SYSTÈMES ASSERVIS CORRECTION

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1 SYSTÈMES ASSERVIS CORRECTION //07

2 SYSTÈMES ASSERVIS CORRECTION ) Introduction... 3.) Les différents systèmes de commande ) Performances des systèmes asservis ) Fonction de transfert en boucle fermée relative à l'entrée principale ) Fonction de transfert en boucle fermée relative à une perturbation ) Interprétation géométrique ) Stabilité des systèmes asservis ) Condition de stabilité ) Critères de stabilité d'un système asservi ) Causes d'instabilités ) Stabilité pratique : Marges de gain et de Phase ) Réglage du gain ) Précision des systèmes asservis ) Présentation du problème Définitions ) Précision statique ) Précision dynamique ) Correction des systèmes asservis ) Buts et objectifs de la correction ) Principe de la correction des systèmes asservis ) Correction par anticipation ) Correction par correcteurs classiques en série ) Correcteur placé en parallèle ou en cascade ) Réalisations des correcteurs ) Exemple de correction d'un système asservi //07

3 ) Introduction Dans une première partie du cours, plusieurs exemples de systèmes asservis ont cité, par exemple : la température d'une pièce peut être commandée par l'ouverture du robinet réglant l'arrivée de l'eau chaude ; le système de commande de direction d'un véhicule. On pourrait compléter ces deux premiers exemples par de nombreux autres exemples. Dans les systèmes de commande, nous avons déjà distingué deux types de systèmes : les systèmes non bouclés on emploie alors les expressions de commande en chaîne directe ou de commande en boucle ouverte ; les systèmes bouclés qui se désignent souvent par les termes de systèmes à commande asservis ou asservissements..) Les différents systèmes de commande..) Système à commande en boucle ouverte Exemple : Commande par un moteur à courant continu Le moteur à courant continu peut être considéré comme un système qui transforme une tension d'entrée en une fréquence de rotation. Il peut être représenté par le schéma bloc ci-dessous. e(t) = v(t) Moteur à Courant Continu s(t) = w(t) 43 20b! en rd/s!! 2! 3 C = C C = C2 C = C c V en volts Vs Vs2 Vs3 Vcom On montre que pour un moteur à courant continu à commande d'induit (type AXEM) la relation entre la tension de commande V(t) et la fréquence de rotation ω(t) est, pour un couple constant, de la forme : V(t) = A ω B dω dt C d2 ω dt 2 où ω est une fonction du temps Par conséquent en régime permanent c'est-à-dire à vitesse stabilisée, les dérivées sont nulles et l on a la relation : ω = C te dω dt = d2 ω dt 2 = 0 donc V(t) = A ω Cette dernière relation est représentée sur la figure ci-dessus. Si le couple résistant sur l'arbre moteur est nul, au démarrage seul le couple de frottement sec s'oppose à la mise en rotation du rotor, tant que la tension d'alimentation V(t) est inférieure à la valeur Vs, le moteur est immobile et dès que cette limite est dépassée la caractéristique tension/fréquence est linéaire. Si la tension d'alimentation est égale à Vcom dans ce cas, la fréquence de rotation stabilisée dépendra de la valeur du couple sur l'arbre de sortie. Par conséquent si pendant le fonctionnement, le couple de sortie varie de manière sensible cela aura une influence importante sur la fréquence de rotation de sortie. Ce problème est identique à celui d'un conducteur qui aborderait une cote en ne modifiant pas la position de son pied sur l'accélérateur, le véhicule décélérerait. En conclusion, un système à commande en boucle ouverte est caractérisé par les faits suivants : le système de commande émet des ordres en aveugle, ceux-ci ne dépendent que des consignes reçues sur les entrées ; si la valeur souhaitée n'est pas atteinte ou est dépassée le système ne peut se corriger ; si une perturbation extérieure survient, il lui sera impossible de se recaler sur la valeur de consigne. //07

