COPIE I Partie A Etude d un circuit R,L,C (11 points)

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1 E.C. P3 D.S. - 2 heures (à rendre avec la copie ) ON REDIGERA LA PARTIE A SUR UNE COPIE, ET LA PARTIE B SUR UNE AUTRE. SI UNE PARTIE N EST PAS TRAITEE JOINDRE UNE COPIE BLANCHE A VOTRE NOM. LE NON-RESPECT DE CES CONSIGNES ENTRAINERA UN RETRAIT DE 2 POINTS. Mardi 2 janvier 26 TOUTE APPLICATION NUMERIQUE EST PRECEDEE D UN CALCUL LITTERAL ET EVENTUELLEMENT AFFECTEE D UNE UNITE. UNE CALCULATRICE NON PROGRAMMABLE, NON GRAPHIQUE AUTORISEE DOCUMENTS EN ANNEXE A VOTRE DISPOSITION POUR TOUT LE SUJET Le sujet est constitué de deux parties indépendantes traitant du filtrage sélectif. La partie A aborde l aspect théorique ; la partie B présentant une application. COPIE I Partie A Etude d un circuit R,L,C ( points) On considère le circuit ci-contre alimenté par une tension sinusoïdale e(t) d amplitude E max et de pulsation ω. A.) Donner le modèle équivalent de Thévenin (e th, Z Th ) du dipôle AB vu de la bobine. Faire l analyse dimensionnelle des résultats. A.2) Déterminer l expression de la Figure tension u aux bornes de la bobine en fonction de e th, Z th, L et ω, puis en fonction de e, C, L, ω et R. A.3) Montrer que la fonction de transfert de cet opérateur peut se mettre sous la forme canonique : avec x la pulsation réduite, A et Q deux réels. On déterminera les expressions de A, Q et x en fonction de R, C, L et ω. Nommer la grandeur Q. En déduire la nature du filtre ainsi que son ordre grâce aux diagrammes du formulaire reproduit en annexe pages 5 et 6. A.4) Déterminer l expression de H et de Arg(H ) en fonction de R, C, L et ω. A.5) Montrer que H passe par un maximum pour une pulsation ω r, dont on déterminera l expression en fonction des données du problème. Comment s appelle ce phénomène? Déterminer le déphasage θ r de la tension u(t) par rapport à la tension e(t) à la pulsation ω r. Déterminer l expression de l amplitude (U max ) r à la pulsation ω r. L expérience a permis de mesurer les amplitudes E max et U max des tensions sinusoïdales e(t) et u(t) pour différentes valeurs de la pulsation ω et d en déduire le graphique de H en fonction de la fréquence f de la tension e(t). La courbe est représentée Figures 2 et 2bis en page 2. A.6) Déterminer graphiquement la fréquence de résonance f r. A..a. Donner la définition de la bande passante à -3 db. Nommer les fréquences délimitant celle-ci. Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante f de cette résonance. La construction sera faite sur la Figure 2 page 2 et rendue avec la copie. A..b. Déterminer la valeur numérique de Q. A8) On souhaite modifier la valeur de la résistance pour obtenir une résonance plus aiguë, en conservant la même fréquence de résonance. Tracer qualitativement sur la Figure 2bis page 2 la courbe H en fonction de la fréquence f pour une résonance plus aiguë. Comment sont modifiés Q et f? /6

2 IS P3 A RENDRE AVEC LA COPIE Mardi 2 janvier 26 Figure 2 Figure 2 bis 2/6

3 E.C. P3 A RENDRE AVEC LA COPIE 2 Mardi 2 janvier 26 COPIE II Partie B : Filtre sélectif (9 points) On considère l opérateur Figure 3 ci-dessous. u e (t) est une tension alternative sinusoïdale : u e = U emax cos ωt. B.) B.2) On attaque ce filtre par une tension en créneau d amplitude E, dont on donne le développement en série de Fourier :!"# $ %cos2*+! - cos6*+!+ cos*+!+ 4. Représenter en fonction de f e et E le spectre d amplitudes de u e (t) entre et 5f e. Préciser (en valeurs littérales) la fréquence et la valeur moyenne de la tension créneau u e (t). A l oscilloscope, on observe u e (t) sur la voie et u s (t) sur la voie2 avec les sensibilités verticales respectives de 5 V/div et V/div. La sensibilité horizontale est,2 ms/div. Sur le schéma Figure 3, représenter les branchements de l oscilloscope. Par analyse de l oscillogramme de u s (t) représenté Figure 4, déterminer les valeurs numériques de f e et de E. Figure 3 Sa fonction de transfert définie par expression canonique : avec et a pour vitesse de balayage:,2 ms/div Figure 4 voie voie 2 voie : 5 V/div voie 2: V/div 3/6

4 IS P3 A RENDRE AVEC LA COPIE 2 Mardi 2 janvier 26 B.3) La courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert H(jω) a l allure représentée Figure 5 ci-dessous. Figure 5 Par une étude asymptotique de la forme canonique donnée en énoncé, déterminer les pentes des portions linéarisées de la courbe. B.4) Par analyse de l oscillogramme de u s (t), déterminer numériquement : B.4.a. le spectre d amplitudes de u s (t) ; B.4.b. la fréquence propre du filtre. Que penser du facteur de qualité? Justifier ces réponses. B.5) Dans le cas où C = 53 nf, R = kω, déterminer R 2. En déduire la valeur numérique de Q. Commenter. 4/6

5 E.C. P3 Diagrammes de Bode des fonctions de transfert du er et du 2 ème ordre CHAPITRE 3-5 Version complète Légende : Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes -, -5, f c : fréquence de coupure , -45, -6, -5-5, -6-9,,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x f c : fréquence de coupure , 5, 6, -3 45, -4 3, -5 5, -6,,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x f : fréquence propre > (trait plein double) : 9 présence d un phénomène de résonance < (trait plein simple) : 9 pas de résonance , -3, -6, -9, -2, -5, -2-8,,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x 5/6

6 E.C. P3 Diagrammes de Bode des fonctions de transfert du er et du 2 ème ordre CHAPITRE 3-5 Version complète Légende : Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes f : fréquence propre > 9 < 9 (trait plein double) : présence d un phénomène de résonance (trait plein simple) : pas de résonance ,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x f : fréquence propre 6 Les asymptotes se coupent en = 2log C ,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x f : fréquence propre ,E-2,E-,E+,E+,E+2,E+3 x 6/6