I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite

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1 I Exercices 1 Définition de suites Pour toutes les suites (u n ) définies ci-dessous, on demande de calculer u 1, u, u 3 et u 6 1 u n = 7n n + { u0 = u n+1 = u n u n est le n ième nombre premier u n est la somme des n premiers nombres pairs strictement positifs 5 u n est le nombre de diviseurs positifs de n 6 Je place 1 000e sur mon livret A au taux de,5% par an u n est la somme dont je dispose la n ième année 7 u n est la n ième décimale du nombre π Sens de variation d une suite Étudier le sens de variation des suites (u n ) définies ci-dessous : 1 u n = 3n 5 u n = n + 5n 3 u n = n + 1 n + u n = 3n 5 u n = n + 3 ( 6 u n = 1 n ) 7 8 { u0 = 0 u n+1 = u n + 3 { u0 = 1 u n+1 = 1 u n 9 u n = n + 1 n (plus difficile) Aide LBILLOT 1 DDL

2 3 Majoration, minoration 1 Soit la suite (u n ) définie pour tout n N, par u n = 5 1 n Montrer que la suite (u n ) est bornée Soit la suite (u n ) définie pour tout n N par u n = n + 1 n + (a) Montrer que la suite (u n ) est majorée par (b) Montrer que la suite (u n ) est minorée par 1 3 Soit la suite (u n ) définie pour tout n N par u n = n + 8n + 1 Montrer que (u n ) est majorée par 17 Soit la suite (u n ) définie pour tout n N par u n = n + 1 n Montrer que (u n ) est majorée et minorée Aide Suites arithmétiques Les questions sont indépendantes 1 On définit pour tout n la suite (u n ) par : u n = 3n Montrer que (u n ) est une suite arithmétique Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raison 1 3 Calculer le 9 ième terme, puis la somme : S = u 0 + u u 8 3 Soit (v n ) une suite arithmétique de premier terme u 1 = et de raison Calculer u 15, puis la somme : Σ = u 7 + u u 15 Calculer : S = Suites géométriques Les questions sont indépendantes Aide 1 Soit la suite (u n ) définie pour tout n N par u n = 7n+1 5 Montrer que (u n ) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme Soit u n une suite géométrique de premier terme u 1 = 1 et de raison 3 81 Calculer u 7, puis S = u 1 + u + + u 7 3 Calculer Σ = Aide LBILLOT DDL

3 Les exercices qui suivent sont des extraits d annales de bac Il est assez fréquent d avoir des suites le jour du bac et une grande partie de leur étude a été faite en première, vous êtes donc déjà très forts 6 Suite arithmético-géométrique Exercice très classique que vous avez de fortes chances de retrouver dans l année On considère la suite (u n ) de nombres réels, définie pour tout entier n 0 par la relation de récurrence : u n+1 = 1 u n + 3 et la relation initiale u 0 = 1 Calculer u 1, u et u 3 (v n ) est la suite définie pour tout entier naturel n par : v n = u n 6 Démontrer que (v n ) est une suite géométrique et déterminer sa raison 3 Pour tout entier naturel n, exprimer v n puis u n en fonction de n Calculer S = v 0 + v v 9 puis S = u 0 + u u 9 Aide 7 Augmentation de loyer Une personne loue une maison à partir du premier janvier 1991 Elle a le choix entre deux formules de contrat Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 800eet le locataire s engage à occuper la maison pendant 9 années complètes Les valeurs décimales seront arrondies, si nécessaire, au centime près 1 Contrat n 1 : Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l année précédente (a) Calculer le loyer u 1 payé lors de la deuxième année (b) Exprimer u n (loyer payé lors de la (n + 1) ième année) en fonction de n (c) Calculer u 8 (d) Calculer la somme payée à l issue des 9 années de contrat Contrat n : Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 300e du loyer de l année précédente (a) Calculer le loyer v 1 payé lors de la deuxième année (b) Exprimer v n (loyer payé lors de la (n + 1) ième année) en fonction de n (c) Calculer la somme payée à l issue des 9 années de contrat Quel est le contrat le plus avantageux? Aide LBILLOT 3 DDL