4 Systèmes Asservis page 4..2) Système à commande en boucle fermée ou asservissement Un système à commande en boucle fermée peut être défini par les trois propositions suivantes : Proposition C'est un système à retour, c'est-à-dire que le système de commande va prendre en compte les valeurs obtenues en sortie pour élaborer les nouvelles consignes à injecter en entrée du système. Proposition 2 e(t) = v(t) Retour Moteur à Courant Continu s(t) =!(t) 43 20d C'est un système générateur d'écart : l'image de la variable de sortie est comparée à celle de la grandeur d'entrée par élaboration d'une différence ou écart. Le but de l'asservissement est de tendre vers l'annulation en permanence de cet écart de manière que la sortie suive l'entrée. Remarques e(t) = v(t) écart Capteur Moteur à Courant Continu s(t) =!(t) 43 20e Le signal de retour doit être de même nature et de même niveau que le signal d'entrée si l'on veut que la comparaison ait un sens ; Il est préférable d'employer le terme écart que le terme erreur, car un système asservi, par son fonctionnement, génère toujours un écart par rapport à la consigne. Proposition 3 C'est un système amplificateur, en effet l'écart est une grandeur d'autant plus faible que l'on s'approche de la valeur de consigne, elle devient alors insuffisante pour maintenir un signal de puissance en sortie. L'écart doit donc être amplifié. e(t) = v(t) écart Ampli commande Capteur Moteur à Courant Continu s(t) =!(t) 43 20f.2) Performances des systèmes asservis Suivant que l'on s'intéresse à l'étude du régime transitoire ou à celle du régime permanent, on peut définir pour chacune de ces deux études deux critères permettant de caractériser les performances d'un système asservi..2.) En régime transitoire Les deux critères retenus sont la rapidité et l'amortissement. La rapidité Elle est mesurée par le temps mis par le système pour que la sortie reste dans une plage de variation centrée sur la valeur de consigne. Ce temps de réponse dépend de la capacité de réactivité du système, il est donc fortement influencé par son inertie" L'amortissement Il est caractérisé par le rapport entre les amplitudes successives des oscillations de sortie..2.2) En régime permanent Les deux critères retenus sont la stabilité et la précision. La stabilité Plusieurs définitions de la stabilité peuvent être donnée.

5 Systèmes Asservis page 5 Définition intuitive Un système est dit stable par rapport à une consigne de sortie, si lorsqu'il subit une faible perturbation, il tend à revenir vers la consigne de sortie. Deuxième définition Un système est dit stable si et seulement si à une entrée bornée e(t) correspond une sortie bornée s(t). Cette définition permet de qualifier la stabilité des systèmes forcés. La précision Pour un système bouclé, on dit qu'il est d'autant plus précis que l'écart entre la valeur réelle de la sortie s(t) et la valeur désirée s d (t) est réduite. La précision peut donc se chiffrer par la différence ε s (t) = s d (t) s(t)..3) Fonction de transfert en boucle fermée relative à l'entrée principale Considérons le système bouclé représenté par le diagramme ci-dessous. E(p) R(p)!(p) G(p) H(p) S(p) 43 2a G(p) représente la fonction de transfert de la chaîne directe et H(p) la fonction de transfert de la chaîne de retour. Suivant la nature de la fonction de transfert H(p) de la chaîne de retour, on emploie les expressions : de retour unitaire si H(p) =, de retour réel si H(p) = C te et de retour complexe dans les autres cas. Le retour unitaire correspond au cas particulier d'un processus dont la dynamique est lente (processus thermique par exemple) et dont la chaîne de retour est constituée d'un capteur. Dans ce cas, le temps de réponse du capteur peut être négligé devant celui du processus..3.) Fonction de transfert en boucle ouverte La fonction de transfert (ou transmittance) en boucle ouverte est obtenue par le produit des transmittances de tous les éléments présents dans la boucle. On peut donc écrire : R(p) ε(p) = G(p) H(p) On utilise souvent la mnémonique FTBO, pour désigner cette transmittance. Remarque On appelle bande passante (en boucle ouverte) du système asservi l'intervalle de pulsations où le module de la FTBO est supérieur à.3.2) Fonction de transfert en boucle fermée On appelle fonction de transfert (ou transmittance) en boucle fermée le rapport F(p) = S(p) E(p) qui se détermine de la manière suivante : ε(p) = E(p) - R(p) R(p) = H(p) S(p) S(p) = G(p) ε(p) S(p) = G(p) [E(p) H(p) S(p)] On en déduit immédiatement le rapport cherché : F(p) = S(p) E(p) = G(p) H(p) G(p) On utilise souvent la mnémonique FTBF pour désigner cette transmittance. Des trois relations ci-dessus, on établit rapidement la relation : ε(p) E(p) = H(p) G(p)

