TABLEAUX STATISTIQUES ET GRAPHIQUES

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1 Dans ce cours, on considèrera des échantillons de taille N, c est-à-dire N individus ω 1,, ω N issus d une population Ω On notera en majuscule (généralement X ou Y ) les variables statistiques Les modalités des variables statistiques seront notées avec la minuscule correspondante et indicées, s il y a lieu, par le numéro de la modalité dans le cas discret ou de la classe (ie un ensemble de modalité) dans le cas continue La modalité prise par la variable X pour l individu ω n sera notée X(ω n ) 1 TABLEAUX STATISTIQUES 11 Tableau brut On considère une étude statistique portant sur un échantillon de taille N indivus On mesure plusieurs variables statistiques, qui peuvent être qualitatives ou quantitatives La récolte initiale des données conduit à un tableau brut de la forme Individus variable 1 variable 2 ω 1 X(ω 1 ) Y (ω 1 ) ω 2 X(ω 2 ) Y (ω 2 ) ω N X(ω N ) Y (ω N ) 12 Tableau de contingence Pour les variables qualitatives, on peut construire un tableau de contingence Ce tableau résume comment une caractéristique dépend d une autre Pour des raisons pratiques, on se limite généralement au tableau de contingence de deux variables qualitatives X et Y de modalités respectives (x 1,, x i,, x I ) et (y 1,, y j,, y J ) Ce tableau donne le nombre d individus possédant simultanément la modalité x i de la variable X et la modalité y j de la variable Y Un tel tableau se présente sous la forme suivante, pour un échantillon de taille N : Y y X 1 y j y J x 1 N 11 N 1j N 1J N 1 x i N i1 N ij N ij N i x I N I1 N Ij N IJ N I N 1 N j N J N où N ij désigne le nombre de fois où X à pris la modalité x i et Y la modalité j Autrement dit, N ij représente le nombre d individus qui possède à la fois la caractéristique x i et la caractéritique y j On définit les quantités 1

2 Statistiques descriptives N i = J N ij N j = j=1 qui représentent respectivement le nombre d individus qui possèdent la modalitée x i et le nombre d individus avec la modalitée y j 13 Tableau des fréquences 131 Variable discrète On considère une variable qualitative ou qualitative discrète X à valeurs dans {x 1,, x K } Si X est quantitative ou qualitative ordinale, on suppose ses modalités ordonnées tels que x 1 < < x K On commence par définir les quantités descriptives de bases Définition 1 (Effectif ou fréquence absolue) On appelle effectif ou fréquence absolue de la modalité x le nombre N d individus qui ont pris la modalité x : N = X(ω) ω Ω X(ω)=x Remarque 1 N = N Définition 2 (Fréquence relative) On appelle fréquence relative (ou simplement fréquence) de la modalité x le nombre f définit par : f = N N Définition 3 (Fréquence relative cumulée) On appelle fréquence relative cumulée (ou simplement fréquence cumulée) de la modalité x le nombre F (c) définit par : Remarque 2 F (c) K = K f = 1 =1 F (c) = f i=1 On peut aussi définir les effectifs cumulés : Définition 4 (Effectifs cumulés) On appelle effectif cumulé de la modalité x le nombre E définit par : E = N = NF (c) i=1 La distribution des N observations de X peut être présentée sous la forme d un tableau de fréquence où figurent, pour chaque modalité x, l effectif N, la fréquence relative f et la fréquence cumulée F (c) : modalité effectif fréquence relative fréquence cummulée I i=1 N ij x 1 N 1 f 1 F (c) 1 x N f F (c) x K N K f K 2 F (c) K

3 Statistiques descriptives TABLEAUX STATISTIQUES ET GRAPHIQUES Les fréquences relative et cumulée peuvent être donnée sous forme de pourcentage 132 Variable continue Dans le cas où la variable X est continue, la réalisation d un tableau de fréquence nécessite au préalable une répartition en classes des données On doit définir a priori le nombre de classes K et l amplitude (ou l étendue) de chaque classe Ce choix doit résulte d un compromis entre deux objectifs antagonistes : résumer les données (K ne doit pas être trop grand) sans perdre l information pertinente (K ne doit pas être trop petit) Pour ce faire, un moyen «simple» est de diviser l étendue des données en plusieurs intervalles de même longueur, puis l on regroupe les classes d effectifs trop petit (ie moins de 5 individus) On peut utiliser une des deux règles suivantes pour déterminer le nombre de classes : Règle de Sturge: K = log 10(N) Règle de Yule: K = 25N 1 4 L intervalle entre les classes est alors donné par Longueur de l intervalle = x max x min K où x max (resp x min ) désigne la plus grande (res la plus petite) valeur de prise par les X(ω), ω Ω On note C l ensemble des individus qui appartiennent à la classe K Définition 5 (Amplitude) L amplitude L de la classe est donnée par L = max{x(ω), ω C } min{x(ω), ω C } c est-à-dire la longueur de l intervalle On peut alors définir la densité d une classe : Définition 6 (Densité) La densité d de la classe est donnée par d = N L Ce découpage en classes permet de se ramener au cas discret décrit précédemment pour obtenir le tableau de fréquences, en adaptant directement les définitions vues précédemment, 2 REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES Lorsqu on observe un caractère sur des individus, les tableaux de chiffres définis précédemment sont peu parlant Ils sont cependant très utiles pour construire des graphiques divers, qui permettent d un seul coup d oeil d avoir une idée de la manière dont se répartissent les individus 21 Variables qualitatives On considère une variable statistique qualitative X prenant K modalités x 1,, x,, x K La seule représentation qui nous intéresse est celle des effectifs N ou des fréquences f On utilise le tableau de fréquence pour construire les graphiques définis par la suite 3

