Modèles de prix non-gaussiens pour les marchés de l énergie. Marie Bernhart

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1 Modèles de prix non-gaussiens pour les marchés de l énergie Un modèle de prix par processus de Lévy de type NIG Marie Bernhart EDF R&D, OSIRIS, Gestion des Risques Marchés et Valorisation ENPC, 27 février 2012 Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

2 Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

3 Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

4 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

5 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Deux types de transactions sur les marchés de l énergie : 1 Contrats bilatéraux : contrats échangés de gré-à-gré (OTC : Over The Counter) Produits standardisés ou à la carte (profils, maturité, durée, optionalités, physiques ou financiers) : contrats forward (contrats à terme) et options 2 Marchés centralisés (bourses) Produits standards avec procédure de soumission des offres standardisée : futures et options Marchés "physiques" : J-1 (spot et Day-Ahead), infrajournalier (pour l électricité seulement) Marchés "financiers" : futures, options Mélange des deux (coexistence OTC et d une bourse J-1 facultative) Avec une pratique du "selfdispatch", les plans de production étant déclarés au GRT (à 16h30 le jour J-1) Mécanisme d ajustement obligatoire géré par le GRT pour le "temps réel" Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

6 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

7 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Principales bourses européennes Marchés issus du couplage d anciens marchés nationaux (par exemple, EEX et Powernext en 2008) EEX (European Energy Exchange) pour France, Allemagne, Autriche et Suisse Power et gas futures, options EPEX Spot (joint venture EEX et Powernext) pour les 4 mêmes Power intraday et spot APEX-ENDEX pour UK, Belgique et Pays-Bas APEX : power et gas spot, ENDEX : power et gas futures NordPool Spot (Elspot) : Power intraday et spot Nasdaq OMX Commodities pour NordPool* et UK : Power et émissions spot, futures, options N2E spot pour UK depuis 04/2011 (opéré par NordPool Spot et Nasdaq OMX Commodities) *NordPool : Suède, Norvège, Finlande et Danemark (pays nordiques) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

8 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

9 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Différents types de produits quotés sur ces deux différents marchés 1 Marché spot (Day-ahead) Prix spot journaliers pour le gaz, pétrôle Prix horaires pour l électricité Prix DaH pour l électricité : moyenne de certains prix horaires chaque jour En particulier, prix Base et Peak, prix de différents blocs En France : Peak les jours de la semaine de 8h à 20h Ex. sur le marché US : prix Peak, Week-end peak et Off peak 2 Marché futures (à terme) : marché pour les granularités supérieures à 1 jour Produits futures avec différentes maturités et périodes de livraison Week, Month, Quarter, Year (ou Calendar), BoM (Balance of Month), BoY Pour le gaz : Season (Summer = Oct.-March, Winter = April-Sept.) Pour l électricité : Baseload et Peakload futures Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

10 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Prix horaires de l électricité : Fixing la veille (Epex Spot : 12h) par croisement des courbes d offre et demande. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

11 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Prix horaires de l électricité Le prix de toutes les transactions est égal à ce prix d équilibre. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

12 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Courbe d offre théorique sur le marché électrique Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

13 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Prix horaires de l électricité Cette méthode de fixing est appliquée pour toutes les heures du lendemain. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

14 Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

15 Charactéristiques des prix de l électricité Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

16 Charactéristiques des prix de l électricité Principales charactéristiques du prix spot de l électrique (S t) t 1 Saisonnalité multi-échelle Annuelle, hebdomadaire, journalière Reliée à la saisonnalité de la demande, des activités socio-économiques et à la météorologie 2 Retour à la moyenne : prix tendant à revenir vers des tendances moyennes Réponse de l offre à la demande Tendance court terme : équilibre offre/demande, couplage des marchés Tendance long terme : investissements, conditions économiques de long-terme 3 Forte volatilité Volatilité inversement dépendante au niveau d offre Prix et volatilités corrélés positivement Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

17 Charactéristiques des prix de l électricité Principales charactéristiques du prix spot de l électrique (S t) t (cont.) 4 Effets de calendrier : vacances, jours fériés 5 Présence d importants pics de prix Pic : Mouvement à la hausse suivi d un retour rapide au même niveau Caractère non stockable de l électricité Discontinuité des coûts de production 6 Evenements atypiques : prix négatifs ou nuls 7 Correlation aux autres matières premières énergétiques (gaz, pétrôle, charbon) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