6 Systèmes Asservis page 6.3.3) Fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire E(p) R(p)!(p) G(p) H(p) S(p) 43 2a Dans le cas d'un retour unitaire, c'est-à-dire H(p) =, la fonction de transfert en boucle fermée s'écrit : Remarque F(p) = S(p) E(p) = G(p) G(p) Dans un prochain chapitre, nous verrons comment certains abaques permettent d'étudier le comportement des systèmes asservis à partir de la connaissance de la fonction de transfert en boucle ouverte. L'utilisation de ces abaques nécessite que le système asservi soit à retour unitaire. E(p) R(p)!(p) G(p) H(p) S(p) /H(p) S(p) 43 2c Un système asservi à retour complexe (H(p) ) peut toujours se mettre sous la forme d'un système asservi à retour unitaire en effectuant la transformation donnée sur le schéma ci-contre..4) Fonction de transfert en boucle fermée relative à une perturbation P(p) E(p) M(p) S(p) L'une des nécessités de réaliser des systèmes asservis provient de la présence de perturbations extérieures au système isolé. Considérons un système de fonction de transfert M(p) subissant une perturbation de transformée de LAPLACE P(p). On pose : M(p) = G(p) H(p) G(p) Pour connaître l'influence des perturbations sur le système, on détermine la fonction de transfert F(p) = S(p)/P(p). Un problème se pose immédiatement c'est celui de trouver le point d'application de la perturbation, celle-ci ne s'ajoute pas nécessairement à l'entrée ou à la sortie du système. Généralement cette détermination passe par la reprise des équations traduisant le comportement du système en y faisant apparaître l'influence de la perturbation. Le point d'application de la perturbation étant déterminé, on trace le schéma bloc représenté cidessous. E(p) R(p)!(p) G(p) H(p) P(p) C(p) G2(p) S(p) 43 2e G (p) et G 2 (p) représentent respectivement les fonctions de transfert situées en amont et en aval de la perturbation ; C(p) est la transformation de LAPLACE de la grandeur physique à laquelle s'ajoute ou se retranche la perturbation. Remarque Il faut faire attention au signe du comparateur utilisé pour introduire la perturbation.

7 Systèmes Asservis page 7 ère méthode Pour déterminer la fonction de transfert relative à une perturbation, il suffit de tracer le schéma bloc en considérant l'entrée principale nulle comme cela est représenté sur la figure ci-dessous P(p) C(p) P(p) C (p) G(p) R (p) G2 (p)!(p) E(p) = 0 La fonction de transfert F(p) = S(p)/P(p) s'obtient de la même manière que pour la FTBF : H(p) F(p) = S(p) P(p) = G 2 (p) H(p) G (p) G 2 (p) Dans le cas d'une boucle à retour unitaire on obtient le schéma bloc suivant : S(p) 43 2f P(p) P(p) C (p) G(p) G2(p) H(p) C(p) G(p) H (p) S(p) 43 2g La fonction de transfert s'écrit alors sous la forme : F(p) = S(p) P(p) = H(p) G (p) G 2 (p) H(p) G (p) G 2 (p) 2 ème méthode À partir de la figure 43-2e on peut écrire : S(p) = [P(p) C(p)] G 2 (p) ε(p) = E(p) H(p) S(p) on obtient S(p) = P(p) G 2 (p) ε(p) G (p) G 2 (p) C(p) = ε(p) G S(p) = P(p) G (p) 2 (p) (E(p) H(p) S(p)) G (p)g 2 (p) On en déduit le résultat suivant : S(p) = G (p) G 2 (p) H(p) G (p) G 2 (p) E(p) G 2 (p) H(p) G (p) G 2 (p) P(p).5) Interprétation géométrique Nous avons vu que la fonction de transfert H(jω) d'un asservissement linéaire à retour unitaire est donnée à partir G(jω) de sa fonction de transfert en boucle ouverte G(jω) par la relation : H(jω) = G(jω) La fonction G(jω) étant complexe, déterminer H(jω) revient à réaliser la transformation qui à la variable z complexe z fait correspondre la fonction complexe z. Posons λ 0 = G(jω) et argument[g(jω)] = ϕ 0, nous pouvons écrire G(jω)) = G(jω) e jϕ0. On obtient : H(jω) = H(jω) e jϕf λ 0 e jϕ0 = λ 0 e jϕ0 Cherchons, le module et l'argument de cette nouvelle expression : H(jω) = λ λ 0 cosϕ 0 λ et tan ϕ sinϕ 0 F = λ 0 0 cosϕ 0 Nous obtenons deux réseaux de courbes orthogonaux : le premier, représente les courbes isomodules, c'est-à-dire H(jω) en fonction de ϕ F lorsque l'on fait varier ϕ 0 et que λ 0 reste constant ;

8 Systèmes Asservis page 8 le second, représente les courbes isophases, c'est-à-dire H(jω) en fonction de ϕ F lorsque l'on fait varier λ 0 et que ϕ 0 reste constant. L'abaque de BLACK comporte deux systèmes de coordonnées : des coordonnées rectangulaires : argument en degrés pour les abscisses et gain en db pour les ordonnées, qui correspondent aux valeurs de la fonction de transfert en boucle ouverte ; des coordonnées curvilignes qui correspondent, aux valeurs de la fonction de transfert en boucle fermée associée. Un exemple d abaque de BLACK (vierge) est représenté ci-dessous. Abaque de BLACK 0.5 db 2 4 db 6,4 db db 2,3 db 0 db 0.5 db 3 db 4 db 5 db 6 db 8 db 0 db 2 db db 2 db 3 db 4 db 5 db 6 db 8 db 2 db 6 db 20 db Gain de la fonction de transfert en boucle ouverte (en db) 30 0 Phase de la fonction de transfert en boucle ouverte (en degrés)