4 Statistiques descriptives 211 Diagramme en barre ou tuyaux d orgue Les modalités de la variable sont placées sur une droite horizontale (attention : si la variable est nominale, ne pas orienter cette droite car les modalités n ont pas de relation d ordre) Les effectifs ou les fréquences sont placées sur un axe vertical La hauteur du baton est proportionnelle à l effectif Les tuyaux ont une certaine épaisseur pour qu il n y ait pas de confusion avec les diagrammes en bâtons réservés à la variable quantitative discrète Il doit y avoir un espace entre les tuyaux pour ne pas les confondres avec les histogrammes réservés aux variables quantitatives continues FIG 1 Diagramme en barres 212 Diagramme en secteurs ou «camenbert» L effectif total est représenté par un disque Chaque modalité est représentée par un secteur circulaire dont la surface (pratiquement : l angle au centre) est proportionnelle à l effectif correspondant Si ce type de graphique est couramment utilisé dans les médias, c est une très mauvaise représentation car il présente un risque d interprétation : l oeil distingue moins bien les différences entre secteurs (d un camembert) qu entre hauteurs (d un diagramme en barre) 22 Variables quantitatives Avant toute tentative de représentation, il y a lieu de distinguer entre variable discrète et variable classée (regroupements en classes) Si pour une variable continue le regroupement en classes est nécessaire, lorsque les modalités d une variable discrète sont trop nombreuses il est préférable de regrouper des modalités pour obtenir une variable classée, afin que les graphiques synthétisent l information et restent lisibles On considère une variable statistique quantitatives X prenant ses valeurs parmis K modalités ou classes x 1,, x,, x K On suppose les modalités (ou classes) ordonnées telles que x 1 < x 2 < < x K On utilise le tableau de fréquence pour construire les graphiques définis par la suite Deux types de graphiques sont intéressants à représenter : (1) Les diagrammes différentiels qui mettent en évidence les différences d effectifs (ou de fréquences) entre les différentes modalités ou classes 4

5 Statistiques descriptives TABLEAUX STATISTIQUES ET GRAPHIQUES FIG 2 Diagramme en secteurs (2) les diagrammes cumulatifs qui permettent de répondre aux questions du style «combien d individus ont pris une valeur inférieure (ou supérieure) à tant?» 221 diagrammes différentiels Variables discrètes Pour les caractères quantitatifs discrets, la représentation graphique différentielle est le diagramme en bâtons où la hauteur des bâtons correspond à l effectif N (ou la fréquence relative f ) associé à chaque modalité du caractère x Les valeurs discrètes prises par les modalités sont placées sur l axe des abscisses, ordonnées comme il se doit Les effectifs ou fréquences sont placées sur l axe des ordonnées Les axes sont fléchés La hauteur du baton est proportionnelle à l effectif ou la fréquence Attention : bien faire des batons et non des tuyaux ou des histogrammes FIG 3 Diagramme en batons Variables continues Lorsque les caractères quantitatifs sont continus, on utilise l histogramme Un histogramme est ensemble de rectangles contigus où chaque rectangle associé à chaque classe a une surface proportionnelle à l effectif (fréquence) 5

6 Statistiques descriptives de cette classe Si les classes sont d amplitudes égales, alors la hauteur des rectangles est proportionnelle à l effectif de la classes Avant toute construction d histogramme, il faut donc regarder si les classes sont d amplitudes égales ou non Les modalités (continues) sont représentés en abscisses Le cas des classes d amplitudes égales ne pose aucune difficulté car il suffit de reporter en ordonnée l effectif (la fréquence) Si les classes sont d amplitudes différentes, on reporte en ordonnée la densité d = N L FIG 4 Histrograme 222 diagrammes cummulatifs Les diagrammes cummulatifs permettent de visualiser l évolution des fréquences cummulées ou des effectifs cummulés On utilise en général la fonction de répartition empirique dont la courbe correspond à l évolution des fréquences cummulées Elle se définie de la même manière pour les variables quantitatives continues ou discrètes Définition 7 (Fonction de répartition empirique) Soit X une variable statistiques quantitative observée sur un échantillon ω 1,, ω N de taille N issue d une population Ω On appelle fonction de répartition empirique la fonction ˆF : R [0, 1] x 1 N #{i : X(ω i) < x}1 [X(ωi),+ [(x) Pour tout réel x, ˆF (x) est donc la proportion d observations inférieurs ou égales à x La fonction ˆF est une fonction en escalier Le calcul pratique de ˆF s effectue en ordonnant les N observations X(ω 1 ),, X(ω N ) par ordre croissant On note x 1,, x I les I valeurs distinctes obtenues et N i l effectif de x i On a 0 x < x 1 ˆF (x) = F (c) i = 1 i N j=1 N j x i x < x i+1 1 x x I On utilise la fonction de répartition empirique pour répondre aux questions du style : Quel est le nombre (ou le pourcentage) d individus dont la valeur du caractère est inférieure ou égale à x? 6

7 Statistiques descriptives TABLEAUX STATISTIQUES ET GRAPHIQUES FIG 5 Fonction de répartition empirique 7