18 Charactéristiques des prix de l électricité Chronique de prix spot électrique (S t) t Retour à la moyenne : fluctuations autour d un niveau déterminié par les coûts de production et la demande saisonnière Pics Données de prix spot heure par heure EpexSpot, Novembre Juin 2010 Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

19 Charactéristiques des prix de l électricité Chronique de prix spot électrique (S t) t : zoom sur 2 semaines Saisonnalité hebdomadaire conséquence de la saisonnalité de la demande Pointes : High noon (11h-14h) et rush hour (17h-20h) Données de prix heure par heure EpexSpot et de conso. RTE, W3-W Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

20 Charactéristiques des prix de l électricité Distribution des prix spot électriques désaisonnalisés Prix spot Désaisonnalisation de la série temporelle Distribution symétrique après une log-transformation Queues épaisses dues aux évènements extrêmes (pics) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

21 Charactéristiques des prix de l électricité Prix journaliers base de l électricité en France (Janv Mai 2010, Epex Spot) Saisonnalité annuelle de la volatilité et des pics Pics surtout en hiver (forte demande + disponibilité réduite des centrales) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

22 Charactéristiques des prix de l électricité Pic du lundi 19/10/2009 en France (Epex Spot) Hausse de la prévision de conso. (+3000MW entre Vendredi et Dimanche) et forte demande de fin de matinée (9h-12h) Baisse de la prévision d offre (-4100 MW) due à l arrêt de centrales nucléaire et hydraulique d EDF Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

23 Charactéristiques des prix de l électricité Pic du mercredi 08/02/2012 en France (Epex Spot) Très forte conso. liée à la vague de froid : à 19h, record historique de 101,7 GW (battant celui de la veille de 100,5 GW) Prix DaH 10h-11h à 1938 e Prix moyen sur la journée à 368 e Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

24 Prix à terme de l électricité Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

25 Prix à terme de l électricité Prix à terme ou prix future de l électricité Prix à terme F (t, T, T + θ) : Prix coté à la date t d une livraison continue d une quantité unitaire d énergie (1 MWh) sur chaque heure de la période [T, T + θ] θ : Longueur de la période de livraison, également appelée granularité Exemple d un produit Power Base Calendar : Volume = 365x24 = 8760 MWh La disponibilité des produits dépend de la date de cotation t. A chaque date t, cotation d un ensemble de produits futures de diverses granularité : [T i, T i + θ i ] Complétude : La granularité et disponibilité des produits dépend du marché. Horizon d un marché : Dernière date de livraison couverte par les produits futures cotés sur ce marché : T = max {T i + θ i } i Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

26 Prix à terme de l électricité Propriétés des produits futures (F (t, T, T + θ)) t T 1 Granularité : recouvrement des périodes de livraison 2 Disponibilité : les produits apparaissent au fur et à mesure que le temps passe. Ex. marché fictif où les produits disponibles sont 3 MAH, 2 QAH, 1 YAH : Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

27 Prix à terme de l électricité Futures disponibles sur quelques bourses électriques EEX France : 4 WAH, 4 MAH, 4 QAH, 3 YAH (Base et Peak) ENDEX Netherlands : 1BOM, 6 MAH, 6 QAH, 6 YAH (Base, Peak et 16h-Peak) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

28 Prix à terme de l électricité Principale propriété des prix à terme : Absence d Opportunité d Arbitrage entre produits de différentes granularités quand il y a recouvrement des périodes de livraison. Exemple : 92 F (t, Q4) = 31 F (t, Oct.) + 30 F (t, Nov.) + 31 F (t, Dec.) Hypothèse de divisibilité des produits à terme Courbe forward unitaire (F (t, T )) T t Granularité horaire pour l électricité F (t, T ) F (t, T, T + 1heure) Cette courbe/ces produits n existent pas sur les marchés. Lien entre courbe forward unitaire et produits de marchés par AOA : F (t, T, T + θ) = 1 θ 1 F (t, T + i) θ i=0 Lien classique au prix spot donné par hypothèse de convergence : S t = lim T t F (t, T ) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

29 Prix à terme de l électricité Principales charactéristiques des prix à terme de l électricité 1 Effet lié à la saisonnalité La saisonnalité dépend de la période de livraison (date T ). Elle est liée aux anticipations du marché des fluctuations cycliques connues (demande, activité socio-économique et conditions météorologiques). 2 Effet lié à la maturité La volatilité d un produit augmente lorsque la date de cotation t se rapproche de la date de livraison T. Du à l effet relatif de l information disponible entre le court et le moyen term et la possibilié d ajuster la production à la demande. Ex. Le produit Juillet-2008 est plus volatil en juin qu en mai. 3 Effet de la structure par terme Un produit court-terme est plus volatile qu un produit long-terme. Toute nouvelle information aura une incidence forte sur le prix d un produit court-terme (Month), alors que son effet sera dilué sur un produit long-terme (Calendar). Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

