PORTIQUE A CONTENEURS CAILLARD C3

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1 Page 1 / 12 AGREGATION INTERNE DE GENIE ELECTRIQUE OPTION B ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE DE PUISSANCE Etude d un problème d automatisation (durée 6 heures) PORTIQUE A CONTENEURS CAILLARD C3 RECOMMANDATIONS AUX CANDIDATS Les candidats sont invités à numéroter chaque page de leur copie et à indiquer clairement le numéro de la question traitée. Les candidats sont priés de rédiger les différentes parties du problème sur des feuilles séparées et clairement repérées. Il leur est rappelé qu'ils doivent utiliser les notations propres au sujet, présenter clairement les calculs et dégager où encadrer tous les résultats. Tout résultat incorrectement exprimé ne sera pas pris en compte. En outre, les correcteurs leur sauront gré d'écrire lisiblement et de soigner la qualité de leur copie. ORGANISATION DU SUJET SUJET : DOCUMENTS ANNEXES : Parties 1 à 4 (12 pages). Annexes 1 à 5 (5 pages). Note aux candidats: Les parties 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes. Présentation des applications numériques Lors du passage d'une forme littérale à son application numérique il est demandé aux candidats de procéder comme suit : Après avoir rappelé la relation littérale, chaque grandeur est remplacée par sa valeur numérique en respectant la position qu'elle avait dans la relation puis le résultat numérique est donné sans calculs intermédiaires et sans omettre son unité.

2 Page 2 / 12 PORTIQUE A CONTENEURS CAILLARD C3 PRÉSENTATION Le système étudié, implanté sur le port autonome de Marseille, est destiné au chargement et au déchargement de conteneurs. Il est constitué d'un bâti se déplaçant parallèlement au quai et d'une flèche sur laquelle se déplace un chariot de levage. Le sujet proposé comporte 4 parties : Partie 1 : Étude mécanique de la translation du chariot et du levage. Partie 2 : Étude de l'asservissement du chariot. Partie 3 : Dimensionnement d'un moteur en régime intermittent. Partie 4 : Travail pédagogique. Le sujet porte sur la translation du chariot (Direction) et le levage de la charge (Levage). Les quatre parties sont indépendantes, cependant les candidats ont intérêt à lire tout le sujet et à essayer de traiter les différentes parties dans l'ordre proposé. Les questions sont identifiées par une police italique et précédées d'un numéro.

3 Page 3 / 12 DONNÉES TECHNIQUES GÉNÉRALES : UTILISATION : Chargement et déchargement de conteneurs ISO 20' et 40'. Conteneur 20' : Longueur 6,1 m, largeur 2,4 m, hauteur 3,0 m. Conteneur 40' : Longueur 12,2 m, largeur 2,4 m, hauteur 3,0 m. MASSES : Totale : 844 T, Avant bec : 74 T, Chariot : 32 T, Structure : 738 T, Dont lest béton 170 T et acier 12 T. Masse du "spreader" : 10 T, Charge utile sous "spreader" : 40 T. Charge utile au crochet : 50 T. DIMENSIONS : Écartement des rails : 15 m, Hauteur totale : 61,34 m. COURSES : Au dessus du quai : 30 m, Au dessous du quai : 12 m. Portée côté terre : 25 m, Portée côté eau : 40 m. Course horizontale totale : 80 m. DURÉES : Relevage de l avant bec : 5 Min. Accélération au levage : 3 s. Décélération au levage : 3 s. Accélération du chariot de direction : 4 s. Décélération du chariot de direction : 4 s. VITESSES : Levage à vide : 2 m/s, Levage en charge : 1 m/s. Direction ( au quai) : 3 m/s (a vide ou en charge). Translation (// au quai) : 0,75 m/s. (a vide ou en charge). PUISSANCES : Levage : kw, Relevage : 1 74 kw. Direction : 2 78 kw, Translation : 8 30 kw. DOCUMENTS : Vue d'ensemble du portique :.. ANNEXE 1. Vue avant bec relevé :. ANNEXE 2. Chaîne cinématique de levage :. ANNEXE 3. Chaîne cinématique de direction : ANNEXE 4. Abaque du temps de réponse réduit :. ANNEXE 5.

