Journée des Doctorants du CMAP. Mardi 10 Juin 2008

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1 Journée des Doctorants du CMAP Salle de Conférence du CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau Mardi 10 Juin h15-9h40 9h45-10h10 Jean-Baptiste Bellet Identification d une cible dans un milieu fluctuant Audrey Hermant Algorithme d homotopie en commande optimale et appplication à la rentrée atmosphérique 10h15-10h45 *** Pause café *** 10h45-11h10 11h15-11h40 Iryna Pankratova On the behaviour at infinity of solutions to stationary convectiondiffusion equation in a cylinder Assalé Adjé Entre Théorie des Jeux et Analyse Statique de Programmes 11h45-12h10 Harry Bensusan Wishart stochastic volatility : framework Asymptotic smile and numerical 12h10-14h *** Pause déjeuner *** 14h - 14h25 14h30-14h55 15h - 15h25 Gilles-Edourd Espinosa Detection of the maximum M rad Mohamed Forward Dynamic Utility and Numeraire Isabelle Camillier Modèles dynamiques pour les dérivés de crédit 15h30-16h *** Pause café ***

2 16h - 16h25 16h30-16h55 Arash Fahim Probabilistic Numerical Methods for Fully Nonlinear Parabolic PDEs Carlos Jerez Solution des EDP elliptiques pour des structures planes dans R 3 Mercredi 11 Juin h15-9h40 9h45-10h10 Guoshen Yu Fast Wavelet-Based Visual Classification Guillaume Sagnol Optimization of Network Traffic Measurement : Programming Approach A Semidefinite 10h15-10h45 *** Pause café *** 10h45-11h10 11h15-11h40 11h45-12h10 Ricardo Hein Hoernig Calcul numérique de la fonction de Green de l équation de Helmholtz dans un demi-plan avec une condition à la limite d impédance Duvernet Laurent Estimation du spectre de singularités d une cascade aléatoire Meisam Sharify Location Of The Roots Of a Polynomial By Tropical Techniques

3 Résumés des exposés Identification d une cible dans un milieu fluctuant Jean-Baptiste Bellet Dans un premier temps, je donnerai le contexte et les motivations de mon sujet de thèse. Il s agit d une thèse CIFRE, dont une des applications pourrait être la détection de cellules cancéreuses dans le derme. Puis nous verrons que ma thèse comporte deux phases : une phase problème direct, suivie d une phase problème inverse. La phase directe consiste à obtenir un modèle de diffusion d une onde électromagnétique dans le milieu considéré. Nous verrons le modèle initial du milieu, ainsi que le modèle simplifié que l on souhaite obtenir. J évoquerai différentes problèmatiques liées à cette phase : cas périodique, cas aléatoire, homogénéisation, couche mince, etc. Quant à la phase d inversion, elle consiste à élaborer un algorithme d identifcation de la cible, placée dans le milieu fluctuant, ou, de façon équivalente, dans le milieu simplifié obtenu à la première phase. Pour localiser la cible, on pourra commencer par faire un algorithme de type MUSIC. On devra étudier la résolution de l algorithme, sa faisabilité, etc. Enfn, j illustrerai mes propos par des exemples. Je donnerai un aperçu de la théorie de l homogénéisation en présentant un problème de conductivité dans un milieu périodique. Je donnerai un exemple de couche mince périodique avec le traitement approprié. Je donnerai un exemple de problème inverse, dans le cas d une équation de Helmholtz, traité avec MUSIC. Algorithme d homotopie en commande optimale et appplication a la rentree atmospherique Audrey Hermant L algorithme de tir permet de résoudre efficacement des problèmes de commande optimale avec une grande précision. Cependant, son petit domaine de convergence et la nécessité de connaître a priori la structure des contraintes rend son application souvent difficile. Pour pallier ces difficultés des methodes d homotopie ou continuation peuvent être utilisées. Dans cet exposé, on présente une méthode d homotopie pour les problèmes de commande optimale avec une contrainte sur l état d ordre 1 ou 2. Partant de la solution du problème non contraint, la nouveauté de cette méthode est de gérer automatiquement les changements de structure de la trajectoire et d initialiser les paramètres de tir associes. Une application de cet algorithme au probleme de la rentrée atmosphérique d une navette spatiale avec contrainte sur le flux thermique est présentée. On the behaviour at infinity of solutions to stationary convection-diffusion equation in a cylinder Irina Pankratova 1