9 Systèmes Asservis page 9 2) Stabilité des systèmes asservis 2.) Condition de stabilité 2..) Écriture de la fonction de transfert F(p) Nous avons vu que la fonction de transfert F(p) d'un système s'écrit sous la forme du quotient de deux polynômes B(p) et A(p). On désigne par z i les racines du numérateur B(p) et par p i celles du dénominateur A(p). Les racines, z i et p i, sont appelées respectivement zéros et pôles de la fonction de transfert F(p). Nous pouvons donc écrire : j=m k (p z j ) j= F(p) = i=n (p p i ) i= j=m ( ) m n k j= Posons K = i=n p i i= z j j=m K ( p z ) j= j La fonction de transfert s'écrit : F(p) = i=n ( p p ) i= i avec p i 0 et z i 0 Si la fonction de transfert comporte a zéros nuls et b pôles nuls on l'écrit alors sous la forme : j=m a K p a ( p z ) j= j F(p) = i=n b p b ( p p ) i= i avec p i 0 et z i 0 Les pôles p i et les racines z j peuvent être nuls, réels ou imaginaires conjugués, chacun d'eux d'un ordre de multiplicité quelconque. Le numérateur et le dénominateur de la fonction de transfert peuvent donc s'écrire sous la forme de produits de termes tels que : p α racine de la forme p = 0 ( τ i p) β racine de la forme p = τ i [(p a i ) 2 b i2 ] γ racine de la forme p = a i ± j b i La fraction rationnelle représentant la fonction de transfert peut se décomposer en éléments simples. On obtient donc l'écriture suivante : i=n 0 F(p) = i= n Ai p i i= m (i) j= B ij ( τ i p) j i= n 2 m 2(i) C ij p D ij [(p a j= i ) 2 b 2 i ] j La réponse temporelle globale f(t) est la somme des réponses partielles qui correspondent à chacun des pôles. Ces différentes contributions s'appellent les modes du système, leurs influences relatives dépendent de la valeur respective des pôles.

10 Systèmes Asservis page ) Réponses partielles suivant la nature des pôles Pôles situés à l'origine Pôle d'ordre La réponse partielle est égale à f(t) = Ai = C te stabilité impropre, on dit aussi système stable non asymptotiquement. Pôle d'ordre supérieur à Quel que soit l'ordre la réponse partielle est instable. En effet, la transformée inverse de LAPLACE d'un terme de la forme p 2 : L- (/p 2 ) = t, terme qui tend vers l'infini. Pôles réels simples La transformée inverse de LAPLACE d'un terme de la forme B ij f(t) = L - ( τ i p ) = B ij e t/τ i ( τ i p) donne comme résultat l'expression : donc si τ i > 0 la réponse partielle est stable, par contre si τ i < 0 la réponse partielle est instable. Pôles complexes simples On écrit la transformée de LAPLACE sous la forme : C ij (p a) (D ij a C ij ) (p a) 2 b 2. Posons : C ij = cosφ et D ij a C ij = sinφ. Cette expression est la transformée de LAPLACE de fonction f(t) = e a t cos(ω t φ). Si la partie réelle du pôle («a») est Remarque positive négative nulle instable stable Alors la réponse partielle est respectivement quasi instable On montre de même que si les pôles réels et complexes sont d'ordre multiple et si leur partie réelle est positive alors le système est stable ; Représentation graphique des positions des pôles sur la page suivante 2..3) Condition de stabilité d'un système asservi Un système bouclé est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée ont leur partie réelle négative 2..4) Remarques pratiques Intégrateur dans une boucle ouverte Le cas d'un intégrateur placé dans une boucle ouverte a déjà été traité. Nous avons caractérisé ce système comme ayant une stabilité impropre. E(p) Intégrateur dans une boucle fermée à retour unitaire E(p) p S(p) 43 22a S(p) p 43 22b Dans ce cas, la fonction de transfert s'écrit sous la forme suivante : p

11 Systèmes Asservis page Le pôle de cette fonction de transfert est égal à, le système est donc stable. Système du deuxième ordre en boucle ouverte E(p) K (2! / " )p (p / " ) 2 n n S(p) 43 22c Nous avons vu précédemment que dans ce cas, nous avions en fonction de la valeur de ξ trois possibilités, si : ξ > : les pôles de la fonction de transfert sont réels et négatifs ; 0 < ξ < : les pôles sont complexes et conjugués, leur partie réelle est négative ; ξ = : le pôle est double, réel et négatif. Donc un système du deuxième ordre, qui respecte ces conditions, est toujours stable. Système du deuxième ordre en boucle fermée E(p) (2! / " n )p (p / " n ) 2 S(p) 43 22d La fonction de transfert d'un système du deuxième ordre en boucle fermée à retour unitaire s'écrit : F(p) = K K K 2 ξ ω n p p2 ω n 2 Les deux pôles de cette fonction de transfert sont tels que leur somme est égale à 2ξ/ω n et leur produit égal à ( K), ils sont donc tous les deux réels négatifs ou complexes conjugués à partie réelle négative. Conclusions Un système du deuxième ordre, qui vérifie ξ > 0, est toujours stable ; Un système instable bouclé comportant plusieurs intégrateurs peut être rendu stable en plaçant une boucle sur l'un des intégrateurs.