4 8 Suites et représentation graphique On considère les suites (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par : u 0 = 0 v 0 = u n+1 = 3u n + 1 et v n+1 = 3v n Calculer u 1, u, u 3 d une part et v 1, v, v 3 d autre part Dans un repère orthonormal (O; ı, j), d unité graphique 5 cm, tracer les droites D et d équations respectives y = 3x + 1 et y = x Utiliser D et pour construire sur l axe des abscisses les points A 1, A, A 3 d abscisses respectives u 1, u, u 3 ainsi que les points B 1, B, B 3 d abscisses respectives v 1, v, v 3 3 On considère la suite (s n ) définie pour tout entier naturel n par : s n = u n + v n (a) Calculer s 0, s 1, s et s 3 À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite (s n )? (b) On admet que la suite (s n ) est une suite constante égale à (la démonstration n est pas du programme de première) On considère la suite (d n ) définie pour tout entier naturel n par : d n = v n u n (a) Montrer que la suite (d n ) est géométrique (b) Donner l expression de d n en fonction de n 5 En utilisant les questions 3(b) et (b), donner l expression de u n et de v n en fonction de n 6 Calculer la limite de chacune des suites (u n ) et (v n ) LBILLOT DDL

5 II Aide Sens de variation d une suite Définition : Un suite (u n ) est croissante à partir d un rang n 0 ssi : Pour tout n n 0, u n+1 u n Un suite (u n ) est décroissante à partir d un rang n 0 ssi : Pour tout n n 0, u n+1 u n Pour étudier le sens d une variation, vous avez le choix entre les trois méthodes cidessous, et quelquefois c est dur d avoir le choix Il faut vous fiez à votre expérience et à votre maîtrise des calculs Méthodes : La suite (u n ) est croissante à partir du rang n 0 ssi Pour tout n n 0 alors u n+1 u n 0 Pour une suite dont tous les termes sont strictement positifs La suite (u n ) est croissante à partir du rang n 0 ssi Pour tout n n 0 alors u n+1 u n 0 Soit la suite u n définie par u n = f(n) Si la fonction f est croissante sur l intervalle [n 0 ; + [, alors la suite (u n ) est croissante à partir du rang n 0 Attention, pour cette dernière propriété, la réciproque est fausse Il y a des propriétés correspondantes pour une suite décroissante 3 Majoration, minoration Définition : Une suite (u n ) est majorée s il existe un réel M tel que : pour tout n N, u n M Une suite (u n ) est minorée s il existe un réel m tel que : pour tout n N, u n m Une suite est bornée, lorsqu elle est majorée et minorée Méthodes : Pour montrer qu une suite est majorée par un réel M, on peut : Travailler sur des inégalités Montrer que la différence u n M est positive pour tout n N Soit u n = f(n), montrer que f est majorée sur R + LBILLOT 5 DDL

6 Suites arithmétiques Une suite (u n ) est dite arithmétique de raison r (r R) si : pour tout n N, u n+1 = u n + r Méthode : Pour démontrer qu une suite est arithmétique, on prouve que la différence u n+1 u n est indépendante de n Le premier terme est u 0 : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0, alors pour tout n N, on a : u n = u 0 + nr Le premier terme est u 1 : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 1, alors pour tout n N, on a : u n = u 1 + (n 1)r Somme des premiers termes : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0, alors pour tout n N, on a : u 0 + u u n = (n + 1) u 0 + u n Certains préfèrent le retenir sous une des formes suivantes : nombre de termes premier terme + dernier terme ou bien : nombre de termes moyenne entre le premier et le dernier terme 5 Suites géométriques Une suite (u n ) est dite géométrique de raison q (q R) si : pour tout n N, u n+1 = q u n Méthode : Pour démontrer qu une suite est géométrique, on part de u n+1 et on cherche à l écrire en fonction de u n Le premier terme est u 0 : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0, alors pour tout n N, on a : u n = u 0 q n Le premier terme est u 1 : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 1, alors pour tout n N, on a : u n = u 1 q n 1 Somme des premiers termes : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u 0, alors pour tout n N, on a : u 0 + u u n = u 0 1 qn+1 1 q Certains préfèrent le retenir sous la forme suivante : de termes 1 raisonnombre premier terme 1 raison LBILLOT 6 DDL

7 6 Suite arithmético-géométrique Pour la question : On écrit v n+1 en fonction de u n+1, puis en fonction de u n, puis en fonction de v n Pour la question : Je sais calculer la somme des termes d une suite géométrique 7 Augmentation de loyer Pour augmenter une somme de t%, je la multiplie par Pour le contrat 1, je reconnais une suite géométrique Pour le contrat, je reconnais une suite arithmétique ( 1 + t ) 100 LBILLOT 7 DDL