4 The talk will focuse on the behaviour at infinity of solutions to second order elliptic equation with first order terms in a semi-infinite cylinder. Neumann s boundary condition is imposed on the lateral boundary of the cylinder and Dirichlet condition on its base. Under the assumption that the coefficients stabilize to a periodic regime, we prove the existence of a bounded solution, its stabilization to a constant, and provide necessary and sufficient condition for the uniqueness. Entre Théorie des Jeux et Analyse statique de Programmes Assalé Adjé De nos jours, l automatisation de systèmes, en industrie, dans le secteur tertiaire, prend de plus en plus d importance. Les programmes rendant cette automatisation possible doivent être sûrs et stables, il faut donc les tester, savoir s ils exécutent sans générer d erreurs, de dépassements de mémoire ou tout autre problème conduisant à l arrêt du programme. Cependant, la combinatoire des programmes analysés empêche le test d être exhaustif. Comment peut-on tester, vérifier un programme sans l exécuter et trouver des valeurs pour lesquelles le programme est sûr de s exécuter sans problèmes? C est le but de l analyse statique de programmes par interprétation abstraite introduite par Patrick Cousot, cette méthode permet, entre autres, de déterminer une surapproximation des valeurs possibles prises par les variables du programme à analyser pour chaque ligne d exécution. On obtient ainsi ce qu on appelle un invariant du programme. La méthode classique de calcul est l itération de Kleene. Ici, on expose une nouvelle technique permettant de calculer cet invariant, il sera obtenu en calculant le point fixe d une fonctionnelle déduite des équations sémantiques du programme. La théorie des jeux où les problèmes de point fixe sont récurrents (calcul de la valeur d un jeu, recherche d équilibres, inclusions différentielles...) peut apporter une solution à ce problème de point fixe. L algorithme appelé, algorithme d itérations sur les politiques, utilisé ici, est un algorithme calculant un point fixe d une application f croissante de type min-max, ce type d applications apparaît souvent dans les jeux à deux joueurs à somme nulle. L algorithme calcule un point fixe de f à partir de plus petit point fixe d applications plus simples appelées politiques. Toutefois, le point fixe de f trouvé peut ne pas être le plus petit. Même si le problème de l invariant minimal est indécidable, la minimalité du point fixe de la fonctionnelle déduite des équations sémantiques du programme garantira une surapproximation moins large. La surapproximation obtenue contiendra moins de valeurs qui ne pourraient pas être atteintes par les variables du programme. Dans cette présentation, dans un premier temps, on mettra en évidence le lien entre les jeux stochastiques, en particulier l opérateur de Shapley, et les équations min-max déduites des équations sémantiques dans le domaine des intervalles. Enfn, on exposera un raffinement de l algorithme d itération sur les politiques nous permettant de calculer le plus petit point fixe dans le cas d une classe d applications importante en théorie des jeux, les applications croissantes, affines par morceaux et contractantes au sens large. Wishart stochastic volatility : Asymptotic smile and numerical framework Anas Benabid, Harry Bensusan 2

