Résolution de problèmes

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1 Résolution de problèmes a REPRÉSENTATION DE L'ESPACE... * Jean Saumier C.S. Chomedey de Laval Activités d'enrichissement au programme de mathématique. Clientèle-cible: Elèves de première, deuxième et troisième secondaires. Guide du maître : Introduction Parmi les huit (8) recommandations du NCTM pour les années '80, dans "Agenda for Action", il y a les deux suivantes: les programmes de mathématique des années 80 doivent être conçus pour équiper les élèves de méthodes mathématiques qui supportent tout ce qu'implique la résolution de problème, incluant... l'imagination, la représentation et la conception de l'espace; nous devrions consacrer plus d'énergie sur des activités comme... utiliser des représentations concrètes qui améliorent la perception des relations dans l'espace. Ce sont les deux recommandations qui sont le centre de l'objectif poursuivi par la présentation des feuilles de travail de l'activité qui suit. Matériel suggéré Une dizaine de petits (genre -unité, Cuisenaire) pour chaque élève ou groupe d'élèves; un ruban à mesurer; un ensemble de feuilles de travail et un ensemble d'acétates pour la discussion des solutions. GRMS Traduit et adapté de "Spatial Vizualisation", The Mathematics Teacher, vol. 77, no 8, November 1984.

2 Objectifs Les élèves vont améliorer leur habileté à percevoir des objets à trois dimensions dessinés ou représentés sur un plan à deux dimensions. Les activités sont exploitées de plusieurs façons dans les feuilles de travail. Un élève verra comment un solide et son dessin sont reliés l'un à l'autre et sera capable de construire un solide et d'en dessiner une représentation sur deux dimensions. Vécu de l'élève La plupart des expériences mathématiques avec le monde tridimensionnel sont obtenues à partir de dessins bidimensionnels. Pourtant plusieurs élèves ne peuvent "lire" assez bien ces dessins bidimensionnels pour déterminer les informations nécessaires au sujet de ces objets solides. Par exemple, combien de faut-il pour construire le solide que voici? Les élèves font généralement deux types d'erreurs. Ils comptent les faces de chaque cube qu'on voit et répondent "seize", ou ils comptent seulement les qu'on voit et répondent "dix". Pour répondre correctement, les élèves doivent se représenter la partie cachée du solide. C'est important pour les élèves d'explorer cette situation dans les deux sens: non seulement de lire de l'information à partir de dessins bidimensionnels du monde réel mais aussi de représenter de l'information relativement au monde réel avec des dessins à deux dimensions. Pour réaliser cet objectif, il est nécessaire de passer de l'un à l'autre: d'expériences concrètes (les solides) aux abstractions (les dessins). Vu leur flexibilité et leur facilité de manipulation, les Cuisenaire pourraient être utilisés pour la construction d'objets simples à trois dimensions. Comme les élèves construisent des solides à partir des et les regardent de différents angles, ils développent une plus grande habileté à concevoir l'espace. Le papier pointé en diagonale (plutôt qu'en lignes horizontales et verticales) est privilégié pour faciliter à l'élève le dessin des objets qu'on veut lui faire observer. Cette forme de papier pointé permet qu'un solide soit présenté tel que l'élève voit bien le solide à partir d'un coin. Dans les activités qui accompagnent ce texte, les élèves apprennent à faire le lien entre un solide et sa représentation par un dessin, à faire le dessin isométrique du solide et à construire un solide à partir de son dessin isométrique. Commentaires Distribuer les feuilles de travail une à la fois à chacun des élèves. Discuter les solutions pour chaque feuille avant de continuer â la suivante. CRMS 50-31