12 Systèmes Asservis page ) Représentation de la position des pôles et stabilité 2.2) Critères de stabilité d'un système asservi E(p) G(p) H(p) S(p) 43 22e Soit le système asservi représenté par le schéma bloc ci-contre. Sa fonction de transfert s'écrit : F(p) = G(p) H(p) G(p) Ce système sera stable si et seulement si les racines de l'équation caractéristique sont à partie réelle négative. Pour vérifier cette condition, on dispose de deux types de critères, les critères algébriques et les critères graphiques. Les critères algébriques sont basés sur les règles qui permettent de savoir si les racines d'une équation algébrique de la forme : a 0 a p a 2 p 2 a n p n a n p n = 0 ont leur partie réelle négative et cela sans résoudre explicitement l'équation. Ces règles sont appliquées à l'équation caractéristique du système, c'est-à-dire au dénominateur de sa fonction de transfert que l'on égale à zéro.

13 Systèmes Asservis page ) Critère algébrique de ROUTH (ou ROUTH HURWITZ) Ce critère de ROUTH se compose deux conditions. Énoncé du critère ère condition : Une condition nécessaire pour qu'un système soit stable est que tous les coefficients a i, du polynôme caractéristique, soient de même signe (conséquence immédiate aucun de ces coefficients ne doit être nul). 2ème condition : Si la condition nécessaire précédente est vérifiée, une condition nécessaire et suffisante est traduite par la règle de ROUTH, résultat de l'analyse du tableau construit de la manière suivante. Supposons les coefficients a i > 0. Construction du tableau de ROUTH On pose p n On détermine ère étape p n a n a a n 2 a n 4 n a n 3 a n pn 2 p n 3 p n 4 p 2 p p 0 A B C M N O A 2 A 3 B 2 B 3 C 2 C 3 M 2 M 3 N 2 N 3 O 2 O 3 On écrit sur deux premières lignes les coefficients a i de l'équation caractéristique de la manière suivante : ligne : coefficients des termes en p n 2i ligne 2 : coefficients des termes en p n 2i avec i N 2 ème étape On calcule de la manière suivante les coefficients A, A 2, A 3,,B, B 2,,,,O, O 2, A = a n a n 2 a n a n 3 a n A 2 = a n a n 4 a n a n 5 a n A 3 = a n a n 6 a n a n 7 a n B = A a n 3 A 2 a n A B 2 = A a n 5 A 3 a n A Si le tableau complet des coefficients, est noté M et un terme quelconque par M[i, j], on peut généraliser ces calculs de la manière suivante : Si n est le degré du polynôme caractéristique, on pose k = Partie entière(n/2). On remplit ensuite un tableau de (n) lignes et de k colonnes. Sur la première ligne, on reporte les coefficients des termes de degré p n 2i, la deuxième ligne correspond elle aux coefficients des termes en p n 2i. Un terme quelconque M[i, j] du tableau pour i [3, n] et j [, n i] est obtenu par le déterminant suivant : M[i, j] = M[i,] M[i 2,] M[i,] M[i 2,j] M[i,j]

14 Systèmes Asservis page 4 ROUTH a établi qu'une condition nécessaire et suffisante de stabilité s'écrit : Remarque La première règle étant vérifiée, tous les coefficients de la première colonne du tableau de ROUTH doivent être de même signe La première colonne correspond aux coefficients M[i, ] avec i [, n] Exemples Exemple Soit la fonction de transfert définie par l'équation F(p) = K 6 p 3 p 2 3 p 3 p 4. Le système admettant cette fonction de transfert est instable tous les coefficients du dénominateur n'ont pas le même signe ( ère condition de ROUTH), il est donc inutile de poursuivre le calcul. Exemple 2 Soit la fonction de transfert définie par l'équation F(p) = K 6 p 3 p 2 3 p 3 p 4. La ère condition de ROUTH est vérifiée, déterminons le tableau de ROUTH. p 4 3 p p 2 p p 0 Calculons les différents coefficients de ce tableau de ROUTH p 4 3 p p 2 (3x3 x6)/3 = (3x x0)/3 = 0 p (x6 3x)/ = 3 (x0 3x0)/ = 0 0 p 0 (3x x0)/3 = 0 0 Le tableau initial se présente sous la forme ci-contre = Tous les termes de la première colonne ont le même signe, le système est donc stable. Cas particulier des racines imaginaires pures Soit l'équation caractéristique suivante : D(p) = p 4 p 3 5 p 2 4 p 4 Remarque Si le polynôme admet des racines imaginaires pures, dans la détermination des coefficients du tableau, il apparaît une ligne de zéros. Dans l'exemple proposé, la détermination du tableau de ROUTH fait apparaître cette situation pour le coefficient de p. p p p p p Pour continuer la détermination des coefficients du tableau, on remplace la ligne de zéros par les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d'un polynôme auxiliaire A(p) dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle. Les racines à partie réelle nulle sont les pôles du polynôme auxiliaire. La théorie de ROUTH indique que les racines du polynôme auxiliaire A(p) sont aussi les racines de l'équation caractéristique initiale. En effet on peut poser : D(p) = A(p) D (p)