4 Page 4 / 12 1 ETUDE MÉCANIQUE DE LA TRANSLATION DU CHARIOT ET DU LEVAGE. 1.1 Justification du dimensionnement des moteurs. A partir des données techniques générales et des annexes 3 et 4, en supposant les rendements unitaires, les accélérations et décélérations constantes, que les moteurs peuvent développer temporairement 1,2 fois leur couple nominal. Pour la translations (direction), on admettra une faible longueur de câble permettant d'assimiler la liaison conteneur-chariot à une liaison rigide. Pour cette question, les inerties des pièces en rotation (rotor ou induit du moteur, disques de freins, tambours, galets, réducteur..) sont négligées Justifier la puissance et la vitesse nominale de rotation des moteurs de direction Représenter les évolutions temporelles (en précisant les valeurs numériques caractéristiques), de la vitesse, de la force totale appliquée au chariot et de la puissance fournie par les deux moteurs pour une translation de 24 m en avant, un temps de repos de 4 s puis une translation de 24 m en arrière. (Ce cycle étant réalisé à pleine charge) Justifier la puissance et la vitesse nominale de rotation du moteur de levage Représenter, les allures, en précisant les valeurs numériques caractéristiques, de la vitesse, de la traction exercée sur le câble et de la puissance en fonction du temps, pour une montée de 6 m, puis pour une descente de 6 m à pleine charge. 1.2 Influence de l'élasticité du câble sur le mouvement de levage. Outre les informations fournies en Annexe 3, le constructeur donne, pour le câble, les indications suivantes : Module d'élasticité E = N/mm², coefficient de remplissage du câble section d' acier N λ 0 = = 0,57. On rappelle que λ =, avec λ = allongement en mm, N = force section totale E S0 appliquée en N, λ 0 = Longueur en mm, et S0 = section en mm² Établir les expressions de l'allongement ( λ ) et de la raideur (k) de l'ensemble des huit câbles et calculer leurs valeurs numériques pour une longueur de câble de 40 m et une charge totale de 50 T. On prend pour origine de l'axe vertical (axe z), la position du centre de gravité de la charge en équilibre, on suppose que la charge (m) est déplacée d'une valeur z0 = 6 mm puis libérée sans vitesse initiale. On note T(t) la force de traction exercée par les câbles Établir l'expression temporelle, littérale et numérique, de z(t) et celle de T(t). Lors de l'allongement du câble, il existe un frottement des brins créant une force de 128 N.s.mm -1 qui amortit le mouvement Établir la nouvelle expression temporelle de z(t) et de T(t), compte tenu de cet amortissement.

5 Page 5 / Balancement de la charge et influence du vent. Chariot F M x x l Câble +θ z m mg Conteneur + spreader Pour toute cette partie on supposera de petits angles pendulaires θ, en rd, (cosθ = 1 et sinθ = θ), une faible vitesse angulaire (θ') 2 = 0 et une accélération du câble nulle. Le chariot et la charge sont assimilés à des masses ponctuelles, les huit câbles à un seul. On suppose tout d'abord que le chariot de masse M = 32 T est fixe par rapport au portique, les conditions sont inchangées (câble de longueur L = 40 m et charge m = 50 T). La force exercée par le vent a pour expression : F V = A C d ρ 2 ( V ) 2 V A : Surface du conteneur en m 2. Cd : Coefficient d aérodynamisme = 1,2. ρ : Densité de l air à 20 C = 1,2 kg/m 3. VV : Vitesse du vent en m/s. FV : Force exercée par le vent en N Calculer les valeurs numériques des angles et des déplacements de la charge pour des vitesses de vent de 20, 40 et 80 km/h de direction +x normale à la plus grande surface d'un conteneur de 40'. Alors que l'inclinaison due au vent est de θ0, celui-ci cesse brusquement Établir l'expression temporelle, littérale puis numérique, de θ(t) ; pour une inclinaison initiale θ0 de 1,4.

