Le voyageur de commerce - 1. Objectif. Temps d exécution. Histoire de l empereur chinois Nb de grains de riz Σ i 2 i = Le problème :

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Andrée Denis
il y a 7 ans
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1 Le voyageur de commerce - 1 Histoire de l empereur chinois Nb de grains de riz Σ i 2 i = 2 n+1-1 = grains Le problème : Soit un ensemble de n villes Trouver le circuit le plus court passant une fois et une seule par chacune des villes Solution naïve : Tester toutes les combinaisons Calculer le coût de chaque combinaison Conserver la meilleure Coût? Le voyageur de commerce - 2 Objectif Coût de la solution Nombre de circuits : (n-1)! Nombre d additions pour chaque circuit : n-1 Nombre total d additions : (n-1)*(n-1)! n = opérations n = opérations En conclusion Exemple d algo correct mais inutilisable Pas d algo exact et de de complexité acceptable Se donner des éléments théoriques d appréciation, a priori, des performances des algos = avoir un ordre de grandeur du temps d exécution et de l espace mémoire utilisé par un algo en fonction du nombre n d éléments traité par cet algo s assurer que les performances de l algo sont compatibles avec les performances des machines comparer 2 structures de données entre elles pour des problèmes de grande taille comparer 2 algos entre eux pour des problèmes de grande taille Définition Temps d exécution Etudier la complexité d un algorithme, c est rechercher une fonction de n dont on est certain qu elle majore la durée d exécution, lorsque n devient grand temps au mieux temps au pire temps moyen Temps d accès aux variables (cases mémoires) en lecture : t a en écriture : t a Temps de calcul opérations arithmétiques : t op comparaisons : t c Exemple : c = a + b accès à a et b en lecture, à c en écriture addition t = 3.t a + t op 1

2 C té pratique et théorique Un algo demande a accès mémoire, b opérations, c comparaisons t = a.t a + b.t op + c.t c Complexité pratique : k 1.(a+b+c) t k 2.(a+b+c) k 1 = min(t a, t op, t c ) k 2 = max(t a, t op, t c ) Complexité théorique t = O(a + b + c) «t est en grand O de a+b+c» t est majoré par une c te * (a + b + c) Méthode générale 1. Choix des opérations à comptabiliser 2. Comptage du nb d opérations exécutées Opération fondamentale - 1 L opération fondamentale est celle telle que pour tout algo résolvant le pb, la complexité en sera une grandeur proportionnelle Exemples Recherche d un élément dans un tableau comparaison Recherche d un élément sur un disque accès disque Tri d un ensemble d éléments comparaison + déplacement d élément Opération fondamentale - 2 Une opération fondamentale peut être complexe mais doit avoir une durée d exécution indépendante des données i, fact10 : entier fact10 = 1 pour i=0 jusqu à 10 faire fact10 = fact10 * i fait Si plusieurs opérations fondamentales : Décompte séparé Coefficients tenant compte des temps d exécution Calcul de complexité Consiste à évaluer le nombre de fois où l opération fondamentale est exécutée par l algo Examen du code Varie en fonction des données sur lesquelles travaille l algo Séquences et alternatives Soit X un morceau de programme Soit P(X) le nb d opérations correspondant à l exécution de X Séquence : X 1 ; X 2 P(X 1 ; X 2 ) = P(X 1 ) + P(X 2 ) Alternative : si C alors X 1 sinon X 2 On ne sait pas a priori quel bloc d instructions va être exécuté P(si C alors X 1 sinon X 2 ) P(C) + max(p(x 1 ), P(X 2 )) 2