15 Systèmes Asservis page 5 Pour savoir si les autres racines de D(p), c'est-à-dire de D (p), sont stables on continue le tableau en remplaçant la ligne faisant apparaître les zéros par une ligne dont les coefficients sont égaux aux coefficients du polynôme dérivé, par rapport à p, de A(p). Appliquons cette procédure au cas précédent. On obtient : p4 5 4 p p polynôme auxiliaire : p 2 4 p dérivée du polynôme auxiliaire : 2 p p Conclusion La première colonne du tableau de ROUTH, associé au système dont la fonction de transfert est donnée cidessus, ne comporte que des termes positifs donc toutes les racines de D (p) sont stables. Mais le système, dont le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée est D(p), reste lui instable. Pour l exemple proposé, D(p) peut s écrire sous la forme du produit de deux fonctions, l une admettant des racines imaginaires pures donnant une sortie oscillante et l autre ne comportant que des racines à partie réelle négative correspondant à un système stable. Mais dès que la partie stabilisante est éteinte le système continue à osciller. Pour l exemple proposé, on obtient une entrée en échelon unité, un signal de sortie vérifiant l équation : y(t) = e 0.5 t cos 3 t e 0.5 t sin 3 t cos 2 t 26 sin 2 t Conclusions sur le critère de ROUTH le critère algébrique de ROUTH permet de savoir rapidement si un système a, ou n'a pas, des pôles instables ; si une fonction de transfert dépend de paramètres, ce critère permet de déterminer facilement les conditions à respecter pour que le système soit stable ) Critère stabilité de NYQUIST Théorème Im domaine de la variable p " Re Im domaine de F(p) Soit une fonction complexe de la variable complexe p, notée F(p). Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (γ) du plan complexe, dans le sens horaire, le point d'affixe F(p) décrit un lieu Γ (image de γ par F) Re de forme plus ou moins compliquée.! 43 23a Les lieux de (γ) et de (Γ) se correspondent point par point. On note P le nombre de pôles et Z le nombre de zéros, comptés avec leur ordre de multiplicité, situés à l'intérieur de la courbe γ. Quand un point M parcourt le contour γ dans le sens anti-trigonométrique, la variation totale de phase ΔΦ de F(p) comptée positivement dans le sens trigonométrique est égale à : ΔΦ = 2π (P - Z) Le nombre de tours T effectué par le lieu Γ de F(p) autour de l'origine est donc égal à P Z Cas d'une fraction rationnelle F(p) Soit F(p) une fonction rationnelle de la variable complexe p tel que degré de numérateur soit inférieur au degré du dénominateur, on peut l'écrire sous la forme : F(p) = (p z )(p z 2 )(p z 3 ) (p p )(p p 2 )(p p 3 ) On note respectivement z i et p i, les zéros et les pôles de F(p).