30 Prix à terme de l électricité Volatilité de différents produits à terme pour différentes commodités (CRE) Volatilité décroissante avec la granularité des produits Plus forte volatilité que sur les marchés actions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

31 Prix à terme de l électricité Volatilité de différents produits à terme électriques (CRE) Volatilité historique glissante (annuelle) de futures électriques (EEX) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

32 Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

33 Principes des modèles factoriels Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

34 Principes des modèles factoriels Principe des modèles factoriels La dynamique des prix à terme (F (t, T )) T t est obtenue par déformation d une courbe à terme initiale : (F (t 0, T )) T t0 Cette courbe forward initiale représente le prix coté ou reconstruit à la date t 0 t du contrat future qui livre une unité d énergie à la date T. Procédure de reconstruction nécessaire pour obtenir des courbes horaires (électricité) ou journalière (gaz). Le prix à terme est écrit généralement : F (t, T ) = F (t 0, T ) } {{ } Y (t, T ) } {{ } Courbe forward initiale Terme de diffusion stochastique t 0 t T Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

35 Principes des modèles factoriels Illustration : diffusion de la courbe à terme t 0 : date de diffusion initiale t : date d observation future (date de cotation) T : date de livraison Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

36 Principes des modèles factoriels Illustration : diffusion de la courbe à terme (cont.) t 0 : date de diffusion initiale t : date d observation future (date de cotation) T [T 1, T 2 ] : date appartenant à la période de livraison La courbe à terme est la courbe C(t) := (F (t, T )) T1 T T 2. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

37 Principes des modèles factoriels Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

38 Principes des modèles factoriels Une méthode de recontruction d une courbe à terme 1 Représentation des données de prix à terme F (t, T, T + θ) pour t fixé Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

39 Principes des modèles factoriels 2 Suppression des recouvrements par Absence d Opportunité d Arbitrage Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

40 Principes des modèles factoriels 3 Multiplication des produits par saisonnalisation : coefficients de shaping (ici mensuels) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

41 Principes des modèles factoriels Exemple de courbe reconstruite à pas journalier pour le Gaz (NBP, UK) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

42 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

43 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Un modèle factoriel pour l électricité Modèle horaire à deux facteurs Gaussiens Le 1er facteur court terme : forte volatilité et retour à la moyenne fonction de volatilité exponentiellement pondérée Le 2nd facteur long terme : plus faible volatilité et pas de retour à la moyenne Modèle à deux facteurs horaire pour l électricité df (t, T ) F (t, T ) = σ S(t)e a(t t) dwt S + σ L (t)dwt L t T W S, W L mouvements Browniens corrélés avec d W S, W L t = ρdt Court terme : volatilité σ S, retour à la moyenne a Long terme : volatilité σ L Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

44 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Un seul facteur à volatilité constante : df (t, T ) F (t, T ) = σdwt ln F (t, T ) = ln F (t 0, T ) 1 2 σ2 (t t 0 ) + σ (W t W t0 ) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

45 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Un seul facteur à volatilité exponentiellement pondérée : df (t, T ) F (t, T ) = σe a(t t) dw t { ln F (t, T ) = ln F (t0, T ) 1 2 e 2a(T t) var (X t) + e a(t t) X t X t := t t 0 σe a(t s) ( dw s N (0, σ2 2a 1 e 2a(t t 0 ) )) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

46 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Modèle à deux facteurs horaire pour l électricité L unique solution de l EDS s écrit { F (t, T ) = F (t 0, T ) exp 1 2 V (t 0, t, T ) + e a(t t) Xt S + X L t } t 0 t T Facteur court terme : Xt S := t t 0 σ S (u)e a(t u) dwu S Facteur long terme : Xt L := t t 0 σ L (u)dwu L Terme de dérive : ( ) V (t 0, t, T ) = var e a(t t) Xt S + Xt L t { = σs 2 (u)e 2a(T u) + σl 2 (u) + 2ρσ S(u)σ L (u)e a(t u)} du t 0 Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