5 In this paper, we study a multi-dimensional model where the volatility follows the trace of a Wishart process presented in [7]. We propose to apply the singular perturbations method introduced by Fouque in many articles [11,12,13] to the Wishart model. Indeed, for stochastic volatility models it is difficult to obtain the smile of the implied volatility, and we need approximation methods. The resulting approximations allow us to find an explicit expression for the asymptotic smile for one scale or two scales of maturities. Detection of the maximum Gilles-Edouard Espinosa Consider a process oscillating around 0. If we are able to sell it approximately at its maximum before crossing 0 and buy it approximately at its minimum before crossing 0, we have a very interesting trading strategy. Therefore, we try to study how to detect the maximum of an oscillating (for example an Ornstein-Ulhenbeck) process X, starting at x > 0, before it crosses 0. We use the notation X t = max 0 u t X u. In order to have a Markov process, given (x, z) with 0 < x z, we consider the couple (X t, Z t ) where X 0 = x and Z t = X t z (and so Z 0 = z). We denote by T 0 = inf{t 0, X t 0} the time of crossing and T (T 0 ) = {stopping times on [0, T 0 ]} the set of all stopping times less than T 0. Finally, we define the value function of our control problem by : V (x, z) = inf E[(Z T0 X θ ) 2 X 0 = x, Z 0 = z] θ T (T 0 ) Forward Dynamic Utility and Numeraire Mohamed M rad In this Work we are interested on the forward dynamic utility, introduced by Musiela and Zariphopoulou, we consider an investor starting at time t = 0 with an initial wealth x and an initial utility function u(.), he invests in the market according to his preferences, more precisely his risk aversion on this market. So, we associate to this investor an utility process which defines the management strategy used by the investor to maximize his expected utility. Modèles dynamiques pour les dérivés de crédit Isabelle Camilier Après un bref apercu des principaux modèles pour le pricing des CDO, je développerai le cas d une approche bottom-up, où on choisirait de modèliser l intensitè de chacun des noms par une jump-diffusion. Je mentionnerai aussi les enjeux liés à la dimension du problème (typiquement 100 à 125 noms). Pour l approche considérée dans cet exposé on a besoin de connaître la loi jointe de l intensité et de son intégrale par rapport au temps. Je parlerai du choix du processus ainsi que des méthodes de résolution envisagées (par EDP, transformée de Laplace). 3

6 Probabilistic Numerical Methods for Fully Nonlinear Parabolic PDEs Arash Fahim Up to now there are a few results about fully nonlinear PDEs. We introduce a Monte Carlo method for fully nonlinear parabolic PDEs being inspired by the result of [1]. Then we prove that the approximate solution converges to the solution of PDE using [2] and find the rate of convergence to be h 1/4 using [3]. An example shows that in some cases, it could converge at a better rate. References [1] P. Cheridito, H.M. Soner, N. Touzi, N. Victoir; Second Order Backward Stochastic Differential Equations and Fully Non-Linear Parabolic PDEs Communications on Pure and Applied Mathematics, Volume 60, Issue 7, Date: July 2007, Pages: [2] G. Barle, P.E. Souganidis; Convergence of Approximation Schemes for Fully Non-linear Second Order Equation Asymptotic Anal., 4, pp , [3] G. Barles, E. R. Jakobsen; Error Bounds For Monotone Approximation Schemes For Parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman Equations Math. Comp., 76(240): , Solution des EDP elliptiques pour des structures planes dans R 3 Carlos Jerez On s intéresse aux problèmes elliptiques pour des structures planes bornées de frontière Lipschitz, caractérisées par de larges rapports entre la longeur et la largeur. L existence de singularités au bord de tels domaines rend les méthodes numériques classiques faiblement performantes et parfois même inutilisables. On développe un schéma hybride de type Galerkin employant des éléments de frontière de natures differentes en considérant les comportements singuliers sur la surface. On présentera quelques théorèmes sur la solvabilité de tels systèmes ainsi que l étude d erreur associée à la méthode introduite. Ensuite, on appliquera cette formulation pour retrouver la distribution de charges électriques dans des milieux piézoélectriques comme par exemple dans les transducteurs à ondes acoustiques de surface ou SAW (Surface Acoustic Waves). Fast Wavelet-Based Visual Classification Guoshen Yu We introduce a wavelet-based visual classification approach and show some experiments on object recognition, texture and satellite image classification, and language identification. 4