6 Page 6 / 12 Le chariot est libre par rapport au portique, la vitesse du vent est nulle. La distance de son centre de gravité par rapport à l origine est x. Les hypothèses sur θ étant maintenues, on ne prendra en compte que les composantes horizontales Appliquer le principe fondamental de la dynamique au chariot de masse M et établir la relation temporelle liant x, θ et F Ecrire l expression de la projection sur l axe x de la position du centre de gravité de l ensemble «conteneur-spreader» de masse m Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l ensemble «conteneur-spreader» de masse m et établir la relation temporelle liant x à θ Des expressions établies en et 1.3.5, déduire l équation différentielle liant l'angle d'inclinaison θ(t) à la force F(t) exercée sur le chariot Établir l'expression temporelle, littérale puis numérique, de θ(t) ; pour une force F(t) nulle et une inclinaison initiale θ0 de 1,4. A l'instant t = 0, alors que la charge est à la verticale du chariot, les moteurs de direction appliquent à ce dernier un échelon de force F de N Établir l'expression temporelle, littérale puis numérique de θ(t) Montrer que si l'échelon de force est annulé après un délai D (créneau de force de durée D) judicieusement choisi, il est possible de réduire et même d'annuler le balancement de la charge. Calculer la valeur numérique de D qui annule l'inclinaison finale En déduire une stratégie de commande pour le chariot, représenter F(t) et θ(t) pour un trajet.

7 Page 7 / 12 2 ÉTUDE DE L ASSERVISSEMENT DU CHARIOT. 2.1 A partir de l'expression établie en 1.3.6, donner l'expression littérale et numérique (sous forme têta( p ) canonique faisant apparaître les constantes de temps) de : H ( p ) =. F( p ) 2.2 Commande de l inclinaison du câble. 6 q(p) 1,2.10 Dans ce qui suit, on prendra H1(p) = = = comme arrondi de H(p) 2 F(p) 1+ 1,6p On adoptera par la suite q(p) = têta(p). Pour maintenir une inclinaison nulle on adopte le schéma fonctionnel suivant : Quelle valeur faut-il donner à la consigne C(p)? Calculer alors la fonction de transfert H2(p) = têta( p ). F( p ) Etudier la stabilité du système de fonction de transfert H2(p) en fonction de la valeur de K3. On remplace le retour unitaire du schéma précédent par une correction de type (1+K5.p) Tracer les diagrammes de Bode du correcteur (1+K5.p). Préciser le type de ce correcteur Calculer la nouvelle fonction de transfert H3(p) = têta( p ). F( p ) Calculer les gains K4 et K5 pour obtenir un pôle double p1 = p2 = - 1,3 s Donner les solutions technologiques permettant de faire une mesure de l'angle d'inclinaison du câble avec la précision adéquate.

8 Page 8 / Asservissement de la vitesse du chariot. En partant de l'expression temporelle : d² x = dt² f ( t ) m.g.têta( t ) + (têta = q) M M Déterminer littéralement les blocs A(p) et B(p) du schéma suivant Montrer que ce schéma-bloc précédent (2.3.1) peut se mettre sous une forme faisant apparaître la vitesse et l'accélération du chariot en explicitant les blocs M1, M2, M3 et M , Tracer les diagrammes de Bode de H1(jw) (H1(p)= ) ,6p Tracer les diagrammes de Bode de H'(jw) = (M1.H1(jw) + 1) Pour quelles valeurs pratiques de la pulsation w peut-on considérer la fonction de transfert H'(jw) comme un gain pur? Justifier. Pour réaliser le contrôle de la vitesse on considère le montage simplifié suivant : C.VIT est la consigne vitesse, G le gain du correcteur proportionnel associé, M2 et M3 étant définis précédemment (question 2.3.2) Calculer la valeur G1 qu il faut donner au gain G du correcteur pour que le montage ait un temps de réponse normalisé (à 95% de la valeur finale) égal à 10ms.

9 Page 9 / En réglant le gain G = G2 = 10 7, calculer l erreur statique de position du montage pour une entrée échelon unitaire Avec le même gain G = G2, calculer l erreur de traînage pour une entrée rampe valant 1V.s En déduire les allures temporelles de X et de X pour une consigne C.VIT de type rampe écrêtée (pente 0,75 V.s -1 écrêtée à 3V). 2.4 Contrôle de la position du chariot. En partant du schéma simplifié du on réalise une boucle de position comme suit : C.POS est la consigne position, K6 et K7.p forment le correcteur, M2, M3 et M4 étant définis au Calculer numériquement les coefficients K6 et K7 pour que le système ne présente que 5% de dépassement sur la réponse indicielle et que son temps de réponse normalisé (à 95% de la valeur finale) soit égal à 0,3s. On utilisera l abaque des temps de réponse réduit donné en annexe Dans ces conditions (2.4.1), quel échelon faut-il appliquer à C.POS pour obtenir un déplacement final de 10 m? Commenter cette valeur. On propose alors la structure suivante : Calculer numériquement les coefficients K8 et K9 pour obtenir les mêmes performances que celles demandées en Calculer alors la valeur à appliquer à C.POS pour obtenir le déplacement final de 10 m. Discuter en comparant cette nouvelle valeur à celle obtenue en