47 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Propriétés du modèle à deux facteurs X S et X L sont des processus Gaussiens. X S est un processus d Ornstein-Uhlenbeck tel que : dx S t = ax S t dt + σ S (t)dw S t, X S t 0 = 0 Le prix à terme est martingale : { E [F (t, T )] = F (t 0, T ) var (F (t, T )) = F (t 0, T ) 2 ( e V (t 0,t,T ) 1 ) Modèle de prix spot induit : S t := F (t, t) { S t = F (t 0, t) exp 1 } {{ } 2 V (t 0, t, t) + Xt S Partie déterministe saisonnière + X L t } t t 0. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

48 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Volatilité équivalente induite par le modèle à deux facteurs : σ eq(t t) = σs 2 e 2a(T t) + σl 2 + 2ρσ Sσ L e a(t t) L impact de la volatilité long terme est constant. La volatilité court terme a un seulement un impact à court terme, et d autant plus que a est grand. Volatilité équivalente dans le modèle à deux facteurs Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

49 Un modèle à deux facteurs Gaussiens Illustration : Diffusion de la courbe à terme dans le modèle à deux facteurs avec t 0 = 01/12/2010, t = 15/12/2010, livraison en T [01/01/2011, 01/03/2011] Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

50 Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

51 Tour d horizon des modèles non-gaussiens Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

52 Tour d horizon des modèles non-gaussiens Pourquoi utiliser des modèles non-gaussiens? La distribution des résidus extraits de prix électriques (après désaisonnalisation et log-transformation) est non Gaussienne : présence de pics de prix. Si les prix spot désaisonnalisés sont l exponentielle d un processus d OU, on obtient par exemple : La distribution empirique des résidus extraits est fortement leptokurtique : Plus concentrée autour de zero Masse plus faible au niveau des valeurs intermédiaires Queues épaisses Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

53 Tour d horizon des modèles non-gaussiens Distribution leptokurtique : quelques rappels Kurtosis : coefficient d aplatissement, correspondant à une mesure de l aplatissement ou de la "pointicité", de la distribution d une v.a. réelle. Excès de kurtosis ou Kurtosis normalisé d une v.a. de moyenne μ et d écart type σ : γ 2 = μ4 σ 4 3 avec μ 4 := E [(X μ) 4] Mésokurtique : γ 2 = 0, cas de la loi Normale avec un moment d ordre 4 normalisé égal à 3. Leptokurtique : γ 2 > 0, distribution est plutôt pointue en sa moyenne, queues de distribution plus longues et épaisses, e.g. Cauchy, Student, Laplace, Poisson Platikurtique : γ 2 < 0, faible pointe autour de la moyenne et queues plus fines, e.g. Bernoulli de paramètre 1/2, Uniforme Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

54 Tour d horizon des modèles non-gaussiens Principales approches non-gaussiennes recensées dans la littérature, cf. [MT04] 1 Modèles structurels ou d équilibre, cf. [Bar02], [ACNT09], [ACL11] Idée : Le prix spot est obtenu par confrontation d un niveau de demande et d une fonction d offre Demande : décrite par un processus stochastique (Gaussien) Fonction d offre : souvent supposée déterministe, les arrêts de centrales sont mieux décrits par des processus aléatoires (e.g. Poisson composé) 2 Modèles markoviens avec sauts, cf. [GR06] Idée : Les fluctuations aléatoires du signal de prix sont dues à des fluctuations standards (Brownien), à des fluctuations exceptionnelles (processus à sauts avec amplitudes et fréquences aléatoires). Typiquement, le log-prix spot désaisonnalisé est modélisé comme la somme de deux processus X et Y tels que : dx t = ax tdt + σ cdwt 1 + dnt, Yt = σ LWt 2 avec N, processus de Poisson composé. Difficulté pour estimer les paramètres de saut (fréquence et amplitude) Les sauts sont bien représentés mais les pics de prix sont mal représentés. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

55 Tour d horizon des modèles non-gaussiens 3 Modèles à changement de régime, cf. [Wer05] Idée : La dynamique du signal de prix évolue selon 2 modèles : un modèle standard (régime de base) et un modèle de crise (régime à "pics"). Typiquement, 2 modèles de retour à la moyenne (processus d OU) avec des paramètres de volatilités différents (un faible et un fort). La transition d un régime à l autre (switching) peut être gouvernée par un seuil déterministe sur le niveau de prix, ou par un processus aléatoire (e.g. chaîne de Markov à deux états non-observables). Loi de probabilité de la transition difficile à calibrer 4 Modèles à loi leptokurtique, cf. [BKM06], [Oud03] Idée : Modèles de retour à la moyenne (type OU) dans lequel le mouvement Brownien (distribution Gaussienne) est remplacé par un processus de Lévy mais dont la distribution est leptokurtique. Typiquement, le log-prix spot désaisonnalisé est modélisé comme somme de 2 processus d Ornstein-Uhlenbeck : le premier est Gaussien, le second est dirigé par un processus de Lévy. Nous allons nous intéresser à un modèle factoriel de Lévy de type NIG. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