3 Boucles Boucles for P(X) = Σ i P(i) i : incrément de la boucle P(i) : nb d opérations à le i ème itération Pb = on ne connaît pas forcément le nb total d itérations Boucles for : on connaît n Boucles tant que ou répéter jusqu à Calculer une borne supérieure à partir de l incrément Recherche d un majorant C0 i, r : entier C1 r = 1 C2 pour i = 1 jusqu à n faire C3 r = r * i T(n) = C0 + C1 + n * (C2 + C3) = αn + β αn Complexité en O(n) C0 i, j, r : entier C1 r = 0 C2 pour i = 1 jusqu à n faire C3 pour j = 1 jusqu à p faire C4 r = r + tab[i, j] T(n) = C0 + C1 + n * (C2 + p * (C3 + C4)) Pour n = p : T(n) = αn 2 + βn + γ αn 2 Complexité en O(n 2 ) Boucles tant que ou répéter Soit tab, un tableau de n entiers ordonnés par valeurs croissantes Pb = recherche de la place d un entier x à insérer fonction indice(x : entier) : entier début i : entier i = 0 tant que (i < n) et (tab[i] < x) faire i = i + 1 fait retourne i fin en fonction des cas La complexité dépend des jeux d essai Calcul de la complexité Dans le meilleur des cas : Min A (n) Dans le pire des cas : Max A (n) En moyenne : Moy A (n) On a toujours Min A (n) Moy A (n) Max A (n) Si comportement insensible à la config. Min A (n) = Moy A (n) = Max A (n) en fonction des cas (1) Soit D n l ensemble des configurations possibles pour des données de taille n Soit coût A (d), la complexité de l algo A sur la configuration d D n Complexité dans le meilleur des cas Min A (n) = min {coût A (d) d D n } Complexité dans le pire des cas Max A (n) = max {coût A (d) d D n } Borne supérieure Permet de choisir une valeur de n maximum en fonction des cas (2) Complexité en moyenne Moy A (n) = Σ{p(d)*coût A (d) d D n } p(d), la proba d avoir la configuration d Donne le comportement en général Si les configurations sont équiprobables Moy A (n) = 1/ D n Σ{coût A (d) d D n } Pb = définir D n On partitionne D n en ensembles homogènes D n,i P(D n,i ) = proba d être dans l ensemble D n,i Moy A (n) = Σ{P(D n,i ).coût A (D n,i ) D n,i D n } 3

4 Notations Grand O Soit T(n) le temps d exécution d un programme en fonction de la taille n caractérisant le nb d éléments traités Grand O : majorant Grand Ω : minorant Grand Θ : encadrement Formulation 1 : On dit que T(n) est en O de f de n, noté abusivement O(f(n)), si T(n) est au plus égal à une constante multipliée par f(n), sauf peutêtre pour quelques valeurs de n Formulation 2 : T(n) est en O(f(n)) s il existe un entier n 0 et une constante c>0 tels que : n n 0, T(n) c.f(n) Fonction majorant T(n) Indication sur les performances de l algo dans le pire des cas, pour n grand Grand Ω Formulation 1 : On dit que T(n) est en Ω de f de n, noté abusivement Ω(f(n)), si T(n) est au moins égal à une constante multipliée par f(n), sauf peutêtre pour quelques valeurs de n Formulation 2 : T(n) est en Ω(f(n)) s il existe un entier n 0 et une constante c>0 tels que : n n 0, T(n) c.f(n) Fonction minorant T(n) Indication sur les performances de l algo dans le meilleur des cas, pour n grand Grand Θ Définition : T(n) est en Θ(f(n)) s il existe un entier n 0 et deux constantes c 1 et c 2 positives tels que n n 0, c 1.f(n) T(n) c 2.f(n) Encadrement de T(n) Caractérise le fait que l algorithme a des comportements similaires quelles que soient les données Comparaison de complexités Représentation graphique O(1) O(log n) O(n) O(n.log n) O(n 2 ) O(n 3 ) O(2 n ) O(n!) Constante Logarithmique Linéaire n log n Quadratique Cubique Exponentielle Factorielle 4

5 Nb d op. élémentaires Taille du problème O 1 log 2 n n nlog 2 n n 2 n 3 n 4 2 n n! n n n On suppose que l opération élémentaire s exécute en 1 µs O t 1 log 2 n n nlog 2 n n 2 n 3 2 n n! n n 1 s , mn h , jour

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