10 Page 10 / 12 3 DIMENSIONNEMENT D'UN MOTEUR EN RÉGIME INTERMITTENT. On s'intéresse, ici, au dimensionnement des moteurs asynchrones assurant le mouvement de direction. L'indication de la première partie, qu'un moteur peut développer momentanément un couple de 1,2 fois son couple nominal, est très simplificatrice. En réalité le problème est thermique, un moteur ne peut évacuer que ses pertes nominales, en valeur moyenne, à la condition que le cycle soit d'une durée très inférieure à sa constante de temps thermique. Pour cette question, les inerties des rotors, celles des disques de freins et des galets ne sont plus négligées. Celles des arbres, des accouplements, du moteur de secours et des organes internes au réducteurs le sont. Pour cette partie aussi, on considèrera une faible longueur de câble permettant d'assimiler la liaison conteneur-chariot à une liaison rigide. Les disques de frein et les rotors des moteurs ont, chacun, une inertie de 1 kg.m² ; chaque galet sera considéré comme un disque plein d'acier (de masse volumique 7880 kg/m 3 ) de diamètre 600 mm et d'épaisseur 100 mm. Le cycle imposé, le plus contraignant pour les moteurs, est le suivant : accélération, jusqu'à la vitesse nominale en 4 s, vitesse constante pendant 4 s, décélération jusqu'à l'arrêt en 4 s puis temps de repos de 4 s. Les frottements secs et visqueux sont négligés. La constante de temps thermique des moteurs est de 20 min. 3.1 Calculer, pour un des deux moteurs, la valeur du moment d'inertie ramené à son arbre. 3.2 Calculer le couple d'accélération et de décélération de ce moteur et le comparer à son couple nominal. 3.3 Rappeler ce qu'est, pour un moteur asynchrone alimenté à tension et fréquence constantes, la puissance efficace en régime intermittent. Donner la relation qui permet de la calculer et préciser ses conditions de validité. 3.4 Justifier cette relation à partir du modèle statique de la machine asynchrone, en négligeant les pertes statoriques, et pour de faibles valeurs du glissement g. Les moteurs de direction sont associés à un variateur de fréquence de type U/F = Cte, les pertes statorique sont toujours négligée. 3.5 Montrer que, pour ce mode d'alimentation et de faibles vitesses de glissement (ce qui correspond au fonctionnement), les pertes Joule rotor sont proportionnelles au carré du couple électromagnétique. Représenter la partie utile du réseau de caractéristique couple-vitesse et faire apparaître pour une valeur de couple et son double, en fonctionnement moteur et génératrice : - Les surfaces proportionnelles aux pertes Joule rotoriques. - Les surfaces proportionnelles à la puissance mécanique. - Les surfaces proportionnelles à la puissance absorbée. 3.6 Définir alors le couple efficace CEFF en régime intermittent, calculer sa valeur numérique pour le cycle imposé, la comparer au couple nominal du moteur CN. 3.7 Du résultat précédent, déduire le mode de refroidissement à mettre en œuvre pour les moteurs de direction.

11 Page 11 / 12 4 TRAVAIL PÉDAGOGIQUE. L'objectif de cette partie est de proposer une séquence pédagogique en exploitant un système didactisé de levage. L'architecture simplifiée de ce système est représentée par le dessin de principe ci-dessous. Réseau 3 x 400 V Capteur de force Variateur triphasé 4 quadrants Dynamo tachymétrique Frein Masse MCC Réducteur Tambour Des formes diverses équipant les laboratoires des établissements, on prendra les caractéristiques suivantes : - Masse : 350 kg en acier de densité 7880 kg/m 3. - Câble : Longueur variable de 7 à 4 m selon la position de la charge, coefficient de raideur (pour 1m de câble) : 53, N/m, coefficient d'amortissement 0,1. - Tambour : Diamètre primitif d'enroulement 0,2173 m, diamètre extérieur 0,215 m, diamètre intérieur 0,199 m, longueur 0,295 m, en acier. - Réducteur : Rapport de réduction 78,35, moment d'inertie côté moteur 10-4 kg.m². - Frein : Disque de moment d'inertie 9, kg.m². - Moteur : A courant continu 1,3 kw à 1500 tr/min 400 V 4,4 A constante de couple K = 2,34 N.m/A, Résistance d'induit 15 Ω Inductance 130 mh. Moment d'inertie kg.m². - Variateur : 4 quadrants paramétrables en courant et en vitesse.