56 Modèle structurel de Barlow (2002) Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

57 Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle fondé sur la confrontation de l offre et de la demande : u t(s t) = d t(s t) avec u t : fonction d offre et d t : fonction de demande Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

58 Modèle structurel de Barlow (2002) La demande D t est supposée inélastique au prix : d t(s t) = D t S t avec D t : modélisée par un Ornstein-Uhlenbeck La fonction d offre est supposée constante : u t(x) = g(x) = a 0 + b 0 x α En inversant D t = g(s t) et en imposant une contrainte de prix maximum ε 1/α 0 ( ) 1/α a0 D t b = (1 + αxt) 1/α pour D t < a 0 ε 0 b 0 0 S t = ε 1/α 0 pour D t a 0 ε 0 b 0 avec X t = OU(a, m, σ) si D t = OU(a, m, σ) S (partie non-capé) : processus d Ornstein-Uhlenbeck non linéaire (NLOU) Paramètre α : si nul, le log-spot est un simple OU ; si négatif, le prix spot est une fonction de X qui croit plus rapidement qu exponentiellement. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

59 Modèle structurel de Barlow (2002) Quand α diminue, les "pics" de prix augmentent. Le processus NLOU a tendance à produire trop de sauts, alors que l exponentielle d un OU n en a pas (seul effet volatilité). Simulations après calibration sur les données d Alberta (Barlow) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

60 Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

61 Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) Modèle d équilibre : à chaque date, les producteurs d électricité peuvent choisir entre différents moyens de production : merit order (offre par empilement). Le combustible marginal est le combustible le plus opportun pour produire de l électricité parmi les différents combustibles disponibles. Le prix spot est donné par le coût du combustible marginal. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

62 Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) Le prix spot est supposé être déterminé par la demande, les différents moyens de productions (prix des combustibles et heat rates) et leurs capacités. On se donne un ensemble de n technologies de production de l électricité. D t, demande (en MW) Combustibles disponibles i = 1,..., n Ct i, capacité disponible pour le combustible i (en MW) St i, prix du combustible i h i, heat rate associé au combustible i (tel que h i St i en e/mwh) On suppose les coûts de production ordonnés parmi les combustibles : Modèle de prix spot : S t = MC t := h 1 S 1 t h 2S 2 t... hnsn t. n i=1 h i St i I{ i 1 k=1 C t k Dt }. ik=1 C t k Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

63 Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) Correction par un facteur multiplicatif pour prendre en compte les pics de prix en période de marché tendu, i.e. quand la demande D t tend vers la capacité maximale disponible. Capacité maximale disponible : C t = n k=1 C t k Les pics de prix se produisent quand C t D t est petit. Introduction d un facteur de rareté : y t := de x t := C t D t St, estimé comme une fonction MC t Modèle de prix spot amélioré : S t ( n ) ( n = g Ct k D t k=1 i=1 avec fonction de rareté : g (x) := min h i StI i { i 1 k=1 C t k Dt } ik=1 C t k ) ( γ x ν, M ) I {x>0} + M Ind {x 0}., Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

64 Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) Exemple avec deux combustibles : charbon et pétrôle Modèles( de demande et de) capacités : saisonnalité + processus d OU Spread h i St i hi 1 St i 1 : Brownien géométrique t Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

65 Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

66 Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

67 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

68 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Modèle à un facteur NIG pour l électricité } F (t, T ) = F (t 0, T ) exp {M(t 0, t, T ) + e a(t t) X t t 0 t T Un facteur non Gaussien : X t := t t 0 σ(u)e a(t u) dl u Volatilité σ, retour à la moyenne a L, processus de Lévy de type NIG de paramètres (α, β, δ, μ), c est-à-dire que son premier accroissement L 1 NIG(α, β, δ, μ). Terme de dérive : t M(t 0, t, T ) = m(u, T )du t 0 Modèle de prix spot et de prix futures induits : t t 0, S t := F (t, t) = F (t 0, t) exp {M(t 0, t, t) + X t}, F (t, T, T + θ) = 1 θ 1 F (t, T + i). θ i=0 Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