16 Systèmes Asservis page 6 On considère un point M décrivant le contour (γ) dans le sens anti-trigonométrique (sens horaire). Cas des zéros du numérateur Zéros situés à l'extérieur du contour (γ) M Zéros situés à l'intérieur du contour (γ) M Z 2 O Z x 43 23b O 43 23c x La variation de l'argument Δ[(O, x ), Z M ] est nulle Cas des pôles du dénominateur Pôles situés à l'extérieur du contour (γ) M La variation de l'argument Δ[(O, x ), Z 2 M ] est égale à 2π Pôles situés à l'intérieur du contour (γ) M P 2 O P x 43 23d O 43 23e x La variation de l'argument Δ[(O, x ), P M ] est nulle La variation de l'argument Δ[(O, x ), P 2 M ] est égale à 2π Si Z et P sont comptés avec leur ordre de multiplicité, lorsque le point M décrit le contour γ dans le sens antitrigonométrique la phase Φ de la fonction F(p) varie de la quantité : ΔΦ = 2π (P Z). Application aux systèmes asservis On fait décrire au nombre complexe p le contour γ, dénommé contour de BROMWICH. Ce contour enferme la totalité du demi-plan complexe situé à droite de l'axe des imaginaires (on fait tendre le rayon vers l'infini) et il évite les pôles imaginaires purs.quand p décrit le contour γ, F(p) décrit un lieu Γ image de γ dénommé contour de NYQUIST de F(p). p i z i # i Im p " i $ Re Im Re! Théorème 43 25a Si la fonction F(p) n'a ni pôles ni zéros à l'intérieur du contour γ, son lieu de NYQUIST n'entoure pas l'origine. En effet : arg(f(p)) = arg(p z ) arg(p z 2 ) arg(p z n ) arg(p p ) arg(p p 2 ) arg(p p m ) = (θ θ 2 θ n ) (ϕ ϕ 2 ϕ m ) Lorsque la variable p décrit le contour γ, les variations des angles ϕ i ou θ i sont nulles si les pôles p i et les zéros z i sont situés à l'extérieur de γ. La variation d'argument de F(p) est nulle après avoir décrit le contour Γ, donc ce lieu n'entoure pas l'origine.

17 Systèmes Asservis page 7 Application à la stabilité d'un système bouclé Le critère de NYQUIST résulte du théorème précédent. Il utilise une représentation graphique de la réponse fréquentielle et permet de prévoir le comportement d'un système bouclé à partir du tracé de sa fonction de transfert en boucle ouverte. E(p) R(p)!(p) G(p) H(p) S(p) 43 2a La figure ci-dessus représente un système bouclé pour lequel le retour s'effectue avec une fonction de transfert H(p) qui est le cas général. Ce retour pourrait être unitaire. D'après le.3.2, la fonction de transfert du système bouclé s'écrit : F(p) = S(p) E(p) = G(p) H(p) G(p) Les pôles de F(p) conditionnent la stabilité du système, mais ces pôles sont les zéros du dénominateur D(p) = H(p) G(p). Pour que F(p) soit stable il faut que D(p) n'ait aucun zéro à partie réelle positive. D'après le théorème précédent, le lieu de NYQUIST de D(p) ne doit pas entourer l'origine, si D(p) n'a pas de pôle instable, ou ce qui est équivalent que la fonction H(p) G(p), c'est-à-dire la fonction de transfert en boucle ouverte, n'entoure pas le point {, 0}. Ce point est souvent appelé point critique. Règle de NYQUIST (si la fonction de transfert n a pas pôle à partie réelle positive) Une condition nécessaire et suffisante pour qu un système asservi, dont la FTBO ne comporte pas de pôle à partie réelle positive, soit stable est que : Son lieu de transfert en boucle ouverte n entoure pas le point critique (, 0). Règle de NYQUIST (si la fonction de transfert à des pôles à partie réelle positive) Une condition nécessaire et suffisante pour qu un système asservi soit stable est que : Son lieu de transfert, en boucle ouverte parcouru de ω = à ω =, entoure dans le sens trigonométrique le point critique (, 0) un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte (pôles à partie réelle positive) ) Applications Exemple On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est représentée par la fonction 0 H(p) = p (p 2). En passant dans le domaine fréquentiel on obtient : H(j ω) = 0 j ω (j ω 2) = 0 20 j 4 ω 2 ω (4 ω 2 ) et Arg(H(jω)) = arctan( ω) 2 Sachant que arctan( τ ω) = π 2 arctan(τ ω), on obtient : Arg(H(jω)) = π 2 arctan(ω 2 ) Sur le segment [a, b], lorsque ω tend : vers 0 lim 0 ω 0 4 ω 2 = 5/2 lim 20 ω 0 ω (4 ω 2 ) = avec un argument égal à π/2 vers l lim 0 ω 4 ω 2 = 0 lim 20 ω ω (4 ω 2 ) = 0, avec un argument égal à π