7 Optimization of Network Traffic Measurement : A Semidefinite Programming Approach Guillaume Sagnol We study the problem of traffic matrix estimation in large IP networks. The problem of inferring the traffic for each (origin - destination) pair in the network from the link measurements has been widely studied over the past 10 years. Recently, the possibility of using network-monitoring tools such as Netflow (Cisco Systems) has renewed the interest for this problem, the aim beeing now to make the best possible use of such tools. Because of its expensive cost of use and deployment, optimizing the set of interfaces on which netflow should be installed (and/or activated)is of first interest. We model the optimal deployment of Netflow in terms of experimental design, which allows us to use semidefinite and convex programming techniques. The principle is to choose a set of localizations for Netflow that minimizes (in a certain sense) the variance of an estimator for the traffic matrix. We show that this problem is a generalization of the rank-maximization of the under-constrained system, and that the greedy algorithm provides a (polynomial time) approximation of the solution by (1 1/e). We give experimental results on real networks and we show that an approach based on the rounding of a continuous relaxation improves on other approaches, including greedy algorithms. Calcul numérique de la fonction de Green de l équation de Helmholtz dans un demi-plan avec une condition à la limite d impédance Ricardo Hein Hoernig La fonction de Green de l équation de Helmholtz dans un demi-plan avec une condition à la limite d impédance est calculée de façon numérique. Un problème de Helmholtz d impédance dans un demi-plan perturbé de manière compacte est présenté pour motiver ce calcul, qui est traité par des techniques des équations intégrales, menant à une discrétisation d éléments de frontière. La fonction de Green est calculée en utilisant une transformée de Fourier inverse, appliquant un FFT inverse pour la partie régulière, et enlevant les singularités de façon analytique. Estimation du spectre de singularités d une cascade aléatoire Laurent Duvernet Introduite dans le domaine de la turbulence pleinement développée dans les années 1980, l analyse multifractale a été depuis appliquée notamment en finance ou en modélistion des réseaux internet. Elle a pour objet des signaux dont la régularité localement hoelderienne varie en tout point : alors qu un mouvement brownien a par exemple une régularité 1/2 partout, une trajectoire multifractale présente une gamme d exposants de régularité caractérisée par ce qu on appelle un spectre de singularités. Un lien peut par ailleurs être établi entre le spectre de singularités et la régularité globale de la 5

8 trajectoire (au sens de l appartenance à un espace de Besov). C est à l estimation de ce spectre que nous nous intéressons, dans le cadre des processus de cascades aléatoires. Location Of The Roots Of a Polynomial By Tropical Techniques Meisam Sharify Tropical algebra arises as a limit of a deformation of usual algebra. This limit transforms classical polynomial equations to equations of a combinatorial nature involving polyhedral maps. Such equations can often be solved efficiently and accurately (in exact arithmetics). This suggests that tropical methods may be of interest to improve some classical numerical algorithms, particularly in situations in which the numerical data have several orders of magnitude. As a starting point of my PhD work, I began to revisit from a tropical perspective the resolution of an nth degree polynomial equation which is one of the most classical problems in Mathematics. Several algorithms such as Newton method, Weyl s algorithm etc are developed to solve this problem. Consider an nth degree polynomial with complex coefficients: p(x) = n a k x k. k=0 We define the corresponding tropical polynomial as follows: t p(x) = max 0 k n a k x k. The tropical roots of p(x) are the points x at which the maximum is attained at least twice in t p(x). The multiplicity of a tropical root x is defined as the maximum value of k l for all k, l such that t p(x) = a k x k = a l x l. So considering the multiplicity, p has exactly n tropical roots, a 1... a n. We can simply find the n tropical roots of polynomial p by a Newton polygon type construction which can be performed in time O(n). Tropical roots were already considered by Ostrowski. I will review some old and new results concerning the location of the roots of polynomials, which show that the moduli of the roots of p can be bounded in terms of the tropical roots. These results also show that the numerical problem can be approximately decomposed when the different slopes of the Newton polygon are sufficiently separated. I will present a preliminary algorithmic work, exploiting these ideas and testing a method which may be thought of as a numerical analogue of Puiseux theorem. 6

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