69 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Modèle à un facteur NIG pour l électricité 1. Processus d OU-NIG : Le processus X est un processus d Ornstein-Uhlenbeck dirigé par un processus de Lévy L vérifiant : dx t = ax tdt + σ(t)dl t, X t0 = EDS : Dans le modèle précédant, la dynamique des prix à terme s écrit : df (t, T ) F (t, T ) =m(t, T )dt + σ(t)e a(t t) dl t + R ( e σ(t)e a(t t)x 1 σ(t)e a(t t) x ) μ(dx, dt) où μ est la mesure aléatoire des sauts de L. 3. Condition de dérive : Les processus (F (t, T )) t T sont rendus martingales par un choix du terme de dérive tel que : m(t, T ) = μσ(t)e a(t t) + δ ( α 2 (β + σ(t)e a(t t) ) 2 ) α 2 β 2 Preuve : 2. Itô-Lévy 3. Transformation d Essher Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

70 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Rappels sur la loi Normale Inverse Gaussienne Famille des lois hyperboliques généralisées, se déclinant autour de 5 paramètres α > 0 détermine la forme de la densité. β tel que 0 β < α détermine le degré d asymétrie. Si β = 0, la distribution est symétrique, si β > 0, elle est bombée à droite. μ est le paramètre de position. δ est le paramètre d échelle. λ détermine l épaisseur des queues de distribution. λ = 1 Distribution NIG(α, β, δ, μ) 2 Propriétés de la loi NIG(α, β, δ, μ) 1 Densité : f NIG (x; α, β, δ, μ) α (δ π exp ) K1 α 2 β 2 (αδ 1 + (x μ) + β(x μ) 2 /δ 2 ), 1 + (x μ) 2 /δ 2 où K 1 désigne la fonction de Bessel du troisième type d ordre 1. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

71 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Propriétés de la loi NIG(α, β, δ, μ) (cont.) 2 Distribution leptokurtique : queues de distribution telles que { x 3/2 e ( α+β)x quand x +, f NIG (x) = x 3/2 e (α+β)x quand x. 3 Mélange en moyenne et variance : X NIG(α, β, δ, μ) X = μ + βy + Y N avec N N (0, 1) Y IG(δ, γ := α 2 β 2 ) 4 Fonction génératrice des moments : [ ] L NIG (u) = E e ux = e μu+δ(γ γu ) avec γ := α 2 β 2 et γ u := α 2 (β + u) 2. 5 Moyenne et variance : E [X ] = μ + δβ γ δα2 et var(x ) = γ 3. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

72 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Comparaison entre les lois Gaussienne et NIG Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

73 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Propriétés de la loi NIG(α, β, δ, μ) (cont.) 6 Stabilité par transformation affine (lois hyperboliques généralisées) X NIG(α, β, δ, μ) Y = ax + b NIG( α a, β, aδ, aμ + b) a 7 Stabilité par convolution (idem loi Gaussienne) NIG(α, β, δ 1, μ 1 ) NIG(α, β, δ 2, μ 2 ) = NIG(α, β, δ 1 + δ 2, μ 1 + μ 2 ) c est-à-dire : X 1 NIG(α, β, δ 1, μ 1 ) et X 2 NIG(α, β, δ 2, μ 2 ) X 1 + X 2 NIG(α, β, δ 1 + δ 2, μ 1 + μ 2 ) 8 Infinie divisibilité : on peut définir un processus de Lévy L tel que L 1 NIG(α, β, δ, μ) et L t NIG(α, β, δt, μt). = La loi d un accroissement (L t+δt L t) se déduit directement de la loi de L 1, quelque soit le pas de temps Δt considéré. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

74 Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Interprétation du modèle NIG par rapport à d autres approches Discontinuité : (L t) t 0 est un processus de saut pur qui présente une infinité de petits sauts sur tout intervalle de temps { fini, ce qui est cohérent avec la nature du prix spot S t = F (t 0, t) exp M(t 0, t, t) + t t 0 σ(u)e a(t u) dl u }. Temps réel, temps virtuel : Le processus de Lévy NIG peut s obtenir par subordination et s écrire L t = μt + βτ(t) + B τ(t) où (B t) t 0 est un mouvement Brownien standard et (τ(t)) t 0 un processus de Lévy tel que τ(1) IG(δ, γ := α 2 β 2 ) permet de représenter un temps virtuel caractérisant les pèriodes d agitation et de calme sur le marché. Volatilité stochastique En discrétisant entre t et t + 1, on obtient L t+1 L t = μ + βv t + V tε t, où ε t N (0, 1) et V t = τ(t + 1) τ(t) V t IG(δ, γ) correspondant à une volatilité stochastique indépendante de ε t. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