18 Systèmes Asservis page 8 Sur le segment [e, d], on obtient un résultat symétrique par rapport à l axe des réels. Sur les arcs de cercles (b, c, d) et (a, f, e), on pose p = ρ e jϕ. Sur l arc de cercle (b, c, d), lorsque ρ, lim ρ H(ρ ejϕ ) = 0. On en déduit que les points b et d, images respectives des points b et d du contour γ, sont confondus avec l origine du plan complexe. Sur l arc de cercle (a, f, e), lorsque ρ 0, lim ρ 0 H(ρ ejϕ ) = avec un argument égal à e jϕ. On en déduit que lorsque le point p décrit l arc de cercle (a, f, e) du contour γ (rotation d angle π) dans le sens horaire, l affixe de H(ρ e jϕ ) décrit sur le contour Γ un cercle de rayon ρ avec une rotation d angle π dans le sens trigonométrique). b e' a e f c d' b' d Contour γ (de BROMWICH), affixe de la variable complexe p. a' Contour Γ, affixe de H(jω) ou contour d exclusion de NYQUIST En appliquant le critère de NYQUIST, on peut conclure de la manière suivante : La fonction de transfert H(p) n admet aucun pôle à partie réelle positive et comme le contour d exclusion de NYQUIST n entoure pas le point critique (, 0), cette fonction transfert correspond à un système stable en boucle fermée. Exemple 2 On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est représentée par la fonction 8 (p ) H(p) = p (p ) (p 3). On constate que cette fonction de transfert comporte un pôle à partie réelle positive (p = ). En passant dans le domaine fréquentiel on obtient : 8 j ( j ω) H(j ω) = ω (j ω ) (j ω 3) = 8 (5 ω 2 ) ( ω 2 ) (9 ω 2 ) 8 j ( 3 ω 2 ) ω ( ω 2 ) (9 ω 2 ) et ω 2 3 Arg(H(jω) = arctan( ω (ω 2 5) )

19 Systèmes Asservis page 9 Sur le segment [a, b], lorsque ω tend : vers 0 lim ω 0 8 (5 ω 2 ) ( ω 2 ) (9 ω 2 ) = 40/9 lim 8 (ω 2 3) ω 0 ω ( ω 2 ) (9 ω 2 ) = avec un argument égal à π/2 vers l lim ω 8 (5 ω 2 ) ( ω 2 ) (9 ω 2 ) = 0 lim 8 (ω 2 3) ω ω ( ω 2 ) (9 ω 2 ) = 0 b avec un argument égal à π a' a e f c -40/9 M d' b' d Contour γ (de BROMWICH), affixe de la variable complexe p. e' 44 0c Contour Γ, affixe de H(jω) ou contour d exclusion de NYQUIST Sur le segment [e, d], on obtient un résultat symétrique par rapport à l axe des réels. De plus on constate que la partie imaginaire s annule pour ω = ± 3, et pour cette pulsation la partie réelle est égale à 4 3 (point M sur la représentation ci-dessus). Sur les arcs de cercles (b, c, d) et (a, f, e), on pose p = ρ e jϕ. Sur l arc de cercle (b, c, d) : lim H(ρ ejϕ ) ρ = 0. On en déduit que les points b et d, images respectives des points b et d du contour γ, sont confondus avec l origine du plan complexe. Sur l arc de cercle (a, f, e) : lim H(ρ ejϕ ) ρ 0 =, avec un argument égal à e jϕ. On en déduit que lorsque le point p décrit l arc de cercle (a,f,e) du contour γ (rotation d angle π) dans le sens horaire, l affixe de H(ρe jϕ ) décrit sur le contour Γ un cercle de rayon ρ avec une rotation d angle π dans le sens trigonométrique. En appliquant le critère de NYQUIST, on peut conclure de la manière suivante : La fonction de transfert en boucle ouverte H(p) admet un pôle à partie réelle positive (,0). Le contour d exclusion de NYQUIST, parcouru de ω = à ω =, entoure une fois le point critique (,0), donc cette fonction transfert correspond à un système stable en boucle fermée.

20 Systèmes Asservis page 20 Remarque Si le gain pur K de H(p), égal à 8 dans l application précédente, devient égal à K (avec K < 6), la partie imaginaire s annule toujours pour ω = ± 3, mais pour cette pulsation la valeur de la partie réelle est supérieure à. Dans cette configuration, le contour d exclusion de NYQUIST n entoure pas une fois le point critique dans le sens trigonométrique et la fonction de transfert est celle d un système instable en boucle fermée ) Interprétation physique On considère le système asservi représenté ci-dessous. E(p)!(p) R(p) G(p) H(p) S(p) 43 2a On suppose que : la consigne d'entrée e(t) s'écrit sous la forme e(t) = E 0 ; le signal de retour est déphasé de π par rapport à la consigne. e(t) E t s(t) s = K! 2 s = K! 4 3 t s 3 = K! 2!(t)! = E 0! 3 t! 2! Pour la phase : ε = E 0 Pour la phase 2 : ε 2 = E 0 S 2 = E 0 K ε = E 0 ( K) Pour la phase 3 : ε 3 = E 0 S 3 = E 0 K ε 2 = E 0 E 0 ( K) K = E 0 ( K K 2 ) Pour la phase 4 : ε 4 = E 0 S 4 = E 0 K ε 3 = E 0 E 0 ( K K 2 ) K = E 0 ( K K 2 K 3 ) On constate que l écart tend en valeur absolue vers : E 0 ( K K 2 K 3 K 4 ) On obtient une série de la forme : x x 2 x 3 x n, dont la somme est égale à xn x. Cette somme converge vers x si x < ou diverge si x > lorsque n

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