8 III Correction 1 Définition de suites 1 u 1 = 7 1 = 1, u =, u 3 = et u 6 = u 1 = u 0 +3 = 7, u = u 1 +3 = 17, u 3 = 37, c est une suite définie par récurrence, donc pour calculer u 6, je dois connaître u et u 5 u = u = 77, u 5 = u + 3 = 157 et enfin u 6 = u = u 1 = (1 n est pas un nombre premier), u = 3, u 3 = 5 et u 6 = 13 u 1 =, u = + = 6, u 3 = = 1 et u 6 = = 5 u 1 = 1 u =, u 3 = et u 6 = 6 Pour augmenter un nombre de t%, je le multiplie par ( 1 + t 100 u 1 = , 05 = 1 05, u = u 1 1, 05 = (1, 05) 1 050,63 u 3 = (1, 05) ,89 et u 6 = (1, 05) ,69 7 u 1 = 1, u =, u 3 = 1 et u 6 = ) Sens de variation d une suite 1 Pour tout n N, on a : u n+1 = 3(n + 1) 5 = 3n, donc : u n+1 u n = (3n ) (3n 5) = 3 > 0 et la suite (u n ) est croissante Pour tout n N, u n+1 u n = (n +1) + 5(n + 1) ( n + 5n ) = n + Or n+ est positif ssi n et négatif ssi n, donc la suite (u n ) est décroissante à partir du rang 3 Exemple d utilisation des trois méthodes sur la même suite Pour tout n N, u n+1 u n = n + n + 3 n + 1 n + = (n + ) (n + 1)(n + 3) = (n + )(n + 3) 1 (n + )(n + 3), or n + > 0 et n + 3 > 0 donc u n+1 u n > 0 et la suite (u n ) est croissante Tous les termes de la suite sont strictement positifs Pour tout n N, u n+1 = n + u n n + 3 n + n + 1 = n + n + n + n + 3, or n +n+ > n +n+3, donc u n+1 > 1 et la suite (u n ) est croissante u n On a : u n = f(n), avec f : x x + 1 x + f est dérivable sur R + et f 1(x + ) 1(x + 1) 1 (x) = = > 0, donc f est (x + ) (x + ) croissante sur R + et la suite (u n ) est croissante Tous les termes de la suite sont strictement positifs Pour tout n N, u n+1 = 3n+1 u n 3 = 3 > 1, donc la suite (u n) est croissante n LBILLOT 8 DDL

9 5 On a : u n = f(n), avec f : x x + 3, f est dérivable sur R + et f (x) = x x + 3 > 0, donc f est croissante sur R + et (u n ) est croissante 6 Je ne peux pas appliquer la méthode du quotient car tous les termes de la suite ne sont pas strictement positifs Je ne peux pas appliquer la ( méthode utilisant une fonction car je ne sais pas étudier les variations de x ) 1 x Pour tout n ( N, on a : u n+1 u n = 1 n+1 ) ( ) 1 n ( = 1 n ( ) 1 ) 1 = 3 ( 1 n ) Or l expression 3 ( 1 n est positive lorsque n est impair et elle est négative ) lorsque n est pair, donc la suite (u n ) n est ni croissante ni décroissante 7 Pour tout n N, u n+1 u n = 3 et la suite (u n ) est croissante 8 Tous les termes de la suite sont strictement positifs (pour le prouver rigoureusement, il faudrait une méthode de démonstration qui est au programme de terminale, mais nous l admettons ici) Pour tout n N, u n+1 = 1 u n < 1, donc la suite (u n) est décroissante 9 Je pose u n = f(n), avec f définie sur [0; + [, par : f(x) = x + 1 x f est dérivable sur ]0; + [, et f (x) = 1 x 1 x = x x + 1 x x + 1 Or x + 1 x > 0 donc x + 1 x > 0 et f (x) 0 La fonction f est donc décroissante sur ]0; + [ et (u n ) est décroissante 3 Majoration, minoration 1 Pour tout n N, on a : 1 n < 0 donc u n < 5 et la suite est majorée par 5 D autre part : n 1 donc 1 n 1 et u n = 5 1 n, donc (u n) est minorée par La suite (u n ) est bien bornée Je traite les deux questions par deux méthodes différentes (a) Pour tout n N, u n = n + 1 n + 1 (n + ) = = 3 n + n + n + 3 Or n + 3 > 0, donc n + < 0 et u n < 0, ce qui donne u n < La suite est majorée par (b) Soit f : x x + 1, f est dérivable sur [0; + [ et f (x) = x + (x + ) 1(x + 1) = (x + ) 3 (x + ) > 0 La fonction f est donc croissante, de plus f(0) = 1, donc f est minorée par 1 et par conséquent (u n ) aussi LBILLOT 9 DDL