75 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

76 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Estimation des paramètres d un processus OU-NIG On considère X un processus d Ornstein-Uhlenbeck dirigé par un processus de Lévy L tel que t 0, X t = t 0 σe a(t s) dl s. On observe X à des instants discrets espacés de Δt : (X k := X tk ) 0 k n. Les résidus ε k = X k+1 e aδt X k = t k+1 t σe a(t k+1 s) dl s sont i.i.d. k On peut déduire la fonction caractéristique de ε k en fonction de celle de L 1. v : [0, t] R, [ { t }] { t E exp iv(s)dl s = exp 0 0 avec Ψ(u) := log E [ ] e iul 1, } Ψ(v(s))ds ce qui implique, u R : [ { [ ] Ψ εk (u) = log E e iuε k = log E exp iu tk+1 = Ψ(ue a(t k+1 s) ) ds = t k }] tk+1 σe a(t k+1 s) dl s t k Δt Ψ(ue a(δt s) ) ds. 0 Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

77 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Estimation des paramètres d un processus OU-NIG (cont.) SPDG, on suppose σ := 1 et laisse libres les quatres paramètres de la loi NIG. La méthode consiste à maximiser la log-vraisemblance de l échantillon évaluée aux points observés i.e. max θ L(θ) := log f (X 0,..., X n; θ), où f est la densité jointe des observations et θ := (a, α, β, δ, μ). La densité jointe de l échantillon s écrit comme un produit de densités : f (X 0,..., X n; θ) = n 1 k=0 f (X k+1 X k ; θ) = n 1 k=0 fε(x k+1 e aδt X k ; θ), où f ε est la densité des résidus ε k = X k+1 e aδt X k commune pour tout k. Pour maximiser la log-vraisemblance de l échantillon en (a, α, β, δ, μ) : L(θ) := n k=1 log fε(x k+1 e aδt X k ; a, α, β, δ, μ), on peut utiliser une approximation numérique de f ε avec f ε = TF 1 ( e Ψε) où TF 1, transformée de Fourier inverse. A la limite, si Δt est suffisamment petit, on peut approcher f ε par f LΔt. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

78 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Estimation des paramètres d un processus OU-NIG en deux temps Pour des raisons de robustesse et de réduction de l espace d optimisation, au lieu d estimer globalement tous les paramètres (a, α, β, δ, μ), on peut préférer procéder en deux étapes : 1 Méthode des moindres carrés pour l estimation de a, 2 Maximum de vraisemblance pour l estimation de (α, β, δ, μ). Moindres carrés : Estimateur â = 1 Δt log(ˆã) où ˆã est solution de : min ã n X k+1 ãx k 2. k=1 Maximum de vraisemblance pour un échantillon NIG : On estime les paramètres NIG θ = (α, β, δ, μ) maximisant L(θ) = n log f NIG (ˆε k ; θ), avec ˆε k = X k+1 ˆãX k. k=1 Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

79 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Estimation des paramètres d un processus OU-NIG en deux temps (cont.) On veut estimer θ = (α, β, δ, μ) au vu de n observations i.i.d. (x 1,..., x n) NIG(α, β, δ, μ). La méthode consiste à maximiser la log-vraisemblance de l échantillon : L(θ) = = n n log f NIG (x i ; θ) i=1 [ log π + log α + δγ ] n βδt i log s i log K 1 (αδs i ) i=1 où γ = α 2 β 2, t i = x i μ δ et s i = 1 + ti 2. Dans la pratique on optimise par rapport aux paramètres (γ, β, δ, μ) et on utilise le changement de variable γ = log γ et δ = log δ pour prendre en compte directement les contraintes de positivité de γ et δ. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

80 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Estimation des paramètres d un processus OU-NIG en deux temps (cont.) Pour tout x > 0, on pose R 1 (x) := K 2(x) K 1 (x) où K 2 désigne la fonction de Bessel du troisième type d ordre 2. On peut montrer que : L(θ) γ L(θ) δ L(θ) β L(θ) μ = 2nγ α 2 + nδ n = nγ + n δ n i=1 = 2n β α 2 + n = nβ + i=1 n i=1 i=1 γδ α s i R 1 (αδs i ), α s i R 1 (αδs i ), δt i βδ α s i R 1 (αδs i ), α t i s i R 1 (αδs i ). Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

