Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

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1 Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( + v n ) et ( v n ) u u = v b) v c) n = v n = d) = v n = 4 Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( v n ) et u n = v b) v n = v n = 3 c) = 3 v n = d) = 0 v n = Dans chaque cas, on donne la ite de et v n et le signe de v n Déterminer si possible, (u n v n ) et v n = v n = 0 v n > 0 b) = 4 v n = 0 v n < 0 c) = 0 v n = 0 v n > 0 A l aide des tableaux de la somme, du produit et du quotient, déterminer si possible = n + n b) = n n c) = n + d) = 3 n e) = n + n + Limite et suite géométrique Déterminer les ites éventuelles suivantes : f) = 3 05 n n 3 n Limite de suite et forme indéterminée Dans chaque cas, déterminer la ite éventuelle de la suite ( ) : = n 3 3n b) = n n n + c) = n + n n Dans chaque cas, déterminer la ite éventuelle de la suite u : = n n b) = 3 + n n c) = 4n 3 n + 5 Limite de suite, encadrement et théorème des gendarmes Dans chaque cas, déterminer la ite éventuelle de la suite ( ) : = ( )n n + b) = n cos(n) c) = n + sin(n) n + 5 n + 5 n 7 n Démontrer que la suite (( ) n ) diverge On pourra utiliser un raisonnement par l absurde

2 Limite d une somme ( d une ) suite géométrique n ) Déterminer 3 ) Déterminer n 3 ) On considère la suite ( ) définie sur N par = + x + + x n où x est un nombre réel Déterminer la ite de ( ) selon les valeurs de x Limite d une somme Soit la suite ( ) définie pour tout entier n par = n ) Démontrer que pour tout entier n, n ) En déduire la ite de la suite ( ) Somme et suite télescopique On considère la suite ( ) définie pour tout entier n par = n(n + ) ) Vérifier que pour tout entier k, k k + = k(k + ) ) En déduire que pour tout entier n, = n + 3 ) En déduire la ite de la suite ( ) On considère une suite ( ) croissante qui n est pas convergente ) Démontrer que ( ) n est pas majorée ) En déduire sa ite u0 = On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par : + = ) Démontrer que pour tout entier naturel n, ) Démontrer que la suite ( ) est croissante 3 ) Démontrer que la suite ( ) n est pas majorée On pourra raisonner par l absurde 4 ) En déduire la ite de la suite ( ) u0 = 0 On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par : + = PARTIE : Conjectures Sur un même graphique, tracer les droites d équation y = x et y = 3 x + 4 b) Déterminer graphiquement, u, u, u 3 c) Déterminer par le calcul, u, u, u 3 Les résultats sont-ils cohérents? d) Conjecturer le sens de variation de ( ) e) Conjecturer la ite de ( ) PARTIE : Démonstration des conjectures Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 6 b) Démontrer la conjecture du d) c) Démontrer la conjecture du e) PARTIE 3 : Démonstration des conjectures par une seconde méthode On considère la suite (v n ) définie sur N par v n = 6 3 Déterminer v 0, v, v 3b) Conjecturer la nature de la suite (v n ) 3c) Démontrer cette conjecture 3d) Exprimer v n en fonction de n Exprimer en fonction de n 3e) En déduire la ite de la suite ( )

3 Limite d une suite géométrique : démonstration du cours x est un réel positif ) Démontrer que pour tout entier naturel n, ( + x) n + nx ) En déduire la ite de la suite (q n ) où q > 3 ) On cherche maintenant la ite de (q n ) où 0 < q < On pose p = Déterminer q pn b) En déduire qn Limite d une somme Soit la suite ( ) définie pour tout entier n par = n ) Démontrer que la suite ( ) est croissante ) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n 3 ) Que peut-on en déduire? Suite homographique Soit la suite u définie sur N par u 0 = et pour tout entier naturel n, + = + 3 L objectif du problème est d exprimer en fonction de n puis de trouver la ite de ( ) ) On a tracé la courbe de la fonction f définie sur ]0; + [ par f(x) = + 3 x Déterminer graphiquement u, u, u 3 ) Déterminer par le calcul, u, u, u 3 Est-ce cohérent? 3 ) Quelles conjectures peut-on faire concernant le sens de variation, et la ite de cette suite ( ) 4 ) La suite ( ) est-elle arithmétique? géométrique? Justifier 5 ) Démontrer que pour tout entier naturel n, On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = ) Déterminer par le calcul les 4 premiers termes de la suite (v n ) 7 ) Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de (v n ) Démontrer cette conjecture 8 ) Exprimer v n en fonction de n En déduire l expression de en fonction de n 9 ) En déduire la ite de la suite ( ) Est-ce cohérent? Suite arithmético-géométrique On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par u 0 = 0 et + = + ) Montrer que pour tout entier n, + ) En déduire que la suite ( ) est convergente On note l sa ite 3) Déterminer la valeur de l 3