10 3 Pour tout n N, u n 17 = n + 8n = n + 8n 16 = (n + ) < 0 Donc u n < 17 et la suite (u n ) est majorée par 17 Pour tout n N, n + 1 n = ( n + 1 n)( n n) n n = Or n 0, donc n + 1+ n 1 et 0 1 n n 1 n n 1 (Car la fonction inverse est décroissante sur ]0; + [) Finalement 0 u n 1, donc la suite (u n ) est bornée par 0 et 1 Suites arithmétiques 1 Pour tout n N, u n+1 u n = 3(n + 1) 3n + = 3, donc (u n ) est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme u 0 = Le 9 ième terme est u 8 = = 3 3 S = u 0 + u u 8 = = 57 3 u 15 = u ( ) = 6, u 7 = u ( ) = 10, 10 6 et Σ = u 7 + u u 15 = 9 = 16 S = est la somme des termes d une suite arithmétique de premier terme u 0 = 11 et de raison r = 3 Soit n l indice du dernier terme : u n = u 0 + nr 173 = 11 + n 3 n = 5, il y a donc 55 termes dans la somme et : S = 55 = Suites géométriques 1 Pour tout n N, u n+1 = 7n+ 5 de premier terme u 0 = 7 5 = 7 7n+1 5 et de raison 7 = 7u n, donc (u n ) est une suite géométrique u 7 = u 1 ( 3) 6 = 1 81 ( 3)6 = 9 et S = u 1 +u + +u 7 = ( 3)7 1 ( 3) = Σ est la somme des termes d une suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison Je cherche l indice n du dernier terme : u n = u 0 q n 096 = 1 n n = 1 donc Σ = = Remarque : Nous ne savons pas, pour l instant, résoudre l équation n = 096 Il faut faire des essais sur la calculatrice LBILLOT 10 DDL

11 6 Suite arithmético-géométrique 1 Calculer u 1 =, u = 5 et u 3 = 11 Pour tout n N, on a : v n+1 = u n+1 6 = 1 u n = 1 (v n + 6) 3 = 1 v n Donc la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 1 et de premier terme v 0 = ( ) n ( ) n ( ) n Pour tout entier naturel n, on a v n = v 0 = et u n = +6 On a : S = 1 ( ) = et S = u 0 + u 1 + u 9 = v v v = = Augmentation de loyer 1 Contrat n 1 : (a) u 1 = 800 1, 05 = 5 00 (b) u n = 800 1, 05 n, c est suite géométrique (c) u 8 = 800 1, ,79 (d) u 0 + u u 8 = 800 Contrat n : (a) v 1 = v = , , ,51 (b) v n = n, c est une suite arithmétique (c) v 8 = (d) v 0 + v v 8 = 9 = Le premier contrat est donc plus avantageux pour le locataire LBILLOT 11 DDL

12 8 Suites et représentation graphique 1 u 1 = 1, u = 7 16, u 3 = 37 6 et v 1 = 7, v = 5 16, v 3 = 91 6 D 1 A 1 A A 3 1 B 3 B B 1 3 s 0 =, s 1 =, s 3 = et s 3 = On peut conjecturer que la suite (s n ) est constante égale à (a) Pout tout n N, d n+1 = v n+1 u n+1 3v n + 1 3u n + 1 = 3 (v n u n ) = 3 d n Donc (d n ) est une suite géométrique de raison 3 (b) Pour tout n N, d n = d 0 { vn + u 5 On a : n = s n v n u n = d n 6 3 < 1, donc lim n + ( 3 ( 3 ) n = ( ) n 3 v n = s ( n + d n 3 v n = 1 + ssi u n = s, donc ( n d n 3 u n = 1 ) n = 0, ce qui donne lim u n = lim v n = 1 n + n + ) n ) n LBILLOT 1 DDL