3 Feuille_de_travail_1 Cette feuille est préparée pour habituer les élèves a des représentations faites sur papier pointé. Les élèves construisent des solides simples à partir de, ils copient des dessins isométriques des solides et répondent à des questions au sujet du nombre de nécessaires pour construire les solides. Un élève attentif remarquera que certains pourraient quelquefois être cachés par d'autres et ainsi ne pas paraître sur le dessin isométrique. Par exemple, le problème 3 peut être construit avec douze ou treize. Remarquez que les problèmes 4 et 5 réfèrent à différentes vues de coin du même solide. (Sur la feuille de travail 3, on demandera aux élèves de dessiner quatre vues différentes d'un même solide.) Feuille de_travail_2 Dans cette activité, les élèves regardent un dessin, construisent un solide à partir du dessin, ajoutent ou retranchent des, et alors dessinent le solide modifié. L'emphase est mise sur l'exercice qui consiste à passer dans les deux sens visuellement d'un solide à un dessin. Quelques élèves remarquent que le solide 4 peut être construit de deux façons. Si la situation se produit, dites à l'élève de construire le volume en utilisant le plus petit nombre de possible, ou encore de dessiner les deux possibilités. Sur cette feuille, les élèves doivent regarder un solide â partir d'un coin pour voir comment il peut être dessiné sur le papier pointé. Comme introduction, les élèves observent un solide à partir d'un coin et le font correspondre aux dessins appropriés. Cette correspondance requiert un mouvement répété des yeux du solide au dessin et du dessin au solide. Suggérez aux élèves qui ont de la difficulté d'observer le solide d'un seul oeil, l'autre fermé. Une fois que ces vues correspondent, on demande aux élèves de dessiner différentes vues isométriques d'un même solide. Feuille de_travail_4 Dans cette activité, deux simples solides appelés pièces de cassetête, sont joints pour correspondre au dessin d'ùn nouveau solide. On demande ensuite aux élèves de noircir une partie du dessin pour montrer chaque pièce du casse-tête. On pourrait utiliser du ruban adhésif pour assembler des afin de former les pièces du casse-tête. Pour réussir, on doit assembler les pièces non seulement dans la bonne combinaison mais aussi dans la bonne orientation. Finalement, on demande aux élèves de créer un-nouveau solide à partir des pièces et de dessiner une représentation bidimensionnelle de ce nouveau solide. Ce dernier problème, qui est ouvert, permet à l'élève de. créer, représenter et alors d'évaluer les dessins correspondants â l'objet solide. Réponses Sur les dernières pages, vous trouverez les réponses aux feuilles de travail.- GRMS 50-32

4 Feuille de travail 1 Dessiner des solides. Pour chacun des solides : construire le solide à l'aide de ; copier le dessin; compter le nombre de utilisés dans le dessin; comparer ce nombre avec le nombre de du solide, From the Mathematics Teacher. November 1984 CRMS 50-33

5 Feuille de travail 2 Ajouter et retrancher des. Pour chacun des solides 1 à 4: construire le solide; enlever le cube hachuré (ou les ) et alors dessiner le solide obtenu. 1 Pour chacun des solides 5 â 8: construire le solide; ajouter un cube à chacune des faces hachurées et alors dessiner le solide. From the GRMS Mathema ICS Teac November 1984

6 Feuille de travail 2 Construire un solide sur une feuille utilisant le plan suivant: identifier les coins de la feuille A, B, C et D; placer la feuille tel qu'indiqué, avec les coins A et B au bas; construire le solide à l'aide de. Les nombres vous indiquent la hauteur de chaque pile de. D C 1, A B Les dessins suivants représentent les quatre vues de coin du solide construit. Tourner le papier sur lequel votre solide repose et regarder le solide de chacun des coins. Faire correspondre la lettre de chaque coin au bon dessin. Coin Coin Coin Coin Construire le solide qu'on voit plus loin et en dessiner des vues de deux coins différents. Pour chaque dessin, indiquer la lettre du coin qui est représenté. Fro m the Mathema ics Teacher. November 1984 CRMS 50-35

7 Feuille de travail 2 Pour les parties A et B, construire le casse-tête indiqué par les rattachés par du ruban. Utiliser les deux pièces de casse-tête pour construire chaque solide. Montrer comment vous les construisez en hachurant une des pièces dans chaque dessin. Trouver un moyen différent pour construire un solide à partir des mêmes pièces. Dessiner le solide. Demander à un ami de résoudre votre cassetête. Construire et dessiner un solide différent. Pièces du- casse-tete F R ^ CRMS From the Mathematics Teacher. November 1984

8 Feuille 1 ou Feuille 2 Réponses 1. 5; 2. 8; ou 13; 4. 10; Feuille 3 Coin C; coin B; coin A; coin V Feuille 4 A. 2 GRMS 50-37

9 B. L'ÉQUIPE DU BULLETIN TIENT À FÉLICITER DANS CE NUMÉRO LA NOMINATION DE NOTRE PRÉSIDENTE, FRANCE GAGNON, AU POSTE DE CONSEILLER PÉDAGOGIQUE EN MATHÉMATIQUE À LA C.S.R,. BLAINVILLE-DEUX-MONTAGNES. NOUS LUI SOUHAITONS BONNE CHANCE! GRMS 50-38