4 Soit ( ) la suite définie par son premier terme u 0 et, pour tout entier naturel n, par la relation : + = a + b (a et b réels non nuls tels que a ) On pose, pour tout entier naturel n, v n = b a Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison a b En déduire que si a appartient à l intervalle ]- ;[, alors la suite ( ) a pour ite a 3 On considère la suite (h n ) définie par h 0 = 80 et pour tout entier naturel n, h n+ = 075h n + 30 La suite (h n ) est-elle convergente? Justifier Limite d une suite par deux méthodes u0 = 4 On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par + = + PARTIE : Étude de la convergence Déterminer u, u, u 3 à 0 près b) Montrer que pour tout entier naturel n, 4 c) Démontrer que la suite ( ) est décroissante d) En déduire que la suite ( ) converge PARTIE : Déterminer la ite Soit l la ite de la suite ( ) Démontrer que l est solution de l équation l = l + b) En déduire la ite de la suite ( ) PARTIE 3 : Déterminer la ite par une deuxième méthode 4 3 Montrer que pour tout entier naturel n, + 4 = un b) En déduire que pour tout entier naturel n, ( 4) 3c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n 3d) En déduire la ite de la suite ( ) Suite : Exercice type Bac u0 = On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par + = 0 (0 ) ) Soit la fonction f définie sur [0 ;0] par f(x) = x(0 x) 0 Étudier les variations de f sur [0 ;0] b) En déduire que si x [0; 0], alors f(x) [0; 0] ) Déterminer u, u 3 ) Démontrer que pour tout entier naturel n, ) En déduire que la suite ( ) est convergente 5 ) On note l la ite de la suite ( ) Démontrer que l est solution de l équation l = l(0 l) 0 b) Résoudre cette équation et en déduire la valeur de l Suites croisées Soient (a n ) et (b n ) deux suites telles que a 0 > 0 et b 0 > 0 et pour tout entier naturel n : a n+ = a n + b n et b n+ = a n b n a n + b n ) Démontrer que (a n ) et (b n ) sont deux suites strictement positives ) Démontrer que pour tout entier naturel n : a n+ b n+ = a n + b n (a n + b n ) 3) En déduire le signe de a n b n pour n 4) Démontrer que les suites (a n ) et (b n ) sont décroissantes à partir du rang 5) Démontrer que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes vers une même ite 4

5 QCM ite de suite Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : Si les suites ( ) et (v n ) convergent alors la suite ( v n ) converge Si pour tout entier naturel n, alors 3 Si la suite ( ) est croissante alors la suite ( ) est décroissante 4 Si pour tout entier n, 5 n alors la suite () converge vers 5 5 Si la suite ( ) n est pas majorée, alors = + 6 Si = + alors la suite ( ) n est pas majorée Suite de Héron - type Bac PARTIE : Étude d une fonction f On considère la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = (x + x ) Justifier que f est dérivable sur ]0; + [ b) Déterminer les variations de f sur ]0; + [ c) Démontrer que si x alors f(x) PARTIE : Étude de la suite ( ) u0 = 4 On considère la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par + = f( ) Déterminer u, u, u 3 à 0 près b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, + c) En déduire que ( ) est convergente d) On note l la ite de la suite u Démontrer que l est solution de l équation l = (l + l ) e) En déduire la valeur de l f) Que faut-il changer à la définition de la suite ( ) pour qu elle converge vers 3 PARTIE 3 : Rapidité de convergence 3 Démontrer que pour tout entier naturel n, + = ( ) 3b) En déduire que pour tout entier naturel n, + ( ) 3c) Démontrer par récurrence que pour tout entier n, ( ) n (u 0 ) 4d) Quelle valeur de n faut-il choisir pour que soit une valeur approchée de à 0 3 près QCM ite de suite Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : Si une suite est décroissante minorée alors elle est convergente Si une suite est croissante et convergente alors elle est majorée 3 Si une suite est convergente et majorée alors elle est croissante 4 Si une suite est croissante alors elle est minorée 5 Si une suite est croissante alors elle n est pas majorée 6 Si une suite est croissante et convergente alors elle est bornée Objectif : Trouver la ite d une suite récurrente, arithmétique, géométrique, explicite, croissante, décroissante, majorée, minorée, convergente, par conjecture, théorème des gendarme, ite d une somme 5