12 Page 12 / Calculs préliminaires En assimilant le tambour à un cylindre creux, calculer son moment d'inertie A partir des moments d'inertie des éléments situés sur l'arbre du moteur et de celui du tambour, calculer la masse équivalente vue de l'extrémité du câble côté tambour, montrer que cette masse peut être considérée comme infinie vis à vis de celle la charge. En déduire la fréquence propre de résonance de l ensemble câble et masse de 350 kg, pour une longueur libre de 6 m. 4.2 Exploitation pédagogique. En partant du relevé ci-dessous réalisé «in situ» et en le scindant en zones significatives, proposer une approche pédagogique permettant de conduire des étudiants de BTS électrotechnique à déterminer les préréglages du variateur (butée de courant, rampe de vitesse) et les caractéristiques mécaniques du système de levage (masse de la charge, moment d inertie ramené à l arbre du moteur, fonctionnement du frein et caractéristiques du câble). Ch 1 : Image de la vitesse du moteur. Ch 2 : Image de la traction du câble. Ch 3 : Image du courant moyen dans l induit du moteur. 6 mv/tr/min. 300 N/V 1 A/V. Vous détaillerez les ressources complémentaires à fournir aux étudiants pour les amener à interpréter les différents paliers de courant observés lors du cycle présenté et les oscillations de la traction exercée sur le câble. Les documents «élèves» seront rédigés.

13 ANNEXE 1 Annexe 1 / 5

14 ANNEXE 2 Annexe 2 / 5

15 ANNEXE 3 Chaîne cinématique de levage SPREADER Rep. Nb. Désignation et caractéristiques 1 1 Moteur à courant continu 500 V 480 kw 1000 tr/min en charge, 2000 tr/min à vide ; régulation par variateur Rectivar. 2 2 Accouplement élastique et frein à disques ventilés. 3 1 Réducteur Flender r = 1/18, Moto-réducteur de secours 500 V 11 kw 1500 tr/min r = 1/79, Tambour, diamètre d'enroulement 695 mm, pas 32 mm, longueur 2944 mm. 6 2 Sélecteur de fin de course et de sur-course. 7 4 Câble 6 torons, 36 fils, diamètre 29 mm, longueur 231 m, 2 câbles à torsion à droite, 2 à torsion à gauche. 8 1 Dynamo tachymétrique 60 V à 1000 tr/min. 9 1 Détecteur de survitesse. Annexe 3 / 5

16 ANNEXE 4 Chaîne cinématique de direction 8' Avant bec 2' 1' 3' 2' 4' 5' 6' 6' 6' 6' 7' 7' 7' 6' 6' 3' 6' 6' 7' 2' 2' 1' 9' Nb. Désignation et caractéristiques Rep. 1' 2 Moteur asynchrone 500 V 78 kw 1480 tr/min en charge. 2' 4 Accouplement élastique et frein à disques ventilés. 3' 2 Réducteur Flender r = 1/15,45 4' 1 Accouplement débrayable. 5' 1 Moto-réducteur de secours 500 V 11 kw 1500 tr/min r = 1/10,2. 6' 8 Accouplement à denture. 7' 4 Galet double boudin, diamètre externe 630 mm, diamètre de roulement 598 mm. 8' 1 Détecteur de survitesse. 9' 1 Dynamo tachymétrique 60 V à 1000 tr/min. Annexe 4 / 5

17 ANNEXE 5 SYSTEME du 2 ème ORDRE ABAQUE du TEMPS de RÉPONSE RÉDUIT t r.w 0 t r.w SYSTEME DU 2ème ORDRE TEMPS D E REPONSE REDUIT t r w o en fonc tio n de l'amortisse me nt m facteur d'amortissement m Annexe 5 / 5

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