81 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Simplification possible : loi NIG centrée réduite, i.e. telle que E [L 1 ] = μ + δβ γ = 0 et var(l 1) = δα2 γ 3 = 1, = Seulement deux paramètres libres (α, β), avec δ = γ3 α 2 et μ = βγ2 α 2. Typiquement, paramètres estimés : α et β μ 0. La fréquence des sauts augmente quand α tend vers 0. Meilleure représentation des queues de distribution par le modèle NIG : Log-densité Gaussienne Log-densité NIG Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

82 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Simulation d une variable aléatoire NIG Simulation de 2 v.a. indépendantes Gaussienne et Inverse Gaussienne : X = μ + βy + Y N avec N N (0, 1) Y IG(δ, γ := α 2 β 2 ). Simulation d une v.a. Inverse Gaussienne Y IG(δ, γ) : (γy δ) 2 /Y χ 2 (1) où χ 2, loi du chi 2 à un degré de liberté (carré de la Gaussienne centrée (1) réduite). Algorithme de simulation de Y : 1 Gérérer M N (0, 1) et poser V = M 2. 2 Poser Y 1 et Y 2, les deux solutions de l équation du second degré V = (γy δ) 2 /Y : Y 1 = δ/γ + V /2γ 2 V δ/γ 3 + (V /2γ 2 ) 2 et Y 2 = (δ/γ) 2 /Y 1. 3 Générer U U([0, 1]) une v.a. uniformément dans [0, 1]. 4 Si U < δ/(δ + γy 1 ), poser Y = Y 1, sinon poser Y = Y 2. Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

83 Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Meilleure représentation des pics de prix par le modèle NIG Prix spot simulé avec un bruit Gaussien Prix spot simulé avec un bruit NIG Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

84 Conclusions Outline 1 Introduction : Prix sur les marchés de l énergie Prix et produits cotés sur les marchés de l énergie Charactéristiques des prix de l électricité Prix à terme de l électricité 2 Un modèle factoriel Gaussien Principes des modèles factoriels Un modèle à deux facteurs Gaussiens 3 Approches non Gaussiennes pour les prix électriques Tour d horizon des modèles non-gaussiens Modèle structurel de Barlow (2002) Modèle structurel de Aïd et al. (2009, 2001) 4 Modèle factoriel de Lévy de type NIG Modèle factoriel Normal Inverse Gaussien (NIG) Calibration des paramètres et simulations du modèle factoriel NIG Conclusions Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

85 Conclusions Approches non-gaussiennes pour la modélisation des prix de l électricité Nécessaires pour capter les pics de prix électriques (importants et fréquents) Différents types de modèles : modèles d équilibre (offre-demande), modèles à saut, modèles à changement de régime, modèles à loi leptokutique Approche du modèle factoriel de Lévy de type NIG : Distribution NIG : propriétés utiles pour la simulation et l implémentation Calibration relativement aisée du modèle d OU-NIG avec les méthodes des moindres carrés et du maximum de vraisemblance Représentation des queues de distribution des résidus des prix électriques Utilisation de ce modèle factoriel NIG Valorisation d options très en dehors de la monnaie Valorisation en non Gaussien : 1 Valeur vue comme coût de la couverture : cadre de marché incomplet 2 Valorisation risque neutre : pas d unicité du changement de mesure de probabilité martingale Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86

86 Conclusions Références Aïd, Campi and Langrené (2011) : A structural risk-neutral model for pricing and hedging power derivatives Aïd, Campi, Nguyen Huu and Touzi (2009) : A structural risk-neutral model of electricity prices Barlow (2002) : A diffusion model for electricity prices Benth, Benth and Koekebakker (2008) : Stochastic modelling of electricity and related markets Benth, Kallsen and Meyer-Brandis (2006) : A non-gaussian Ornstein-Uhlenbeck process for electricity spot price modeling and derivatives pricing Geman and Roncoroni (2006) : Understanding the fine structure of electricity prices Meyer-Brandis and Tankov (2007) : Multi jump-diffusion models for electricity prices Weron (2005) : Heavy tails and electricity prices Marie Bernhart Cours de l ENPC, 27 février /86