc la suivante : X=nom de la variable=type [$ coeff. obj.] [{=,>,<} limitations [{>,<} limitations]] 2.6 Contraintes La cinquième partie, obligatoire, du modèle définit toutes les contraintes. Chaque ligne de ce groupe définit une contrainte. Toutes les contraintes doivent être définies sauf bien entendu les contraintes implicites de positivité des variables. Chaque contrainte possède un label, un nom (au plus 24 caractères, le premier étant numérique) et deux membres séparés par un symbole (=, > ou <). Comme pour les variables, les symboles > et < correspondent en fait à et. Chaque label commence par un C. (cf ) Chaque nom peut aussi être divisé en champs. (cf ) Chaque contrainte possède un membre de gauche (LHS) et un membre de droite

5 5 sur 7 (RHS). Pour rappel, la programmation linéaire traîte des contraintes linéaires ainsi qu une fonction objectif linéaire en les variables. Un membre est donc soit une constante, soit une combinaison linéaire de constantes et de variables. Chaque membre peut donc contenir des variables et des constantes. Cependant, OMP réorganise les contraintes en groupant les variables (et leurs coefficients) dans le membre de gauche et les constantes dans le membre de droite avant de lancer l optimisation. Dans les listings de résultat, les valeurs indiquées pour les LHS et RHS tiennent compte de la réorganisation et peuvent différer de celles du modèle initial. Par exemple, la contrainte qui exprime que stock initial + production = vente + stock final devient stock initial + production vente stock final = 0. La syntaxe des lignes de définition des contraintes est donc la suivante : C=nom de la contrainte=(lhs){=, >, <}(RHS) 3 Analyse de sensibilité OMP propose la possibilité d afficher diverses informations liées à l analyse de sensibilité des variables de décisions (Reduced Cost 1 ) et des contraintes (Shadow Price 2 ). Une fois le modèle compilé, ces informations peuvent être affichées par le biais de l option Settings... en cochant la case Enable sensitivity information de l onglet LP Settings. Ces informations sont uniquement disponibles dans le cadre de résolution de problèmes de programmation linéaire avec des variables continues! 1. quantité dont il faudrait modifier le coefficient objectif initial de la variable dans la fonction objectif pour provoquer un changement de solution optimale. En particulier, pour rendre rentable faire entrer en base la variable si elle ne l est pas (variable hors base ou à sa borne inférieure). C est aussi la perte si l on est obligé de produire ou de vendre une unité du produit non rentable. 2. gain/perte si l on augmente/diminue la disponibilité d une ressource (contrainte <) ou le niveau à satisfaire (contrainte >).

6 6 sur 7 4 Etude de Cas : Problème d Usinage Une entreprise fabrique trois produits (A,B,C). La production de A nécessite de l usinage, du montage et de la finition, celle de B de l usinage et de la finition et celle de C de l usinage et du montage. Le tableau ci-dessous fournit le rythme de production (en unités par heure) et les heures hebdomadaires disponibles dans les trois unités de production : Atelier Capacité hebdomadaire Rythme de production (# unités/h) maximum (# heures) A B C Usinage Montage Finition Par exemple, le produit B passera d abord à l usinage, puis à la finition. Il devra donc passer 10 minutes soit un sixième d heure à l usinage puis trente minutes en finition. Question 1 Supposons un profit unitaire de 17, 24 et 31 par unité de A, B et C respectivement. Formulez le modèle ci-dessus comme un programme linéaire. Modélisez dans OMP. Quelle est la solution optimale? Expliquez! (vous pouvez continuer à utiliser des variables continues) Comment expliquer la valeur du (seul) coût réduit? Et celles des shadow prices? Question 2 Rajoutez à votre modèle la possibilité de faire des heures supplémentaires de montage au coût de 8 par heure supplémentaire avec un maximum de 5 heures supplémentaires. Quelles est la solution optimale? Pourriez-vous calculer le nouveau profit avec les rapports de la question 1? Pourquoi? Comment expliquer la valeur du coût réduit des heures supplémentaires? Question 3 Revenez au modèle initial. Modélisez la possibilité d affecter un maximum de 5 heures de travail de l atelier de finition vers un nouvel atelier d emballage dont les caractéristiques sont les suivantes : le passage à l atelier d emballage est facultatif. Les produits y passant se voient gratifiés d une augmentation de profit de 15 par unité. Le rythme de production de l atelier est de 12 unités par heure, quel que soit le produit emballé. Quelle est la nouvelle solution optimale? Expliquez. (surtout le shadow price de l emballage) Question 4 Revenez au modèle initial. La firme envisage la production d un nouveau produit, le produit D dont le profit est de 23 par unité et le rythme de production horaire est de 5 unités pour l usinage, 2 unités pour le montage et 4 unités pour la finition. Sans recourir à la modélisation, pouvez-vous dire si ce nouveau produit fera partie de la solution? Pourquoi?

7 7 sur 7 Question 5 Revenez au modèl initial. Supposez qu après les phases d usinage, de montage et de finition, les produits A, B et C sont assemblés pour former un produit final F. Pour une unité de F, il faut 3 unités de A, 2 unités de B et 5 unités de C. Formulez le problème qui consite à maximiser le nombre d unités assemblées du produit final F.

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